第二章導數(shù)與微分-第二章導數(shù)與微分-11、導數(shù)的概念2、導數(shù)的基本公式和運算法則3、函數(shù)的微分4、二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分本章要點-1、導數(shù)的概念2、導數(shù)的基本公式和運算法則3、函數(shù)的§2.1導數(shù)的概念-§2.1導數(shù)的概念-32.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景一.非勻速運動物體的速度問題運動方程(位置函數(shù))為勻速直線運動，變速直線運動，則從到的平均速度2.1導數(shù)的概念-2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景一.非勻速運動物體的速度問題運物體由運動到時間間隔愈小，速度愈接近于時刻的瞬時速度2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景平均-物體由運動到時間間隔如圖

二.曲線切線的斜率y=f(x)L2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景-如圖二.曲線切線的斜率y=f(x)L2.1.1定義

點

P

是曲當點

P沿曲線

L趨向于點

P0

時，如果割線

PP0

的極限位置

P0T

存在，則稱直線設(shè)點

P0

是曲線

L

上的一個定點，線L上的動點，P0T

為曲線

L在點

P0

處的切線.

2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景-定義點P是曲當點P沿曲線L趨向于點P0時，如設(shè)曲線方程為y=f(x).

y=f(x)在點P0(x0,y0)處的附近取一點P(x0+x,y0+y).則割線的斜率為2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景-設(shè)曲線方程為y=f(x).y=f(x)在點y=f(x)2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景如果當點P沿曲線趨向于點P0時，割線P0P的極限位置存在，即點P0處的切線存在，此刻

x0，，割線斜率

tan趨向切線P0T的斜率tan，即-y=f(x)2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景如果當點P沿2.1.2導數(shù)的定義三.導數(shù)的定義1、在處可導設(shè)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當在處取得增量(點仍在該鄰域內(nèi))時，函數(shù)取得增量若極限存在則稱此函數(shù)在點處可導，

此極限為函數(shù)-2.1.2導數(shù)的定義三.導數(shù)的定義1、在2.1.2導數(shù)的定義在點的導數(shù)，

函數(shù)在點的導數(shù)記為即

也可記為若極限不存在，則稱函數(shù)在處不可導.-2.1.2導數(shù)的定義在點的導數(shù)，1、導數(shù)的另一種表示形式：說明或若,則等價形式為：2.1.2導數(shù)的定義-1、導數(shù)的另一種表示形式：說明或若,則等價其中方塊為或的函數(shù),且2、對于函數(shù)在點處可導的定義，需要更進一步的理解為結(jié)構(gòu)式是：2.1.1導數(shù)的定義當時，只要符合上面的結(jié)構(gòu)式,其極限值也為函數(shù)在點的導數(shù).-其中方塊為或的函數(shù),且2、對于函數(shù)2.1.1導數(shù)的定義如：-2.1.1導數(shù)的定義如：-2.1.1導數(shù)的定義練一練1、設(shè)函數(shù)在處可導,且則2、設(shè)函數(shù)在處可導,當-2.1.1導數(shù)的定義練一練1、設(shè)函數(shù)在2.1.1導數(shù)的定義3、設(shè)函數(shù)在處可導,且則4、設(shè)則-2.1.1導數(shù)的定義3、設(shè)函數(shù)在提示：2.1.1導數(shù)的定義-提示：2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2、求某一點導數(shù)的一般步驟為：

（1）求函數(shù)的改變量（2）計算比值（3）求極限2.1.1導數(shù)的定義-2、求某一點導數(shù)的一般步驟為：（1）求函數(shù)的改變量（2）計例2利用導數(shù)的定義討論函數(shù)在處是否可導.解：

函數(shù)的定義域為故函數(shù)在處有定義.設(shè)函數(shù)在處附近有增量.則2.1.1導數(shù)的定義-例2利用導數(shù)的定義討論函數(shù)在處是否可導.解：故函數(shù)在處可導.2.1.1導數(shù)的定義3、左、右導數(shù)（單側(cè)導數(shù)）：

左導數(shù):若極限-故函數(shù)在處可導.2.1.1存在,在點的左導數(shù)，記為則稱其為2.1.1導數(shù)的定義右導數(shù):若極限存在,則稱其為在點的右導數(shù)，記為-存在,在點的左導數(shù)，記為則稱其為2.1.1導數(shù)2.1.1導數(shù)的定義函數(shù)在可導的條件:函數(shù)f(x)在點處可導的充分必要左導數(shù)和右導數(shù)都存在且條件是：相等.即函數(shù)f(x)在點處可導-2.1.1導數(shù)的定義函數(shù)在可導的條件:函數(shù)f2.1.1導數(shù)的定義【注】函數(shù)f(x)在點的左右導數(shù)有一個不存在，或者f(x)在點的左右導數(shù)都存在但不相等，則f(x)在點不可導.例3解-2.1.1導數(shù)的定義【注】函數(shù)f(x)在點的2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點處不可導.-2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點2.1.1導數(shù)的定義或故函數(shù)f(x)在點處不可導.-2.1.1導數(shù)的定義或故函數(shù)f(x)在點2.1.1導數(shù)的定義課堂練習判斷函數(shù)在在處的可導性.提示：-2.1.1導數(shù)的定義課堂判斷函數(shù)2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點處不可導.-2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點2.1.1導數(shù)的定義說明已知分段函數(shù)求函數(shù)是否在處可導.步驟：1、當時，按導數(shù)公式求當時，按導數(shù)公式求2、判定函數(shù)在點處的連續(xù)性.-2.1.1導數(shù)的定義說明已知分段函數(shù)求函數(shù)是否在2.1.1導數(shù)的定義若在分段點不連續(xù)，則函數(shù)在處不可導.若函數(shù)在處連續(xù),則有(3).3、當在分段點處的連續(xù)時,計算與若,則在點處-2.1.1導數(shù)的定義若在分段點不連續(xù)，則函數(shù)2.1.1導數(shù)的定義可導.否則用定義求導.

例4設(shè)函數(shù)在處可導，求常數(shù)解在處可導在處連續(xù)-2.1.1導數(shù)的定義可導.否則用定義求導.例4設(shè)在處可導2.1.1導數(shù)的定義即整理得解得-在處可導2.1.1導數(shù)的定義即整理得解得-2.1.1導數(shù)的定義如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導，則稱函數(shù)在開區(qū)間4、在區(qū)間可導區(qū)間可導:內(nèi)可導.區(qū)間可導:若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，-2.1.1導數(shù)的定義如果函數(shù)則稱在閉區(qū)間可導.

且右導數(shù)和左導數(shù)都存在，2.1.2求導數(shù)舉例5、導函數(shù)若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，這時，對于任意都對應著的一個確定的導數(shù)值.這樣就構(gòu)成了-則稱在閉區(qū)間可導.2.1.1導數(shù)的定義這個函數(shù)叫做函數(shù)的導一個新函數(shù)，函數(shù)，簡稱導數(shù).記作即-2.1.1導數(shù)的定義這個函數(shù)叫做函數(shù)的導說明

1、函數(shù)在點處的導數(shù)是導函數(shù)在點處的函數(shù)值,即2.1.1導數(shù)的定義-說明1、函數(shù)在點處的導數(shù)2.1.2求導數(shù)舉例6、求導函數(shù)的一般步驟為：

（1）求函數(shù)的改變量（2）計算比值（3）求極限-2.1.2求導數(shù)舉例6、求導函數(shù)的一般步驟為：（1）求2.1.3導數(shù)基本公式四.導數(shù)的基本公式1、常函數(shù)2、冪函數(shù)3、指數(shù)函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式四.導數(shù)的基本公式1、常函數(shù)2、冪2.1.3導數(shù)基本公式4、對數(shù)函數(shù)5、三角函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式4、對數(shù)函數(shù)5、三角函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式-2.1.3導數(shù)基本公式-2.1.3導數(shù)基本公式6、反三角函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式6、反三角函數(shù)-幾何上表示曲線在點五.導數(shù)的幾何意義2.1.4導數(shù)的幾何意義

函數(shù)在點處的導數(shù)在處的切線斜率.MT其中α是切線的傾角1、導數(shù)的幾何意義-幾何上表示曲線在點五.導數(shù)的幾何意義22.1.4導數(shù)的幾何意義2、在點處的切線方程3、在點處的法線方程MT-2.1.4導數(shù)的幾何意義2、在點2.1.4導數(shù)的幾何意義例5求等邊雙曲線在點處的切線的斜率,并寫出該點處的切線方程和法線方程.解所求切線的斜率為：-2.1.4導數(shù)的幾何意義例5求等邊雙曲線切線方程為：2.1.4導數(shù)的幾何意義法線斜率為法線方程為-切線方程為：2.1.4導數(shù)的幾何意義法線斜率為法線方程為2.1.4導數(shù)的幾何意義練一練時的切線方程和法線方程提示：法線斜率為-2.1.4導數(shù)的幾何意義練一練時的切線方程和法線方程提示∴切線方程為：∴法線方程為：2.1.4導數(shù)的幾何意義-∴切線方程為：∴法線方程為：2.1.4導數(shù)的幾何意義-導數(shù)的物理意義六.導數(shù)的物理意義-導數(shù)的物理意義六.導數(shù)的物理意義-導數(shù)的物理意義例6一物體的運動方程為求該物體在時的瞬時速度解：-導數(shù)的物理意義例6一物體的運動方程為求函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系：函數(shù)在某點可導，則必連續(xù)；連續(xù)不一定可導；函數(shù)不連續(xù)，則必不可導.-函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系：函數(shù)在函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系分析：

若函數(shù)在點處可導，即

由函數(shù)與其極限值的關(guān)系知：-函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系分析：若函數(shù)函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系故函數(shù)在連續(xù).

-函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系故函數(shù)在如：函數(shù)函數(shù)在處連續(xù)，函數(shù)在不可導.

-如：函數(shù)函數(shù)在處連隨堂練習討論在處的連續(xù)性與可導性.1、已知：2、設(shè)在點可導，且則-隨堂練習討論在處的連續(xù)性與可導性.1、已知：23、設(shè)，且極限存在,則4、設(shè)在處不連續(xù)，則必存在必不存在必存在必不存在-3、設(shè)，且極限存在,則4、設(shè)1、可導也連續(xù)2、23、B4、B-1、可導也連續(xù)2、23、B4、B-思考題當人們夜晚在馬路上行走時，如果身后有一盞路燈，就會看到前方的路面上留下了一條長長的身影，而且人影移動的速度明顯比人行走的速度快了許多，請用導數(shù)解釋這種現(xiàn)象.-思考題當人們夜晚在馬路上行走時，如果身后有一盞路燈，就會看到2.2.2復合函數(shù)的求導法則-2.2.2復合函數(shù)的求導法則-第二章導數(shù)與微分-第二章導數(shù)與微分-601、導數(shù)的概念2、導數(shù)的基本公式和運算法則3、函數(shù)的微分4、二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分本章要點-1、導數(shù)的概念2、導數(shù)的基本公式和運算法則3、函數(shù)的§2.1導數(shù)的概念-§2.1導數(shù)的概念-622.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景一.非勻速運動物體的速度問題運動方程(位置函數(shù))為勻速直線運動，變速直線運動，則從到的平均速度2.1導數(shù)的概念-2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景一.非勻速運動物體的速度問題運物體由運動到時間間隔愈小，速度愈接近于時刻的瞬時速度2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景平均-物體由運動到時間間隔如圖

二.曲線切線的斜率y=f(x)L2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景-如圖二.曲線切線的斜率y=f(x)L2.1.1定義

點

P

是曲當點

P沿曲線

L趨向于點

P0

時，如果割線

PP0

的極限位置

P0T

存在，則稱直線設(shè)點

P0

是曲線

L

上的一個定點，線L上的動點，P0T

為曲線

L在點

P0

處的切線.

2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景-定義點P是曲當點P沿曲線L趨向于點P0時，如設(shè)曲線方程為y=f(x).

y=f(x)在點P0(x0,y0)處的附近取一點P(x0+x,y0+y).則割線的斜率為2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景-設(shè)曲線方程為y=f(x).y=f(x)在點y=f(x)2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景如果當點P沿曲線趨向于點P0時，割線P0P的極限位置存在，即點P0處的切線存在，此刻

x0，，割線斜率

tan趨向切線P0T的斜率tan，即-y=f(x)2.1.1導數(shù)產(chǎn)生的背景如果當點P沿2.1.2導數(shù)的定義三.導數(shù)的定義1、在處可導設(shè)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當在處取得增量(點仍在該鄰域內(nèi))時，函數(shù)取得增量若極限存在則稱此函數(shù)在點處可導，

此極限為函數(shù)-2.1.2導數(shù)的定義三.導數(shù)的定義1、在2.1.2導數(shù)的定義在點的導數(shù)，

函數(shù)在點的導數(shù)記為即

也可記為若極限不存在，則稱函數(shù)在處不可導.-2.1.2導數(shù)的定義在點的導數(shù)，1、導數(shù)的另一種表示形式：說明或若,則等價形式為：2.1.2導數(shù)的定義-1、導數(shù)的另一種表示形式：說明或若,則等價其中方塊為或的函數(shù),且2、對于函數(shù)在點處可導的定義，需要更進一步的理解為結(jié)構(gòu)式是：2.1.1導數(shù)的定義當時，只要符合上面的結(jié)構(gòu)式,其極限值也為函數(shù)在點的導數(shù).-其中方塊為或的函數(shù),且2、對于函數(shù)2.1.1導數(shù)的定義如：-2.1.1導數(shù)的定義如：-2.1.1導數(shù)的定義練一練1、設(shè)函數(shù)在處可導,且則2、設(shè)函數(shù)在處可導,當-2.1.1導數(shù)的定義練一練1、設(shè)函數(shù)在2.1.1導數(shù)的定義3、設(shè)函數(shù)在處可導,且則4、設(shè)則-2.1.1導數(shù)的定義3、設(shè)函數(shù)在提示：2.1.1導數(shù)的定義-提示：2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2.1.1導數(shù)的定義-2、求某一點導數(shù)的一般步驟為：

（1）求函數(shù)的改變量（2）計算比值（3）求極限2.1.1導數(shù)的定義-2、求某一點導數(shù)的一般步驟為：（1）求函數(shù)的改變量（2）計例2利用導數(shù)的定義討論函數(shù)在處是否可導.解：

函數(shù)的定義域為故函數(shù)在處有定義.設(shè)函數(shù)在處附近有增量.則2.1.1導數(shù)的定義-例2利用導數(shù)的定義討論函數(shù)在處是否可導.解：故函數(shù)在處可導.2.1.1導數(shù)的定義3、左、右導數(shù)（單側(cè)導數(shù)）：

左導數(shù):若極限-故函數(shù)在處可導.2.1.1存在,在點的左導數(shù)，記為則稱其為2.1.1導數(shù)的定義右導數(shù):若極限存在,則稱其為在點的右導數(shù)，記為-存在,在點的左導數(shù)，記為則稱其為2.1.1導數(shù)2.1.1導數(shù)的定義函數(shù)在可導的條件:函數(shù)f(x)在點處可導的充分必要左導數(shù)和右導數(shù)都存在且條件是：相等.即函數(shù)f(x)在點處可導-2.1.1導數(shù)的定義函數(shù)在可導的條件:函數(shù)f2.1.1導數(shù)的定義【注】函數(shù)f(x)在點的左右導數(shù)有一個不存在，或者f(x)在點的左右導數(shù)都存在但不相等，則f(x)在點不可導.例3解-2.1.1導數(shù)的定義【注】函數(shù)f(x)在點的2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點處不可導.-2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點2.1.1導數(shù)的定義或故函數(shù)f(x)在點處不可導.-2.1.1導數(shù)的定義或故函數(shù)f(x)在點2.1.1導數(shù)的定義課堂練習判斷函數(shù)在在處的可導性.提示：-2.1.1導數(shù)的定義課堂判斷函數(shù)2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點處不可導.-2.1.1導數(shù)的定義故函數(shù)f(x)在點2.1.1導數(shù)的定義說明已知分段函數(shù)求函數(shù)是否在處可導.步驟：1、當時，按導數(shù)公式求當時，按導數(shù)公式求2、判定函數(shù)在點處的連續(xù)性.-2.1.1導數(shù)的定義說明已知分段函數(shù)求函數(shù)是否在2.1.1導數(shù)的定義若在分段點不連續(xù)，則函數(shù)在處不可導.若函數(shù)在處連續(xù),則有(3).3、當在分段點處的連續(xù)時,計算與若,則在點處-2.1.1導數(shù)的定義若在分段點不連續(xù)，則函數(shù)2.1.1導數(shù)的定義可導.否則用定義求導.

例4設(shè)函數(shù)在處可導，求常數(shù)解在處可導在處連續(xù)-2.1.1導數(shù)的定義可導.否則用定義求導.例4設(shè)在處可導2.1.1導數(shù)的定義即整理得解得-在處可導2.1.1導數(shù)的定義即整理得解得-2.1.1導數(shù)的定義如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導，則稱函數(shù)在開區(qū)間4、在區(qū)間可導區(qū)間可導:內(nèi)可導.區(qū)間可導:若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，-2.1.1導數(shù)的定義如果函數(shù)則稱在閉區(qū)間可導.

且右導數(shù)和左導數(shù)都存在，2.1.2求導數(shù)舉例5、導函數(shù)若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，這時，對于任意都對應著的一個確定的導數(shù)值.這樣就構(gòu)成了-則稱在閉區(qū)間可導.2.1.1導數(shù)的定義這個函數(shù)叫做函數(shù)的導一個新函數(shù)，函數(shù)，簡稱導數(shù).記作即-2.1.1導數(shù)的定義這個函數(shù)叫做函數(shù)的導說明

1、函數(shù)在點處的導數(shù)是導函數(shù)在點處的函數(shù)值,即2.1.1導數(shù)的定義-說明1、函數(shù)在點處的導數(shù)2.1.2求導數(shù)舉例6、求導函數(shù)的一般步驟為：

（1）求函數(shù)的改變量（2）計算比值（3）求極限-2.1.2求導數(shù)舉例6、求導函數(shù)的一般步驟為：（1）求2.1.3導數(shù)基本公式四.導數(shù)的基本公式1、常函數(shù)2、冪函數(shù)3、指數(shù)函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式四.導數(shù)的基本公式1、常函數(shù)2、冪2.1.3導數(shù)基本公式4、對數(shù)函數(shù)5、三角函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式4、對數(shù)函數(shù)5、三角函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式-2.1.3導數(shù)基本公式-2.1.3導數(shù)基本公式6、反三角函數(shù)-2.1.3導數(shù)基本公式6、反三角函數(shù)-幾何上表示曲線在點五.導數(shù)的幾何意義2.1.4導數(shù)的幾何意義

函數(shù)在點處的導數(shù)在處的切線斜率.MT其中α是切線的傾角1、導數(shù)的幾何意義-幾何上表示曲線在點五.導數(shù)的幾何意義22.1.4導數(shù)的幾何意義2、在點處的切線方程3、在點處的法線方程MT-2.1.4導數(shù)的幾何意義2、在點2.1.4導數(shù)的幾何意義例5