《平面向量的數(shù)量積》同步練習(xí)（第一課時(shí)）一、選擇題1．(2022·重慶理，2)已知向量a，b滿足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝()A．0 B．2eq\r(2)C．4 D．8[答案]B[解析]∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴|2a－b|＝2eq\r(2).2．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是()\f(π,6) \f(π,3)\f(2π,3) \f(5π,6)[答案]B[解析]由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,3).[點(diǎn)評(píng)]數(shù)量積運(yùn)算滿足多項(xiàng)式乘法法則及以下乘法公式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，a2－b2＝(a＋b)·(a－b)，|a|2＝a2＝a·a.3．如右圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是()\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→))[答案]A[分析]先搞清所涉及的兩個(gè)向量的夾角，再用數(shù)量積的概念進(jìn)行計(jì)算，最后比較大?。甗解析]設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)是1，則eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))＝1×eq\r(3)×cos30°＝eq\f(3,2)；eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))＝1×2×cos60°＝1；eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))＝1×eq\r(3)×cos90°＝0；eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→))＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2).4．(2022·湖南理，4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－16 B．－8C．8 D．16[答案]D[解析]因?yàn)椤螩＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝AC2＝16.5．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心[答案]D[解析]由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P為△ABC的垂心．6．已知△ABC中，若eq\o(AB2,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))，則△ABC是()A．等邊三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形[答案]C[解析]由eq\o(AB2,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))，得eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝0，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以△ABC是直角三角形，故選C.7．若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．A、B、C均不是[答案]C[解析]由(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，得eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，又∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0.∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.∴△ABC為等腰三角形．[點(diǎn)評(píng)]若設(shè)BC中點(diǎn)為D，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，故由eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0得eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴CB⊥AD，∴AC＝BC.8．(09·陜西文)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PM,\s\up6(→))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))等于()A．－eq\f(4,9) B．－eq\f(4,3)\f(4,3) \f(4,9)[答案]A[解析]如圖，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PM,\s\up6(→))，∴|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·(2eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(AM,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝2×eq\f(1,9)＋2×eq\f(1,3)cos180°＝－eq\f(4,9)，故選A.9．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為()\f(π,6) \f(π,4)\f(π,3) \f(π,2)[答案]C[解析]根據(jù)向量數(shù)量積的意義，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝4cosθ＝2及0≤θ≤π，可得θ＝eq\f(π,3)，選C.10．若|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a與b的夾角為45°，要使kb－a與a垂直，則k＝()A．±2 B．±eq\r(2)\r(2) D．2[答案]D[解析]若kb－a與a垂直，則(kb－a)·a＝0，即ka·b－|a|2＝0，∴k|a|·|b|cos45°－|a|2＝0，解得k＝2.二、填空題11．若非零向量α，β滿足|α＋β|＝|α－β|，則α，β的夾角為_(kāi)_______．[答案]90°[解析]∵|α＋β|＝|α－β|，∴(α＋β)2＝(α－β)2，即α2＋2α·β＋β2＝α2－2α·β＋β2，∴α·β＝0，∴α，β的夾角為90°.12．已知平面上三點(diǎn)A、B、C，滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值等于________．[答案]－25[解析]由條件知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×eq\f(4,5)－15×eq\f(3,5)＝－16－9＝－25.[點(diǎn)評(píng)]注意eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角不是角B，應(yīng)是π－B.13．(08·北京)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值為_(kāi)_______．[答案]0[解析]∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝4×4cos120°＝－8，∴b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝0.14．(09·天津文)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足Ceq\o(M,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)Ceq\o(B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)Ceq\o(A,\s\up6(→))，則Meq\o(A,\s\up6(→))·Meq\o(B,\s\up6(→))＝______________.[答案]－2[解析]∵Ceq\o(M,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)Ceq\o(B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)Ceq\o(A,\s\up6(→))，∴Meq\o(A,\s\up6(→))＝Ceq\o(A,\s\up6(→))－Ceq\o(M,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)Ceq\o(A,\s\up6(→))－eq\f(1,6)Ceq\o(B,\s\up6(→))，Meq\o(B,\s\up6(→))＝Ceq\o(B,\s\up6(→))－Ceq\o(M,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)Ceq\o(B,\s\up6(→))－eq\f(2,3)Ceq\o(A,\s\up6(→)).∴Meq\o(A,\s\up6(→))·Meq\o(B,\s\up6(→))＝－eq\f(2,9)Ceq\o(A,\s\up6(→))2－eq\f(5,36)Ceq\o(B,\s\up6(→))2＋eq\f(7,18)Ceq\o(A,\s\up6(→))·Ceq\o(B,\s\up6(→))＝－eq\f(2,9)×12－eq\f(5,36)×12＋eq\f(7,18)×12×eq\f(1,2)＝－2.三、解答題15．已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝3，a與b夾角為45°，求使a＋λb與λa＋b的夾角為鈍角時(shí)，λ的取值范圍．[解析]由條件知，cos45°＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，∴a·b＝3，設(shè)a＋λb與λa＋b的夾角為θ，則θ為鈍角，∴cosθ＝eq\f((a＋λb)·(λa＋b),|a＋λb|·|λa＋b|)<0，∴(a＋λb)(λa＋b)<0.λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴eq\f(－11－\r(85),6)<λ<eq\f(－11＋\r(85),6).若θ＝180°時(shí)，a＋λb與λa＋b共線且方向相反，∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kλ＝1,λ＝k))，∴k＝λ＝－1，∴eq\f(－11－\r(85),6)<λ<eq\f(－11＋\r(85),6)且λ≠－1.[點(diǎn)評(píng)]本題易忽視θ＝180°時(shí)，也有a·b<0，忘掉考慮夾角不是鈍角而致誤．*16.已知a，b是兩個(gè)非零向量，證明：當(dāng)b與a＋λb(λ∈R)垂直時(shí)，a＋λb的模取到最小值．[解析]當(dāng)b與a＋λb(λ∈R)垂直時(shí)，b·(a＋λb)＝0，∴λ＝－eq\f(a·b,b2).|a＋λb|2＝λ2b2＋2λa·b＋a2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ2＋\f(2λa·b,b2)＋\f(a2,b2)))＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(