第六章

隨機(jī)變量的生成

第六章隨機(jī)變量的生成

進(jìn)行隨機(jī)仿真，必須要隨機(jī)抽樣，即產(chǎn)生服從一定分布的隨機(jī)變量。若給出隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x),，則可用各種方法生成服從該分布的隨機(jī)變量。

1、逆變法

2、函數(shù)變換法

進(jìn)行隨機(jī)仿真，必須要隨機(jī)抽樣，即產(chǎn)生服一、原理對(duì)任一嚴(yán)格單調(diào)增的分布函數(shù)F(x)，其逆函數(shù)X=F-1(U)的分布函數(shù)為若F(x)是隨機(jī)變量X的嚴(yán)格單調(diào)的分布函數(shù)，其逆函數(shù)U=F(X)也是隨機(jī)變量，0≤F(X)≤1，故0≤U≤1，于是對(duì)任一0≤u≤1有

逆變法一、原理逆變法

通過求隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)的逆函數(shù)，得到分布為F(x)的隨機(jī)數(shù)。由于通過逆函數(shù)得到隨機(jī)數(shù)，故稱為逆變法。逆變法的步驟是：

①生成隨機(jī)數(shù)；

②用逆函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)變量。通過求隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)的逆函二、均勻分布

在區(qū)間[a,b]上均勻分布U(a,b)，其概率密度函數(shù)f(x)及分布函數(shù)F(x)分別是：

則其逆函數(shù)為二、均勻分布用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)及Excel的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，據(jù)此試生成區(qū)間[3,5]服從均勻分布的隨機(jī)變量，并比較兩種結(jié)果。解：①隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)，ui=xi/(231-1)和Excel的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)ui；②由公式生成[3,5]的隨機(jī)變量xi=3+(5-3)*ui，結(jié)果及隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)的關(guān)系圖如下。用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)及第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件三、指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為令u＝F-1(x)（u

為[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)），即解此方程，有

三、指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為指數(shù)分布的概率生成均值為3的指數(shù)分布隨機(jī)變量。解：利用Excel的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)u，由逆變法公式

得指數(shù)分布隨機(jī)變量，計(jì)算結(jié)果如下生成均值為3的指數(shù)分布隨機(jī)變量。第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件四、離散分布X是離散隨機(jī)變量，取值為x1,x2,…,xn，其概率分布為分布函數(shù)為xF(x)x1x2x3

0

x4xnp1p2p3p4pn1離散分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)

計(jì)算離散分布隨機(jī)變量的步驟是：

①產(chǎn)生U(0,1)隨機(jī)數(shù)；

②若u≤p1，則x=x1；否則當(dāng)

時(shí)，x=xi，x是分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)數(shù)。四、離散分布X是離散隨機(jī)變量，取值為x1,x2,…,xn，其用逆變法求離散分布的隨機(jī)變量。解：先用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；比較所得隨機(jī)數(shù)u與分布函數(shù)，若u≤p1，x=x1；否則當(dāng)

時(shí)，x=xi，結(jié)果如下：用逆變法求離散分布第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件某產(chǎn)品的單位成本隨市場(chǎng)隨機(jī)波動(dòng)，歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

產(chǎn)品單位成本分布概率試用逆變法產(chǎn)生隨機(jī)變量。序號(hào)單位成本（元）概率1430.102440.203450.404460.205470.10某產(chǎn)品的單位成本隨市場(chǎng)隨機(jī)波動(dòng)，歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件逆變法須先求出分布函數(shù)的逆函數(shù)F-1，而有些分布函數(shù)的解析逆函數(shù)表達(dá)式難于求得，雖可用數(shù)值計(jì)算或冪級(jí)數(shù)展開求得F-1的近似表達(dá)式，往往因計(jì)算工作量過大而無法實(shí)現(xiàn)。逆變法須先求出分布函數(shù)的逆函數(shù)F-1，而有些分布函數(shù)的解析逆

函數(shù)變換法一、原理若隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)f(x)，分布函數(shù)為F(x)，隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)Y＝g(X)，當(dāng)逆函數(shù)x=g-1(y)=h(y)存在且連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)為p(y)=f[h(y)]|h’(y)|，由此算出其分布函數(shù)G(y)＝F[g-1(y)]，再用逆變法可得抽樣公式Y(jié)=g(X)。函數(shù)變換法是逆變法的推廣。函數(shù)變換法生成隨機(jī)變量的一般步驟是：①產(chǎn)生獨(dú)立的F(x)的隨機(jī)數(shù)x1，x2，…xn；②由抽樣公式，得隨機(jī)數(shù)列yi=g(xi)（i=1，2，…，n）。函數(shù)變換法一、原理二、正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為分布函數(shù)為通過Z變換，有令則有二、正態(tài)分布無法用逆變法直接從上式求得隨機(jī)變量Z?？刹捎肂ox-Muller的函數(shù)變換法。先產(chǎn)生兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z1和Z2，因?yàn)閆1、Z2獨(dú)立，故它們的聯(lián)合密度函數(shù)為令代入，則有無法用逆變法直接從上式求得隨機(jī)變量Z?？刹捎肂ox-Mull聯(lián)合密度函數(shù)f(r,θ)為r的函數(shù)與θ的函數(shù)之積,即

f(r,θ)=f1(θ)?f2(r)其中：只要產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)u1，u2∈U(0,1)，使θ=2πu1，即得通過Z變換

得到一般正態(tài)分布N(μ，σ2)隨機(jī)變量：

X1＝μ＋σZ1

X2＝μ＋σZ2聯(lián)合密度函數(shù)f(r,θ)為r的函數(shù)與θ的函數(shù)之積,即三、對(duì)數(shù)正態(tài)分布若X～N(μ，σ2)，則稱Y=eX所服從的分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，記為L(zhǎng)N(μ，σ2)。其均值和方差是：利用變換公式Y(jié)=eX，則可由N(μ，σ2)的隨機(jī)數(shù)生成LN(μ，σ2)隨機(jī)數(shù)。具體步驟是：

①產(chǎn)生N(0，1)分布隨機(jī)數(shù)ui；

②計(jì)算xi

=μ+σui；

③令

，則得對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN(μ，σ2)隨機(jī)變量。三、對(duì)數(shù)正態(tài)分布用函數(shù)變換法由N(3，0.12)分布的隨機(jī)數(shù)生成對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量。解：用Excel的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生N(0，1)分布隨機(jī)數(shù)ui，然后由xi

=3

+0.1ui得N(3，0.12)分布隨機(jī)數(shù)，再據(jù)

產(chǎn)生對(duì)數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量，結(jié)果如下。用函數(shù)變換法由N(3，0.12)分布的隨機(jī)數(shù)生成對(duì)數(shù)正態(tài)分布第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件生成隨機(jī)變量的方法主要有：逆變法、函數(shù)變換法、舍取法、卷積法、組合法等。常用分布的隨機(jī)變量可在仿真軟件包中直接找到，在實(shí)際使用時(shí)調(diào)用相應(yīng)的函數(shù)即可。生成隨機(jī)變量的方法主要有：逆變法、函數(shù)變換法、舍取法、卷積法第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件第六章

隨機(jī)變量的生成

第六章隨機(jī)變量的生成

進(jìn)行隨機(jī)仿真，必須要隨機(jī)抽樣，即產(chǎn)生服從一定分布的隨機(jī)變量。若給出隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x),，則可用各種方法生成服從該分布的隨機(jī)變量。

1、逆變法

2、函數(shù)變換法

進(jìn)行隨機(jī)仿真，必須要隨機(jī)抽樣，即產(chǎn)生服一、原理對(duì)任一嚴(yán)格單調(diào)增的分布函數(shù)F(x)，其逆函數(shù)X=F-1(U)的分布函數(shù)為若F(x)是隨機(jī)變量X的嚴(yán)格單調(diào)的分布函數(shù)，其逆函數(shù)U=F(X)也是隨機(jī)變量，0≤F(X)≤1，故0≤U≤1，于是對(duì)任一0≤u≤1有

逆變法一、原理逆變法

通過求隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)的逆函數(shù)，得到分布為F(x)的隨機(jī)數(shù)。由于通過逆函數(shù)得到隨機(jī)數(shù)，故稱為逆變法。逆變法的步驟是：

①生成隨機(jī)數(shù)；

②用逆函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)變量。通過求隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)的逆函二、均勻分布

在區(qū)間[a,b]上均勻分布U(a,b)，其概率密度函數(shù)f(x)及分布函數(shù)F(x)分別是：

則其逆函數(shù)為二、均勻分布用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)及Excel的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，據(jù)此試生成區(qū)間[3,5]服從均勻分布的隨機(jī)變量，并比較兩種結(jié)果。解：①隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)，ui=xi/(231-1)和Excel的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)ui；②由公式生成[3,5]的隨機(jī)變量xi=3+(5-3)*ui，結(jié)果及隨機(jī)變量與隨機(jī)數(shù)的關(guān)系圖如下。用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)及第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件三、指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為令u＝F-1(x)（u

為[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)），即解此方程，有

三、指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為指數(shù)分布的概率生成均值為3的指數(shù)分布隨機(jī)變量。解：利用Excel的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)u，由逆變法公式

得指數(shù)分布隨機(jī)變量，計(jì)算結(jié)果如下生成均值為3的指數(shù)分布隨機(jī)變量。第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件四、離散分布X是離散隨機(jī)變量，取值為x1,x2,…,xn，其概率分布為分布函數(shù)為xF(x)x1x2x3

0

x4xnp1p2p3p4pn1離散分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)

計(jì)算離散分布隨機(jī)變量的步驟是：

①產(chǎn)生U(0,1)隨機(jī)數(shù)；

②若u≤p1，則x=x1；否則當(dāng)

時(shí)，x=xi，x是分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)數(shù)。四、離散分布X是離散隨機(jī)變量，取值為x1,x2,…,xn，其用逆變法求離散分布的隨機(jī)變量。解：先用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器xi＝75xi-1mod(231-1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；比較所得隨機(jī)數(shù)u與分布函數(shù)，若u≤p1，x=x1；否則當(dāng)

時(shí)，x=xi，結(jié)果如下：用逆變法求離散分布第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件某產(chǎn)品的單位成本隨市場(chǎng)隨機(jī)波動(dòng)，歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

產(chǎn)品單位成本分布概率試用逆變法產(chǎn)生隨機(jī)變量。序號(hào)單位成本（元）概率1430.102440.203450.404460.205470.10某產(chǎn)品的單位成本隨市場(chǎng)隨機(jī)波動(dòng)，歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)第六章-隨機(jī)變量的生成-系統(tǒng)建模與仿真課件逆變法須先求出分布函數(shù)的逆函數(shù)F-1，而有些分布函數(shù)的解析逆函數(shù)表達(dá)式難于求得，雖可用數(shù)值計(jì)算或冪級(jí)數(shù)展開求得F-1的近似表達(dá)式，往往因計(jì)算工作量過大而無法實(shí)現(xiàn)。逆變法須先求出分布函數(shù)的逆函數(shù)F-1，而有些分布函數(shù)的解析逆

函數(shù)變換法一、原理若隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)f(x)，分布函數(shù)為F(x)，隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)Y＝g(X)，當(dāng)逆函數(shù)x=g-1(y)=h(y)存在且連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)為p(y)=f[h(y)]|h’(y)|，由此算出其分布函數(shù)G(y)＝F[g-1(y)]，再用逆變法可得抽樣公式Y(jié)=g(X)。函數(shù)變換法是逆變法的推廣。函數(shù)變換法生成隨機(jī)變量的一般步驟是：①產(chǎn)生獨(dú)立的F(x)的隨機(jī)數(shù)x1，x2，…xn；②由抽樣公式，得隨機(jī)數(shù)列yi=g(xi)（i=1，2，…，n）。函數(shù)變換法一、原理二、正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為分布函數(shù)為通過Z變換，有令則有二、正態(tài)分布無法用逆變法直接從上式求得隨機(jī)變量Z?？刹捎肂ox-Muller的函數(shù)變換法。先產(chǎn)生兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z1和Z2，因?yàn)閆1、Z2獨(dú)立，故它們的聯(lián)合密度函數(shù)為令代入，則有無法用逆變法直接從上式求得隨機(jī)變量Z?？刹捎肂ox-Mull聯(lián)合密度函數(shù)f(r,θ)為r的函數(shù)與θ的函數(shù)之積,即

f(r,θ)=f1(θ)?f2(r)其中：只要產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)u1，u2∈U(0,1)，使θ=2πu1，即得通過Z變換

得到一般正態(tài)分布N(μ，σ2)隨機(jī)變量：

X1＝μ＋σZ1