二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、復(fù)習(xí)回顧初中階段我們學(xué)了二次函數(shù)的哪些知識(shí)？二次函數(shù)的概念；2、二次函數(shù)的解析式有三種形式：一般兩根三頂點(diǎn)；3、二次函數(shù)的圖像畫(huà)法、性質(zhì)特征；函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)（1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大，（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，練：求二次函數(shù)的最小值。思考：求函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最值？函數(shù)在區(qū)間上的最小值？函數(shù)在上的最大值。二、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值研究。（一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。此類問(wèn)題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1.函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。解：函數(shù)是定義在區(qū)間[0，3]上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸方程是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），且其圖象開(kāi)口向下，顯然其對(duì)稱軸在［0，3］上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。圖12、軸定區(qū)間變二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例2.如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。解：函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），圖象開(kāi)口向上。如圖1所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時(shí)，有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。圖1如圖2所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。圖2如圖3所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值綜上討論，圖33、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例3.求函數(shù)在上的最大值。解：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，應(yīng)分，，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3）時(shí)；由圖可知；即通過(guò)以上幾個(gè)問(wèn)題的分析可知，不管是哪種形式的二次函數(shù)的最值總在對(duì)稱軸的位置或定義域的兩個(gè)端點(diǎn)處取得，而我們要知道二次函數(shù)最值是在這三個(gè)位置中的哪個(gè)位置，所要做的工作就是去分析圖像，討論對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系。以上問(wèn)題都是利用解析式和區(qū)間求最值得問(wèn)題，我們稱之為正向型問(wèn)題。（二）、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例4.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。解：（1）若，不符合題意。（2）若則由，得（3）若時(shí)，則由，得綜上知或例5.已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值。這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過(guò)程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過(guò)程就簡(jiǎn)明多了。具體解法為：（1）令，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程為，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意；（3）若，得此時(shí)拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意。綜上，或解后反思：若函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸均不確定，且動(dòng)區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點(diǎn)、頂點(diǎn)處取得，不妨令之為最值，驗(yàn)證參數(shù)的資格，進(jìn)行取舍，從而避開(kāi)繁難的分類討論，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。三、課后小結(jié)：影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素：拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和區(qū)間的位置。這是我們研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值得關(guān)鍵。按函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論。一般分為：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。分析：將配方，得頂點(diǎn)為、對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，它的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在[m，n]上的最值：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當(dāng)時(shí)若，由在上是增函數(shù)則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數(shù)則的最大值是，最小值