到目前為止，我們考慮的都是參數(shù)線性，同時(shí)又是變量線性的模型。本章將考慮參數(shù)線性，但變量不一定是線性的模型。雙對(duì)數(shù)模型或不變彈性模型半對(duì)數(shù)模型倒數(shù)模型所有這些模型的一個(gè)重要特征是，它們都是參數(shù)線性模型，但變量卻不一定是線性的。一、雙對(duì)數(shù)模型1.模型假設(shè)有如下函數(shù)Y

AX

B2i

i從模型可知，就我們目前的知識(shí)，無(wú)法用普通最小二乘法估計(jì)這樣的模型。但我們可以把以上模型作如下變化，得到：繼而，如果令B1

ln

A，則有：ln

ui以上模型稱為雙對(duì)數(shù)模型，或雙對(duì)數(shù)線性模型。iln

Y如果

ln

Yi

和ln

Xi

都看作單獨(dú)的變量，那么就可以將雙對(duì)數(shù)模型變?yōu)樽兞烤€性模型。試作如下變換

，

，得到

：iY

B

B

X

u1

2

i

i如果上式滿足古典線性回歸模型的基本假定，則很容易用普通最小二乘法估計(jì)，從而得到BLUE估計(jì)量。2.雙對(duì)數(shù)模型系數(shù)的特殊含義與變量線性回歸模型不同，雙對(duì)數(shù)模型的斜率系數(shù)B2

度量了Y對(duì)X的彈性，即X的變動(dòng)引起Y變動(dòng)的百分比。如果用符號(hào)Y

代表Y的一個(gè)微小變動(dòng)，X

代表X的一個(gè)微小變動(dòng)，則彈性E定義為：E

Y變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)

Y

/

Y

100

YX變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)

X

/

X

100

XX

slop(

X

)Y

Y從圖形上看，變量線性的回歸模型的圖形是一條直線，而雙對(duì)數(shù)模型的圖形是一條曲線，并且對(duì)于不同的X值來(lái)說(shuō)，都具有相同的彈性。所以，雙對(duì)數(shù)模型又稱為不變彈性模型。不變彈性模型例子：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（見(jiàn)P23）該例子主要關(guān)注

S.A.T大學(xué)入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)與家庭收入之間的關(guān)系。即：

數(shù)學(xué)成績(jī)與家庭收入之間的回歸關(guān)系。３.雙對(duì)數(shù)模型的假設(shè)檢驗(yàn)雙對(duì)數(shù)模型的假設(shè)檢驗(yàn)與線性模型沒(méi)有任何不同。在隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布的假設(shè)下，估計(jì)的回歸系數(shù)服從度為（n-k）的t分布，其中k為包括截距在內(nèi)的參數(shù)個(gè)數(shù)。比較線性和雙對(duì)數(shù)回歸模型（一個(gè)經(jīng)驗(yàn)問(wèn)題）對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)支出一例來(lái)說(shuō)，線性支出模型和雙對(duì)數(shù)模型哪個(gè)更合適？作散點(diǎn)圖，通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)判斷。（這種方式只適合雙變量模型）比較兩個(gè)模型的

值。該方法要求應(yīng)變量的形式必須是相同的。即使兩個(gè)模型中的r

2

應(yīng)變量相同，兩個(gè)

值可以直接比較，我們也建議不要根據(jù)最高 值這一標(biāo)準(zhǔn)選擇模型r。2

而應(yīng)該首先考慮進(jìn)入模型中的解釋變量之間的r

2

相關(guān)性、解釋變量系數(shù)的預(yù)期符號(hào)、統(tǒng)計(jì)顯著性以及類似彈性系數(shù)這樣的度量工具。5.多元對(duì)數(shù)線性回歸模型對(duì)于三變量對(duì)數(shù)線性模型來(lái)說(shuō)：模型中的偏斜率系數(shù)B2

、B3

又稱為偏彈性系數(shù)。因此，B2度量了X

3

不變條件下，Y

對(duì)X

2

的彈性，即在X

3

為常量時(shí)，X

2每變動(dòng)1%引起的Y

變化的百分比。類似地，B3

度量了X

2

不變條件下Y

對(duì)X

3

的彈性。二、如何測(cè)度增長(zhǎng)率：半對(duì)數(shù)模型1.半對(duì)數(shù)模型先看一個(gè)例子：根據(jù)下表中的

人口數(shù)據(jù)求1975-2007年的人口增長(zhǎng)率。考慮如下復(fù)利計(jì)算公式：Y

Y

(1

r)tt

0YX3iln

ui將上式作如下變形，等式兩邊取對(duì)數(shù)，得：ln

Yt

ln

Y0如果令B1

因此，可得：ln

Yt

B1將上式變化成為經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型，得到：形如上式的回歸模型稱為半對(duì)數(shù)模型或者增長(zhǎng)模型、對(duì)數(shù)-線性模型。利用OLS方法估計(jì) 一例的半對(duì)數(shù)模型，得到：

t

ln(1

r)B2

lnln

Yt

B12r

2ln(uspop)

5.3593

0.0107

tse

(0.0006)(0.0000)t

(3321.13)(129.779)

0.9982人口增長(zhǎng)一例估計(jì)的樣本回歸線人口一例估計(jì)的半對(duì)數(shù)模型中，斜率0.0107表示，平均而言， 人口的年增長(zhǎng)率為0.0107。截距5.36的

數(shù)（為212.576）可以表示1974年的人口值。2.瞬時(shí)增長(zhǎng)率與復(fù)合增長(zhǎng)率2

2于是：由b

B

的估計(jì)值

ln(1

r)

可知r

eb2

1在

人口增長(zhǎng)率一例中，有：此處要注意的是，通過(guò)對(duì)半對(duì)數(shù)模型估計(jì)所得到的斜率b2的值為0.0107，該值為

人口的瞬時(shí)增長(zhǎng)率，而通過(guò)計(jì)算而得到的r

值0.010757稱為復(fù)合增長(zhǎng)率。3.線性趨勢(shì)模型形如如下形式的模型稱為線性趨勢(shì)模型：eb2

1

rr

e0.01071

1.010757

1

0.010757對(duì) 人口增長(zhǎng)率一例線性趨勢(shì)模型的OLS估計(jì)結(jié)果如下：回歸結(jié)果表明，在樣本區(qū)間內(nèi)，人口每年以2.757(百萬(wàn))的絕對(duì)速度增長(zhǎng)。因而人口表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)。截距表明1969年的人口數(shù)為210（百萬(wàn)）。４.線性－對(duì)數(shù)模型：解釋變量是對(duì)數(shù)形式考慮如下例子：個(gè)人總消費(fèi)支出與服務(wù)支出的關(guān)系（1993.1～1998.3,1992年 價(jià)，10億

），數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：Yt

B1

B2t

utr

2uspopt

209.6731

t

(287.4376)2.757t(73.6450)

0.99431993.1～1998.3個(gè)人總消費(fèi)支出與各類支出的季度數(shù)據(jù)（10億）以個(gè)人總消費(fèi)支出X與服務(wù)支出Y的關(guān)系為例，得到線性－對(duì)數(shù)模型如下：Yt

B1

B2

ln

Xt

ut利用最小二乘法估計(jì)以上模型，回歸結(jié)果如下：在以上回歸結(jié)果中，斜率系數(shù)表示，如果個(gè)人總消費(fèi)支出。增加1個(gè)百分點(diǎn)，則平均服務(wù)支出將增加24.32(10億）作出這一解釋是因?yàn)椋€性-對(duì)數(shù)模型中的斜率系數(shù)可以表示為：r

2(89.89)(0.00)

0.9Y?

tse

(228.61)t

(78.33)p

(0.00)2

Y的絕對(duì)變化

YX的相對(duì)變化

X

/

XB而上式又可以表示為：所以，線性-對(duì)數(shù)模型中的斜率系數(shù)可以解釋為，解釋變量的相對(duì)變化所引起的應(yīng)變量的絕對(duì)變化量。三、倒數(shù)模型形如下式的模型稱為倒數(shù)模型（reciprocal

model）：倒數(shù)模型的一個(gè)顯著特征是，隨著X

的無(wú)限增大，(1/

Xi

)趨于零，Y

接近漸進(jìn)值或極限值B1

。因此，當(dāng)變量X

無(wú)限增大

時(shí)，倒數(shù)模型中的應(yīng)變量的取值將逐漸靠近其漸進(jìn)線或極值。2XY

B

(

X

)Yi

B1

B2Xi下圖描繪了倒數(shù)模型的一些曲線形狀：倒數(shù)模型：Yi

B1

2上圖ａ）中，若Ｙ表示生產(chǎn)的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表產(chǎn)出，則根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，隨著產(chǎn)出的不斷增加，平均固定成本將逐漸降低，最終接近產(chǎn)出軸。上圖ｂ）中的曲線可用來(lái)表示

消費(fèi)曲線。該曲線表明消費(fèi)者在某一個(gè)商品上的支出與其總收入或總消費(fèi)支出的關(guān)系。若Ｙ表示消費(fèi)者在某一個(gè)商品上的消費(fèi)支出，Ｘ表示消費(fèi)者的總收入，則該商品具有如下特征(1)收入有一個(gè)臨界值，在此臨界值下，不能某商品。在圖ｂ）中，收入的臨界值是 。(2)消費(fèi)有一個(gè)滿足水平，2(B在此水平之上，無(wú)論消費(fèi)者的收入有多高，也不會(huì)再有任何消費(fèi)。上圖Ｃ）中可以用來(lái)表示宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的

曲線。斯根據(jù)英國(guó)貨幣工資變化的百分比(Y)與失業(yè)率(X)的數(shù)據(jù)，得到了形如圖Ｃ）的曲線。圖中，工資隨著失業(yè)水平的變化是不對(duì)稱的。當(dāng)失業(yè)率低于U

N

時(shí)，工資U

隨N

失業(yè)率單位變化的變化比失業(yè)率高于

U

N

時(shí)更快，

稱U

N

為自然失業(yè)率。曲線（p113）例1： 1958-1969年的利用Eviews得到如下回歸結(jié)果：樣本回歸方程為：t

(0.

26)(4.

400.

202.569

1Y?XiR2

0)6.

6i例2：共同基金收取的咨詢費(fèi)下表給出了 共同基金支付給投資顧問(wèn)管理資產(chǎn)的費(fèi)用。支付的費(fèi)用與基金的凈資產(chǎn)有關(guān)。共同基金的管理費(fèi)用首先作上表的散點(diǎn)圖用與資產(chǎn)規(guī)模的散點(diǎn)圖由散點(diǎn)圖可知，兩個(gè)變量之間的關(guān)系是非線性的，具有一定的倒數(shù)關(guān)系。所以考慮采用倒數(shù)模型。利用如下的倒數(shù)模型采用最小二乘法得到回歸結(jié)果如下：Dependent

Variable:

FEEMethod:

Least

SquaresDate:

10/29/08

Time:

11:21Sample:

112Included

observations:

12VariableCoefficientStd.

Errort-StatisticProb.C0.4204120.01285832.697150.0000DASSET0.0549300.0220992.4856100.0322R-squared0.381886Mean

dependent

var0.432317Adjusted

R-squared0.320075S.D.

dependentvar0.0501