1992年全國高考數(shù)學(xué)試題及其參考答案數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)考生注意：這份試卷共三道大題(28個小題)．滿分120分．考試時間120分鐘．用鋼筆或圓珠筆直線答在試卷中，答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚．一、選擇題：本大題共18小題；每小題3分，共54分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)(1)的值是()(A)(B)1(C)(D)2(D)(2)如果函數(shù)y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π，那么常數(shù)ω為()(A)4(B)2(3)極坐標(biāo)方程分別是=cosθ和=sinθ的兩個圓的圓心距是()(C)(A)2(4)方程sin4xcos5x=－cos4xsin5x的一個解是()(A)10°(B)20°(B)(C)1(D)(C)50°(D)70°(5)已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的表面積的比是()(A)6：5(B)5：4(C)4：3(D)3：2(6)圖中曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖像．已知n取±2，±四個值，則相應(yīng)于曲線c1、c2、c3、c4的n依次為()(A)－2，－，，2(B)2，，－，－2(C)－，－2，2，(D)2，，－2，－(7)若loga2<logb2<0，則()(A)0<a<b<1(B)0<b<a<1(C)a>b>1(C)110°(D)b>a>1(8)直線(t為參數(shù))的傾斜角是()(A)20°(B))70°(D)160°(9)在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個(10)圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程是()(A)x2+y2－x－2y－=0(C)x2+y2－x－2y+1=0(B)x2+y2+x－2y+1=0(D)x2+y2－x－2y+=0(11)在(x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù)為()(A)160(B)240(C)360(D)800(12)若0<a<1，在[0，2π]上滿足sinx≥a的x的范圍是()(A)[0，arcsina](B)[arcsina，π－arcsina](D)[arcsina，(C)[π－arcsina，π]+arcsina](13)已知直線l1和l2夾角的平分線為y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0)，那么l2的方程是()(A)bx+ay+c=0(C)bx+ay－c=0(B)ax－by+c=0(D)bx－ay+c=0(14)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)(15)已知復(fù)數(shù)z的模為2，則|z－i|的最大值為(A)1(B)2的反函數(shù)()()(C)(D)3(16)函數(shù)y=(A)是奇函數(shù)，它在(0，+∞)上是減函數(shù)(B)是偶函數(shù)，它在(0，+∞)上是減函數(shù)(C)是奇函數(shù)，它在(0，+∞)上是增函數(shù)(D)是偶函數(shù)，它在(0，+∞)上是增函數(shù)(17)如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2－t)，那么()(A)f(2)<f(1)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1)(B)f(1)<f(2)<f(4)(D)f(4)<f(2)<f(1)(18)長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為()(A)(B)(C)5二、填空題：本大題共5小題；每小題3分，共15分．把答案填在題中橫線上．(19)方程的解是_________________(D)6(20)sin15°sin75°的值是(21)設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集數(shù)為T，則的值為___________________(22)焦點為F1(－2，0)和F2(6，0)，離心率為2的雙曲線的方程是__________(23)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是____________________三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟．(24)已知z∈C，解方程z－3i=1+3i．(25)已知，cos(α－β)=，sin(α+β)=．求sin2α的值．(26)已知：兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA1的長度為d．在直線a、b上分別取點E、F，設(shè)A1E=m，AF=n．求證：EF=．(27)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn．已知a3=12，S12>0，S13<0．(Ⅰ)求公差d的取值范圍．(Ⅱ)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由．(28)已知橢圓0)．證明(a>b>0)，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0，．1992年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．(1)A(2)D(3)D(4)B(5)D(6)B(7)B(8)C(9)D(10)D(11)B(12)B(13)A(14)D(15)D(16)C(17)A(18)C二、填空題：本題考查基本知識和基本運算．(19)x=－1(20)(21)(22)(23)三、解答題(24)本小題考查復(fù)數(shù)相等的條件及解方程的知識．解：設(shè)z=x+yi(x，y∈R)．將z=x+yi代入原方程，得(x+yi)(x－yi)－3i(x－yi)=1+3i，整理得x2+y2－3y－3xi=1+3i．①②根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得由①得x=－1．將x=－1代入②式解得y=0，y=3．∴z1=－1，z2=－1+3i．(25)本小題主要考查三角函數(shù)和角公式等基礎(chǔ)知識及運算能力．解：由題設(shè)知α—β為第一象限的角，∴sin(α—β)=由題設(shè)知α+β為第三象限的角，∴cos(α+β)=∴sin2α=sin[(α－β)+(α+β)]=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)=．(26)本小題考查空間圖形的線面關(guān)系，空間想象能力和邏輯思維能力．解法一：設(shè)經(jīng)過b與a平行的平面為α，經(jīng)過a和AA1的平面為β，α∩β=c，則c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．∵AA1⊥b，∴AA1⊥α．根據(jù)兩個平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β內(nèi)作EG⊥c，垂足為G，則EG=AA1．并且根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理，EG⊥α．連結(jié)FG，則EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．∵AG=m，∴在△AFG中，F(xiàn)G2=m2+n2－2mncosθ．∵EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2－2mncosθ．如果點F(或E)在點A(或A1)的另一側(cè)，則EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此，EF=解法二：經(jīng)過點A作直線c∥a，則c、b所成的角等于θ，且AA1⊥c．根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，AA1垂直于b、c所確定的平面a．在兩平行直線a、c所確定的平面內(nèi)，作EG⊥c，垂足為G，則EG平行且等于AA1，從而EG⊥α．連結(jié)FG，則根據(jù)直線和平面垂直的定義，EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．(以下同解法一)(27)本小題考查數(shù)列、不等式及綜合運用有關(guān)知識解決問題的能力．(Ⅰ)解：依題意，有①②即由a3=12，得a1=12－2d．③將③式分別代①、②式，得∴<d<－3(Ⅱ)解法一：由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an>0，an+1<0，則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．由于S12=6(a6+a7)>0，S13=13a7<0，即a6+a7>0，a7<0．由此得a6>－a7>0．因為a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．(Ⅱ)解法二：＝．∵d<0，∴最小時，Sn最大．當(dāng)<d<－3時，∵正整數(shù)n=6時最小，∴S6最大．(Ⅲ)解法三：由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13．因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an>0，an+1<0，則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．注：如果只答出S6的值最大，而未說明理由者，在(Ⅱ)中只給2分．(28)本小題考查橢圓性質(zhì)、直線方程等知識，以及綜合分析能力．證法一：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x1≠x2．又交點為P(x0，0)，故|PA|=|PB|，即(x1－x0)2+=(x2－x0)2+∵A、B在橢圓上，①∴，．將上式代入①，得2(x2－x1)x0=②∵x1≠x2，可得③∵－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，∴－2a<x