Word-67-高中數(shù)學(xué)教案優(yōu)秀8篇

作為一名辛勞耕耘的教導(dǎo)工，有須要舉行細致的教案預(yù)備工作，教案是教材及大綱與課堂教學(xué)的紐帶和橋梁。那要怎么寫好教案呢？這里給大家共享一些關(guān)于高中數(shù)學(xué)教案優(yōu)秀范文，便利大家學(xué)習(xí)。為伴侶們細心收拾了8篇高中數(shù)學(xué)教案優(yōu)秀范文，我們不妨閱讀一下，看看是否能有一點拋磚引玉的作用。

高中數(shù)學(xué)教案篇一

1.課題

填寫課題名稱（高中代數(shù)類課題）

2.教學(xué)目標

（1）學(xué)問與技能：

利用本節(jié)課的學(xué)習(xí)，把握。.。.。.學(xué)問，提升同學(xué)解決實際問題的能力；

（2）過程與辦法：

利用。.。.。.（研究、發(fā)覺、探索），提升。.。.。.（分析、歸納、比較和概括）的能力；

（3）情感態(tài)度與價值觀：

利用本節(jié)課的學(xué)習(xí)，增加同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好，將數(shù)學(xué)應(yīng)用到實際生活中，增強同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

3.教學(xué)重難點

（1）教學(xué)重點：本節(jié)課的學(xué)問重點

（2）教學(xué)難點：易錯點、難以理解的學(xué)問點

4、教學(xué)辦法（普通從中挑選3個就可以了）

（1）研究法

（2）情景教學(xué)法

（3）問答法

（4）發(fā)覺法

（5）講授法

5、教學(xué)過程

（1）導(dǎo)入

容易講述導(dǎo)入課題的方式和辦法（例：復(fù)習(xí)、類比、情境導(dǎo)出本節(jié)課的課題）

（2）新授課程（普通分為三個小步驟）

①容易講解本節(jié)課基礎(chǔ)學(xué)問點（例：奇函數(shù)的定義）。

②歸納總結(jié)該課題中的重點學(xué)問內(nèi)容，尤其對該注重的一些狀況設(shè)置易錯點，舉行強調(diào)?？梢栽O(shè)計分組研究環(huán)節(jié)（分組推斷幾組函數(shù)圖像是否為奇函數(shù)，并歸納奇函數(shù)圖像的特點。設(shè)置定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)是否為奇函數(shù)的易錯點）。

③拓展延長，將所學(xué)學(xué)問拓展延長到實際題目中，去解決實際生活中的問題。

（在新授課里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過具體。）

（3）課堂小結(jié)

老師提問，同學(xué)回答本節(jié)課的心得。

（4）作業(yè)提升

布置作業(yè)（盡量與實際生活相聯(lián)系，有所創(chuàng)新）。

6、教學(xué)板書

2.高中數(shù)學(xué)教案格式

一．課題（說明本課名稱）

二．教學(xué)目的（或稱教學(xué)要求，或稱教學(xué)目標，說明本課所要完成的教學(xué)任務(wù)）

三．課型（說明屬新授課，還是復(fù)習(xí)課）

四．課時（說明屬第幾課時）

五．教學(xué)重點（說明本課所必需解決的關(guān)鍵性問題）

六．教學(xué)難點（說明本課的學(xué)習(xí)時易產(chǎn)生困難和障礙的學(xué)問傳授與能力培養(yǎng)點）

七．教學(xué)辦法要按照同學(xué)實際，注意引領(lǐng)自學(xué)，注意引發(fā)思維

八．教學(xué)過程（或稱課堂結(jié)構(gòu)，說明教學(xué)舉行的內(nèi)容、辦法步驟）

九．作業(yè)處理（說明如何布置書面或口頭作業(yè)）

十．板書設(shè)計（說明上課時預(yù)備寫在黑板上的內(nèi)容）

十一．教具（或稱教具預(yù)備，說明輔助教學(xué)手段使用的工具）

十二．教學(xué)反思：（教者對該堂課教后的感觸及同學(xué)的心得、改進辦法）

3.高中數(shù)學(xué)教案范文

【教學(xué)目標】

1、學(xué)問與技能

（1）理解等差數(shù)列的定義，會應(yīng)用定義推斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列：

（2）賬務(wù)等差數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)過程：

（3）會應(yīng)用等差數(shù)列通項公式解決容易問題。

2、過程與辦法

在定義的理解和通項公式的推導(dǎo)、應(yīng)用過程中，培養(yǎng)同學(xué)的觀看、分析、歸納能力和嚴密的規(guī)律思維的能力，體悟從特別到普通，普通到特別的認知邏輯，提升認識猜測和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。

3、情感、態(tài)度與價值觀

利用老師指導(dǎo)下同學(xué)的自主學(xué)習(xí)、互相溝通和探究活動，培養(yǎng)同學(xué)主動探究、用于發(fā)覺的求知精神，激活同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好，讓同學(xué)感觸到勝利的喜悅。在解決問題的過程中，使同學(xué)養(yǎng)成精心觀看、仔細分析、擅長總結(jié)的良好習(xí)慣。

【教學(xué)重點】

①等差數(shù)列的概念；

②等差數(shù)列的通項公式

【教學(xué)難點】

①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義；

②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程。

【學(xué)情分析】

我所教學(xué)的同學(xué)是我校高一(7)班的同學(xué)（平行班同學(xué)），經(jīng)過一年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大部分同學(xué)學(xué)問閱歷已較為豐盛，他們的智力進展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分同學(xué)的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好還不是很濃，所以我在授課時注意從詳細的生活實例動身，注意引領(lǐng)、引發(fā)、討論和探討以符合這類同學(xué)的心理進展特點，從而增進思維能力的進一步進展。

【設(shè)計思路】

1、教法

①引發(fā)引領(lǐng)法：這種辦法有利于同學(xué)對學(xué)問舉行主動建構(gòu)；有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動同學(xué)的主動性和樂觀性，發(fā)揮其制造性。

②分組研究法：有利于同學(xué)舉行溝通，準時發(fā)覺問題，解決問題，調(diào)動同學(xué)的樂觀性。

③講練結(jié)合法：可以準時鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點，突破難點。

2、學(xué)法

引領(lǐng)同學(xué)首先從三個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的學(xué)生引領(lǐng)熟悉多元的推導(dǎo)思維辦法。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1、從0開頭，將5的倍數(shù)按從小到大的挨次羅列，得到的數(shù)列是什么？

2、水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的方法清理水庫中的雜魚。假如一個水庫的水位為18m，自然放水天天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開頭放水算起，到可以舉行清理工作的那天，水庫天天的水位（單位：m）組成一個什么數(shù)列？

3、我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息。根據(jù)單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×存期）。按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么根據(jù)單利，5年內(nèi)各年末的本利和（單位：元）組成一個什么數(shù)列？

老師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù)。

同學(xué)：

①0，5，10，15，20，25，…。

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

(設(shè)置意圖：從實例引入，實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景，目的是讓同學(xué)感觸到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學(xué)模型。利用分析，由特別到普通，激活同學(xué)學(xué)習(xí)探索學(xué)問的自主性，培養(yǎng)同學(xué)的歸納能力。

二、觀看歸納，形成定義

①0，5，10，15，20，25，…。

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

思量1上述數(shù)列有什么共同特點？

思量2按照上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的普通定義嗎？

思量3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言嗎？

老師：引領(lǐng)同學(xué)思量這三列數(shù)具有些共同特征，然后讓同學(xué)抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念。

同學(xué)：分組研究，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定邏輯；這些數(shù)都是根據(jù)一定挨次羅列的…只要合理老師就要賦予絕對。

老師引領(lǐng)歸納出：等差數(shù)列的定義；另外，老師引領(lǐng)同學(xué)從數(shù)學(xué)符號角度理解等差數(shù)列的定義。

（設(shè)計意圖：利用對一定數(shù)量感性材料的觀看、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性；使同學(xué)體味到等差數(shù)列的邏輯和共同特點；一開頭抓?。骸皬钠浯雾椘?，每一項與它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的精確?????表述。）

三、舉一反三，鞏固定義

1、判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

老師展示題目，同學(xué)思量回答。老師糾正并強調(diào)求公差應(yīng)注重的問題。

注重：公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負數(shù)，也可以為0.

（設(shè)計意圖：強化同學(xué)對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)用）。

2、思量4:設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎？為什么？

（設(shè)計意圖：強化等差數(shù)列的證實定義法）

四、通過定義，導(dǎo)出通項

1、已知等差數(shù)列：8，5，2，…，求第200項？

2、已知一個等差數(shù)列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的隨意項an呢？

老師展示問題，放手讓同學(xué)探索，然后挑選列式具有代表性的上去板演或投影出示。按照同學(xué)在課堂上的詳細狀況舉行詳細評價、引領(lǐng)，總結(jié)推導(dǎo)辦法，體味歸納思想以及累加求通項的辦法；讓同學(xué)初步試試處理數(shù)列問題的常用辦法。

（設(shè)計意圖：引領(lǐng)同學(xué)觀看、歸納、猜測，培養(yǎng)同學(xué)合理的推理能力。同學(xué)在分組合作探索過程中，可能會找到多種不同的解決方法，老師要逐一點評，并準時絕對、稱贊同學(xué)擅長動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激活同學(xué)的制造意識。鼓舞同學(xué)自主解答，培養(yǎng)同學(xué)運算能力）

五、應(yīng)用通項，解決問題

1、推斷100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項？假如是，是第幾項？

2、在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3、求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項和第10項

老師：給出問題，讓同學(xué)自己操練，老師巡察同學(xué)答題狀況。

同學(xué)：老師叫同學(xué)代表總結(jié)此類題型的解題思路，老師補充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式

（設(shè)計意圖：主要是認識公式，使同學(xué)從中體味公式與方程之間的聯(lián)系。初步熟悉“基本量法”求解等差數(shù)列問題。）

六、反饋練習(xí)：教材13頁練習(xí)1

七、歸納總結(jié)：

1、一個定義：

等差數(shù)列的定義及定義表述式

2、一個公式：

等差數(shù)列的通項公式

3、二個應(yīng)用：

定義和通項公式的應(yīng)用

老師：讓同學(xué)思量收拾，找?guī)讉€代表發(fā)言，最后老師給出補充

（設(shè)計意圖：引領(lǐng)同學(xué)去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，交流它們之間的聯(lián)系，使同學(xué)能在新的高度上去重新熟悉和把握基本概念，并靈便運用基本概念。）

【設(shè)計反思】

本設(shè)計從生活中的數(shù)列模型導(dǎo)入，有助于發(fā)揮同學(xué)學(xué)習(xí)的主動性，增加同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)列的愛好。在探究的過程中，同學(xué)利用分析、觀看，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項公式，強化了由詳細到抽象，由特別到普通的思維過程，有助于提升同學(xué)分析問題和解決問題的能力。本節(jié)課教學(xué)采納引發(fā)辦法，以老師提出問題、同學(xué)探討解決問題為途徑，以互相補充綻開教學(xué)，總結(jié)科學(xué)合理的學(xué)問體系，形成師生之間的良性互動，提升課堂教學(xué)效率。

數(shù)學(xué)教案篇二

指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案

整體設(shè)計

教學(xué)分析

我們在初中的學(xué)習(xí)過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì)。從本節(jié)開頭我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù)。進而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪。

教材為了讓同學(xué)在學(xué)習(xí)之外就感觸到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個詳細例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓同學(xué)回顧了初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓同學(xué)感觸到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教導(dǎo)價值。后一個問題讓同學(xué)體味其中的函數(shù)模型的同時，激活同學(xué)探索分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的愛好與欲望，為新學(xué)問的學(xué)習(xí)作了鋪墊。

本節(jié)支配的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想辦法，如推廣的思想（指數(shù)冪運算律的推廣）、類比的思想、靠近的思想（有理數(shù)指數(shù)冪靠近無理數(shù)指數(shù)冪）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）等，同時，充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

按照本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)中要注重發(fā)揮信息技術(shù)的力氣，盡量通過計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為同學(xué)的數(shù)學(xué)探索與數(shù)學(xué)思維提供支持。

三維目標

1、利用與初中所學(xué)的學(xué)問舉行類比，理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，進而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)。把握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，把握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。培養(yǎng)同學(xué)觀看分析、抽象類比的能力。

2、把握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。利用運算訓(xùn)練，養(yǎng)成同學(xué)嚴謹治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓同學(xué)了解數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理。

3、能嫻熟地運用有理指數(shù)冪運算性質(zhì)舉行化簡、求值，培養(yǎng)同學(xué)嚴謹?shù)乃季S和科學(xué)正確的計算能力。

4、利用訓(xùn)練及點評，讓同學(xué)更能嫻熟把握指數(shù)冪的運算性質(zhì)。出示函數(shù)圖象，讓同學(xué)利用觀看，進而討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓同學(xué)體悟數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美。

重點難點

教學(xué)重點

（1）分數(shù)指數(shù)冪和根式概念的理解。

（2）把握并運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。

（3）運用有理指數(shù)冪的性質(zhì)舉行化簡、求值。

教學(xué)難點

（1）分數(shù)指數(shù)冪及根式概念的理解。

（2）有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈便應(yīng)用。

課時支配

3課時

教學(xué)過程

第1課時

：路致芳

導(dǎo)入新課

思路1.學(xué)生們在預(yù)習(xí)的過程中能否知道考古學(xué)家如何推斷生物的進展與進化，又怎樣推斷它們所處的年月？（考古學(xué)家是利用對生物化石的討論來推斷生物的進展與進化的，其次個問題我們不太清晰）考古學(xué)家是根據(jù)這樣一條邏輯推想生物所處的年月的。老師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。

思路2.學(xué)生們，我們在初中學(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是絕對的，這就是我們本堂課討論的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。

推動新課

新知探索

提出問題

（1）什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢？

（2）如x4=a，x5=a，x6=a，按照上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？

（3）按照上面的結(jié)論我們能得到普通性的結(jié)論嗎？

（4）可否用一個式子表述呢？

活動：老師提醒，引領(lǐng)同學(xué)回憶初中的時候已經(jīng)學(xué)過的平方根、立方根是如何定義的，對比類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結(jié)論舉行引申、推廣，互相溝通研究后回答，老師準時引發(fā)同學(xué)，詳細問題普通化，歸納類比出n次方根的概念，評價同學(xué)的思維。

研究結(jié)果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根惟獨一個，如：-8的立方根為-2.

（2）類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a，則這個數(shù)叫a的四次方根。一個數(shù)的五次方等于a，則這個數(shù)叫a的五次方根。一個數(shù)的六次方等于a，則這個數(shù)叫a的六次方根。

（3）類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a，則這個數(shù)叫a的n次方根。

（4）用一個式子表述是，若xn=a，則x叫a的n次方根。

老師板書n次方根的意義：

普通地，假如xn=a，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n1且n∈正整數(shù)集。

可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

提出問題

（1）你能按照n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分離對應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分離對應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點？

（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負，還有零，結(jié)論有一個的，也有兩個的，你能否總結(jié)普通邏輯呢？

（4）任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢？

活動：老師提醒同學(xué)切實緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n次方根，就是求出的那個數(shù)的n次方等于a，準時點撥同學(xué)，從數(shù)的分類考慮，可以把詳細的數(shù)寫出來，觀看數(shù)的特點，對問題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的同學(xué)準時表揚，對回答不精確?????的同學(xué)提醒引領(lǐng)考慮問題的思路。

研究結(jié)果：(1)由于±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分離是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

（2）方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù)?？偟膩砜?，這些數(shù)包括正數(shù)，負數(shù)和零。

（3）一個數(shù)a的奇次方根惟獨一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個，是互為相反數(shù)。0的任何次方根都是0.

（4）任何一個數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負數(shù)的偶次方根就不存在，由于沒有一個數(shù)的偶次方是一個負數(shù)。

類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的研究，歸納出普通情形，得到n次方根的性質(zhì)：

①當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，假如是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a0)。

②n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。

③負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。

上面的文字語言可用下面的式子表示：

a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根有兩個為±na.

a為負數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根惟獨一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根不存在。

零的n次方根為零，記為n0=0.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。

思量

按照n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種狀況？

活動：老師提醒同學(xué)對方根的性質(zhì)要分類把握，即正數(shù)的奇偶次方根，負數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡察同學(xué)，隨機給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否故意義，注重觀看方根的形式，準時訂正同學(xué)在舉例過程中的問題。

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個名稱——根式。

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。

如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開方數(shù)。

思量

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？假如不一定成立，那么nan等于什么？

活動：老師讓同學(xué)注重研究n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓同學(xué)多舉實例，分組研究。老師點撥，注重歸納收拾。

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

解答：按照n次方根的意義，可得：(na)n=a.

利用探索得到：n為奇數(shù)，nan=a.

n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.

因此我們得到n次方根的運算性質(zhì)：

①(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結(jié)果為被開方數(shù)。

②n為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結(jié)果為被開方數(shù)。

n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.先偶次乘方，再開方（同次），結(jié)果為被開方數(shù)的肯定值。

應(yīng)用示例

思路1

例求下列各式的值：

（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(ab)。

活動：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些學(xué)問，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目認真分析。觀看同學(xué)的解題狀況，讓同學(xué)出示結(jié)果，抓住同學(xué)在解題過程中浮現(xiàn)的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數(shù)的方根，可按方根的運算性質(zhì)來解，首先要搞清晰運算挨次，目的是把被開方數(shù)的符號定準，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，假如是奇數(shù)，無需考慮符號，假如是偶數(shù)，開方的結(jié)果必需是非負數(shù)。

解：(1)3(-8)3=-8;

（2）(-10)2=10;

（3)4(3-π）4=π-3;

（4）(a-b)2=a-b(ab)。

點評：不注重n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導(dǎo)致問題浮現(xiàn)的一個重要緣由，要在理解的基礎(chǔ)上，記準，記熟，會用，活用。

變式訓(xùn)練

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1)；

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7(-2)7=-2，

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽略a與1大小的研究，造成錯解。

思路2

例1下列各式中正確的是（）

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活動：老師提醒，這是一道挑選題，本題考查n次方根的運算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮按照方根的意義和運算性質(zhì)來解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴格按求方根的步驟，體味方根運算的實質(zhì)，同學(xué)先思量哪些地方簡單出錯，再回答。

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時，應(yīng)先寫nan=|a|，故A項錯。

(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個正數(shù)的偶次方根，按照運算挨次也應(yīng)如此，結(jié)論為6(-2)2=32，故B項錯。

(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。

(4)D項是一個正數(shù)的偶次方根，按照運算挨次也應(yīng)如此，故D項正確。所以答案選D.

答案：D

點評：本題因為考查n次方根的運算性質(zhì)與運算挨次，有時極易選錯，選四個答案的狀況都會有，因此解題時千萬要精心。

例23+22+3-22=__________.

活動：讓學(xué)生們樂觀思量，溝通研究，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無關(guān)，但認真一想，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，按照方根的運算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號下面的式子化成一個徹低平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需通過和的平方公式與差的平方公式化為徹低平方式。正確分析題意是關(guān)鍵，老師提醒，引領(lǐng)同學(xué)解題的思路。

解析：由于3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

所以3+22+3-22=22.

答案：22

點評：不難看出3-22與3+22形式上有的特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到方法把其化成一個徹低平方式。

思量

上面的例2還有別的解法嗎？

活動：老師引領(lǐng)，去根號經(jīng)常通過徹低平方公式，有時平方差公式也可，學(xué)生們觀看兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并溝通研究，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正巧抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。

另解：通過整體思想，x=3+22+3-22，

兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

點評：對雙重二次根式，特殊是A±2B形式的式子，我們總能找到方法將根號下面的式子化成一個徹低平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體通過徹低平方公式和平方差公式去解。

變式訓(xùn)練

若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。

解：由于a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

即a-1≥0，

所以a≥1.

點評：通過方根的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去肯定值符號，是解題的關(guān)鍵。

知能訓(xùn)練

（老師用多媒體顯示在屏幕上）

1、以下說法正確的是（）

A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)

B.負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示（以上n1且n∈正整數(shù)集）

答案：C

2、化簡下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

3、計算7+40+7-40=__________.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提高

問題：nan=a與(na)n=a(n1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。

活動：組織同學(xué)結(jié)合前面的例題及其解答，舉行分析研究，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。

利用歸納，得出問題結(jié)果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時研究一下。再對a是負數(shù)，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時研究一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論。

解：(1)(na)n=a(n1，n∈N)。

假如xn=a(n1，且n∈N)故意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。

例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

(2)nan=a，|a|，當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)。

當(dāng)n為奇數(shù)時，a∈R，nan=a恒成立。

例如：525=2，5(-2)5=-2.

當(dāng)n為偶數(shù)時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以假如a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;假如a0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

即(na)n=a(n1，n∈N)是恒等式，nan=a(n1，n∈N)是有條件的。

點評：實質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理解。

課堂小結(jié)

同學(xué)認真溝通研究后，在筆記上寫出本節(jié)課的學(xué)習(xí)心得，老師用多媒體顯示在屏幕上。

1、假如xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n1且n∈正整數(shù)集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù)。

（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，假如是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a0)。

(2)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。

（3）負數(shù)沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。

2、把握兩個公式：n為奇數(shù)時，(na)n=a，n為偶數(shù)時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a0.

作業(yè)

課本習(xí)題2.1A組1.

補充作業(yè)：

1、化簡下列各式：

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解：(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

2、若5a8，則式子(a-5)2-(a-8)2的值為__________.p=

解析：由于5a8，所以(a-5)2-(a-8)2=a-5-8+a=2a-13.p=

答案：2a-13

3.5+26+5-26=__________.

解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮惟獨在開方的前提下才可能解出，由此提醒我們想方法去掉一層根式，

不難看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案：23

設(shè)計感想

同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課因為方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉詳細實例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種狀況來舉行，每種狀況又分a0，a0，a=0三種狀況，并結(jié)合詳細例子講解，因此設(shè)計了大量的類比和練習(xí)題目，要靈便處理這些題目，協(xié)助同學(xué)加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)。

第2課時

：郝云靜

導(dǎo)入新課

思路1.碳14測年法。本來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生發(fā)射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進入全部活組織，先為植物汲取，再為動物汲取，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地汲取碳14在機體內(nèi)保持一定的水平。而當(dāng)有機體死亡后，即會停止汲取碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5730年的半衰期開頭衰變并消逝。對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的發(fā)射性碳14的含量，便可判斷其年月（半衰期：經(jīng)過一定的時光，變?yōu)楸緛淼囊话耄Ｒ霰竟?jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪。

思路2.學(xué)生們，我們在初中學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是絕對的。這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，老師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪。

推動新課

新知探索

提出問題

（1）整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么？

（2）觀看以下式子，并總結(jié)出邏輯：a0，

①；

②a8=(a4)2=a4=，；

③4a12=4(a3)4=a3=；

④2a10=2(a5)2=a5=。

（3）通過(2)的邏輯，你能表示下列式子嗎？

，，，(x0，m，n∈正整數(shù)集，且n1)。

（4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？

（5）你能推廣到普通的情形嗎？

活動：同學(xué)回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運算性質(zhì)，認真觀看，特殊是每題的開頭和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，老師引領(lǐng)同學(xué)體味方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點引發(fā)同學(xué)類比(2)的邏輯表示，借鑒(2)(3)，我們把詳細推廣到普通，對寫正確的學(xué)生準時表揚，其他同學(xué)鼓舞提醒。

研究結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；

a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質(zhì)上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分離寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒變。

按照4個式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式（分數(shù)指數(shù)冪形式）。

（3）通過(2)的邏輯，453=，375=，5a7=，nxm=。

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

結(jié)果表明方根的結(jié)果和分數(shù)指數(shù)冪是相通的。

（5）假如a0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a0，m，n∈正整數(shù)集，n1)。

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，老師板書：

規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a0，m，n∈正整數(shù)集，n1)。

提出問題

（1）負整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？

（2）你能得出負分數(shù)指數(shù)冪的意義嗎？

（3）你認為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)冪的意義？

（4）綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的意義？

（5）分數(shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a0，去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果？

（6）既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？

活動：同學(xué)回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體味回答，按照零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比，把正分數(shù)指數(shù)冪的意義與負分數(shù)指數(shù)冪的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，老師在黑板上板書，同學(xué)合作溝通，以詳細的實例說明a0的須要性，老師準時作出評價。

研究結(jié)果：(1)負整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

（2）既然負整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義。

規(guī)定：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是==1nam(a0，m，n∈=N+，n1)。

（3）規(guī)定：零的分數(shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒故意義。

（4）老師板書分數(shù)指數(shù)冪的意義。分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：

正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a0，m，n∈正整數(shù)集，n1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是==1nam(a0，m，n∈正整數(shù)集，n1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒故意義。

（5）若沒有a0這個條件會怎樣呢？

如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子浮現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說明分數(shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零，如無a0的條件，比如式子3a2=，同時負數(shù)開奇次方是故意義的，負數(shù)開奇次方時，應(yīng)把負號移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)冪，也就是說，負分數(shù)指數(shù)冪在故意義的狀況下總表示正數(shù)，而不是負數(shù)，負數(shù)只是浮現(xiàn)在指數(shù)上。

（6）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對隨意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈Q)。

我們通過分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解決一些問題，來看下面的例題。

應(yīng)用示例

例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4)。

活動：老師引領(lǐng)同學(xué)考慮解題的辦法，通過冪的運算性質(zhì)計算出數(shù)值或化成最簡根式，按照題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，通過有理數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀出示出來。

解：(1)=22=4;

（2）=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

（4）=23-3=278.

點評：本例主要考查冪值運算，要按規(guī)定來解。在舉行冪值運算時，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算，而不是首先轉(zhuǎn)化為認識的根式運算，如=382=364=4.

例2用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式。

a3?a;a2?3a2;a3a(a0)。

活動：同學(xué)觀看、思量，按照解題的挨次，把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算，根式化為分數(shù)指數(shù)冪時，要由里往外依次舉行，掌握好運算性質(zhì)和挨次，同學(xué)研究溝通自己的解題步驟，老師評價同學(xué)的解題狀況，鼓舞同學(xué)注重總結(jié)。

解：a3?a=a3?=；

a2?3a2=a2?=；

a3a=。

點評：通過分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)舉行根式運算時，其挨次是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算。對于計算的結(jié)果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特殊要求，就用分數(shù)指數(shù)冪的形式來表示，但結(jié)果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負指數(shù)。

例3計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）。

（1）；

（2）。

活動：先由同學(xué)觀看以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的挨次是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的，整數(shù)冪的運算性質(zhì)及運算邏輯擴充到分數(shù)指數(shù)冪后，其運算挨次仍符合我們以前的四則運算挨次，再解答，把自己的答案用投影儀出示出來，互相溝通，其中要注重到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算挨次舉行，要注重符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方舉行計算，認識后可以簡化步驟。

解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)]=4ab0=4a;

（2）=m2n-3=m2n3.

點評：分數(shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數(shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則舉行運算了。

本例主要是指數(shù)冪的運算法則的綜合考查和應(yīng)用。

變式訓(xùn)練

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4計算下列各式：

（1）(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a0)。

活動：先由同學(xué)觀看以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底。通過分數(shù)指數(shù)冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數(shù)指數(shù)冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。

解：(1)原式=

==65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)1,2,3

【補充練習(xí)】

老師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓同學(xué)解答，老師巡察，引發(fā)，對做得好的學(xué)生賦予表揚鼓舞。

1、(1)下列運算中，正確的是（）

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-1)0=0D.(-a2)3=-a6

（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，故意義的是（）

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

A.aB.a2C.a3D.a4

（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式為（）

A.B.

C.D.

（5）化簡的結(jié)果是（）

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2、計算：(1)--17-2+-3-1+(2-1)0=__________.

（2）設(shè)5x=4,5y=2，則52x-y=__________.

3、已知x+y=12，xy=9且xy，求p=的值。

答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)8

3、解：。

由于x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

又由于xy，所以x-y=-2×33=-63.p=

所以原式==12-6-63=-33.

拓展提高

1、化簡：。

活動：同學(xué)觀看式子特點，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對原式舉行因式分解，按照本題的特點，注重到：

x-1=-13=；

x+1=+13=；

。

構(gòu)建解題思路老師適時引發(fā)提醒。

解：

=

=

=

=。

點撥：解這類題目，要注重運用以下公式，

=a-b，

=a±+b，

=a±b.

2、已知，探索下列各式的值的求法。

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)。

解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

（2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47;

（3）因為，

所以有=a+a-1+1=8.

點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后實行“整體代換”或“求值后代換”兩種辦法求值。

課堂小結(jié)

活動：老師，本節(jié)課學(xué)生們有哪些心得？請把你的學(xué)習(xí)心得記錄在你的筆記本上，學(xué)生們之間互相溝通。同時老師用投影儀顯示本堂課的學(xué)問要點：

（1）分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a0，m，n∈正整數(shù)集，n1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是==1nam(a0，m，n∈正整數(shù)集，n1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒故意義。

（2）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

（3）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對隨意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈Q)。

（4）說明兩點：

①分數(shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系。

②整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對隨意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用。因而分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以通過=am來計算。

作業(yè)

課本習(xí)題2.1A組2,4.

設(shè)計感想

本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，要讓同學(xué)反復(fù)理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中可以利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀看、歸納和類比的辦法完成，因為是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多支配一些練習(xí)，強化訓(xùn)練，鞏固學(xué)問，要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)。

第3課時

：鄭芳鳴

導(dǎo)入新課

思路1.學(xué)生們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)（有理數(shù)），有理數(shù)到實數(shù)。并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)。對無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：老師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)〕之無理數(shù)指數(shù)冪。

思路2.學(xué)生們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的學(xué)問，對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念舉行了進一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種容易的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的進展，社會的長進，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的學(xué)問，我們必需學(xué)習(xí)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，為此，我們必需把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，老師板書本節(jié)課的課題。

推動新課

新知探索

提出問題

（1）我們知道2=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是2的什么近似值？

（2）多媒體顯示以下圖表：學(xué)生們從上面的兩個表中，能發(fā)覺什么樣的邏輯？

2的過剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

……

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

……

（3）你能給上述思想起個名字嗎？

（4）一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，按照你學(xué)過的學(xué)問，能作出推斷并合理地解釋嗎？

（5）借助上面的結(jié)論你能說出普通性的結(jié)論嗎？

活動：老師引領(lǐng)，同學(xué)回憶，老師提問，同學(xué)回答，樂觀溝通，準時評價同學(xué)，同學(xué)有困窘時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：

問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。

問題(2)對圖表的觀看一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注重其關(guān)聯(lián)。

問題(3)上述辦法實際上是無限臨近，最后是靠近。

問題(4)對問題賦予大膽猜想，從數(shù)軸的觀點加以解釋。

問題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到普通的情形，即由特別到普通。

研究結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過剩近似值。

（2）第一個表：從大于2的方向靠近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向靠近。

其次個表：從小于2的方向靠近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向靠近。

從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向臨近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向臨近，可以說從兩個方向無限地臨近，即靠近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述變化邏輯變化的結(jié)果，事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示的點逼近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個實數(shù)，即51.451.4151.41451.414251.41421……51.4142251.414351.41551.4251.5.

充分表明是一個實數(shù)。

（3）靠近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的學(xué)問。

（4）按照(2)(3)我們可以判斷是一個實數(shù)，猜想一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù)。

（5）無理數(shù)指數(shù)冪的意義：

普通地，無理數(shù)指數(shù)冪aα（a0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)。

也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個確定的實數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪。

提出問題

（1）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必需規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？

（2）無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢？

（3）你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎？

活動：老師組織同學(xué)互助合作，溝通探討，引領(lǐng)他們用反例說明問題，注重類比，歸納。

對問題(1)回顧我們學(xué)習(xí)分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明。

對問題（2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應(yīng)該與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似，并且相通。

對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了。

研究結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的須要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂。

（2）由于無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能舉行指數(shù)的運算，也能舉行冪的運算，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪。類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則：

①ar?as=ar+s（a0，r，s都是無理數(shù)）。

②（ar)s=ars(a0，r，s都是無理數(shù)）。

③（a?b)r=arbr(a0，b0，r是無理數(shù)）。

（3）指數(shù)冪擴充到實數(shù)后，指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪。

實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

對隨意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈R)。

②(ar)s=ars(a0，r，s∈R)。

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈R)。

應(yīng)用示例

例1通過函數(shù)計算器計算。（精確到0.001）

(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4)。

活動：老師教會同學(xué)通過函數(shù)計算器計算，認識計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按=，即可求得它的值；

對于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可；

對于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可；

對于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，第二按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。

同學(xué)可以互相溝通，挖掘計算器的用途。

解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3)≈2.336;(4)≈6.705.

點評：嫻熟把握用計算器計算冪的值的辦法與步驟，感觸現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。

例2求值或化簡。

(1)a-4b23ab2(a0，b0)；

（2）(a0，b0)；

(3)5-26+7-43-6-42.

活動：同學(xué)觀看，思量，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達到最簡，對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)當(dāng)把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，便于運算，老師有針對性地提醒引領(lǐng)，對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì)，對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)該統(tǒng)一起來，化為分數(shù)指數(shù)冪，對(3)有多重根號的式子，應(yīng)先去根號，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊徹低平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對同學(xué)作準時的評價，注重總結(jié)解題的辦法和邏輯。

解：(1)a-4b23ab2==3b46a11。

點評：根式的運算經(jīng)?；蓛绲倪\算舉行，計算結(jié)果如沒有特別要求，就用根式的形式來表示。

（2）

=

=425a0b0=425.

點評：化簡這類式子普通有兩種方法，一是首先用負指數(shù)冪的定義把負指數(shù)化成正指數(shù)，另一個辦法是采納分式的基本性質(zhì)把負指數(shù)化成正指數(shù)。

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+2-3-2+2=0.

點評：考慮根號里面的數(shù)是一個徹低平方數(shù)，千萬注重方根的性質(zhì)的運用。

例3已知，n∈正整數(shù)集，求(x+1+x2)n的值。

活動：同學(xué)思量，觀看題目的特點，從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值，要有預(yù)見性，與具有對稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路，老師引領(lǐng)同學(xué)考慮問題的思路，須要時賦予提醒。

=。

這時應(yīng)看到1+x2=，

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。

解：將代入1+x2，得1+x2=，

所以(x+1+x2)n=

=

==5.

點評：運用整體思想和徹低平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法。

知能訓(xùn)練

課本習(xí)題2.1A組3.

通過投影儀投射下列補充練習(xí)：

1、化簡：的結(jié)果是（）

A.B.

C.D.

解析：按照本題的特點，注重到它的整體性，特殊是指數(shù)的邏輯性，我們可以舉行適當(dāng)?shù)淖冃巍?/p>

由于，所以原式的分子分母同乘以。

依次類推，所以。

答案：A

2、計算2790.5+0.1-2+-3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3、計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。

解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。

本題可以繼續(xù)向下做，去掉肯定值，作為思量留作課下練習(xí)。

4、設(shè)a0，，則(x+1+x2)n的值為__________.

解析：1+x2=。

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，

將代入1+x2，得1+x2=。

所以(x+1+x2)n=

==a.

答案：a

拓展提高

參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義。

活動：老師引領(lǐng)同學(xué)回顧無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，通過計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，按照這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值，通過靠近思想，“逼出”的意義，同學(xué)合作溝通，在投影儀上出示自己的探索結(jié)果。

解：3=1.73205080…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表。

3的過剩近似值

的過剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585

1.743.3403516781.733.317278183

1.7333.3241834461.7313.319578342

1.73213.322110361.73193.321649849

1.732063.3220182521.732043.3219722

1.7320513.3219975291.7320493.321992923

1.73205093.3219972981.73205073.321996838

1.732050813.3219970911.732050793.321997045

…………

我們把用2作底數(shù)，3的不足近似值作指數(shù)的各個冪排成從小到大的一列數(shù)

21.7,21.72,21.731,21.7319，…，

同樣把用2作底數(shù)，3的過剩近似值作指數(shù)的各個冪排成從大到小的一列數(shù)：

21.8,21.74,21.733,21.7321，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α?xí)絹碓节吔谕粋€數(shù)，我們把這個數(shù)記為，

即21.721.7321.73121.7319……21.732121.73321.7421.8.

也就是說是一個實數(shù)，=3.321997…也可以這樣解釋：

當(dāng)3的過剩近似值從大于3的方向靠近3時，23的近似值從大于的方向靠近；

當(dāng)3的不足近似值從小于3的方向靠近3時，23的近似值從小于的方向靠近。

所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述邏輯變化的結(jié)果，即≈3.321997.

課堂小結(jié)

（1）無理指數(shù)冪的意義。

普通地，無理數(shù)指數(shù)冪aα（a0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)。

（2）實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

對隨意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a0，r，s∈R)。

②(ar)s=ars(a0，r，s∈R)。

③(a?b)r=arbr(a0，b0，r∈R)。

（3）靠近的思想，體味無限臨近的含義。

作業(yè)

課本習(xí)題2.1B組2.

設(shè)計感想

無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，教學(xué)中要讓同學(xué)利用多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中也可以讓同學(xué)自己利用實際狀況去探究，自己得出結(jié)論，加深對概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能舉行推理，只能利用多媒體的教學(xué)手段，讓同學(xué)體味，特殊是靠近的思想、類比的思想，多作練習(xí)，提升同學(xué)理解問題、分析問題的能力。

備課資料

【備用習(xí)題】

1、以下各式中成立且結(jié)果為最簡根式的是（）

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

C.a2bb3aab3=8a7b15

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2、對于a0，r，s∈Q，以下運算中正確的是（）

A.ar?as=arsB.(ar)s=ars

C.abr=ar?bsD.arbs=(ab)r+s

答案：B

3、式子x-2x-1=x-2x-1成立當(dāng)且僅當(dāng)（）

A.x-2x-1≥0B.x≠1C.x1D.x≥2

解析：辦法一：

要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-10，x-2≥0，即x≥2.

若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立。

故選D.

辦法二：

對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-10時式子不成立。

對B，x-10時式子不成立。

對C，x1時x-1無意義。

對D正確。

答案：D

4、化簡b-(2b-1)(1b2)。p=

解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1b2)。p=

5、計算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5，

兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

∵x2+x+4=x+122+1540，∴x-1=0，即x=1.

∴32+5+32-5=1.

高中數(shù)學(xué)教案模板篇三

教學(xué)目標

1、明確等差數(shù)列的定義。

2、把握等差數(shù)列的通項公式，會解決知道中的三個，求另外一個的問題

3、培養(yǎng)同學(xué)觀看、歸納能力。

教學(xué)重點

1、等差數(shù)列的概念；

2、等差數(shù)列的通項公式

教學(xué)難點

等差數(shù)列“等差”特點的理解、掌握和應(yīng)用

教具預(yù)備

投影片1張

教學(xué)過程

(I)復(fù)習(xí)回顧

師：上兩節(jié)課我們共學(xué)生習(xí)了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種辦法通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數(shù)列的特點，下面看一些例子。（放投影片）

(Ⅱ)講授新課

師：看這些數(shù)列有什么共同的特點？

1，2，3，4，5，6;①

10，8，6，4，2，…；②

生：樂觀思量，找上述數(shù)列共同特點。

對于數(shù)列①(1≤n≤6)；(2≤n≤6)

對于數(shù)列②-2n(n≥1)(n≥2)

對于數(shù)列③(n≥1)(n≥2)

共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)。

師：也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)。

一、定義：

等差數(shù)列：普通地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與空的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3個數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是1，-2，。

二、等差數(shù)列的通項公式

師：等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得。若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據(jù)其定義可得：

若將這n-1個等式相加，則可得：

即：即：即：……

由此可得：師：看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。

如數(shù)列①(1≤n≤6)

數(shù)列②：(n≥1)

數(shù)列③：(n≥1)

由上述關(guān)系還可得：即：則：=如：三、例題講解

例1：(1)求等差數(shù)列8，5，2…的第20項

(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？假如是，是第幾項？

解：(1)由n=20，得(2)由得數(shù)列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。

(Ⅲ)課堂練習(xí)

生：（口答）課本P118練習(xí)3

（書面練習(xí)）課本P117練習(xí)1

師：組織同學(xué)自評練習(xí)（同桌研究）

(Ⅳ)課時小結(jié)

師：本節(jié)主要內(nèi)容為：①等差數(shù)列定義。

即(n≥2)

②等差數(shù)列通項公式(n≥1)

推導(dǎo)出公式：

(V)課后作業(yè)

一、課本P118習(xí)題3.21，2

二、1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P116例2P117例4

2、預(yù)習(xí)提綱：

①如何應(yīng)用等差數(shù)列的定義及通項公式解決一些相關(guān)問題？

②等差數(shù)列有哪些性質(zhì)？

高中數(shù)學(xué)教案篇四

教學(xué)預(yù)備

教學(xué)目標

1、數(shù)學(xué)學(xué)問：把握等比數(shù)列的概念，通項公式，及其有關(guān)性質(zhì)；

2、數(shù)學(xué)能力：利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比學(xué)習(xí)，培養(yǎng)同學(xué)類比歸納的能力；

歸納——猜測——證實的數(shù)學(xué)討論辦法；

3、數(shù)學(xué)思想：培養(yǎng)同學(xué)分類研究，函數(shù)的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重難點

重點：等比數(shù)列的概念及其通項公式，如何利用類比通過等差數(shù)列學(xué)習(xí)等比數(shù)列；

難點：等比數(shù)列的性質(zhì)的探究過程。

教學(xué)過程

教學(xué)過程：

1、問題引入：

前面我們已經(jīng)討論了一類特別的數(shù)列——等差數(shù)列。

問題1：滿足什么條件的數(shù)列是等差數(shù)列？如何確定一個等差數(shù)列？

（同學(xué)口述，并投影）：假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

要想確定一個等差數(shù)列，只要知道它的首項a1和公差d。

已知等差數(shù)列的首項a1和d，那么等差數(shù)列的通項公式為：（板書）an=a1+(n-1)d。

師：事實上，等差數(shù)列的關(guān)鍵是一個“差”字，即假如一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

（第一次類比）類似的，我們提出這樣一個問題。

問題2：假如一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的……等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做……數(shù)列。

（這里以填空的形式引領(lǐng)同學(xué)發(fā)揮自己的主意，對于“和”與“積”的狀況，可以通過詳細的例子予以說明：假如一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的“和”（或“積”）等于同一個常數(shù)的話，這個數(shù)列是一個各項重復(fù)浮現(xiàn)的“周期數(shù)列”，而與等差數(shù)列最相像的是“比”為同一個常數(shù)的狀況。而這個數(shù)列就是我們今日要討論的等比數(shù)列了。）

2、新課：

1)等比數(shù)列的定義：假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做公比。

師：這就牽涉到等比數(shù)列的通項公式問題，回憶一下等差數(shù)列的通項公式是怎樣得到的？類似于等差數(shù)列，要想確定一個等比數(shù)列的通項公式，要知道什么？

師生共同簡要回顧等差數(shù)列的通項公式推導(dǎo)的辦法：累加法和迭代法。

公式的推導(dǎo)：（師生共同完成）

若設(shè)等比數(shù)列的公比為q和首項為a1，則有：

辦法一：（累乘法）

3)等比數(shù)列的性質(zhì)：

下面我們一起來討論一下等比數(shù)列的性質(zhì)

利用上面的討論，我們發(fā)覺等比數(shù)列和等差數(shù)列之間似乎有著相像的地方，這為我們討論等比數(shù)列的性質(zhì)提供了一條思路：我們可以通過等差數(shù)列的性質(zhì)，利用類比得到等比數(shù)列的性質(zhì)。

問題4：假如{an}是一個等差數(shù)列，它有哪些性質(zhì)？

(按照同學(xué)實際狀況，可引領(lǐng)同學(xué)利用詳細例子，尋覓邏輯，如：

3、例題鞏固：

例1、一個等比數(shù)列的其次項是2，第三項與第四項的和是12，求它的第八項的值。

答案：1458或128。

例2、正項等比數(shù)列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，則log15a1a2a3…a20=_10____.

例3、已知一個等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在這個數(shù)列中取出一些項組成一個新的數(shù)列{cn}，使得{cn}是一個公比為2的等比數(shù)列，若能請指出{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第幾項？

（本題為開放題，沒有唯一的答案，如對于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，則ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第2k-1項。關(guān)鍵是對通項公式的理解）

1、小結(jié)：

今日我們主要學(xué)習(xí)了有關(guān)等比數(shù)列的概念、通項公式、以及它的性質(zhì)，利用今日的學(xué)習(xí)

我們不僅學(xué)到了關(guān)于等比數(shù)列的有關(guān)學(xué)問，更重要的是我們學(xué)會了由類比——猜測——證實的科學(xué)思維的過程。

2、作業(yè)：

P129：1，2，3

思量題：在等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些項：6，12，24，48，……，組成一個新的數(shù)列{cn