湘潭大學(xué)畢業(yè)論文題目：拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用學(xué)院：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)姓名：指導(dǎo)教師：完成日期：2015年5月20日湘潭大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書論文（設(shè)計(jì)）題目拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用指導(dǎo)教師：系主任：一、主要內(nèi)容及基本要求主要內(nèi)容:充分了解拉格朗日公式起源以及背景，研究拉格朗日插值在函數(shù)逼近中問題的適定性,數(shù)值的近似計(jì)算算法，以及拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用.利用拉格朗日中值定理證明不等式;求函數(shù)極限,以及研究函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)的應(yīng)用,基本要求:1、理解拉格朗日插值公式和中值定理的證明2、熟練運(yùn)用線性插值公式和拋物線插值公式3、熟練運(yùn)用拉格朗日中值定理解決函數(shù)極限與不等式證明問題4、用拉格朗日中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)二、重點(diǎn)研究的問題

1、拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用2、拉格朗日的數(shù)值計(jì)算算法編程三、進(jìn)度安排序號(hào)各階段完成的內(nèi)容完成時(shí)間1選題12月25日2收集并閱讀資料、文獻(xiàn)1月15號(hào)一3月6號(hào)3分析討論題目，擬好提綱3月7號(hào)一3月25號(hào)4編寫算法，寫出初稿3月26號(hào)一4月15號(hào)5修改初稿，寫出修改稿4月15號(hào)一4月30號(hào)6寫出定稿5月4號(hào)一5月7號(hào)7準(zhǔn)備答辯5月18日一5月23日8答辯5月24號(hào)四、應(yīng)收集的資料及主要參考文獻(xiàn)[1]黃云清，舒適，陳燕萍，金繼承，文立平編著的《數(shù)值計(jì)算方法》⑵中高等教育出版社發(fā)行，中陳紀(jì)修，於崇華，金路編著的《數(shù)學(xué)分析》第二版上冊(cè)由李慶揚(yáng)，王能超，易大義編寫的《數(shù)值分析》第四版4版.武漢：華中科技大學(xué)出版社.2006年由李培明編寫的《.拉格朗日插值公式的一個(gè)應(yīng)用》高等函授報(bào)（自然科學(xué)版）.1999年第3期.［5］由潘鐵編寫的＜淺談應(yīng)用多項(xiàng)式的拉格朗日插值公式解題＞中等數(shù)學(xué)報(bào).2010年第10期.［6］由張可村，趙英良編寫的《數(shù)值計(jì)算算法與分析》［］^］科學(xué)出版衽2003年湘潭大學(xué)

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）評(píng)閱表畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目評(píng)價(jià)項(xiàng)目評(píng)價(jià)內(nèi)容選題是否符合培養(yǎng)目標(biāo)，體現(xiàn)學(xué)科、專業(yè)特點(diǎn)和教學(xué)計(jì)劃的基本要求，達(dá)到綜合訓(xùn)練的目的；難度、份量是否適當(dāng)；是否與生產(chǎn)、科研、社會(huì)等實(shí)際相結(jié)合。能力是否有查閱文獻(xiàn)、綜合歸納資料的能力；是否有綜合運(yùn)用知識(shí)的能力；是否具備研究方案的設(shè)計(jì)能力、研究方法和手段的運(yùn)用能

力；4.是否具備一定的外文與計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力；5?工科是否有經(jīng)濟(jì)分析能力。論文（設(shè)計(jì)）質(zhì)量立論是否正確，論述是否充分，結(jié)構(gòu)是否嚴(yán)謹(jǐn)合理；實(shí)驗(yàn)是否正確，設(shè)計(jì)、計(jì)算、分析處理是否科學(xué)；技術(shù)用語是否準(zhǔn)確，符號(hào)是否統(tǒng)一，圖表圖紙是否完備、整潔、正確，引文是否規(guī)范；文字是否通順，有無觀點(diǎn)提煉，綜合概括能力如何；有無理論價(jià)值或?qū)嶋H應(yīng)用價(jià)值，有無創(chuàng)新之處。綜合評(píng)價(jià)文章篇幅完全符合學(xué)院規(guī)定，內(nèi)容完整，層次結(jié)構(gòu)安排科學(xué)，主要觀點(diǎn)突出，邏輯關(guān)系清楚，有一定的個(gè)人見解。文題完全相符，論點(diǎn)突出，論述緊扣主題。語言表達(dá)流暢，格式完全符合規(guī)范要求;參考了豐富的文獻(xiàn)資料，其時(shí)效性較強(qiáng)；沒有抄襲現(xiàn)象。在研究拉格朗日插值問題和中值定理問題時(shí)，給出的具體例證比較完全，相應(yīng)算法比較簡(jiǎn)潔明了。評(píng)閱人：年月日湘潭大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）鑒定意見1=1

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)說明書）里湘潭大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）鑒定意見1=1畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)說明書）里頁張圖表14論文（設(shè)計(jì)）題目拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用內(nèi)容提要：論文引言簡(jiǎn)單介紹了拉格朗日插值與中值定理的起源以及背景。在論文的第一部分簡(jiǎn)單的介紹了拉格朗日插值公式的適定性，并詳細(xì)的介紹了兩種簡(jiǎn)單的插值公式:線性插值和拋物線插值。通過數(shù)值的近似計(jì)算算法去實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的插值運(yùn)算，以及拉格朗日插值在資產(chǎn)評(píng)估中的實(shí)際應(yīng)用。分析了插值公式在運(yùn)算中的優(yōu)缺點(diǎn)，以及如何改進(jìn)。在論文的第二個(gè)部分，講述了拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一些運(yùn)算應(yīng)用，如何證明不等式，求函數(shù)的極限問題，需要證明其是否滿足中值定理的條件，提出假設(shè)的函數(shù)，證明原不等式的問題。在最后部分通過拉格朗日中值定理研究函數(shù)區(qū)間上性質(zhì)的問題。例如一階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)凸性的關(guān)系。最后在附錄部分結(jié)合具體算法和流程圖比較全面的展示了拉格朗日插值公式的運(yùn)算過程。指導(dǎo)教師評(píng)語該生畢業(yè)論文主要針對(duì)拉格朗日插值公式和拉格朗日中值定理展開研究，具體分析了插值公式的適定性以及中值定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，能夠熟練的運(yùn)用數(shù)值算法進(jìn)行簡(jiǎn)單的插值逼近的運(yùn)算，用C語言實(shí)現(xiàn)了該插值逼近的算法，程序簡(jiǎn)單明了，理論與實(shí)際結(jié)合緊密。程序算法流程清晰，文章組織基本合理，圖表齊全。在畢業(yè)設(shè)計(jì)及論文撰寫過程中，該同學(xué)態(tài)度端正，學(xué)習(xí)新知識(shí)能力較強(qiáng)，能按時(shí)完成預(yù)定的各項(xiàng)任務(wù)。同意該生參加畢業(yè)論文答辯。建議成績?yōu)橹笇?dǎo)教師：2015年5月22日答辯簡(jiǎn)要情況及評(píng)語根據(jù)答辯情況，答辯小組同意其成績?cè)u(píng)定為答辯小組組長：_2015年5月24日答辯委員會(huì)意見經(jīng)答辯委員會(huì)討論，同意該畢業(yè)論文成績?cè)u(píng)定為答辯委員會(huì)主任：2015年5月27日目錄摘要Abstract第一章:弓I言插值逼近Lagrange插值中值定理——Lagrange中值定理第二章:Lagrange插值Lagrange插值的適定性2.2線性插值和拋物線插值2.2.1線性插值多項(xiàng)式的定義2.2.2拋物線插值多項(xiàng)式的定義2.3拉格朗日的數(shù)值算法計(jì)算（見附錄1）2.4拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用2.4.1資產(chǎn)的評(píng)估公式:理論與實(shí)際生活中的聯(lián)系計(jì)算機(jī)運(yùn)行方法分析2.4.4結(jié)論2.4.5評(píng)價(jià)與總結(jié)第三章：Lagrange中值定理Lagrange中值定理證明不等式Lagrange中值定理求極限Lagrange中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)—階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系二階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)凸性的關(guān)系結(jié)束語參考文獻(xiàn)附錄拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用摘要：本文在引言部分介紹了拉格朗日插值公式和中值定理的起源與背景，并給出其證明過程。在正文的第一部分介紹了拉格朗日插值在函數(shù)逼近中問題的適定性，以及幾種簡(jiǎn)單插值的定義，通過拉格朗日插值數(shù)值計(jì)算的相關(guān)算法研究其在函數(shù)逼近中的應(yīng)用；第二部分則關(guān)鍵研究拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)計(jì)算過程中的相關(guān)應(yīng)用，例如如何用拉格朗日中值定理去求函數(shù)極限，證明不等式，以及研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)等。關(guān)鍵詞:拉格朗日插值公式拉格朗日中值定理函數(shù)逼近數(shù)值算法區(qū)間性質(zhì)LagrangeinterpolationandtheapplicationofthemeanvaluetheoremAbstract：ThisarticleintheintroductionpartintroducestheLagrangeinterpolationformulaandtheoriginofthemeanvaluetheoremandthebackground,andgavetheproofprocess.InthefirstpartofthetextintroducestheLagrangeinterpolationofproblemintheapproximationoffunction,andthedefinitionofseveralsimpleinterpolation,numericalcalculationbyLagrangeinterpolationalgorithmsresearchitsapplicationintheapproximationoffunction;Lagrangemeanvaluetheoreminthesecondpartisthekeyresearchintheprocessofmathematicalcalculationsrelatedapplications,suchaslimit,provinginequalities,andstudythepropertiesofthefunctionontheinterval.LagrangemeanKeyword:LagrangeinterpolationformulavaluetheoremNumericalAlgorithmFunctionApproximationIntervalLagrangemeanNumericalAlgorithm第一章:引言1.1插值逼近Lagrange插值函數(shù)的逼近在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是最基本的問題之一，生活中一些復(fù)雜的函數(shù)，我們很難去求得它的計(jì)算公式，我們即必須得用簡(jiǎn)單的函數(shù)去近似替代，這種類似的替換方法叫做：函數(shù)的逼近。而函數(shù)逼近又分為局部逼近和整體逼近，接下來我們研究的便是函數(shù)逼近中最常用的插值逼近。插值方法的目的是為了尋找一個(gè)簡(jiǎn)單連續(xù)函數(shù)，使得它在n+1個(gè)點(diǎn)處取得定值中(？=j.=f(?(i=0,1...n)。除開上述點(diǎn)以外，簡(jiǎn)單連續(xù)函數(shù)可以近似地表示出函數(shù)。用數(shù)學(xué)的語言表述則是：設(shè)是實(shí)變量的單數(shù)值函數(shù)，并且已知在給出的n+1個(gè)互異點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的數(shù)值為，即。函數(shù)插值的基本性質(zhì)是找到一個(gè)多項(xiàng)式，使得。設(shè)它是一個(gè)次的多項(xiàng)式，中(x)=a+ax+ax2—Faxm，其中()。利用范德蒙行列式可求解上012m述問題，然后得到滿足符合條件的多項(xiàng)式函數(shù)就是插值多項(xiàng)式。它的表述形式為：歹w(x)Ln⑴-七二~dW(x)i=0-(x一x)——x=x.i（1.1.1）dw(x)dxix=x=(x-x)(x-x)???(x-x-x)(x-xdw(x)dxiii0i1ii1in中值定理Lagrange中值定理微分中值定理是一系列中值定理的一個(gè)通用術(shù)語，是微分學(xué)中最基本的定理，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)中研究函數(shù)在區(qū)間上整體性的強(qiáng)有力的工具，而這里向大家介紹的中值定理則是微分中值定理的核心部分。可以說，其他中值定理則是中值定理由一般到特殊的推廣，而中值定理本身在理論和實(shí)踐上都具有很高的研究價(jià)值，本文主要探討了拉格朗日定理的應(yīng)用，并通過具體實(shí)例來證明不等式和研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)。(中值定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，那么至少有一點(diǎn)，使得首先我們來簡(jiǎn)單證明一下中值定理：作一個(gè)輔助函數(shù)：中(x)=f(x)一f(a)一f(?f(a)(x一a),xg(a,b)b一a(1.2.1)由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，所以函數(shù)也在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且有：于是運(yùn)用定理，則知道至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得。對(duì)的表達(dá)式求導(dǎo)，并使對(duì)(1.2.1)求導(dǎo)可得：當(dāng)，時(shí)可得出證明完畢中值定理的條件的任何一個(gè)都不滿足時(shí)，這個(gè)定理是不成立的，見例題1例1：令，在上不連續(xù)，在上可導(dǎo)但不存在使得即中值定理的結(jié)論不成立。在第三章中，將會(huì)陸續(xù)的介紹中值定理在證明不等式，求函數(shù)極限，以及研究函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)中的應(yīng)用。第二章：Lagrange插值2.1Lagrange插值的適定性在引言部分，我們已經(jīng)給出了公式的具體表達(dá)式，接下來將證明插值問題的解存在且唯一。首先來證明插值解的存在性。：為此我們需要構(gòu)造一個(gè)特殊的插值多項(xiàng)式，滿足條件：，(2.1.1)其中，我們稱為(克羅內(nèi)克)符號(hào)。由(2.1.1)可知是次代數(shù)多項(xiàng)式的個(gè)零點(diǎn)。所以也可以表達(dá)成：l3)=c(x-x)...(x-x)(x-x)...(x-x)其中為待定常數(shù)。TOC\o"1-5"\h\zi0i-1i+1n(2.1.2)我們先令=，容易求出：c=[(x-x)…(x-x)(x-x)…(x-x)I1i0ii-1ii+1in(2.1.3)于是將(2.1.3)代入到(2.1.2)中可得到(x-x)…(x-x)(x-x)…(x-x)l(x)=01i+n——i(x-x)…(x-x)(x-x)(x-x)i0ii-1ii+1in(2.1.4)利用上述函數(shù)，容易驗(yàn)證出:(2.1.5)從而滿足插值條件：，存在性得證其次證明唯一性設(shè)次多項(xiàng)式和插值問題的解，則有表達(dá)式：由該等式，可記，則有，并且，即有個(gè)零點(diǎn)，由高等代數(shù)上的基本知識(shí)點(diǎn)可知，如果一個(gè)次代數(shù)多項(xiàng)式至少存在有個(gè)根，則它的表達(dá)式一定恒為零，因此，即唯一性得證2.2線性插值和拋物線插值2.2.1線性插值多項(xiàng)式的定義假定已知區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值為，，并要求線性插值多項(xiàng)式使它滿足以下兩個(gè)條件:，的幾何意義是：通過兩個(gè)點(diǎn)和的直線，如圖1所示的表達(dá)式可由幾何意義直接給出：（點(diǎn)斜式）（兩點(diǎn)式）由兩點(diǎn)式方程可以看出：由兩個(gè)線性函數(shù)，的線性組合得到,（圖1）其中系數(shù)分別為，。顯然和是插值多項(xiàng)式。在節(jié)點(diǎn)和滿足以下條件:，"稱函數(shù)和為一次插值基函數(shù)或線性插值。圖像如下：2.2.2拋物線插值多項(xiàng)式的定義當(dāng)時(shí)，假設(shè)節(jié)點(diǎn)插值為，，，二次的插值多項(xiàng)式為，以使其滿足條件:()，其的幾何意義是：通過三點(diǎn)，，的拋物線。七(七)=1七(七)=0(j=i,i+1)<i(x)=1,i(x)=0(j=i-I,i+1)iiiji+1(X.+1)=1,/,+1(xj)=0(j=i-1,i)例如，因?yàn)樗袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故可以將它表示成。由，得。所以：。同理：，函數(shù)稱為二次插值基函數(shù)或拋物插值基函數(shù)。在區(qū)間上的圖像為：(圖2)基于拋物線插值函數(shù)可以立即得到拋物線插值多項(xiàng)式：L(x)=l(x)j+1(x)j+1(x)JTOC\o"1-5"\h\z2i-1i-1iii+1i+1顯然它滿足條件()即：r/、(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)L(x)=Jii+1+Ji+1i+1—+Jii-12i-1(x-x)(x-x)i(x-x)(x-x)i+1(x-x)(x-x)i-1ii-1i+1iiii+1i+1ii+1i-12.3拉格朗日的數(shù)值算法計(jì)算(見附錄1)下面將用具體的實(shí)例,來演示插值公式的算法，給出一個(gè)簡(jiǎn)單求函數(shù)逼近的例子：已知'.面=10^121=11^144=12，試分別用線性插值和拋物線插值公式求出的近似值。由于在上面章節(jié)中介紹了線性插值公式和拋物線插值公式，只需要套入公式即可求出的近似計(jì)算值，接下來我們用算法，同樣也能求出其近似值。第一步：首先我們輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)2第二步：我們通過算法輸入插值節(jié)點(diǎn)數(shù)(121，11)、(144,12)第三步：我們輸入需要求出的節(jié)點(diǎn)125第四步：運(yùn)算求出結(jié)果（結(jié)果如下所示）請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)=2請(qǐng)輸入各個(gè)插值點(diǎn)的坐標(biāo)二1211114412請(qǐng)輸入插值點(diǎn)?=125F<125.000000>=11.173913通過上述方法，我們同樣可以求出當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為三個(gè)的時(shí)候，的近似值，其計(jì)算結(jié)果如下圖所示。請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)并請(qǐng)輸入各個(gè)插值點(diǎn)的坐標(biāo):100101211114412請(qǐng)輸入插值點(diǎn)X=125F<125.000000>=11.181066通過查表和計(jì)算器計(jì)算可得的近似值為，經(jīng)過比較上述結(jié)果可知，插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，求得的結(jié)果越靠近其實(shí)際值，但插值公式也存在明顯的不足，如果增點(diǎn)一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，那因子也必須重新計(jì)算，影響了實(shí)際的工作效率，在實(shí)際中輸入的插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，雖然求得的數(shù)越精確，但是也會(huì)變得相當(dāng)繁瑣。2.4拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用2.4.1資產(chǎn)的評(píng)估公式：資產(chǎn)=重置所有價(jià)格大幅貶值-功能性貶值-經(jīng)濟(jì)性貶值的價(jià)值它的意義在于，資產(chǎn)評(píng)估在利用現(xiàn)時(shí)的條件下,被評(píng)估的資產(chǎn)在全新狀態(tài)下的重置資本減去各種陳舊貶值后的差額作為被評(píng)估資產(chǎn)的現(xiàn)時(shí)價(jià)值。(引用于百度百科)2.4.2理論與實(shí)際生活中的聯(lián)系假設(shè)某類電子設(shè)備的的功能參數(shù)和價(jià)格，及已知曉該電子設(shè)備的功能參數(shù):，其對(duì)應(yīng)的價(jià)格參數(shù)為:。由圖標(biāo)關(guān)系看出功能參數(shù)與及格的函數(shù)關(guān)系為:假設(shè)在參數(shù)區(qū)間內(nèi)存在一條代數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)曲線，在函數(shù)曲線上所有的數(shù)值都滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用函數(shù)曲線作為的模擬曲線，這就是我們用到的插值法。利用這條曲線，輸入新的插值點(diǎn)，即可重置成本的參考價(jià)格。如右圖所示：而拉格朗日插值多項(xiàng)式為：了/、寸(X-X)…(X-X)(X-X)…(X-X)L(X)=乙y0i-1i+1nni(x-x)???(x-x)(x-x)???(x-x)i=0i0ii-1ii+1in令時(shí)可分別得到線性插值和拋物線插值。如下圖所示：2.4.3計(jì)算機(jī)運(yùn)行方法分析根據(jù)上述分析，如若電氣設(shè)備的信息點(diǎn)越多，曲線的擬合度就變得越加復(fù)雜，而評(píng)估的準(zhǔn)確率就會(huì)更高，計(jì)算公式就會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜，這時(shí)我們需要借助計(jì)算機(jī)。把表達(dá)式化成：由上述公式和2.3中的數(shù)值算法可以畫出一個(gè)程序框圖，見附錄22.4.4結(jié)論由以上程序框圖分析可知,采用插值法計(jì)算設(shè)備的功能重置成本，計(jì)算精度較高，方法快捷。但是，由于上述方法只能針對(duì)可比性較強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備，方法本身也只考慮單一功能參數(shù)，因此，它的應(yīng)用范圍受到一定的限制。作為一種探索，可將此算法以及其他算法集成與計(jì)算機(jī)評(píng)估分析系統(tǒng)中，作為傳統(tǒng)評(píng)估分析方法的輔助參考工具，以提高資產(chǎn)價(jià)值鑒定的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。2.4.5評(píng)價(jià)與總結(jié)插值方法是最基本的插值方法，拉格朗日插值公式是對(duì)稱的，容易記憶，理解，在了解，證明，應(yīng)用插值公式的過程中，不僅要注重理論知識(shí)，更加要應(yīng)用到實(shí)際生活中去，不僅只有大學(xué)才能用公式來解決各種問題，高中的部分問題用插值公式來解決會(huì)更加方便快捷，尤其是線性函數(shù)和二次函數(shù)方面。對(duì)于高階函數(shù)來說，我們并不了解它的特性，而插值公式卻能輕易解決這個(gè)問題。第三章：Lagrange中值定理3.1Lagrange中值定理證明不等式中值定理的表達(dá)式為。它在幾何上的意義表示，在曲線上，點(diǎn)處切線的斜率。由于是區(qū)間上的一點(diǎn)，設(shè)。使得f'(a-9(b-a))=f(?—f(")。b一a(其意義為可以表示區(qū)間任意一點(diǎn))證明不等式得遵循以下四個(gè)步驟：第一：觀察不等式是否能轉(zhuǎn)化成公式的形式第二：在滿足條件可以變形之后，需要根據(jù)已知的題目設(shè)出合理的第三：驗(yàn)證所設(shè)是否滿足中值定理第四：利用滿足的不等式來證明原題中的不等式下面列舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例題,用中值定理證明不等式。例題1：求證成立。證：首先令，則利用中值定理就可將上述式子變成對(duì)上式左右兩邊取絕對(duì)值即同時(shí)由于所以原不等式成立例題2：已知，求證證：首先令，則由于在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，所以滿足中值定理的條件。根據(jù)中值定理公式有：因?yàn)樗栽谏鲜霾坏仁降娜?xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)…V土=lnb-lnaV…由此原不等式得證b&aLagrange中值定理求極限由于用中值定理求極限與3.1中證明不等式的步驟略有相同，在下面將介紹幾個(gè)常見的求極限的例子。例題1：證：首先令，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間滿足中值定理的條件。.，頊1cosyx+1—cos’.x—sin點(diǎn)話=―E—一sin<&—==cosx+1一cosJxlim(cosJx+1-cos\''x)=lim(-sin18gw=0例題2：設(shè)函數(shù)是連續(xù)的，有公式：f(a+x)=f(a)+xf(a+0x),(0<0<1),當(dāng)，試求的極限。由于函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間或上是連續(xù)的，所以在區(qū)間或也是連續(xù)的，所以滿足中值定理的條件。對(duì)用中值定理:f(a+00x)=擴(kuò)(a+0x)一擴(kuò)(a)1（）將上式代入題目中的式子f(a+x)=f(a)+x20f〃(a+00x)+xf(a)i（1）將用公式展開:1f("+X)=f⑴+fa)+2"(a+0X)（2）利用（1）1(2)兩個(gè)式子：x20f(a+00x)=x2f(a+0x)i2則有:1f(a+0x)r1f(a)1lim0=lim=lim?=-x—0x—02f〃(a+00x)x項(xiàng)2f(a)21Lagrange中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)3.3.1一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加的充分必要條件為：對(duì)于任意的，都有。（特別的，對(duì)于，都有，我們稱其為嚴(yán)格單調(diào)遞增）由中值定理：設(shè)為區(qū)間上任意兩點(diǎn)，且，則有由于，和是同符號(hào)的，所以當(dāng)或時(shí)，同樣存在或。又因?yàn)槭巧先我獾膬蓚€(gè)點(diǎn)。則可知道，是單調(diào)遞增或者是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。充分性得證設(shè)為區(qū)間上任意的一個(gè)點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加的。所以對(duì)于任意的一個(gè)（），有：由保序性，當(dāng)時(shí)，有必要性得證例題1：證明不等式令,且在上連續(xù)且可導(dǎo)，則用中值定理有：再令對(duì)求導(dǎo)：g'(x)=—(1—x)=>01+x1+x故是上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。又因?yàn)椋汗剩杭矗?.3.2二階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)凸性的關(guān)系首先在這里給出一個(gè)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在任取兩個(gè)點(diǎn)和任意的都有以下關(guān)系式：f(U+(i)x2)cf(xi)+(Ef(x2)則說明是一個(gè)下凸的函數(shù)，如果等號(hào)不成立，則是一個(gè)嚴(yán)格的下凸函數(shù)。接下來我們研究二階導(dǎo)數(shù)與凸性之間究竟存在著什么樣的關(guān)系。我們令在區(qū)間上是二階可導(dǎo)函數(shù)。則在區(qū)間上是下凸函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)于任意一個(gè)，都有恒成立。首先證必要性：因?yàn)槭且粋€(gè)上凸函數(shù)，根據(jù)定義，對(duì)于任意一個(gè)和，如果和都屬于區(qū)間，則有：入/(x+&)+(1-入)/(x-&)2/S(x+&)+(1-入)(x-&))我們令，則上式可以推成：f(x+6)+f(x-6)、￡/1/八1/所以有>fG(x+6)+g(x-6))f(x+6)-f(x)>f(x)-f(x-6)所以有由特殊到一般，對(duì)于任意的兩個(gè)為區(qū)間上的兩個(gè)點(diǎn)，且滿足，令。反復(fù)使用上式結(jié)果，則可以推導(dǎo)出：由于f(x-Ax)—f(x—2Ax)>f(x—2Ax)—f(x—3Ax)TOC\o"1-5"\h\z2n2nnnf(x—(n—1)Ax)—f(x—nAx)所以式子可以化成f(氣+(-竺))-f廷>f(氣+與^\o"CurrentDocument"(—Ax)Axnn在點(diǎn)處是可導(dǎo)的。對(duì)兩邊式子求極限:\o"CurrentDocument"limf(x2+(-Axn))-f(x2)>limf(氣+堯)—f&n*(—Ax)n*Axnn就有:，便有即的一階導(dǎo)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的。因此的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上是非負(fù)數(shù)的。即，。然后證明充分性：如果，，則的一階導(dǎo)數(shù)在上是單調(diào)遞增的。對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)點(diǎn)，有一個(gè)。使得，這個(gè)式子的意義是能表示區(qū)間的任意一個(gè)點(diǎn)。且，，在區(qū)間和用中值定理有，利用上述兩個(gè)式子可以得到：f(氣)=f(x^)+f任］)(氣-x「f(x2)=f(x「+f，(&2)(x2-x「又因?yàn)榈囊浑A導(dǎo)數(shù)是單調(diào)遞增的，所以存在下列不等式：f(x)>f(x)+f(x)(x—x)又因?yàn)?kk1k所以：f(xi)>f(x?+(1—人)廣牌)3]—x2)(1)

同理可推出：f(%)-f牌)+x廣(氣)(*)（2）用（1）乘上加上（2）