數(shù)學(xué)分析10.1平面圖形的面積數(shù)學(xué)分析10.1平面圖形的面積數(shù)學(xué)分析10.1平面圖形的面積數(shù)學(xué)分析10.1平面圖形的面積編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:第十章定積分的應(yīng)用1平面圖形的面積公式1：連續(xù)曲線y=f(x)(≥0)，以及直線x=a,x=b(a<b)和x軸所圍曲邊梯形面積為：A=dx=dx.若f(x)在[a,b]變號，則所圍圖形的面積為：A=dx=dx.公式2：上下兩條連續(xù)曲線y=f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=a與x=b(a<b)所圍的平面圖形面積為：A=dx.例1：求由拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍圖形的面積A.解法一：A等同于由拋物線y=x2與直線y=2x+3所圍圖形的面積.解方程組：，得,.∴A=dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-=.解法二：如圖，圖形被x=1分為左右兩部分，A左=dx=3dx=.A右=dx=-+=.A=A左+A右=+=.公式3：設(shè)曲線C為參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]，在[α,β]上y(t)連續(xù)，x(t)連續(xù)且可微且x’(t)≠0(類似地可討論y(t)連續(xù)可微且y’(t)≠0的情形).記a=x(α),b=x(β),(a≠b)，則由曲線C及直線x=a,x=b和x軸所圍的圖形，其面積計算公式為：A=dt.例2：求由擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.解：擺線的一拱可取t∈[0,2π]，又x’=a(1-cost)，∴A=dt=3πa2.公式4：若參數(shù)方程所表示的曲線是封閉的，即有x(α)=x(β),y(α)=y(β)，且在(α,β)內(nèi)曲線自身不再相交，則由曲線自身所圍圖形面積為：A=或A=.例3：求橢圓+=1所圍的面積.解：化為參數(shù)方程：x=asint,y=bcost,t∈[0,2π],又x’=acost，∴A==πab.公式5：設(shè)曲線C為極坐標(biāo)方程r=r(θ),θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上連續(xù),β-α≤2π.由曲線C與兩條射線θ=α,θ=β所圍成的平面圖形，通常也稱為扇形，此扇形的面積為：A=.證：如圖，對區(qū)間[α,β]作任意分割T：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn=β，射線θ=θi(i=1,2,…,n-1)把扇形分成n個小扇形.∵r(θ)在[α,β]上連續(xù)，∴當(dāng)很小時，在每一個△i=[θi-1,θi]上r(θ)的值變化也很小，任取ξi∈△i，便有r(θ)≈r(ξi),θ∈△i,i=1,2,…,n.這時，第i個小扇形的面積△Ai≈r2(ξi)△θi,∴A≈r2(ξi)△θi.當(dāng)→0時，兩邊取極限，就有A=.例3：求雙紐線r2=a2cos2θ所圍平面圖形的面積.解：如圖，∵r2≥0，∴θ∈[-,]∪[,]，由圖形的對稱性可得：A=4·=a2sin2θ|=a2.習(xí)題1、求由拋物線y=x2與y=2-x2所圍圖形的面積.解：求得兩曲線交點為(-1,1),(1,1).∴所圍圖形的面積為：A=dx=.2、求曲線y=|lnx|與直線x=,x=10,y=0所圍圖形的面積.解：所圍圖形的面積為：A=dx=-dx+dx=-(xlnx|-dlnx)+xlnx|+dlnx=-(ln10-)+10ln10-9=ln10-.3、拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩部分，求這兩部分面積之比.解：問題等同于拋物線y=x2把圓x2+y2=8分成兩部分，求面積比.它們的交點為(2,2),(-2,2).記兩部分的面積為A1,A2，則A1=dx=8dθ-=2π+；A2=8π-A1=6π-.∴==.4、求內(nèi)擺線x=acos3t,y=asin3t(a>0)所圍圖形的面積.解：如圖，所圍圖形面積為：A=4=12a2=12a2=πa2.5、求心形線r=a(1+cosθ)(a>0)所圍圖形的面積.解法一：根據(jù)心形線的對稱性，得A=2·=a2=πa2.解法二：化為參數(shù)方程：x=a(1+cosθ)cosθ,y=a(1+cosθ)sinθ,θ∈[0,2π]，A=||=a2||=πa2.6、求三葉形曲線r=asin3θ(a>0)所圍圖形的面積.解：根根三葉形曲線的形態(tài)特點，所圍圖形由相同的三部分組成，即A=3dθ=d3θ=a2.7、求曲線+=1(a,b>0)與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積.解：曲線與x軸的交點為(a,0)，∴所圍圖形的面積為：A=bdx=.8、求曲線x=t-t3,y=1-t4所圍圖形的面積.解：當(dāng)t=-1,1時，x=0,y=0，∴曲線在t∈[-1,1]圍成封閉圖形，即A=|dt|=4|dt|=.9、求二曲線r=sinθ與r=cosθ所圍公共部分的面積.解法一：化為圓的方程：x2+(y-)2=,(x-)2+y2=.它們的交點為O(0,0)與P(,)，∴所圍公共部分的面積為：A=dy=dt+dt-=+++-=-.解法二：由sinθ=cosθ,得tanθ=，∴二曲線相交于θ=.A=dθ+dθ=-dθ+dθ=-++-=-.(參考解法)如圖：求得P(,)S