..平面向量基本定理教學目標1．了解基底的含義,理解平面向量基本定理,會用基底表示平面內任一向量．<重點>2．掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義．<難點>3．兩個向量的夾角與兩條直線所成的角．<易混點>[基礎·初探]教材整理1平面向量基本定理閱讀教材P93至P94第六行以上內容,完成下列問題．1．定理：如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．判斷<正確的打"√",錯誤的打"×"><1>一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底．<><2>若e1,e2是同一平面內兩個不共線向量,則λ1e1＋λ2e2<λ1,λ2為實數(shù)>可以表示該平面內所有向量．<><3>若ae1＋be2＝ce1＋de2<a,b,c,d∈R>,則a＝c,b＝d.<>解：<1>錯誤．根據(jù)基底的概念可知,平面內不共線的向量都可以作為該平面內向量的基底．<2>正確．根據(jù)平面向量基本定理知對平面內任意向量都可以由向量e1,e2線性表示．<3>錯誤．當e1與e2共線時,結論不一定成立．[答案]<1>×<2>√<3>×教材整理2兩向量的夾角與垂直閱讀教材P94第六行以下至例1內容,完成下列問題．1.夾角：已知兩個非零向量a和b,作eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角<如圖2－3－1所示>．圖2－3－1<1>范圍：向量a與b的夾角的范圍是0°≤θ≤180°．<2>當θ＝0°時,a與b同向；當θ＝180°時,a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直,記作a⊥b．如圖2－3－2,在△ABC中,eq\o<AC,\s\up6<→>>,eq\o<AB,\s\up6<→>>的夾角與eq\o<CA,\s\up6<→>>,eq\o<AB,\s\up6<→>>的夾角的關系為________．圖2－3－2解：根據(jù)向量夾角定義可知向量eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<AC,\s\up6<→>>夾角為∠BAC,而向量eq\o<CA,\s\up6<→>>,eq\o<AB,\s\up6<→>>夾角為π－∠BAC．故二者互補．[答案]互補[小組合作型]用基底表示向量<1>已知AD是△ABC的BC邊上的中線,若eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝b,則eq\o<AD,\s\up6<→>>＝<>A．eq\f<1,2><a－b> B．－eq\f<1,2><a－b>C．－eq\f<1,2><a＋b> D．eq\f<1,2><a＋b><2>如圖2－3－3,設點P,Q是線段AB的三等分點,若eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,則eq\o<OP,\s\up6<→>>＝________,eq\o<OQ,\s\up6<→>>＝________.<用a,b表示>圖2－3－3用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則．解：<1>如圖所示,因為eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<AC,\s\up6<→>>＝2eq\o<AD,\s\up6<→>>,所以eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><a＋b>．<2>eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<AP,\s\up6<→>>－eq\o<AO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3><eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<OA,\s\up6<→>>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3>eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<1,3>eq\o<OB,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3>a＋eq\f<1,3>b,eq\o<OQ,\s\up6<→>>＝eq\o<AQ,\s\up6<→>>－eq\o<AO,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3><eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<OA,\s\up6<→>>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3>eq\o<OB,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b.[答案]<1>D<2>eq\f<2,3>a＋eq\f<1,3>beq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b平面向量基本定理的作用以及注意點：<1>根據(jù)平面向量基本定理,任何一組基底都可以表示任意向量．用基底表示向量,實質上主要是利用三角形法則或平行四邊形法則,進行向量的加減法運算．<2>要注意適當選擇向量所在的三角形或平行四邊形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量與未知向量的關系,用方程的觀點求出未知向量．[再練一題]1．已知△ABC中,D為BC的中點,E,F為BC的三等分點,若eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝b用a,b表示eq\o<AD,\s\up6<→>>,eq\o<AE,\s\up6<→>>,eq\o<AF,\s\up6<→>>.圖2－3－4[解]eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BD,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<1,2>eq\o<BC,\s\up6<→>>＝a＋eq\f<1,2><b－a>＝eq\f<1,2>a＋eq\f<1,2>b；eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BE,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<1,3><b－a>＝eq\f<2,3>a＋eq\f<1,3>b；eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BF,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3>eq\o<BC,\s\up6<→>>＝a＋eq\f<2,3><b－a>＝eq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b.向量的夾角問題<1><2016·XX高一檢測>已知向量a,b,c滿足|a|＝1,|b|＝2,c＝a＋b,c⊥a,則a,b的夾角等于________．<2>若a≠0,b≠0,且|a|＝|b|＝|a－b|,求a與a＋b的夾角．可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識來解決．解：<1>作eq\o<BC,\s\up6<→>>＝a,eq\o<CA,\s\up6<→>>＝b,則c＝a＋b＝eq\o<BA,\s\up6<→>><如圖所示>,則a,b夾角為180°－∠C．因為|a|＝1,|b|＝2,c⊥a,所以∠C＝60°,所以a,b的夾角為120°.[答案]120°<2>由向量運算的幾何意義知a＋b,a－b是以a、b為鄰邊的平行四邊形兩條對角線．如圖,∵|a|＝|b|＝|a－b|,∴∠BOA＝60°.又∵eq\o<OC,\s\up6<→>>＝a＋b,且在菱形OACB中,對角線OC平分∠BOA,∴a與a＋b的夾角是30°.兩向量夾角的實質與求解方法：<1>兩向量夾角的實質：從同一起點出發(fā)的兩個非零向量構成的不大于平角的角,結合平面幾何知識加以解決．<2>求解方法：利用平移的方法使兩個向量起點重合,作出兩個向量的夾角,按照"一作二證三算"的步驟求出．[再練一題]2．已知|a|＝|b|＝2,且a與b的夾角為60°,則a＋b與a的夾角是________,a－b與a的夾角是________.解：如圖所示,作eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,則∠AOB＝60°,以OA,OB為鄰邊作?OACB,則eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<OB,\s\up6<→>>＝a＋b,eq\o<BA,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>－eq\o<OB,\s\up6<→>>＝a－b,eq\o<BC,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a.因為|a|＝|b|＝2,所以△OAB為正三角形,所以∠OAB＝60°＝∠ABC,即a－b與a的夾角為60°.因為|a|＝|b|,所以平行四邊形OACB為菱形,所以OC⊥AB,所以∠COA＝90°－60°＝30°,即a＋b與a的夾角為30°.[答案]30°60°[探究共研型]平面向量基本定理的綜合應用探究1在向量等式eq\o<OP,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>中,若x＋y＝1,則三點P、A、B具有什么樣的位置關系？[提示]三點P、A、B在同一直線上．在向量等式eq\o<OP,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>中,若x＋y＝1,則P,A,B三點共線；若P,A,B三點共線,則x＋y＝1.探究2如圖2－3－5所示,有點O,A,D,B,以OA和OB為鄰邊作一平行四邊形ADBO,將此平行四邊形的各邊所在直線延長,將平面分成9部分,對于平面上任一向量eq\o<OC,\s\up6<→>>,存在唯一有序實數(shù)對<x,y>,使eq\o<OC,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>成立．圖2－3－5對于點C的位置與實數(shù)x,y的取值情況需分幾種討論？[提示]需分12種情況．<1>點C與點O重合,則x＝y(tǒng)＝0.<2>點C與點A重合,則x＝1,y＝0.<3>點C與D重合,則x＝y(tǒng)＝1.<4>點C與點B重合,則x＝0,y＝1.<5>點C在直線OA上,則x∈R,y＝0.<6>點C在直線AD上,則x＝1,y∈R.<7>點C在直線BD上,則x∈R,y＝1.<8>點C在直線OB上,則x＝0,y∈R.<9>點C在直線OD上,則x＝y(tǒng).<10>點C在直線AB上,則x＋y＝1.<11>點C在①②③區(qū)域上,則x>1；點C在④⑤⑥區(qū)域上,則0<x<1；點C在⑦⑧⑨區(qū)域上,則x<0.<12>點C在①④⑦區(qū)域上,則y<0；點C在②⑤⑧區(qū)域上,則0<y<1；點C在③⑥⑨區(qū)域上,則y>1.如圖2－3－6所示,在△OAB中,eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,點M是AB的靠近B的一個三等分點,點N是OA的靠近A的一個四等分點．若OM與BN相交于點P,求eq\o<OP,\s\up6<→>>.圖2－3－6可利用eq\o<OP,\s\up6<→>>＝teq\o<OM,\s\up6<→>>及eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<ON,\s\up6<→>>＋eq\o<NP,\s\up6<→>>＝eq\o<ON,\s\up6<→>>＋seq\o<NB,\s\up6<→>>兩種形式來表示eq\o<OP,\s\up6<→>>,并都轉化為以a,b為基底的表達式．根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s,t,進而求得eq\o<OP,\s\up6<→>>.解：eq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<AM,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3><eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<OA,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b.因為eq\o<OP,\s\up6<→>>與eq\o<OM,\s\up6<→>>共線,故可設eq\o<OP,\s\up6<→>>＝teq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\f<t,3>a＋eq\f<2t,3>b.又eq\o<NP,\s\up6<→>>與eq\o<NB,\s\up6<→>>共線,可設eq\o<NP,\s\up6<→>>＝seq\o<NB,\s\up6<→>>,eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<ON,\s\up6<→>>＋seq\o<NB,\s\up6<→>>＝eq\f<3,4>eq\o<OA,\s\up6<→>>＋s<eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<ON,\s\up6<→>>>＝eq\f<3,4><1－s>a＋sb,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<\f<3,4>〔1－s＝\f<t,3>,,s＝\f<2,3>t,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<t＝\f<9,10>,,s＝\f<3,5>,>>所以eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\f<3,10>a＋eq\f<3,5>b.1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：條件一平面內任一向量a和同一平面內兩個不共線向量e1,e2條件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2結論eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<λ1＝λ2,,μ1＝μ2>>2.任意一向量基底表示的唯一性的應用：平面向量基本定理指出了平面內任一向量都可以表示為同一平面內兩個不共線向量e1,e2的線性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1,λ2時有兩種方法：<1>直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理．<2>利用待定系數(shù)法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程組求解．[再練一題]3．如圖2－3－7所示,在△ABC中,點M是AB的中點,且eq\o<AN,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<NC,\s\up6<→>>,BN與CM相交于E,設eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝b,試用基底a,b表示向量eq\o<AE,\s\up6<→>>.圖2－3－7解：易得eq\o<AN,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>b,eq\o<AM,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<AB,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>a,由N,E,B三點共線,設存在實數(shù)m,滿足eq\o<AE,\s\up6<→>>＝meq\o<AN,\s\up6<→>>＋<1－m>eq\o<AB,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>mb＋<1－m>a.由C,E,M三點共線,設存在實數(shù)n滿足：eq\o<AE,\s\up6<→>>＝neq\o<AM,\s\up6<→>>＋<1－n>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>na＋<1－n>b.所以eq\f<1,3>mb＋<1－m>a＝eq\f<1,2>na＋<1－n>b,由于a,b為基底,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<1－m＝\f<1,2>n,,\f<1,3>m＝1－n,>>解之得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m＝\f<3,5>,,n＝\f<4,5>,>>所以eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\f<2,5>a＋eq\f<1,5>b.[構建·體系]1．<2016·XX高一檢測>已知平行四邊形ABCD,則下列各組向量中,是該平面內所有向量基底的是<>A．eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<DC,\s\up6<→>> B．eq\o<AD,\s\up6<→>>,eq\o<BC,\s\up6<→>>C．eq\o<BC,\s\up6<→>>,eq\o<CB,\s\up6<→>> D．eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<DA,\s\up6<→>>解：由于eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<DA,\s\up6<→>>不共線,所以是一組基底．[答案]D2．已知向量a＝e1－2e2,b＝2e1＋e2,其中e1,e2不共線,則a＋b與c＝6e1－2e2的關系是<>A．不共線 B．共線C．相等 D．不確定解：∵a＋b＝3e1－e2,∴c＝2<a＋b>,∴a＋b與c共線．[答案]B3．如圖2－3－8,在矩形ABCD中,若eq\o<BC,\s\up6<→>>＝5e1,eq\o<DC,\s\up6<→>>＝3e2,則eq\o<OC,\s\up6<→>>＝<>圖2－3－8A．eq\f<1,2><5e1＋3e2> B．eq\f<1,2><5e1－3e2>C．eq\f<1,2><3e2－5e1> D．eq\f<1,2><5e2－3e1>解：eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<BC,\s\up6<→>>＋eq\o<AB,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,2><eq\o<BC,\s\up6<→>>＋eq\o<DC,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,2><5e1＋3e2>．[答案]A4．<2016·XX市八縣一中高一聯(lián)考>已知A,B,D三點共線,且對任一點C,有eq\o<CD,\s\up6<→>>＝eq\f<4,3>eq\o<CA,\s\up6<→>>＋λeq\o<CB,\s\up6<→>>,則λ＝<>A．eq\f<2,3> B．eq\f<1,3>C．－eq\f<1,3> D．－eq\f<2,3>解：∵A,B,D三點共線,∴存在實數(shù)t,使eq\o<AD,\s\up6<→>>＝teq\o<AB,\s\up6<→>>,則eq\o<CD,\s\up6<→>>－eq\o<CA,\s\up6<→>>＝t<eq\o<CB,\s\up6<→>>－eq\o<CA,\s\up6<→>>>,即eq\o<CD,\s\up6<→>>＝eq\o<CA,\s\up6<→>>＋t<eq\o<CB,\s\up6<→>>－eq\o<CA,\s\up6<→>>>＝<1－t>eq\o<CA,\s\up6<→>>＋teq\o<CB,\s\up6<→>>,∴eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<1－t＝\f<4,3>,,t＝λ,>>即λ＝－eq\f<1,3>.[答案]C5．已知e1,e2是平面內兩個不共線的向量,a＝3e1－2e2,b＝－2e1＋e2,c＝7e1－4e2,試用向量a和b表示c.解：∵a,b不共線,∴可設c＝xa＋yb,則xa＋yb＝x<3e1－2e2>＋y<－2e1＋e2>＝<3x－2y>e1＋<－2x＋y>e2＝7e1－4e2.又∵e1,e2不共線,∴eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<3x－2y＝7,,－2x＋y＝－4,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝1,,y＝－2,>>∴c＝a－2b.學業(yè)分層測評[學業(yè)達標]一、選擇題1．<2016·XX高一檢測>設e1,e2是平面內所有向量的一組基底,則下列四組向量中,不能作為基底的是<>A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解：B中,∵6e1－8e2＝2<3e1－4e2>,∴<6e1－8e2>∥<3e1－4e2>,∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底．[答案]B2．<2016·XX高一檢測>如圖2－3－9,向量a－b等于<>圖2－3－9A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解：不妨令a＝eq\o<CA,\s\up6<→>>,b＝eq\o<CB,\s\up6<→>>,則a－b＝eq\o<CA,\s\up6<→>>－eq\o<CB,\s\up6<→>>＝eq\o<BA,\s\up6<→>>,由平行四邊形法則可知eq\o<BA,\s\up6<→>>＝e1－3e2.[答案]C3.<2016·XX高一檢測>如圖2－3－10,已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點,EF與AC交于點G,若eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AD,\s\up6<→>>＝b,用a、b表示eq\o<AG,\s\up6<→>>＝<>圖2－3－10A．eq\f<1,4>a＋eq\f<1,4>b B．eq\f<1,3>a＋eq\f<1,3>bC．eq\f<3,4>a－eq\f<1,4>b D．eq\f<3,4>a＋eq\f<3,4>b解：易知eq\o<CF,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<CD,\s\up6<→>>,eq\o<CE,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<CB,\s\up6<→>>.設eq\o<CG,\s\up6<→>>＝λeq\o<CA,\s\up6<→>>,則由平行四邊形法則可得eq\o<CG,\s\up6<→>>＝λ<eq\o<CB,\s\up6<→>>＋eq\o<CD,\s\up6<→>>>＝2λeq\o<CE,\s\up6<→>>＋2λeq\o<CF,\s\up6<→>>,由于E,G,F三點共線,則2λ＋2λ＝1,即λ＝eq\f<1,4>,從而eq\o<CG,\s\up6<→>>＝eq\f<1,4>eq\o<CA,\s\up6<→>>,從而eq\o<AG,\s\up6<→>>＝eq\f<3,4>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<3,4><a＋b>．[答案]D4．若D點在三角形ABC的邊BC上,且eq\o<CD,\s\up6<→>>＝4eq\o<DB,\s\up6<→>>＝req\o<AB,\s\up6<→>>＋seq\o<AC,\s\up6<→>>,則3r＋s的值為<>A．eq\f<16,5> B．eq\f<12,5>C．eq\f<8,5> D．eq\f<4,5>解：∵eq\o<CD,\s\up6<→>>＝4eq\o<DB,\s\up6<→>>＝req\o<AB,\s\up6<→>>＋seq\o<AC,\s\up6<→>>,∴eq\o<CD,\s\up6<→>>＝eq\f<4,5>eq\o<CB,\s\up6<→>>＝eq\f<4,5><eq\o<AB,\s\up6<→>>－eq\o<AC,\s\up6<→>>>＝req\o<AB,\s\up6<→>>＋seq\o<AC,\s\up6<→>>,∴r＝eq\f<4,5>,s＝－eq\f<4,5>.∴3r＋s＝eq\f<12,5>－eq\f<4,5>＝eq\f<8,5>.[答案]C5．如要e1,e2是平面α內所有向量的一組基底,那么下列命題正確的是<>A．若實數(shù)λ1,λ2,使λ1e1＋λ2e2＝0,則λ1＝λ2＝0B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2,其中λ1,λ2∈RC．對實數(shù)λ1,λ2,λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內D．對平面α中的任一向量a,使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1,λ2有無數(shù)對解：選項B錯誤,這樣的a只能與e1,e2在同一平面內,不能是空間任一向量；選項C錯誤,在平面α內任一向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式,故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內；選項D錯誤,這樣的λ1,λ2是唯一的,而不是有無數(shù)對．[答案]A二、填空題6．已知a與b是兩個不共線的向量,且向量a＋λb與－<b－3a>共線,則λ＝________.解：由題意可以設a＋λb＝λ1<－b＋3a>＝3λ1a－λ1b,因為a與b不共線,所以有eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<1＝3λ1,,λ＝－λ1,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<λ1＝\f<1,3>,,λ＝－\f<1,3>.>>[答案]－eq\f<1,3>7．設e1,e2是平面內一組基向量,且a＝e1＋2e2,b＝－e1＋e2,則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1＋e2＝________.解：因為a＝e1＋2e2①,b＝－e1＋e2②,顯然a與b不共線,①＋②得a＋b＝3e2,所以e2＝eq\f<a＋b,3>代入②得e1＝e2－b＝eq\f<a＋b,3>－b＝eq\f<1,3>a－eq\f<2,3>b,故有e1＋e2＝eq\f<1,3>a－eq\f<2,3>b＋eq\f<a,3>＋eq\f<b,3>＝eq\f<2,3>a－eq\f<1,3>b.[答案]eq\f<2,3>a－eq\f<1,3>b三、解答題8.如圖2－3－11,平面內有三個向量eq\o<OA,\s\up6<→>>,eq\o<OB,\s\up6<→>>,eq\o<OC,\s\up6<→>>,其中eq\o<OA,\s\up6<→>>與eq\o<OB,\s\up6<→>>的夾角為120°,eq\o<OA,\s\up6<→>>與eq\o<OC,\s\up6<→>>的夾角為30°,且|eq\o<OA,\s\up6<→>>|＝|eq\o<OB,\s\up6<→>>|＝1,eq\o<|OC,\s\up6<→>>|＝2eq\r<3>,若eq\o<OC,\s\up6<→>>＝λeq\o<OA,\s\up6<→>>＋μeq\o<OB,\s\up6<→>><λ,μ∈R>,求λ＋μ的值.[導學號：00680047]圖2－3－11解：如圖,以OA,OB所在射線為鄰邊,OC為對角線作平行四邊形ODCE,則eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\o<OD,\s\up6<→>>＋eq\o<OE,\s\up6<→>>,在直角△OCD中,因為|eq\o<OC,\s\up6<→>>|＝2eq\r<3>,∠COD＝30°,∠OCD＝90°,所以|eq\o<OD,\s\up6<→>>|＝4,|eq\o<CD,\s\up6<→>>|＝2,故eq\o<OD,\s\up6<→>>＝4eq\o<OA,\s\up6<→>>,eq\o<OE,\s\up6<→>>＝2eq\o<OB,\s\up6<→>>,即λ＝4,μ＝2,所以λ＋μ＝6.9.<2016·馬XX二中期末>如圖2－3－12所示,?ABCD中,E,F分別是BC,DC的中點,BF與DE交于點G,設eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AD,\s\up6<→>>＝b.圖2－3－12<1>用a,b表示eq\o<DE,\s\up6<→>>；<2>試用向量方法證明：A、G、C三點共線．解：<1>eq\o<DE,\s\up6<→>>＝eq\o<AE,\s\up6<→>>－eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BE,\s\up6<→>>－eq\o<AD,\s\up6<→>>＝a＋eq\f<1,2>b－b＝a－eq\f<1,2>b.<2>證明：連接AC、BD交于O,則eq\o<CO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<CA,\s\up6<→>>,∵E,F分別是BC,DC的中點,∴G是△CBD的重心,∴eq\o<GO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<CO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>>>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝－eq\f<1,6>eq\o<AC,\s\up6<→>>,又C為公共點,∴A,G,C三點共線．[能力提升]1．已知O是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋λeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\o<AB,\s\up6<→>>,|\o<AB,\s\up6<→>>|>＋\f<\o<AC,\s\up6<→>>,|\o<AC,\s\up6<→>>|>>><λ∈[0,＋∞>>,則點P的軌跡一定通過△ABC的<>A．外心 B．內心C．重心 D．垂心解：eq\f<\o<AB,\s\up6<→>>,|\o<AB,\s\u