直線與平面垂直的判定與性質(zhì)?一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z兩異面直線在平面a內(nèi)的射影（）相交直線B.平行直線C.一條直線一個點D.以上三種情況均有可能若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面（）A.有且只有一個B.可能存在也可能不存在C.有無數(shù)多個D.—定不存在在空間，下列哪些命題是正確的（）平行于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；平行于同一個平面的兩條直線互相平行；垂直于同一個平面的兩條直線互相平行.A.僅②不正確B.僅①、④正確C.僅①正確D.四個命題都正確若平面a的斜線l在a上的射影為1‘，直線b〃a，且b±lz,則b與1（）A.必相交B.必為異面直線C.垂直D.無法確定下列命題平面的每條斜線都垂直于這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；若一條直線垂直于平面的斜線，則此直線必垂直于斜線在此平面內(nèi)的射影；若平面的兩條斜線段相等，則它們在同一平面內(nèi)的射影也相等；若一條線段在平面外并且不垂直于這個平面，則它的射影長一定小于線段的長.其中，正確的命題有（）A.1個B.2個C.3個n4個在下列四個命題中，假命題為（）如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面已知P是四邊形ABCD所在平面外一點且P在平面ABCD內(nèi)的射影在四邊形ABCD內(nèi)，若P到這四邊形各邊的距離相等，那么這個四邊形是（）A.圓內(nèi)接四邊形B.矩形C.圓外切四邊形D.平行四邊形在^ABC中，AB=AC=5,BC=6,PA±平面ABC，PA=8,則P到BC的距離等于（）A.*b.2*5C.3t'5D.4v'5二、填空題AB是平面a的斜線段，其長為a，它在平面a內(nèi)的射影A，B的長為b，則垂線A，A.如果直線1、m與平面a、B、Y滿足：1=BCy，1±a，mia和m±y，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①a〃Y且Mm；②ay且m〃B③a'.-'B且Um；④a.'Y且1^m；其中正確的為“”.（寫出序號即可）在空間四面體的四個面中，為直角三角形的最多有個.如圖，正方形ABCD,P是正方形平面外的一點，且PA±平面ABCD則在△PAB.APBC.APCD.APAD.APAC及^PBD中，為直角三角形有個.兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影一定是平行直線；兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交直線；兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線;一個銳角在平面內(nèi)的射影一定是銳角.個.(1)(2)(3)(4)其中假命題的共有14.三、15.,若一個直角在平面a內(nèi)的射影是一個角，則該角最大為—解答題已知直線a〃平面a,直線bL平面a,求證：a±b.ZBAC在平面a內(nèi)，點P?a,PE±AB,PF±AC,PO±a，垂足分別求證：匕BAO=/CAO,已知：點P與直線a,試證；過點P與a垂直的直線共面.四面體ABCD的棱ABXCD的充要條件是AC2+BD=AD2+BC2.18.已知在如圖中是E、F、O,PE=PF,四、思考題對于一個三角形，它的三條高線總相交于一點，而對于一個四面體，它的四條高線是否總相交于一點呢若不總相交于一點，則怎樣的四面體其四條高線才相交于一點呢這是一個美麗而非凡的問題，請讀者進行研究拓展.?參考答案?一、選擇題1.D2.B3.B4.C5.A6.A7.C8.D二、填空題9."22210.③、④11.412.513.414.180°三、解答題證明：設(shè)B為過a的平面，且aCB=l.?.?a〃a，.?.a〃l.Vb±l，Ab±a.證明：?.?ABL面叩，Bq為AR在平面B1C上的射影，且B1E±BC1，A由三垂線定理知TOC\o"1-5"\h\zBEXAC.111111jtvAAX面AC，AB=BC，AC±BD，AC是AC在面AC上的射影111111111111..?由三垂線定理得AC1±B1D1.又?.?B1ECB1D1=B1，111.??ac1平面Ebd1.11117.證明:VSA±面ABC，BC1面ABC，ASAXBC.又VABXBC且SACAB=A，.\BC±面SAB，AQi面SAB.,\BC±AQ，又AQ±SB，BCnSB=B.VAQ±面SBC.?.?PQ是斜線AP在平面SBC上的射影，又VAQXSC，..?由三垂線定理的逆定理可得PQXSC.證明:VPO±a，PE=PF，.?.OE=OF，又VPEXAB.PF±AC，...OELAB、OF±AC.故RtAAOE^RtAAOF，；,ZBAO=ZCAO.證明：如圖，在點P和直線a所在的平面B內(nèi)，過點P作直線a的垂線b，設(shè)垂足為A.設(shè)過點P與B垂直的直線為c，則必有c±a，再設(shè)由b、c確定的平面為a，則必有a±a.設(shè)l是過點P與a垂直的直線，下證：lla.若l?a，設(shè)由l與c確定的平面為a'，則由a±l，a±c，lnc=P，?a±a'，這樣平面a與a'都是過點P與直線a垂直的平面.這是一個錯誤的結(jié)論，因此，假設(shè)不成立，故必有l(wèi)la，也就是說過點P與a垂直的直線均在平面a內(nèi)，于是本題獲證.證明：先證必要性：過B作CD的垂線，垂足E,連AE,VCDXAB,.\CD±平面ABE,ACDXAE.???AC2=AE2+CE2、BD2=BE2+DE2;又有AD2=AE2+DE2、BC2=BE2+CE2.AC2+BD2=AE2+BE2+CE2+DE2,而AD2+BC2=AE2+BE2+CE2+DE2.???AC2+BD2=AD2+BC2.再證充分性：過a點作CD的垂線，垂足設(shè)為F,于是有:AD2=AF2+DF2、BC2=BE2+CE2;AC2=AF2+CF2、BD2=BE2+DE2;VAD2+BC2=AC2+BD2；.?.AF2+DF2+BE2+CE2=AF2+CF2+BE2+DE2.DF2+CE2=CF2+DE2，???DF2—CF2=DE2—CE2,?..(DF+CF)(DF-CF)=(DE+CE)(DE-CE),...DF—CF=DE—CE....DF+CE=DE+C