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第三、五節(jié)偏導數(shù)、全微分第九章一、偏導數(shù)定義及其計算法引例:定義1.x0x0
xxxx0注意:
fx
(x0
,
y0
)
limyy0
yy0偏導數(shù)例如,x
xxx(請自己寫出)二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:0y
yz
f
(x,
y)0注意：不一定連續(xù)例如,例1.解法1:解法2:證:例3.解:例2.例4.
p
V
T
1V
T
p證:說明:
此例表二、全微分的定義定義:
o(
)
,Ax
B
y
z
可微全微分dz
d
f
Ax
By在D
內(nèi)可微.lim
f
(x
x,
y
y)
f
(x,
y)x0y0函數(shù)
z
=
f
(x,
y)
在點(x, y)
可微函數(shù)在該點連續(xù)d
z
z
x
z
yx
y證:定理1(必要條件)可微,x
xx反例:f
x
(0,
0)
f
y
(0,
0)
0
,
o(
)(x)2
(
y)2x
y注意:定理2
(充分條件)可微分證：
f
(x,
y
y)f
(x,
y
y)
x
y
x
y
o(
)推廣:偏微分d
u
d
x
u
d
y
u
d
z
u例5.解:例6.解:：三、全微分在數(shù)值計算中的應用z
d
z
f
x
(x,
y)x
f
y
(x,
y)yf
(x
x,
y
y)
f
(x,
y)
f
x
(x,
y)x
f
y
(x,
y)y解:r
20,
h
100,
r
0.05,
h
1例7.例8.解:f
(x,
y)
x
yx
1,
y
2,
x
0.04,
y
0.022.
誤差估計δ
z
fx
(x,
y) δ
x
f
y
(x,
y) δ
yyxf
(x,
y)
f
y
(x,
y)
δ
z
f
x
(x,
y)
δz f
(x,
y)特別注意1800a
12.5,
b
8.3,
C
30, δ
a
δ
b
0.01, δ
C
例9.解：解:例10.四、高階偏導數(shù)
y2
y
y
(
z
)
z
f
y
y
(x,
y)2x2
z
f
(x,
y);xxx2二階偏導數(shù)例如，例11.解:
2
z
x
y
2
z
yx注意:x
y
2
z
2
z
,
yxxyf
(0,0)
二者不等
lim
y0
y
y
1例如,0,0
,,x2
y2
0x2
y2
0例12.u
證：x2
2u
1 3
y2
,
y2r3
r5
2u
1
3
x2r3
r5
2u
1 3
z
2z
2r3
r5定理.f
x
y
(x0
,
y0
)
f
y
x
(x0
,
y0
)例如,說明:(證明略)內(nèi)容小結?????d
z
f
x
(x,
y)dx
f
y
(x,
y)d
y函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)??δ
z
f
x
(x,
y)
δ
x
f
y
(x,
y)
δ
y備用題解:證:1)
f
(0,0)2.2)3)f
x
(x,
y)lim
f
x
(x,
y)(
x,
x
)(0,0)極限不存在,
fx
(x,
y)
在點(0,0)不連續(xù)
;同理,f
y
(x,y)在
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