二次根式講義二次根式講義二次根式講義二次根式講義編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:二次根式復(fù)習(xí)講義知識點一：二次根式的概念【知識要點】二次根式的定義：形如a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被開方數(shù)，只有當(dāng)a是一個非負(fù)數(shù)時，【典型例題】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序號）．舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、√2、在、、、、中是二次根式的個數(shù)有______個.【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是．舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠42、如果代數(shù)式有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【例3】若y=++2009，則x+y=解題思路：式子（a≥0），，y=2009，則x+y=2014舉一反三：1、若，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是實數(shù)，且y=，求xy的值【例4】已知a是整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的值。舉一反三：1、若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則。知識點二：二次根式的性質(zhì)【知識要點】1.非負(fù)性：是一個非負(fù)數(shù)．注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運算中經(jīng)常用到．2.．注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正數(shù)．（2）能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術(shù)平方根代替．（3）可移到根號內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號留在根號外．4.公式與的區(qū)別與聯(lián)系（1）表示求一個數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實數(shù)．（2）表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù)．（3）和的運算結(jié)果都是非負(fù)的．【典型例題】題型一：二次根式的雙重非負(fù)性【例5】若則．舉一反三：1、若，則的值為。二次根式的性質(zhì)2（公式的運用）【例6】化簡：的結(jié)果為（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4舉一反三：1、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：二次根式的性質(zhì)3（公式的應(yīng)用）【例7】已知,則化簡的結(jié)果是（）A、 B、 C、 D、舉一反三：1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、若a－3＜0，則化簡的結(jié)果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－【例8】如果表示a，b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡│a－b│+的結(jié)果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a舉一反三：實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：．【例9】化簡的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實數(shù)（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（）（A） （B） （C） （D）或【例10】化簡二次根式的結(jié)果是（）（A）(B)(C)(D)舉一反三：1、把二次根式化簡，正確的結(jié)果是（）A. B. C. D.知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式：最簡二次根式的定義：①被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式．2、同類二次根式（可合并根式）：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式?！镜湫屠}】下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【例11】舉一反三：1、下列根式不是最簡二次根式的是()A.B.C.D.2、在根式1)，最簡二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)3、把下列各式化為最簡二次根式：(1)(2)【例12】下列根式中能與是合并的是()A.B.D.舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能與合并的二次根式是。 知識點四：二次根式計算——分母有理化【知識要點】1．分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項二次根式：利用來確定，如：，，與等分別互為有理化因式。②兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如與，，分別互為有理化因式。3．分母有理化的方法與步驟：①先將分子、分母化成最簡二次根式；②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式?！镜湫屠}】【例13】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例14】把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）舉一反三：1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）知識點五：二次根式計算——二次根式的乘除【知識要點】1．積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。=·（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法則：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根=（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法則：兩個數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術(shù)平方根。=（a≥0，b>0）注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結(jié)果化成最簡二次根式．【典型例題】【例15】化簡(1)(3)(3)×【例16】化簡：(1)(2)(3)知識點六：二次根式計算——二次根式的加減【知識要點】需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù)．【典型例題】【例17】計算（1）；（2）；【例18】（3）（4）【例19】1、2、·（-4）÷3、4、）【例20】求的值．知識點七：根式比較大小【知識要點】1、根式變形法當(dāng)時，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。2、平方法當(dāng)時，=1\*GB