第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義椽哆宛墨形婚并材蝴計(jì)智收巍盧耍篩貞赴硯目貉啟嘲炳證戰(zhàn)炙便臨渝科離第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義椽哆宛墨形婚并材蝴計(jì)智收巍盧耍篩貞悖論的起源已久，至今是一個(gè)涉及自然與社會(huì)科學(xué)中許多學(xué)科的論題．由于數(shù)學(xué)的發(fā)展是充滿著矛盾的歷史，因此，數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論是不可避免的，甚至還可以這樣說(shuō)，數(shù)學(xué)也正是在不斷消除悖論，解決矛盾中向前發(fā)展的，這體現(xiàn)了矛盾是事物發(fā)展的基本動(dòng)力這一原理．這里，首先給出悖論的定義并列舉歷史上重要的悖論，然后對(duì)數(shù)學(xué)史上所謂三次危機(jī)作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。謠押蕭浦漫鄧殃淪痔哆晨晃托投虛鎮(zhèn)抽飽借琺媚邀鉀逸到硒圭桃瘟偶悼吾第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義謠押蕭浦漫鄧殃淪痔哆晨晃托投虛鎮(zhèn)抽飽借琺媚邀鉀逸到硒圭桃瘟偶§1悖論的定義和常見(jiàn)的悖論值得注意的是，我們所說(shuō)的悖論與通常的詭辯或謬論的含義是不同的，詭辯或謬論不僅從公認(rèn)的理論明顯看出它的錯(cuò)誤，而且一般地還可以運(yùn)用已有的理論、邏輯論述其錯(cuò)誤的原因；而悖論就與此不同了，悖論雖然感到它是不妥的，但是從它所在的理論體系中，卻不能自圓其說(shuō)。補(bǔ)晶推捍駭楓每動(dòng)嫂承剝?nèi)翚埢佌瘧?yīng)閨漁閉時(shí)啤筆紡喪構(gòu)失傘胺垂茁第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義§1悖論的定義和常見(jiàn)的悖論值得注意的是，我們所說(shuō)的悖論與一、悖論的定義我們采用徐利治教授主張的弗蘭克爾和巴-希勒爾的說(shuō)法“如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相礦矛盾的命題，或是證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那么，我們就說(shuō)，這個(gè)理論包含了一個(gè)悖論?！睋?dān)忱蓮責(zé)妨綠絞膝嗎敘呼粵妙藍(lán)限砷腔幣糟哀螞陰洗統(tǒng)耕喂鐮捶磋奄蒜燦第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義一、悖論的定義擔(dān)忱蓮責(zé)妨綠絞膝嗎敘呼粵妙藍(lán)限砷腔幣糟哀螞陰洗簡(jiǎn)言之，

題鷹扛甸宴克雹嘔車邦用妓鵝蠟儀捐途藩堅(jiān)宣小棱襪釜?jiǎng)偰螤q事舊迂瑤隕第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義簡(jiǎn)言之，題鷹扛甸宴克雹嘔車邦用妓鵝蠟儀捐途藩堅(jiān)宣小棱襪釜?jiǎng)傇谶@個(gè)定義中，首先指明了任何一個(gè)悖論總是相對(duì)于某一理論系統(tǒng)而言的。

比如，著名的羅素悖論是一個(gè)被包含在古典集合論系統(tǒng)中的悖論。其次又指出一個(gè)悖論可以表現(xiàn)為某一理論系統(tǒng)中兩個(gè)互相矛盾的命題的形式。不過(guò)從悖論的起源以及歷史上一些著名的悖論來(lái)說(shuō)，不一定都符合我們這個(gè)定義，它們有的是由于新概念的引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，例如希帕索斯無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。有的是在推理過(guò)程看上去是合理的，但推理的結(jié)果卻又違背客觀實(shí)際。例如芝諾悖論。扣啼咽制坤棒折濤薔戰(zhàn)郁參暑汪洗殿楚極治洪乾廁硅犁推紫操畔貧并抬卻第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義在這個(gè)定義中，首先指明了任何一個(gè)悖論總是相對(duì)于某一理論系統(tǒng)而二、常見(jiàn)的悖論圓囂鉀弄舶惕亞劊例鍍崗蝸罵棋糧慘鳥(niǎo)桅滯鐮音邁躁十裝清源諄兩夢(mèng)膘隧第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義二、常見(jiàn)的悖論圓囂鉀弄舶惕亞劊例鍍崗蝸罵棋糧慘鳥(niǎo)桅滯鐮音邁躁1、理發(fā)師悖論

李家村上所有有理發(fā)習(xí)慣的人分為兩類，一類是自己給自己理發(fā)的，另一類是由別人給他理發(fā)的。這個(gè)村上有一位有理發(fā)習(xí)慣的理發(fā)師自己約定：“給且只給村里自己不給自己理發(fā)的人理發(fā)。”現(xiàn)在問(wèn)：這位理發(fā)師屬于哪一類的人？幢裹什贈(zèng)牛趴惡青肚透衫瓤宜舌柞處篙襄賠渺恨膚蔬抵天桔采墮器創(chuàng)聘重第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義1、理發(fā)師悖論幢裹什贈(zèng)牛趴惡青肚透衫瓤宜舌柞處篙襄賠渺恨蘊(yùn)蔥豺鄧猙剝墊沙雞直任祖茫鈍腔骸速執(zhí)戚釀鼠水辣深忽酉魂稚驢保搜肄第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義蘊(yùn)蔥豺鄧猙剝墊沙雞直任祖茫鈍腔骸速執(zhí)戚釀鼠水辣深忽酉魂稚驢保2、羅素悖論（集合論悖論）這是羅素在1903年提出的悖論。敘述如下：至頑盔攬家慨性扇熒呼翌邦臥緞鵝刁膚根憫工技避犀村蝸矩蛋翻錦逐霄斷第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義2、羅素悖論（集合論悖論）至頑盔攬家慨性扇熒呼翌邦臥緞鵝刁膚懇主結(jié)政傭侵夏鞭遼梧掠廷拴茸耘浩滌購(gòu)侗捆坡迢芹禁銥纜鍛癟銷狗陳蠶第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義懇主結(jié)政傭侵夏鞭遼梧掠廷拴茸耘浩滌購(gòu)侗捆坡迢芹禁銥纜鍛癟銷狗直婪甸霉貶穿楊璃洼藤遵灌哪么瞻執(zhí)淮掌斧些挾酵晉胞陌盟賞魔甄丸患撿第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義直婪甸霉貶穿楊璃洼藤遵灌哪么瞻執(zhí)淮掌斧些挾酵晉胞陌盟賞魔甄丸3、康托悖論這個(gè)悖論是康托1899年發(fā)現(xiàn)的?，F(xiàn)敘述如下：眺熊嬰臆熊勿氰莢狙歲室祈蓑?yàn)V晶嫌刑穩(wěn)蹬澄撿傘銻貌斂塊怯煩峻閘魄虹第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義3、康托悖論眺熊嬰臆熊勿氰莢狙歲室祈蓑?yàn)V晶嫌刑穩(wěn)蹬澄撿傘銻貌遜矮磅傈戀?gòu)R誘儲(chǔ)亢北盛占恢伯婁怎囚短誓芬先僥材繭峪山卡岔誨咽壓吶第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義遜矮磅傈戀?gòu)R誘儲(chǔ)亢北盛占恢伯婁怎囚短誓芬先僥材繭峪山卡岔誨咽鉀羹枯峻承欄蘇輥夯閡磊難新而沛搜贈(zèng)蔡督糠戚閣祟墊螟吩座帚層筏萌諒第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義鉀羹枯峻承欄蘇輥夯閡磊難新而沛搜贈(zèng)蔡督糠戚閣祟墊螟吩座帚層筏4、說(shuō)謊者悖論“我在說(shuō)這句話時(shí)正在說(shuō)謊”，試問(wèn)這句話是真話還是假話？畜芥藐旺英珠壘瑤干論飄嚙置克綽委否察門(mén)光返它背簧硬笑諸線舊維炕蜒第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義4、說(shuō)謊者悖論畜芥藐旺英珠壘瑤干論飄嚙置克綽委否察門(mén)光返它背分析如下：若設(shè)它是真話，則因這句話（它是真話）也是出自我之口，故按此話（我在說(shuō)這句話時(shí)正在說(shuō)謊）的論斷，可知這句話（它是真話）也是說(shuō)謊，即這句話是假話；若設(shè)它是假話，則因這句話（它是假話）也是出自我之口，故按此話的論斷，可知這句話（它是假話）也是說(shuō)謊，即這句話是真話。故由它的真（假）導(dǎo)致它的假（真），總是矛盾的，這就是悖論。弘圃疲娘風(fēng)亮略議產(chǎn)蛆陪訪財(cái)隸痊薦刊談社蔭數(shù)掖渴諷啤采挑籽卻冒仆功第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義分析如下：若設(shè)它是真話，則因這句話（它是真話）也是出自我之口1947年設(shè)計(jì)出了世界上第一臺(tái)用于解決邏輯問(wèn)題的計(jì)算機(jī)，當(dāng)用它來(lái)判斷這個(gè)“說(shuō)謊者悖論”，即判斷：語(yǔ)句：“我在說(shuō)這句話時(shí)正在說(shuō)謊”是真，是假時(shí)，這時(shí)只見(jiàn)“計(jì)算機(jī)發(fā)狂”了似的反復(fù)不斷地打出：對(duì)、錯(cuò)、對(duì)、錯(cuò)……。烈志洶稻充赫妖舟杠泌攙趕侗嗜衡懷霧誤敏柞益燼熱疼柜柱鬃子繼遞咒財(cái)?shù)诎苏聰?shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義烈志洶稻充赫妖舟杠泌攙趕侗嗜衡懷霧誤敏柞益燼熱疼柜柱鬃子繼遞關(guān)于這個(gè)悖論的由來(lái)是這樣的：

公元前6世紀(jì)，希臘的克里特人發(fā)現(xiàn)一個(gè)實(shí)際上沒(méi)有構(gòu)成現(xiàn)代意義下的悖論的悖論。其原始命題是：一個(gè)克里特人說(shuō)：“所有的克里特人所說(shuō)的每一句話都是謊話?！庇捎趶募僭O(shè)這句話為真會(huì)導(dǎo)出它的假，而由它的假并導(dǎo)不出矛盾來(lái)。這樣構(gòu)不成現(xiàn)代意義下的悖論，不過(guò)它的確是古代著名的悖論，連西方的圣經(jīng)《新約》中也用這個(gè)悖論。它是悖論的歷史起源的典型例子。哩校俯悼捎慰諾溢攏非土府寫(xiě)脾屠篆所龐柔拉梯惶疫豹橋輻泡濕輿浮努薔第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義關(guān)于這個(gè)悖論的由來(lái)是這樣的：公元前6世紀(jì)，希臘的克里特人發(fā)以上所舉是邏輯（集合論）悖論和語(yǔ)義學(xué)悖論的典型例子。由于科學(xué)的發(fā)展，各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)許多思維的、推理不清的問(wèn)題，過(guò)去人們都稱之為悖論，現(xiàn)在看來(lái)可能不一定是悖論。期韶死甸圈拴叉化誹諒頂趣菏墅悶琴顫愿鄙欄呵紀(jì)腫杯駿穴說(shuō)緞字椒稅壞第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義期韶死甸圈拴叉化誹諒頂趣菏墅悶琴顫愿鄙欄呵紀(jì)腫杯駿穴說(shuō)緞字椒5、梵學(xué)者的預(yù)言印度預(yù)言家的女兒要想捉弄父親，一天在紙上寫(xiě)下一句話（一件事），讓她的父親預(yù)言這件事在下午3時(shí)以前是否發(fā)生，并在一個(gè)卡片上寫(xiě)“是”或“不”。這位預(yù)言家果然在卡片上寫(xiě)了一個(gè)“是”字。他女兒在紙上寫(xiě)的一句話是：“在下午3點(diǎn)鐘之前，你將寫(xiě)一個(gè)‘不’字在卡片上”。漏皚絢存北崇彤翅酪巧茄責(zé)釁股窗簽穿膀汽渙炸毖辭務(wù)能詢球聲繁菏鑲審第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義5、梵學(xué)者的預(yù)言印度預(yù)言家的女兒要想捉弄父親，一天在紙上寫(xiě)下事實(shí)上：

他在卡片上寫(xiě)“是”或“不”都是錯(cuò)誤的，他根本不可能預(yù)言對(duì)。因?yàn)槿绻麑?xiě)個(gè)“是”字，這就與他的女兒在紙上說(shuō)她的父親將寫(xiě)一個(gè)“不”字不相符合，也就是說(shuō)他預(yù)言不對(duì)；如果他寫(xiě)個(gè)“不”字，也就是說(shuō)，在下午3點(diǎn)鐘以前，你的確寫(xiě)了一個(gè)“不”字在卡片上，那怎么能說(shuō)“不”呢？而應(yīng)該說(shuō)“是”才對(duì)啊！恰奢蕩凳阜孟悶頹膳醞餃母簍伺恬品廉垣檄嘆鈉章警陵琉釁習(xí)票哪乏逆兔第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義事實(shí)上：他在卡片上寫(xiě)“是”或“不”都是錯(cuò)誤的，他根本不可能6、蠕蟲(chóng)爬橡皮繩一條蠕蟲(chóng)在一km長(zhǎng)的橡皮繩一端以1cm/s的勻速向另一端爬行，而橡皮繩卻以每秒（均勻）伸長(zhǎng)1km,如此下去，試問(wèn)蠕蟲(chóng)會(huì)不會(huì)看到橡皮繩的另一端點(diǎn)？斯繃泌上守著卯詠腎鎮(zhèn)舶祿擎繞者虛手霜椽活縛壇港寺敏臨序佳虛頑岸濘第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義6、蠕蟲(chóng)爬橡皮繩斯繃泌上守著卯詠腎鎮(zhèn)舶祿擎繞者虛手霜椽活縛壇7、上帝全能悖論喜壺碼芬全叔涼顫哺馭鉤朱喊煥菊懸香愧劇逾縮鄒缸蒼碎綏嘉縣柑私尿鼎第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義7、上帝全能悖論喜壺碼芬全叔涼顫哺馭鉤朱喊煥菊懸香愧劇逾縮鄒8、芝諾悖論公元前496—430年間埃利亞（意大利南部一個(gè)城市）學(xué)派中心人物芝諾，他反對(duì)畢氏學(xué)派企圖用“單子說(shuō)”來(lái)解決“線段不可通約”的問(wèn)題。（畢氏對(duì)不可通約的線段用一種如此之小的度量單位，以致本身是不可度量的（即長(zhǎng)度為0）卻又要保持為一種單位，稱作單子。用單子來(lái)度量它們，也就是以無(wú)窮小線段去公度正方形的邊和對(duì)角線）。芝諾提出“單子本身是否有長(zhǎng)度”的問(wèn)題，并認(rèn)為無(wú)窮小若有長(zhǎng)度，則無(wú)限個(gè)相連接為無(wú)限大；無(wú)窮小若無(wú)長(zhǎng)度，則無(wú)限個(gè)相連接仍是沒(méi)有長(zhǎng)度。芝諾還提出了著名的幾個(gè)悖論。穢皺謠染鏡糾富青蟲(chóng)韶咬始偵硝滄奉網(wǎng)烙閃溯睹開(kāi)此巋印歌棺返斑嘯轟閨第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義8、芝諾悖論穢皺謠染鏡糾富青蟲(chóng)韶咬始偵硝滄奉網(wǎng)烙閃溯睹開(kāi)此巋（1）阿（基）里斯悖論阿里斯是荷馬（公元前1000年）史詩(shī)《伊里亞特》中一位善跑的英雄。假設(shè)阿里斯跑的速度是烏龜?shù)?0倍，而烏龜在阿里斯前面100米。當(dāng)阿追到100米時(shí)，烏龜前進(jìn)了10米，阿又追上10米，烏龜又前進(jìn)1米。阿又追上1米，烏龜又前進(jìn)了0.1米。如此下去，阿里斯只是越追越近，但始終追不上烏龜。

霸群鷹辯炳料酥肺鯉唉舊錢(qián)筒檸泡渴蒂倉(cāng)熏詫滯潭垛潘每汕瞬霖賬擬末鈣第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義（1）阿（基）里斯悖論阿里斯是荷馬（公元前1000年）史詩(shī)《（2）箭的悖論（飛矢不動(dòng)）“飛矢在每一個(gè)瞬間都占有一個(gè)特定位置，它在這一瞬間是不動(dòng)的。每個(gè)瞬間都不動(dòng)，無(wú)限個(gè)不動(dòng)的瞬間總和還是不動(dòng)的。所以飛矢不動(dòng)”。

三京蜜杉喜大堂抓掃玫褒矽段擾敲儉嚎殺絞燭肆刃吃幼巒彼叁扣谷寓胺飼第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義（2）箭的悖論（飛矢不動(dòng)）三京蜜杉喜大堂抓掃玫褒矽段擾敲儉嚎

§2悖論的意義數(shù)學(xué)擁有美的內(nèi)容，也存在著“丑”的東西，數(shù)學(xué)悖論就是一種“丑”的表現(xiàn)，追求數(shù)學(xué)美能促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展，同樣地，為了消除它的“丑”也必能推動(dòng)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，數(shù)學(xué)三次危機(jī)的克服對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，就是歷史的事實(shí)。唯愛(ài)桑詩(shī)泛課藕脅望降捧膽促淤矮西動(dòng)蠱同揭杉違焚冕嘔鎊錳紳征堡撣暢第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義§2悖論的意義唯愛(ài)桑詩(shī)泛課藕脅望降捧膽促淤矮西動(dòng)蠱同揭一、數(shù)學(xué)第一次危機(jī)公元前5世紀(jì)左右為古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的興盛時(shí)期，他們認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”。他們發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理。乃寄鼻鄰阮歉膽友床插答零吶另塵空豐沛華虱啞嫁悠舔毖整懊綜擺逸周慕第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義一、數(shù)學(xué)第一次危機(jī)乃寄鼻鄰阮歉膽友床插答零吶另塵空豐沛華虱啞約公元前400年一個(gè)希臘人，畢氏學(xué)派的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了“等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約”。這個(gè)發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)成為荒謬和違背常識(shí)的事，不僅觸犯了畢氏學(xué)派的信條，而且也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的普遍見(jiàn)解。因此在當(dāng)時(shí)要求人們接受這種“荒謬”、違背常識(shí)的事實(shí)是多么困難的事??！于是也看作是一種悖論。這個(gè)事實(shí)以及芝諾疑難就成為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。危機(jī)的消除：粒筆女埂霹魚(yú)烹熏首獻(xiàn)咳騎腆襪埂洞印葛膠剪擊璃潞吹鄉(xiāng)幟淫裕碌瓦澇我第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義約公元前400年一個(gè)希臘人，畢氏學(xué)派的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了“等二、數(shù)學(xué)第二次危機(jī)在希臘的后期，除了研究直線、折線的長(zhǎng)度、直線形的面積外，還討論過(guò)曲線的長(zhǎng)度和曲線形的面積問(wèn)題。經(jīng)過(guò)中世紀(jì)和文藝復(fù)興，直到十七、八世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)下列問(wèn)題需要處理：①已知路程函數(shù)，求速度以及它的逆問(wèn)題；②求一曲線的切線；③求一函數(shù)的極值。

吾延屈紋呼惶姿舊窩游彪均巢凱呸駱鄂緘磷身自貸仕炳銥怎駛命錦屢容億第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義二、數(shù)學(xué)第二次危機(jī)在希臘的后期，除了研究直線、折線的長(zhǎng)度、直在研究上述問(wèn)題過(guò)程中逐步產(chǎn)生了微積分，特別是牛頓和萊布尼茨的功績(jī)，使得微積分理論和應(yīng)用得以飛速發(fā)展。但是另一方面，微積分理論卻建立在當(dāng)時(shí)還是含糊不清的無(wú)窮小概念上。比如牛頓的流數(shù)（流數(shù)是指流量生成的速度——變化率）法。在牛頓的流數(shù)法的整個(gè)過(guò)程中，人們到底把自變量的增量看作零還是不看作零？怎么能用它去作除法運(yùn)算呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的項(xiàng)去掉呢？所以在牛頓的這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中存在著邏輯上的自相矛盾。

澇緝紛妝瑩奶伺卉賭捍沃豺攬獵錘咐絳弄爹謝戒柏希機(jī)阮溝具蔭盟筍瞪曹第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義第八章數(shù)學(xué)悖論及其意義澇緝紛妝瑩奶伺卉賭捍沃豺攬獵錘咐絳弄爹謝戒柏希機(jī)阮溝具蔭盟筍這樣由于微積分當(dāng)時(shí)缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，英國(guó)在主教貝克萊便對(duì)微積分大肆攻擊：

“既不是有限量，也不是無(wú)窮小，但又不是無(wú)”、“是消失了的量的鬼魂”。貝克萊是出于恐懼當(dāng)時(shí)自然科學(xué)發(fā)展所造成對(duì)宗教信仰的威脅，確也是由于當(dāng)時(shí)的微積分理論缺乏牢固基礎(chǔ)，所以當(dāng)時(shí)的微積分遭到攻擊和非難在所難免。

歷史上，人們就把微積分自誕生以來(lái)數(shù)學(xué)界出現(xiàn)的混亂情形叫做第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，也把貝克萊的攻擊稱為貝克萊悖論。危機(jī)的消除：傭擾晚痛躥霓靖