(圓滿word版)蘇教版八年級(jí)上冊(cè)全等三角形全章復(fù)習(xí)與牢固(提升)(圓滿word版)蘇教版八年級(jí)上冊(cè)全等三角形全章復(fù)習(xí)與牢固(提升)(圓滿word版)蘇教版八年級(jí)上冊(cè)全等三角形全章復(fù)習(xí)與牢固(提升).全等三角形全章復(fù)習(xí)與牢固〔提升〕【學(xué)習(xí)目標(biāo)】認(rèn)識(shí)全等三角形的見(jiàn)解和性質(zhì)，能夠正確地鑒識(shí)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．研究三角形全等的判斷方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3．會(huì)作角的均分線，認(rèn)識(shí)角的均分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的均分線的性質(zhì)，會(huì)利用角的均分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【重點(diǎn)梳理】【全等三角形單元復(fù)習(xí)，知識(shí)重點(diǎn)】重點(diǎn)一、全等三角形的判斷與性質(zhì)一般三角形直角三角形邊角邊〔SAS〕兩直角邊對(duì)應(yīng)相等角邊角〔ASA〕判斷一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等角角邊〔AAS〕斜邊、直角邊定理〔HL〕邊邊邊〔SSS〕性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等〔其余對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等〕備注判斷三角形全等必然有一組對(duì)應(yīng)邊相等重點(diǎn)二、全等三角形的證明思路找?jiàn)A角SAS兩邊找直角HL找另一邊SSS邊為角的對(duì)邊找任一角AAS找?jiàn)A角的另一邊SAS一邊一角邊為角的鄰邊找?jiàn)A邊的另一角ASA找邊的對(duì)角AAS找?jiàn)A邊ASA兩角找任一邊AAS重點(diǎn)三、角均分線的性質(zhì)角的均分線的性質(zhì)定理角的均分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等...角的均分線的判判斷理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的均分線上.三角形的角均分線三角形角均分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.與角均分線有關(guān)的協(xié)助線在角兩邊截取相等的線段，結(jié)構(gòu)全等三角形；在角的均分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.重點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是由于全等三角形是研究特別三角形、四邊形、相像圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，能夠證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線地點(diǎn)關(guān)系等常有的幾何問(wèn)題.能夠適合總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角均分線的性質(zhì)證明角均分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角均分線的判斷進(jìn)行證明.(4)同角〔等角〕的余角〔補(bǔ)角〕相等.對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的地點(diǎn)關(guān)系〔平行、垂直〕的方法：可經(jīng)過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，獲得對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判斷或垂直定義證明.4．協(xié)助線的增添:作公共邊可結(jié)構(gòu)全等三角形；倍長(zhǎng)中線法；作以角均分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.證明三角形全等的思想方法:1〕直接利用全等三角形判斷和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們矯捷、迅速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.〔2〕假如要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，那么應(yīng)依據(jù)圖形的其余性質(zhì)或先證明其余的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.〔3〕假如現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置協(xié)助線，使之出現(xiàn)全等三角形，經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).【典型例題】種類(lèi)一、巧引協(xié)助線結(jié)構(gòu)全等三角形(1)．倍長(zhǎng)中線法1、，如圖，△ABC中，D是BC中點(diǎn)，DE⊥DF,試判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論...AEFBDC【思路點(diǎn)撥】由于D是BC的中點(diǎn)，按倍長(zhǎng)中線法，倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段DF，使DG＝DF,證明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)變到了△BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BE＋CF＞EF；證明：延伸FD到G，使DG＝DF,連結(jié)BG、EG∵D是BC中點(diǎn)∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中EDEDEDGEDFDGDF∴△EDG≌△EDF〔SAS〕∴EG＝EF在△FDC與△GDB中CDBD2DFDG∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【總結(jié)升華】有中點(diǎn)的時(shí)候作協(xié)助線可考慮倍長(zhǎng)中線法〔或倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段〕.貫串交融：【變式】：以以下列圖，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．【答案】證明：延伸CE至F使EF＝CE，連結(jié)BF．∵EC為中線，..∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中，

AEBE,AECBEF,CEEF,∴△AEC≌△BEF〔SAS〕．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等〕又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線，AB＝BD．即BF＝BD．BFBD,在△FCB與△DCB中，F(xiàn)BCDBC,BCBC,∴△FCB≌△DCB〔SAS〕．CF＝CD．即CD＝2CE．．作以角均分線為對(duì)稱軸的翻折變換結(jié)構(gòu)全等三角形2、：以以下列圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求證：AB＝AC＋CD．【答案與解析】證明：在AB上截取AE＝AC．AEAC(已作)，在△AED與△ACD中，12( )，ADAD(公用邊)，∴△AED≌△ACD〔SAS〕．ED＝CD．∠AED＝∠C(全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等)．又∵∠C＝2∠B∴∠AED＝2∠B．由圖可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，2∠B＝∠B＋∠EDB．∠B＝∠EDB．BE＝ED．即BE＝CD．AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代換)．【總結(jié)升華】本題圖形簡(jiǎn)單，結(jié)論復(fù)雜，看似無(wú)從下手，聯(lián)合圖形發(fā)現(xiàn)AB＞AC．故用截長(zhǎng)補(bǔ)短法．在AB上截取AE＝AC．這樣AB就變?yōu)榱薃E＋BE，而AE＝AC．只需證BE＝CD即可．從..而把AB＝AC＋CD轉(zhuǎn)變?yōu)樽C兩線段相等的問(wèn)題．貫串交融：【變式】如圖，AD是ABC的角均分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD.求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；假定∠B＋2∠DGA＝180°，請(qǐng)研究線段AG與線段AH、HD之間知足的等量關(guān)系，并加以證明.【答案】證明：〔1〕在AB上取一點(diǎn)M,使得AM＝AH,連結(jié)DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,C∴∠AHD＋∠B＝180.HD即∠B與∠AHD互補(bǔ).〔2〕由〔1〕∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,AMGB∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.〔3〕.利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作結(jié)構(gòu)全等三角形3、以以下列圖，△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的均分線，M是AD上隨意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【思路點(diǎn)撥】由于AB＞AC，因此可在AB上截取線段AE＝AC，這時(shí)BE＝AB－AC，假如連結(jié)EM，在△BME中，明顯有MB－ME＜BE．這說(shuō)明只需證明ME＝MC，那么結(jié)論建立．【答案與解析】..證明：由于AB＞AC，那么在AB上截取AE＝AC，連結(jié)ME．在△MBE中，MB－ME＜BE〔三角形兩邊之差小于第三邊〕．在△AMC和△AME中，ACAE(所作)，CAMEAM(角均分線的定義)，AMAM(公共邊)，∴△AMC≌△AME〔SAS〕．MC＝ME〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕．又∵BE＝AB－AE，BE＝AB－AC，MB－MC＜AB－AC．【總結(jié)升華】充分利用角均分線的對(duì)稱性，截長(zhǎng)補(bǔ)短是重點(diǎn).貫串交融：【變式】如圖，AD是△ABC的角均分線，AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC【答案】證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角均分線，∴∠BAD＝∠CADA在△AED與△ACD中AEACBADCADEADAD∴△AED≌△ADC〔SAS〕∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC〔4〕.在角的均分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段

BDC4、以以下列圖，E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求證：AF＝AD＋CF．..【思路點(diǎn)撥】四邊形ABCD為正方形，那么∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE說(shuō)明AE為∠FAD的均分線，按常例過(guò)角均分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而E到AD的距離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角均分線性質(zhì)可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME與Rt△ADE全等有AD＝AM．而題中要證AF＝AD＋CF．依據(jù)圖知AF＝AM＋MF．故只需證MF＝FC即可．進(jìn)而把證AF＝AD＋CF轉(zhuǎn)變?yōu)樽C兩條線段相等的問(wèn)題．【答案與解析】證明：作ME⊥AF于M，連結(jié)EF．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，AE為∠FAD的均分線，ME＝DE．AEAE(公用邊)，在Rt△AME與Rt△ADE中，DEME(已證)，Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．AD＝AM(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)．又∵E為CD中點(diǎn)，∴DE＝EC．ME＝EC．MECE(已證)，在Rt△EMF與Rt△ECF中，EFEF(公用邊)，Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．MF＝FC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)．由圖可知：AF＝AM＋MF，AF＝AD＋FC(等量代換)．【總結(jié)升華】與角均分線有關(guān)的協(xié)助線：在角兩邊截取相等的線段，結(jié)構(gòu)全等三角形；在角的均分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.5、以以下列圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延伸線于E，AE1BD，求證：BD是∠ABC的均分線．2..【答案與解析】證明：延伸AE和BC，交于點(diǎn)F，AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC〔對(duì)頂角相等〕，∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．因此Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA〕．那么AF=BD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〕．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，那么Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS〕．因此∠ABE=∠FBE〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等〕，即BD是∠ABC的均分線．【總結(jié)升華】假如由題目沒(méi)法直接獲得三角形全等，不如試著增添協(xié)助線結(jié)構(gòu)出三角形全等的條件，使問(wèn)題得以解決．平常練習(xí)中多累積一些協(xié)助線的增添方法.種類(lèi)二、全等三角形動(dòng)向型問(wèn)題【高清講堂：379111直角三角形全等的判斷，牢固練習(xí)5】6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過(guò)極點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn).1〕如圖1當(dāng)直線l不與底邊AB訂交時(shí)，求證：EF＝AE＋BF.2〕將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB訂交于點(diǎn)D，請(qǐng)你研究直線l在以下地點(diǎn)時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案與解析】證明：〔1〕∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°..∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中，AECCFB3ACBC∴△ACE≌△CBF〔AAS〕AE＝CF，CE＝BFEF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。〔2〕①EF＝AE－BF，原因以下：AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中AECCFB3ACBC∴△ACE≌△CBF〔AAS〕AE＝CF，CE＝BFEF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BFEF＝BF―AE證明同①.【總結(jié)升華】解決動(dòng)向幾何問(wèn)題時(shí)要擅長(zhǎng)抓住以下幾點(diǎn)：變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用；圖形在變化過(guò)程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化；本來(lái)的線段之間、角之間的地點(diǎn)與數(shù)目關(guān)系能否還存在是解題的重點(diǎn)；幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模擬與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化.貫串交融：【變式】：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右邊作正方形ADEF．1〕當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)〔與點(diǎn)B不重合〕，如圖