復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（complexnetwork），是復(fù)雜系統(tǒng)研究的拓?fù)浠A(chǔ)。近幾年發(fā)展起來(lái)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法，是現(xiàn)代復(fù)雜性科學(xué)的一個(gè)重要分支，它為人們認(rèn)識(shí)系統(tǒng)復(fù)雜性提供了一個(gè)新的視角。

該分支，以具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無(wú)標(biāo)度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，主要研究網(wǎng)絡(luò)的幾何性質(zhì)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，研究網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、網(wǎng)絡(luò)演化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，以及網(wǎng)絡(luò)形成與演化的動(dòng)力學(xué)機(jī)制等。第1頁(yè)/共54頁(yè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（complexnetwork），是復(fù)雜系1一、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與方法簡(jiǎn)介（一）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的概念

簡(jiǎn)而言之，所謂復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)即呈現(xiàn)高度復(fù)雜性的網(wǎng)絡(luò)。其復(fù)雜性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）結(jié)構(gòu)復(fù)雜，表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)數(shù)目巨大，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)多種不同特征。（2）網(wǎng)絡(luò)進(jìn)化，表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)或連接的產(chǎn)生與消失。例如WorldwideNetwork，網(wǎng)頁(yè)或鏈接隨時(shí)可能出現(xiàn)或斷開，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化。（3）連接多樣性，節(jié)點(diǎn)之間的連接權(quán)重存在差異，且有可能存在方向性。第2頁(yè)/共54頁(yè)一、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與方法簡(jiǎn)介第2頁(yè)/共54頁(yè)2（4）動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性，節(jié)點(diǎn)集可能屬于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)隨時(shí)間發(fā)生復(fù)雜變化。（5）節(jié)點(diǎn)多樣性，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)可以代表任何事物，例如，人際關(guān)系構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代表單獨(dú)個(gè)體，萬(wàn)維網(wǎng)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代表不同網(wǎng)頁(yè)。（6）多重復(fù)雜性融合，多重復(fù)雜性相互影響，導(dǎo)致更為難以預(yù)料的結(jié)果。第3頁(yè)/共54頁(yè)（4）動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性，節(jié)點(diǎn)集可能屬于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)3（二）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)的圖論網(wǎng)絡(luò)相比較，具有幾個(gè)方面的顯著不同之處：

（1）以節(jié)點(diǎn)的數(shù)量來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)皆屬于小網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)數(shù)不過(guò)數(shù)十個(gè)至上百個(gè)（特殊情況才會(huì)到百個(gè)點(diǎn)），但復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，少則數(shù)千個(gè)多則達(dá)百萬(wàn)個(gè)，數(shù)量的增加使得網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度大大的提高。

（2）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)給人們帶來(lái)了一種新視野，讓人們發(fā)掘出在復(fù)雜的點(diǎn)邊關(guān)系中所潛伏的規(guī)律或普遍存在的特性，以及其物理學(xué)、社會(huì)學(xué)或生物學(xué)意義，這是以往的傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)所不及的。第4頁(yè)/共54頁(yè)（二）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別第4頁(yè)/共54頁(yè)4（3）從研究方法來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)研究，主要依賴數(shù)理推導(dǎo)和作圖技巧研究小網(wǎng)絡(luò)，但是面對(duì)數(shù)量級(jí)倍增的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，必須借助于計(jì)算機(jī)完成大量的計(jì)算和作圖任務(wù)。

（4）從研究議題而言，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)所涵蓋的議題相當(dāng)廣泛，橫跨了自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。第5頁(yè)/共54頁(yè)（3）從研究方法來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)研究，主要依賴數(shù)理推導(dǎo)和作圖5（三）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，包括：度及其分布特征、平均路徑長(zhǎng)度、群聚系數(shù)、介數(shù)等。（1）度與度分布

數(shù)學(xué)圖論中定義，網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度，指該節(jié)點(diǎn)擁有的邊的個(gè)數(shù)。

度分布，是指不同的度在網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的概率分布。

通常我們定義網(wǎng)絡(luò)的度分布

，為網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)占節(jié)點(diǎn)總個(gè)數(shù)的比例。

第6頁(yè)/共54頁(yè)（三）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)第6頁(yè)/共54頁(yè)6

也等于在隨機(jī)一致的原則下挑選出具有節(jié)點(diǎn)度為k的概率。對(duì)任一給定的網(wǎng)絡(luò)，可用直方圖來(lái)表示，而這直方圖就是網(wǎng)絡(luò)的度分布（以下簡(jiǎn)稱度分布）。

網(wǎng)絡(luò)的度分布的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步定義網(wǎng)絡(luò)的

累計(jì)度分布：第7頁(yè)/共54頁(yè)也等于在隨機(jī)一致的原則下挑選出具有7

圖8.3.1給出了泊松度分布和冪律度分布。

其中，泊松分布是一個(gè)山峰形的分布，其平均度在網(wǎng)絡(luò)中擁有最大的出現(xiàn)概率，而隨著偏離平均度的程度越大，它出現(xiàn)概率越小。

冪律度分布，則呈現(xiàn)出胖尾的直線分布，表示隨著度數(shù)的增加，擁有這樣度數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)將隨之減少。第8頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.1給出了泊松度分布和冪律度分布。第8頁(yè)/共8圖8.3.1

兩種度分布：泊松分布(a)與冪律分布(b)第9頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.1兩種度分布：泊松分布(a)與冪律分布(b)9（2）距離與平均路徑長(zhǎng)度

在網(wǎng)絡(luò)研究中，一般定義：

兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離（路徑長(zhǎng)度）為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間最短路徑的長(zhǎng)度；

網(wǎng)絡(luò)的直徑為任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最大距離；

網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度則是所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間距離的平均值，它描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的分離程度。

第10頁(yè)/共54頁(yè)（2）距離與平均路徑長(zhǎng)度第10頁(yè)/共54頁(yè)10網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度的計(jì)算公式為式中：表示從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的最短路徑長(zhǎng)度，N表示節(jié)點(diǎn)總數(shù)。式中的定義包含了從每個(gè)節(jié)點(diǎn)到其自身的距離（為0），且排除了網(wǎng)絡(luò)中存在孤立點(diǎn)的問題。

（8.3.7）第11頁(yè)/共54頁(yè)網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度的計(jì)算公式為（8.3.7）第11頁(yè)/共5411（3）群聚系數(shù)

群聚系數(shù)，也稱集群系數(shù)，是用來(lái)衡量一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)之間結(jié)集成團(tuán)的程度的指標(biāo)。節(jié)點(diǎn)i

的群聚系數(shù)的定義如下：網(wǎng)絡(luò)的群聚系數(shù)，被定義為各節(jié)點(diǎn)群聚系數(shù)的平均值，即：第12頁(yè)/共54頁(yè)（3）群聚系數(shù)第12頁(yè)/共54頁(yè)12

賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)（對(duì)邊賦權(quán)），其節(jié)點(diǎn)i的群聚系數(shù)被定義為:第13頁(yè)/共54頁(yè)第13頁(yè)/共54頁(yè)13（4）介數(shù)

介數(shù)，分為兩種，即節(jié)點(diǎn)介數(shù)和邊介數(shù)。節(jié)點(diǎn)（邊）的介數(shù)，是指網(wǎng)絡(luò)中所有的最短路徑中經(jīng)過(guò)該節(jié)點(diǎn)（邊）的數(shù)量比例。介數(shù)反映了相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)或邊在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的作用和影響力。

節(jié)點(diǎn)k的介數(shù)，可以通過(guò)下式計(jì)算：式中：為連接節(jié)點(diǎn)i和j，且通過(guò)節(jié)點(diǎn)k的最短路徑數(shù)；

為連接節(jié)點(diǎn)i和j的最短路徑數(shù)。第14頁(yè)/共54頁(yè)（4）介數(shù)第14頁(yè)/共54頁(yè)14（四）小世界網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，一般具有兩個(gè)共性，即小世界網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。1.小世界網(wǎng)絡(luò)

小世界網(wǎng)絡(luò)，描述了許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)共性，即：大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)盡管規(guī)模很大，但是任意兩個(gè)節(jié)（頂）點(diǎn)間卻存在一條相當(dāng)短的路徑。

例如，在龐大的人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，人與人相互認(rèn)識(shí)的很少，但是任何一個(gè)人卻可以找到一條相當(dāng)短的路徑，去結(jié)識(shí)他不認(rèn)識(shí)的距他很遠(yuǎn)的其他人。這正如麥克盧漢所說(shuō)，地球變得越來(lái)越小，“地球村”就是對(duì)“小世界”的形象描述。第15頁(yè)/共54頁(yè)（四）小世界網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)第15頁(yè)/共54頁(yè)15小世界網(wǎng)絡(luò)的判定準(zhǔn)則有兩個(gè)：（1）平均路徑長(zhǎng)度短；（2）高集聚系數(shù)。

許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)盡管節(jié)點(diǎn)數(shù)目巨大，但節(jié)點(diǎn)之間的特征路徑長(zhǎng)度則非常小。集聚系數(shù)則是用來(lái)描述“抱團(tuán)”現(xiàn)象的，也就是“你朋友之間相互認(rèn)識(shí)的程度”。

數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的集聚系數(shù)等于與它相連的節(jié)點(diǎn)中相互連接的點(diǎn)對(duì)數(shù)與總點(diǎn)對(duì)數(shù)的比值。高集聚系數(shù)實(shí)際上保證了較小的特征路徑長(zhǎng)度。第16頁(yè)/共54頁(yè)小世界網(wǎng)絡(luò)的判定準(zhǔn)則有兩個(gè)：第16頁(yè)/共54頁(yè)162.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，是指網(wǎng)絡(luò)的度分布滿足冪律分布。也就是說(shuō)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布滿足冪律性質(zhì)，即：

式中：表示度的概率，為冪指數(shù)。

冪律分布這一性質(zhì)，正說(shuō)明了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布與一般隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的不同。第17頁(yè)/共54頁(yè)2.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)第17頁(yè)/共54頁(yè)17

隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布屬于正態(tài)分布，因此有一個(gè)特征度數(shù)，即大部分節(jié)點(diǎn)的度數(shù)都接近它。

無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)的度分布是呈集散分布，大部分節(jié)點(diǎn)之間只有比較少的連接，而少數(shù)節(jié)點(diǎn)有大量的連接。由于不存在特征度數(shù)，因此得名“無(wú)尺度”。第18頁(yè)/共54頁(yè)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布屬于正態(tài)分布，因此有一個(gè)特征度數(shù)18二、應(yīng)用實(shí)例：區(qū)域氣候變化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析總步驟：

運(yùn)用粗?；椒ǎ瑢⑺锬竞恿饔虻臍夂蛞蜃有蛄修D(zhuǎn)化為由5個(gè)特征字符{R,r,e,d,D}構(gòu)成的符號(hào)序列。

然后以符號(hào)序列中的125種3字串組成的氣候因子波動(dòng)模態(tài)為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，并按照時(shí)間順序連邊，構(gòu)建了有向加權(quán)的波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)，

進(jìn)而計(jì)算三種網(wǎng)絡(luò)的度與度分布、聚群系數(shù)、最短平均路徑長(zhǎng)度等動(dòng)力學(xué)統(tǒng)計(jì)量，分析網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性特征。第19頁(yè)/共54頁(yè)二、應(yīng)用實(shí)例：區(qū)域氣候變化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析第19頁(yè)/共54頁(yè)19（一）氣候波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

對(duì)塔里木河流域23個(gè)氣象臺(tái)站的日平均氣溫和日降水量，以粗?；椒ò阎鹑掌骄鶜鉁嘏c日降水量序列轉(zhuǎn)化為由5個(gè)特征字符{R,r,e,d,D}構(gòu)成的符號(hào)序列。

以符號(hào)序列中的125種3字串組成的氣溫和降水量的波動(dòng)模態(tài)為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)（即連續(xù)3日的因子波動(dòng)組合），并按照時(shí)間順序連邊，構(gòu)建一個(gè)有向加權(quán)的氣溫波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（簡(jiǎn)記為TFN）和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（簡(jiǎn)記為PFN），進(jìn)而將氣溫與降水的波動(dòng)模態(tài)信息蘊(yùn)含于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之中。第20頁(yè)/共54頁(yè)（一）氣候波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建第20頁(yè)/共54頁(yè)20

下面以日降水量序列為例，簡(jiǎn)要地介紹TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建步驟：

第一步：資料準(zhǔn)備。以塔里木河流域23個(gè)氣象臺(tái)站1961—2011年的逐日降水量，構(gòu)造時(shí)間序列

，其中，t代表時(shí)間（日期）序號(hào)，n代表臺(tái)站編號(hào)，即：t=1,2,3,…,18626，n=1,2,…,23。

計(jì)算23個(gè)氣象臺(tái)站平均的日降水量序列的值

，即(8.3.13)第21頁(yè)/共54頁(yè)下面以日降水量序列為例，簡(jiǎn)要地介紹TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的21

第二步：粗?；?。

計(jì)算因子序列的波動(dòng)序列

，即

式中：為序列的時(shí)間間隔尺度。在本項(xiàng)研究中，取=2，即任意連續(xù)的3天之間的降水量波動(dòng)情況。(8.3.14)

第22頁(yè)/共54頁(yè)第二步：粗粒化。(8.3.14)第22頁(yè)/共522

運(yùn)用最小二乘法擬合出降水量時(shí)間序列P(t)中連續(xù)3日的變化斜率k，即(8.3.15)

第23頁(yè)/共54頁(yè)運(yùn)用最小二乘法擬合出降水量時(shí)間序列P(t)23

計(jì)算降水量序列可能出現(xiàn)的波動(dòng)值的概率式中：為對(duì)應(yīng)一種降水量波動(dòng)模態(tài)x發(fā)生的次數(shù)，

為降水量序列可能出現(xiàn)的波動(dòng)值的概率。(8.3.16)

第24頁(yè)/共54頁(yè)計(jì)算降水量序列可能出現(xiàn)的波動(dòng)值的概率(8.324

將降水量波動(dòng)

劃分為5個(gè)等概率區(qū)間，把落在這5個(gè)區(qū)間的

分別用符號(hào)表示為R，r，e，d，D，即(8.3.17)

第25頁(yè)/共54頁(yè)將降水量波動(dòng)劃分為5個(gè)等概率區(qū)25（8.3.17）式中，符號(hào)R，r，e，

d，D所代表的含義如圖8.3.2所示：圖8.3.2符號(hào)R，r，e，d，D的含義第26頁(yè)/共54頁(yè)（8.3.17）式中，符號(hào)R，r，e，d，D所代表的含義如26

按照上述思想，可把日降水量序列

轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的符號(hào)序列：

對(duì)于日平均氣溫序列

，進(jìn)行類似處理，可以得到其符號(hào)序列：第27頁(yè)/共54頁(yè)按照上述思想，可把日降水量序列27

把氣溫和降水?dāng)?shù)值序列轉(zhuǎn)換為符號(hào)序列過(guò)程中，時(shí)間間隔尺度參數(shù)

的大小代表著時(shí)間序列的不同分辨率。

對(duì)于日平均氣溫序列

和日降水量序列

，分別在不同的時(shí)間間隔尺度

下，對(duì)所構(gòu)件的字符序列中的

，，，

，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，顯示它們均與時(shí)間間隔尺度

滿足冪律關(guān)系：

這反映了氣候波動(dòng)的無(wú)標(biāo)度性。第28頁(yè)/共54頁(yè)把氣溫和降水?dāng)?shù)值序列轉(zhuǎn)換為符號(hào)序列過(guò)程中，時(shí)28第三步：構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

引入一個(gè)加權(quán)網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述降水量序列中各波動(dòng)模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)性和作用，其中網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)就是125個(gè)3元字符串的波動(dòng)模態(tài)；

網(wǎng)絡(luò)的邊為前一個(gè)節(jié)點(diǎn)指向它的下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，即一種模態(tài)向下一個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換，表征了一種降雨過(guò)程向另一種降雨過(guò)程的轉(zhuǎn)變；

連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊的權(quán)重為它們之間多條互不相交的并聯(lián)連接通路數(shù)。第29頁(yè)/共54頁(yè)第三步：構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)第29頁(yè)/共54頁(yè)29例如，在所構(gòu)建的降水量波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，其符號(hào)序列為：eRdDeRdrdeDDDreDDDrDedDdDdedrRreeRrreRedrrDdredDrDDedDereDdDeeRdeeRedrdeDdD

,…….。

以3元字符串的元結(jié)構(gòu){

eRd,DeR,drd,eDD,Dre,DDD,rDe,…}作為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，則網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的有向連接形式為：

RdDeRdrdeDDDreDDDrDedDdDdedrRreeRrreRedrrDdredDrDDedDereDdDeeRdeeRedrdeDdD第30頁(yè)/共54頁(yè)例如，在所構(gòu)建的降水量波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，其符號(hào)序列為：第30頁(yè)/共30

根據(jù)上述步驟，可構(gòu)建體現(xiàn)日平均氣溫與日降水量序列各波動(dòng)模態(tài)間相互作用的有向含權(quán)網(wǎng)絡(luò)圖。

圖8.3.3給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)圖像。第31頁(yè)/共54頁(yè)根據(jù)上述步驟，可構(gòu)建體現(xiàn)日平均氣溫與日降水量序列各波31圖8.3.3(a)TFN和(b)PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)圖像第32頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.3(a)TFN和(b)PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)32

圖8.3.3(a)刻畫了TFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系，其中節(jié)點(diǎn)之間線連的粗細(xì)反映了節(jié)點(diǎn)之間關(guān)聯(lián)程度的強(qiáng)弱。

例如，節(jié)點(diǎn)

RRR與dRR之間的連線最粗，表示這兩種氣溫波動(dòng)模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度最強(qiáng)；

圖8.3.3(b)刻畫了PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系。

例如，節(jié)點(diǎn)DDD與RDD之間的連線最粗，表示這兩種降水波動(dòng)模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度最強(qiáng)。第33頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.3(a)刻畫了TFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)之33（二）氣溫與降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征分析1.度與度分布

在構(gòu)建的TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)之間的邊是按照時(shí)間順序連接的，所以除了首尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，其它節(jié)點(diǎn)的出度和入度必定是相等的.

因此只研究擇節(jié)點(diǎn)的出度，即一種波動(dòng)模式和向另一種模式間的轉(zhuǎn)換，中間沒有其它節(jié)點(diǎn)的中轉(zhuǎn)，所以各種波動(dòng)模態(tài)之間具有短程記憶性，記憶性的強(qiáng)弱可以由度值的大小表示。第34頁(yè)/共54頁(yè)（二）氣溫與降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征分析第34頁(yè)/共54頁(yè)34

表8.3.1和表8.3.2給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度大小的排序。結(jié)果為TFN網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)RRR、dRR、ReR，及PFN網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)rre、

rrr、eee、err，它們的度比較大。

這說(shuō)明在TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)中，這些節(jié)點(diǎn)所代表的波動(dòng)模態(tài)在氣候變化中起到了重要的直接關(guān)聯(lián)作用，各種波動(dòng)模態(tài)向這幾個(gè)重要模態(tài)轉(zhuǎn)換，或被這幾個(gè)重要模態(tài)轉(zhuǎn)換的頻率較高。

所以，塔里木盆地的容易發(fā)生極端高溫、異常干旱的氣候事件。第35頁(yè)/共54頁(yè)表8.3.1和表8.3.2給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)35節(jié)點(diǎn)RRRdRRReRRRdRDRDRRDDDrRreReRRe度254220218206202192182174172170等級(jí)12345678910節(jié)點(diǎn)eeRdddrRRDDRReedRdRrr…DDd

度168166162160158156150…4

等級(jí)11121314151617…125

表8.3.1TFN網(wǎng)絡(luò)中各種節(jié)點(diǎn)的度的排序第36頁(yè)/共54頁(yè)節(jié)點(diǎn)RRRdRRReRRRdRDRDRRDDDrRreReR36節(jié)點(diǎn)rrererrDeRrrRdrerrrdrdDeReDrDR度296292230192190170152150144142等級(jí)12345678910節(jié)點(diǎn)eReeddRDerrRdrdReeddd

RDR

度138136132128124122118…4

等級(jí)11121314151617…125

表8.3.2PFN網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的度的排序第37頁(yè)/共54頁(yè)節(jié)點(diǎn)rrererrDeRrrRdrerrrdrdDeReDr37

對(duì)TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度進(jìn)行字頻統(tǒng)計(jì)，結(jié)果在度較大的前17個(gè)節(jié)點(diǎn)中，TFN中代表急劇上升的網(wǎng)絡(luò)字符R出現(xiàn)的頻率非常高，而代表急劇下降的網(wǎng)絡(luò)字符D非常缺。

從這一側(cè)面可以反映出在全球變暖的大背景之下，急劇上升的氣溫波動(dòng)在氣溫變換中出現(xiàn)的次數(shù)越來(lái)越多。而在PFN中，代表緩慢上升的字符r出現(xiàn)的頻率卻很高，說(shuō)明塔里木河流域的降水總體上呈現(xiàn)出一個(gè)較弱的上升趨勢(shì)。第38頁(yè)/共54頁(yè)對(duì)TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度進(jìn)行字頻統(tǒng)計(jì)，結(jié)果在度較38

圖8.3.4給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布及累計(jì)度分布。

可看出氣溫和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的度分布整體或部分滿足冪律分布，且?guī)в兄匚舶?，這是隨機(jī)連接造成的，但只要確定性占有一定的比例,所有冪律分布的隨機(jī)重尾巴就會(huì)被抑制。TFN的節(jié)點(diǎn)的度近似服從三段冪率分布（圖8.3.4a(1)），因此TFN具有無(wú)標(biāo)度特性，但其度的分布極不均勻，各氣溫波動(dòng)模態(tài)間的重要度相差較大。

第39頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.4給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度39a(1)和b(1)分別為TFN和PFN節(jié)點(diǎn)的度分布，a(2)和b(2)分別為TFN和PFN節(jié)點(diǎn)的累積度分布圖8.3.4TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布及累積度分布第40頁(yè)/共54頁(yè)a(1)和b(1)分別為TFN和PFN節(jié)點(diǎn)的度分布，第40頁(yè)40

經(jīng)過(guò)擬合和統(tǒng)計(jì)計(jì)算，截?cái)帱c(diǎn)

分別為60、100。

第一段指數(shù)

（），

第二段指數(shù)

（），

第三段指數(shù)

（）。

PFN的節(jié)點(diǎn)的度近似服從冪律分布（圖8.3.4b(1)），近似呈現(xiàn)線性關(guān)系，對(duì)線性部分進(jìn)行擬合可得到指數(shù)

（）。

這些結(jié)果表明，氣溫和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)，即TFN和PFN具有無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性。第41頁(yè)/共54頁(yè)經(jīng)過(guò)擬合和統(tǒng)計(jì)計(jì)算，截?cái)帱c(diǎn)分別為641

在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)近似服從衰減的指數(shù)分布（見圖8.3.4a(2)和圖8.3.4b(2)）。

說(shuō)明氣溫和降水波動(dòng)模態(tài)的發(fā)生帶有一定的隨機(jī)性，進(jìn)一步表明它們具有混沌特征。

然而，雖然TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)都服從衰減的指數(shù)分布，但它們的衰減速率明顯不同，TFN快，而PFN慢，這說(shuō)明氣溫系統(tǒng)的漲落快，而降水系統(tǒng)的漲落慢。

第42頁(yè)/共54頁(yè)在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)近似服從衰減的42

綜上結(jié)果：PFN兼有無(wú)標(biāo)度特性和小世界效應(yīng)，均既是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)由為小世界網(wǎng)絡(luò)，

而TFN具有分層性的無(wú)標(biāo)度特性和小世界效應(yīng)，二者為具有無(wú)標(biāo)度特性的小世界網(wǎng)絡(luò)。

這些特性說(shuō)明，氣候過(guò)程既具有確定性特征，又具有混沌特征，其自然變化過(guò)程既具有統(tǒng)一性有具有多樣性。第43頁(yè)/共54頁(yè)綜上結(jié)果：第43頁(yè)/共54頁(yè)432．集群系數(shù)及平均路徑長(zhǎng)度TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度體現(xiàn)了氣溫和降水波動(dòng)模態(tài)向另一種模態(tài)轉(zhuǎn)換經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

在以時(shí)間順序連邊的氣溫和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)代表的波動(dòng)模態(tài)反映了連續(xù)3天的氣溫和降水變化。若兩種波動(dòng)模態(tài)之間轉(zhuǎn)換所經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)越多,則這兩種模態(tài)轉(zhuǎn)換所需要的時(shí)間也就越長(zhǎng)。

因此，網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度體現(xiàn)出了網(wǎng)絡(luò)中任意兩種模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換所要經(jīng)過(guò)的平均時(shí)間。網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度越長(zhǎng)，表明任意兩個(gè)模態(tài)之間的轉(zhuǎn)換，經(jīng)過(guò)中間模態(tài)的過(guò)渡越多，氣候變化過(guò)程越復(fù)雜。第44頁(yè)/共54頁(yè)2．集群系數(shù)及平均路徑長(zhǎng)度第44頁(yè)/共54頁(yè)44

表8.3.3給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的群聚系數(shù)C、平均路徑長(zhǎng)度L及平均節(jié)點(diǎn)度<k>。TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)平均度分別約為22.6124和85.616，表明它們大約分別平均與23和86個(gè)節(jié)點(diǎn)有相互關(guān)系。TFN和PFN的平均路徑長(zhǎng)度分別為4.523和2.667，即TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)中的任意1個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別通過(guò)4～5和2～3節(jié)點(diǎn)就能影響到其它的節(jié)點(diǎn)。

TFN和PFN均具有較高的群聚系數(shù)，較小的平均路徑長(zhǎng)度，具有良好“小世界”典型特征，這進(jìn)一步印證了上述的結(jié)論。第45頁(yè)/共54頁(yè)表8.3.3給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的群聚系數(shù)C、平45

CL<k>TFN網(wǎng)絡(luò)0.69794.523022.6124PFN網(wǎng)絡(luò)0.79662.667385.616

表8.3.3TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的群聚系數(shù)、平均路徑長(zhǎng)度和平均節(jié)點(diǎn)度第46頁(yè)/共54頁(yè)

CL<k>TFN網(wǎng)絡(luò)0.69794.523022.463.節(jié)點(diǎn)的介數(shù)TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的介數(shù)排序結(jié)果，分別見表8.3.4表8.3.5。可以看到，TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)中，各節(jié)點(diǎn)的介數(shù)值之間的存在一定的差異性。

在TFN網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)RRR、DDD、ReR、RRd、DDd、Ree的中介性能力均在3%以上，這

6個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的影響達(dá)到了19.71%，這意味著，在TFN網(wǎng)絡(luò)中，這6個(gè)節(jié)點(diǎn)具有樞紐性的作用。

第47頁(yè)/共54頁(yè)3.節(jié)點(diǎn)的介數(shù)第47頁(yè)/共54頁(yè)47在PFN網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)rre、rr、eee、err

的中介性能力均在3%以上，這4個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的影響到了13.64%。

這意味著在PFN網(wǎng)絡(luò)中，這4個(gè)節(jié)點(diǎn)具有樞紐性的作用。

另外，還發(fā)現(xiàn)在PFN網(wǎng)絡(luò)中,介數(shù)在3%以上的節(jié)點(diǎn)中，代表緩慢上升的字符

r

出現(xiàn)的次數(shù)較多。第48頁(yè)/共54頁(yè)在PFN網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)rre、rr、eee、err48節(jié)點(diǎn)RRRDDDReRRRdDDdReeeeedddeReRReeeR…dRe介數(shù)/%3.563.463.313.213.113.062.962.912.812.662.55

0.10等級(jí)（排序）1234567891011

125表8.3.4TFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的介數(shù)排序第49頁(yè)/共54頁(yè)節(jié)點(diǎn)RRRDDDReRRRdDDdReeeeedddeR49節(jié)點(diǎn)rrerrreeeerrReredrrDrddeReerrRdrr…RDR介數(shù)/%4.853.773.153.112.702.492.462.362.332.262.23

0.06等級(jí)（排序）1234567891011

125表8.3.5PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的介數(shù)排序第50頁(yè)/共54頁(yè)節(jié)點(diǎn)rrerrreeeerrReredrrDrddeReer50（三）基本結(jié)論總結(jié)如下基本結(jié)論：（1）氣溫和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)，即TFN和PFN均表現(xiàn)出較高的集群性和較短的平均路徑長(zhǎng)度；

氣溫波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（TFN）的度分布服從三段和雙段冪律分布，是具有無(wú)標(biāo)度特性的小世界網(wǎng)絡(luò)；

降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（PFN）兼具有無(wú)標(biāo)度特性和小世界效應(yīng)，既是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)又是小世界網(wǎng)絡(luò)。第51頁(yè)/共54頁(yè)（三）基本結(jié)論第51頁(yè)/共54頁(yè)51（2）TFN中的節(jié)點(diǎn)RRR、dRR、ReR，以及PFN中的節(jié)點(diǎn)rre、rrr、eee、err，具有較高的度，說(shuō)明這些節(jié)點(diǎn)代表的氣溫和降水波動(dòng)模態(tài)發(fā)生概率較大。

在TFN和PFN的重要節(jié)點(diǎn)中分別大都包含了R、r和r、e

兩種符號(hào)，這說(shuō)明塔里木河流域的氣溫和降水波動(dòng)，主要以上升為主。第52頁(yè)/共54頁(yè)（2）TFN中的節(jié)點(diǎn)RRR、dRR、ReR，以及PFN中的節(jié)52（3）TFN中的節(jié)點(diǎn)RRR、DDD、ReR、RRd、DDd、Ree和PFN中的節(jié)點(diǎn)rre、rr、eee、err是關(guān)鍵性的樞紐節(jié)點(diǎn)，分別承擔(dān)了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的19.71%和13.64%的中介性功能，這些節(jié)點(diǎn)對(duì)理解氣溫和降水波動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律有一定物理意義。第53頁(yè)/共54頁(yè)（3）TFN中的節(jié)點(diǎn)RRR、DDD、ReR、RRd、DDd、53感謝您的欣賞第54頁(yè)/共54頁(yè)感謝您的欣賞第54頁(yè)/共54頁(yè)54

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（complexnetwork），是復(fù)雜系統(tǒng)研究的拓?fù)浠A(chǔ)。近幾年發(fā)展起來(lái)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法，是現(xiàn)代復(fù)雜性科學(xué)的一個(gè)重要分支，它為人們認(rèn)識(shí)系統(tǒng)復(fù)雜性提供了一個(gè)新的視角。

該分支，以具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無(wú)標(biāo)度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，主要研究網(wǎng)絡(luò)的幾何性質(zhì)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，研究網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、網(wǎng)絡(luò)演化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，以及網(wǎng)絡(luò)形成與演化的動(dòng)力學(xué)機(jī)制等。第1頁(yè)/共54頁(yè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（complexnetwork），是復(fù)雜系55一、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與方法簡(jiǎn)介（一）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的概念

簡(jiǎn)而言之，所謂復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)即呈現(xiàn)高度復(fù)雜性的網(wǎng)絡(luò)。其復(fù)雜性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）結(jié)構(gòu)復(fù)雜，表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)數(shù)目巨大，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)多種不同特征。（2）網(wǎng)絡(luò)進(jìn)化，表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)或連接的產(chǎn)生與消失。例如WorldwideNetwork，網(wǎng)頁(yè)或鏈接隨時(shí)可能出現(xiàn)或斷開，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化。（3）連接多樣性，節(jié)點(diǎn)之間的連接權(quán)重存在差異，且有可能存在方向性。第2頁(yè)/共54頁(yè)一、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論與方法簡(jiǎn)介第2頁(yè)/共54頁(yè)56（4）動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性，節(jié)點(diǎn)集可能屬于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)隨時(shí)間發(fā)生復(fù)雜變化。（5）節(jié)點(diǎn)多樣性，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)可以代表任何事物，例如，人際關(guān)系構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代表單獨(dú)個(gè)體，萬(wàn)維網(wǎng)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)代表不同網(wǎng)頁(yè)。（6）多重復(fù)雜性融合，多重復(fù)雜性相互影響，導(dǎo)致更為難以預(yù)料的結(jié)果。第3頁(yè)/共54頁(yè)（4）動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性，節(jié)點(diǎn)集可能屬于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)57（二）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)的圖論網(wǎng)絡(luò)相比較，具有幾個(gè)方面的顯著不同之處：

（1）以節(jié)點(diǎn)的數(shù)量來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)皆屬于小網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)數(shù)不過(guò)數(shù)十個(gè)至上百個(gè)（特殊情況才會(huì)到百個(gè)點(diǎn)），但復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，少則數(shù)千個(gè)多則達(dá)百萬(wàn)個(gè)，數(shù)量的增加使得網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度大大的提高。

（2）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)給人們帶來(lái)了一種新視野，讓人們發(fā)掘出在復(fù)雜的點(diǎn)邊關(guān)系中所潛伏的規(guī)律或普遍存在的特性，以及其物理學(xué)、社會(huì)學(xué)或生物學(xué)意義，這是以往的傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)所不及的。第4頁(yè)/共54頁(yè)（二）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別第4頁(yè)/共54頁(yè)58（3）從研究方法來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)研究，主要依賴數(shù)理推導(dǎo)和作圖技巧研究小網(wǎng)絡(luò)，但是面對(duì)數(shù)量級(jí)倍增的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，必須借助于計(jì)算機(jī)完成大量的計(jì)算和作圖任務(wù)。

（4）從研究議題而言，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)所涵蓋的議題相當(dāng)廣泛，橫跨了自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。第5頁(yè)/共54頁(yè)（3）從研究方法來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)研究，主要依賴數(shù)理推導(dǎo)和作圖59（三）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，包括：度及其分布特征、平均路徑長(zhǎng)度、群聚系數(shù)、介數(shù)等。（1）度與度分布

數(shù)學(xué)圖論中定義，網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度，指該節(jié)點(diǎn)擁有的邊的個(gè)數(shù)。

度分布，是指不同的度在網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的概率分布。

通常我們定義網(wǎng)絡(luò)的度分布

，為網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)占節(jié)點(diǎn)總個(gè)數(shù)的比例。

第6頁(yè)/共54頁(yè)（三）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)第6頁(yè)/共54頁(yè)60

也等于在隨機(jī)一致的原則下挑選出具有節(jié)點(diǎn)度為k的概率。對(duì)任一給定的網(wǎng)絡(luò)，可用直方圖來(lái)表示，而這直方圖就是網(wǎng)絡(luò)的度分布（以下簡(jiǎn)稱度分布）。

網(wǎng)絡(luò)的度分布的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步定義網(wǎng)絡(luò)的

累計(jì)度分布：第7頁(yè)/共54頁(yè)也等于在隨機(jī)一致的原則下挑選出具有61

圖8.3.1給出了泊松度分布和冪律度分布。

其中，泊松分布是一個(gè)山峰形的分布，其平均度在網(wǎng)絡(luò)中擁有最大的出現(xiàn)概率，而隨著偏離平均度的程度越大，它出現(xiàn)概率越小。

冪律度分布，則呈現(xiàn)出胖尾的直線分布，表示隨著度數(shù)的增加，擁有這樣度數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)將隨之減少。第8頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.1給出了泊松度分布和冪律度分布。第8頁(yè)/共62圖8.3.1

兩種度分布：泊松分布(a)與冪律分布(b)第9頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.1兩種度分布：泊松分布(a)與冪律分布(b)63（2）距離與平均路徑長(zhǎng)度

在網(wǎng)絡(luò)研究中，一般定義：

兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離（路徑長(zhǎng)度）為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間最短路徑的長(zhǎng)度；

網(wǎng)絡(luò)的直徑為任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最大距離；

網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度則是所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間距離的平均值，它描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的分離程度。

第10頁(yè)/共54頁(yè)（2）距離與平均路徑長(zhǎng)度第10頁(yè)/共54頁(yè)64網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度的計(jì)算公式為式中：表示從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的最短路徑長(zhǎng)度，N表示節(jié)點(diǎn)總數(shù)。式中的定義包含了從每個(gè)節(jié)點(diǎn)到其自身的距離（為0），且排除了網(wǎng)絡(luò)中存在孤立點(diǎn)的問題。

（8.3.7）第11頁(yè)/共54頁(yè)網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度的計(jì)算公式為（8.3.7）第11頁(yè)/共5465（3）群聚系數(shù)

群聚系數(shù)，也稱集群系數(shù)，是用來(lái)衡量一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)之間結(jié)集成團(tuán)的程度的指標(biāo)。節(jié)點(diǎn)i

的群聚系數(shù)的定義如下：網(wǎng)絡(luò)的群聚系數(shù)，被定義為各節(jié)點(diǎn)群聚系數(shù)的平均值，即：第12頁(yè)/共54頁(yè)（3）群聚系數(shù)第12頁(yè)/共54頁(yè)66

賦權(quán)網(wǎng)絡(luò)（對(duì)邊賦權(quán)），其節(jié)點(diǎn)i的群聚系數(shù)被定義為:第13頁(yè)/共54頁(yè)第13頁(yè)/共54頁(yè)67（4）介數(shù)

介數(shù)，分為兩種，即節(jié)點(diǎn)介數(shù)和邊介數(shù)。節(jié)點(diǎn)（邊）的介數(shù)，是指網(wǎng)絡(luò)中所有的最短路徑中經(jīng)過(guò)該節(jié)點(diǎn)（邊）的數(shù)量比例。介數(shù)反映了相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)或邊在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的作用和影響力。

節(jié)點(diǎn)k的介數(shù)，可以通過(guò)下式計(jì)算：式中：為連接節(jié)點(diǎn)i和j，且通過(guò)節(jié)點(diǎn)k的最短路徑數(shù)；

為連接節(jié)點(diǎn)i和j的最短路徑數(shù)。第14頁(yè)/共54頁(yè)（4）介數(shù)第14頁(yè)/共54頁(yè)68（四）小世界網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，一般具有兩個(gè)共性，即小世界網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。1.小世界網(wǎng)絡(luò)

小世界網(wǎng)絡(luò)，描述了許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)共性，即：大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)盡管規(guī)模很大，但是任意兩個(gè)節(jié)（頂）點(diǎn)間卻存在一條相當(dāng)短的路徑。

例如，在龐大的人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，人與人相互認(rèn)識(shí)的很少，但是任何一個(gè)人卻可以找到一條相當(dāng)短的路徑，去結(jié)識(shí)他不認(rèn)識(shí)的距他很遠(yuǎn)的其他人。這正如麥克盧漢所說(shuō)，地球變得越來(lái)越小，“地球村”就是對(duì)“小世界”的形象描述。第15頁(yè)/共54頁(yè)（四）小世界網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)第15頁(yè)/共54頁(yè)69小世界網(wǎng)絡(luò)的判定準(zhǔn)則有兩個(gè)：（1）平均路徑長(zhǎng)度短；（2）高集聚系數(shù)。

許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)盡管節(jié)點(diǎn)數(shù)目巨大，但節(jié)點(diǎn)之間的特征路徑長(zhǎng)度則非常小。集聚系數(shù)則是用來(lái)描述“抱團(tuán)”現(xiàn)象的，也就是“你朋友之間相互認(rèn)識(shí)的程度”。

數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的集聚系數(shù)等于與它相連的節(jié)點(diǎn)中相互連接的點(diǎn)對(duì)數(shù)與總點(diǎn)對(duì)數(shù)的比值。高集聚系數(shù)實(shí)際上保證了較小的特征路徑長(zhǎng)度。第16頁(yè)/共54頁(yè)小世界網(wǎng)絡(luò)的判定準(zhǔn)則有兩個(gè)：第16頁(yè)/共54頁(yè)702.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，是指網(wǎng)絡(luò)的度分布滿足冪律分布。也就是說(shuō)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布滿足冪律性質(zhì)，即：

式中：表示度的概率，為冪指數(shù)。

冪律分布這一性質(zhì)，正說(shuō)明了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布與一般隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的不同。第17頁(yè)/共54頁(yè)2.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)第17頁(yè)/共54頁(yè)71

隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布屬于正態(tài)分布，因此有一個(gè)特征度數(shù)，即大部分節(jié)點(diǎn)的度數(shù)都接近它。

無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)的度分布是呈集散分布，大部分節(jié)點(diǎn)之間只有比較少的連接，而少數(shù)節(jié)點(diǎn)有大量的連接。由于不存在特征度數(shù)，因此得名“無(wú)尺度”。第18頁(yè)/共54頁(yè)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布屬于正態(tài)分布，因此有一個(gè)特征度數(shù)72二、應(yīng)用實(shí)例：區(qū)域氣候變化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析總步驟：

運(yùn)用粗?；椒?，將塔里木河流域的氣候因子序列轉(zhuǎn)化為由5個(gè)特征字符{R,r,e,d,D}構(gòu)成的符號(hào)序列。

然后以符號(hào)序列中的125種3字串組成的氣候因子波動(dòng)模態(tài)為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，并按照時(shí)間順序連邊，構(gòu)建了有向加權(quán)的波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)，

進(jìn)而計(jì)算三種網(wǎng)絡(luò)的度與度分布、聚群系數(shù)、最短平均路徑長(zhǎng)度等動(dòng)力學(xué)統(tǒng)計(jì)量，分析網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性特征。第19頁(yè)/共54頁(yè)二、應(yīng)用實(shí)例：區(qū)域氣候變化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析第19頁(yè)/共54頁(yè)73（一）氣候波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

對(duì)塔里木河流域23個(gè)氣象臺(tái)站的日平均氣溫和日降水量，以粗?；椒ò阎鹑掌骄鶜鉁嘏c日降水量序列轉(zhuǎn)化為由5個(gè)特征字符{R,r,e,d,D}構(gòu)成的符號(hào)序列。

以符號(hào)序列中的125種3字串組成的氣溫和降水量的波動(dòng)模態(tài)為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)（即連續(xù)3日的因子波動(dòng)組合），并按照時(shí)間順序連邊，構(gòu)建一個(gè)有向加權(quán)的氣溫波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（簡(jiǎn)記為TFN）和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（簡(jiǎn)記為PFN），進(jìn)而將氣溫與降水的波動(dòng)模態(tài)信息蘊(yùn)含于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之中。第20頁(yè)/共54頁(yè)（一）氣候波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建第20頁(yè)/共54頁(yè)74

下面以日降水量序列為例，簡(jiǎn)要地介紹TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建步驟：

第一步：資料準(zhǔn)備。以塔里木河流域23個(gè)氣象臺(tái)站1961—2011年的逐日降水量，構(gòu)造時(shí)間序列

，其中，t代表時(shí)間（日期）序號(hào)，n代表臺(tái)站編號(hào)，即：t=1,2,3,…,18626，n=1,2,…,23。

計(jì)算23個(gè)氣象臺(tái)站平均的日降水量序列的值

，即(8.3.13)第21頁(yè)/共54頁(yè)下面以日降水量序列為例，簡(jiǎn)要地介紹TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的75

第二步：粗?；?/p>

計(jì)算因子序列的波動(dòng)序列

，即

式中：為序列的時(shí)間間隔尺度。在本項(xiàng)研究中，取=2，即任意連續(xù)的3天之間的降水量波動(dòng)情況。(8.3.14)

第22頁(yè)/共54頁(yè)第二步：粗?；?。(8.3.14)第22頁(yè)/共576

運(yùn)用最小二乘法擬合出降水量時(shí)間序列P(t)中連續(xù)3日的變化斜率k，即(8.3.15)

第23頁(yè)/共54頁(yè)運(yùn)用最小二乘法擬合出降水量時(shí)間序列P(t)77

計(jì)算降水量序列可能出現(xiàn)的波動(dòng)值的概率式中：為對(duì)應(yīng)一種降水量波動(dòng)模態(tài)x發(fā)生的次數(shù)，

為降水量序列可能出現(xiàn)的波動(dòng)值的概率。(8.3.16)

第24頁(yè)/共54頁(yè)計(jì)算降水量序列可能出現(xiàn)的波動(dòng)值的概率(8.378

將降水量波動(dòng)

劃分為5個(gè)等概率區(qū)間，把落在這5個(gè)區(qū)間的

分別用符號(hào)表示為R，r，e，d，D，即(8.3.17)

第25頁(yè)/共54頁(yè)將降水量波動(dòng)劃分為5個(gè)等概率區(qū)79（8.3.17）式中，符號(hào)R，r，e，

d，D所代表的含義如圖8.3.2所示：圖8.3.2符號(hào)R，r，e，d，D的含義第26頁(yè)/共54頁(yè)（8.3.17）式中，符號(hào)R，r，e，d，D所代表的含義如80

按照上述思想，可把日降水量序列

轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的符號(hào)序列：

對(duì)于日平均氣溫序列

，進(jìn)行類似處理，可以得到其符號(hào)序列：第27頁(yè)/共54頁(yè)按照上述思想，可把日降水量序列81

把氣溫和降水?dāng)?shù)值序列轉(zhuǎn)換為符號(hào)序列過(guò)程中，時(shí)間間隔尺度參數(shù)

的大小代表著時(shí)間序列的不同分辨率。

對(duì)于日平均氣溫序列

和日降水量序列

，分別在不同的時(shí)間間隔尺度

下，對(duì)所構(gòu)件的字符序列中的

，，，

，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，顯示它們均與時(shí)間間隔尺度

滿足冪律關(guān)系：

這反映了氣候波動(dòng)的無(wú)標(biāo)度性。第28頁(yè)/共54頁(yè)把氣溫和降水?dāng)?shù)值序列轉(zhuǎn)換為符號(hào)序列過(guò)程中，時(shí)82第三步：構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

引入一個(gè)加權(quán)網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述降水量序列中各波動(dòng)模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)性和作用，其中網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)就是125個(gè)3元字符串的波動(dòng)模態(tài)；

網(wǎng)絡(luò)的邊為前一個(gè)節(jié)點(diǎn)指向它的下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，即一種模態(tài)向下一個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換，表征了一種降雨過(guò)程向另一種降雨過(guò)程的轉(zhuǎn)變；

連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊的權(quán)重為它們之間多條互不相交的并聯(lián)連接通路數(shù)。第29頁(yè)/共54頁(yè)第三步：構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)第29頁(yè)/共54頁(yè)83例如，在所構(gòu)建的降水量波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，其符號(hào)序列為：eRdDeRdrdeDDDreDDDrDedDdDdedrRreeRrreRedrrDdredDrDDedDereDdDeeRdeeRedrdeDdD

,…….。

以3元字符串的元結(jié)構(gòu){

eRd,DeR,drd,eDD,Dre,DDD,rDe,…}作為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，則網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的有向連接形式為：

RdDeRdrdeDDDreDDDrDedDdDdedrRreeRrreRedrrDdredDrDDedDereDdDeeRdeeRedrdeDdD第30頁(yè)/共54頁(yè)例如，在所構(gòu)建的降水量波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，其符號(hào)序列為：第30頁(yè)/共84

根據(jù)上述步驟，可構(gòu)建體現(xiàn)日平均氣溫與日降水量序列各波動(dòng)模態(tài)間相互作用的有向含權(quán)網(wǎng)絡(luò)圖。

圖8.3.3給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)圖像。第31頁(yè)/共54頁(yè)根據(jù)上述步驟，可構(gòu)建體現(xiàn)日平均氣溫與日降水量序列各波85圖8.3.3(a)TFN和(b)PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)圖像第32頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.3(a)TFN和(b)PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)86

圖8.3.3(a)刻畫了TFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系，其中節(jié)點(diǎn)之間線連的粗細(xì)反映了節(jié)點(diǎn)之間關(guān)聯(lián)程度的強(qiáng)弱。

例如，節(jié)點(diǎn)

RRR與dRR之間的連線最粗，表示這兩種氣溫波動(dòng)模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度最強(qiáng)；

圖8.3.3(b)刻畫了PFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系。

例如，節(jié)點(diǎn)DDD與RDD之間的連線最粗，表示這兩種降水波動(dòng)模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度最強(qiáng)。第33頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.3(a)刻畫了TFN網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)之87（二）氣溫與降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征分析1.度與度分布

在構(gòu)建的TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)之間的邊是按照時(shí)間順序連接的，所以除了首尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，其它節(jié)點(diǎn)的出度和入度必定是相等的.

因此只研究擇節(jié)點(diǎn)的出度，即一種波動(dòng)模式和向另一種模式間的轉(zhuǎn)換，中間沒有其它節(jié)點(diǎn)的中轉(zhuǎn)，所以各種波動(dòng)模態(tài)之間具有短程記憶性，記憶性的強(qiáng)弱可以由度值的大小表示。第34頁(yè)/共54頁(yè)（二）氣溫與降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征分析第34頁(yè)/共54頁(yè)88

表8.3.1和表8.3.2給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度大小的排序。結(jié)果為TFN網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)RRR、dRR、ReR，及PFN網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)rre、

rrr、eee、err，它們的度比較大。

這說(shuō)明在TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)中，這些節(jié)點(diǎn)所代表的波動(dòng)模態(tài)在氣候變化中起到了重要的直接關(guān)聯(lián)作用，各種波動(dòng)模態(tài)向這幾個(gè)重要模態(tài)轉(zhuǎn)換，或被這幾個(gè)重要模態(tài)轉(zhuǎn)換的頻率較高。

所以，塔里木盆地的容易發(fā)生極端高溫、異常干旱的氣候事件。第35頁(yè)/共54頁(yè)表8.3.1和表8.3.2給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)89節(jié)點(diǎn)RRRdRRReRRRdRDRDRRDDDrRreReRRe度254220218206202192182174172170等級(jí)12345678910節(jié)點(diǎn)eeRdddrRRDDRReedRdRrr…DDd

度168166162160158156150…4

等級(jí)11121314151617…125

表8.3.1TFN網(wǎng)絡(luò)中各種節(jié)點(diǎn)的度的排序第36頁(yè)/共54頁(yè)節(jié)點(diǎn)RRRdRRReRRRdRDRDRRDDDrRreReR90節(jié)點(diǎn)rrererrDeRrrRdrerrrdrdDeReDrDR度296292230192190170152150144142等級(jí)12345678910節(jié)點(diǎn)eReeddRDerrRdrdReeddd

RDR

度138136132128124122118…4

等級(jí)11121314151617…125

表8.3.2PFN網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的度的排序第37頁(yè)/共54頁(yè)節(jié)點(diǎn)rrererrDeRrrRdrerrrdrdDeReDr91

對(duì)TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度進(jìn)行字頻統(tǒng)計(jì)，結(jié)果在度較大的前17個(gè)節(jié)點(diǎn)中，TFN中代表急劇上升的網(wǎng)絡(luò)字符R出現(xiàn)的頻率非常高，而代表急劇下降的網(wǎng)絡(luò)字符D非常缺。

從這一側(cè)面可以反映出在全球變暖的大背景之下，急劇上升的氣溫波動(dòng)在氣溫變換中出現(xiàn)的次數(shù)越來(lái)越多。而在PFN中，代表緩慢上升的字符r出現(xiàn)的頻率卻很高，說(shuō)明塔里木河流域的降水總體上呈現(xiàn)出一個(gè)較弱的上升趨勢(shì)。第38頁(yè)/共54頁(yè)對(duì)TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度進(jìn)行字頻統(tǒng)計(jì)，結(jié)果在度較92

圖8.3.4給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布及累計(jì)度分布。

可看出氣溫和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的度分布整體或部分滿足冪律分布，且?guī)в兄匚舶停@是隨機(jī)連接造成的，但只要確定性占有一定的比例,所有冪律分布的隨機(jī)重尾巴就會(huì)被抑制。TFN的節(jié)點(diǎn)的度近似服從三段冪率分布（圖8.3.4a(1)），因此TFN具有無(wú)標(biāo)度特性，但其度的分布極不均勻，各氣溫波動(dòng)模態(tài)間的重要度相差較大。

第39頁(yè)/共54頁(yè)圖8.3.4給出了TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度93a(1)和b(1)分別為TFN和PFN節(jié)點(diǎn)的度分布，a(2)和b(2)分別為TFN和PFN節(jié)點(diǎn)的累積度分布圖8.3.4TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布及累積度分布第40頁(yè)/共54頁(yè)a(1)和b(1)分別為TFN和PFN節(jié)點(diǎn)的度分布，第40頁(yè)94

經(jīng)過(guò)擬合和統(tǒng)計(jì)計(jì)算，截?cái)帱c(diǎn)

分別為60、100。

第一段指數(shù)

（），

第二段指數(shù)

（），

第三段指數(shù)

（）。

PFN的節(jié)點(diǎn)的度近似服從冪律分布（圖8.3.4b(1)），近似呈現(xiàn)線性關(guān)系，對(duì)線性部分進(jìn)行擬合可得到指數(shù)

（）。

這些結(jié)果表明，氣溫和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)，即TFN和PFN具有無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性。第41頁(yè)/共54頁(yè)經(jīng)過(guò)擬合和統(tǒng)計(jì)計(jì)算，截?cái)帱c(diǎn)分別為695

在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)近似服從衰減的指數(shù)分布（見圖8.3.4a(2)和圖8.3.4b(2)）。

說(shuō)明氣溫和降水波動(dòng)模態(tài)的發(fā)生帶有一定的隨機(jī)性，進(jìn)一步表明它們具有混沌特征。

然而，雖然TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)都服從衰減的指數(shù)分布，但它們的衰減速率明顯不同，TFN快，而PFN慢，這說(shuō)明氣溫系統(tǒng)的漲落快，而降水系統(tǒng)的漲落慢。

第42頁(yè)/共54頁(yè)在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)近似服從衰減的96

綜上結(jié)果：PFN兼有無(wú)標(biāo)度特性和小世界效應(yīng)，均既是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)由為小世界網(wǎng)絡(luò)，

而TFN具有分層性的無(wú)標(biāo)度特性和小世界效應(yīng)，二者為具有無(wú)標(biāo)度特性的小世界網(wǎng)絡(luò)。

這些特性說(shuō)明，氣候過(guò)程既具有確定性特征，又具有混沌特征，其自然變化過(guò)程既具有統(tǒng)一性有具有多樣性。第43頁(yè)/共54頁(yè)綜上結(jié)果：第43頁(yè)/共54頁(yè)972．集群系數(shù)及平均路徑長(zhǎng)度TFN和PFN網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度體現(xiàn)了氣溫和降水波動(dòng)模態(tài)向另一種模態(tài)轉(zhuǎn)換經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

在以時(shí)間順序連邊的氣溫和降水波動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)代表的波動(dòng)模態(tài)