§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形§2-10拉（壓）超靜定問題MechanicofMaterials第五、六講內(nèi)容目錄§2-12應(yīng)力集中的概念§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能1§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形§2-10拉（壓）超靜定拉壓桿的變形與位移、超靜定問題

教學要求：1、超靜定問題的基本方法（拉壓）

；2、熟練掌握縱向、橫向應(yīng)變，虎克定律和材料的彈性模量E這些基本概念和定律；3、掌握求拉壓桿的變形。

重點：應(yīng)變、虎克定律

難點：求拉壓桿系變形后的位置

學時安排：2學時教學內(nèi)容：第五、六講的內(nèi)容、要求、重難點MechanicofMaterials2拉壓桿的變形與位移、超靜定問題教學內(nèi)容：第五、六講§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形一、等直桿在軸向拉伸或壓縮時的變形直桿在外力F作用前后的情況如圖中所示：

1、軸向變形MechanicofMaterials軸向絕對變形3§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形一、等直桿在軸向拉伸或壓縮時軸線方向線應(yīng)變：

橫截面上應(yīng)力：

虎克定律：

------------虎克定律的兩種表達形式

物理意義：即當應(yīng)力不超過比例極限時，桿件的伸長l與F和桿件的原長度成正比，與橫截面面積A成反比。式中：EA——桿件的抗拉（壓）剛度。EA越大，l越小

MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形4軸線方向線應(yīng)變：橫截面上應(yīng)力：虎克定律：-------2）構(gòu)件的工作應(yīng)力（線彈性范圍內(nèi)）；3）軸力N、橫截面面積A為常量——等直桿兩端受軸向力；討論：1.軸力變化時1）L為“+”時伸長，為“-”時縮短，符號規(guī)定與軸力一致。拉為“+”，壓為“-”。2.橫截面變化時：BCACAB階梯狀桿2.公式的應(yīng)用范圍與注意事項52）構(gòu)件的工作應(yīng)力（線彈性范圍內(nèi)）；3）軸力N、橫截面面積A若軸力FN=FN(x)，或AN=AN(x)則3、位移的計算物體受外力后會發(fā)生形狀和尺寸的改變，稱為物體的變形，物體變形后，在物體上一些點、線、面會發(fā)生空間位置的改變。物體點、線、面空間位置的改變稱位移。有變形就會有位移；但有位移不一定有變形，因為可能是剛體位移。6若軸力FN=FN(x)，或AN=AN(x)則3、

例1圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長△L解:7例1圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2例2

螺栓直徑d1=10.1mm，擰緊后在計算長度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生總伸長

?l=0.03mm,鋼的彈性模量E=210Gpa,試計算螺栓內(nèi)應(yīng)力和螺栓的預緊力。解：應(yīng)變:應(yīng)力:預緊力:8例2螺栓直徑d1=10.1mm，擰緊后在計算長度l=800.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa例3:已知:1)求最大的工作正應(yīng)力。2)求桿的絕對變形量Δl。試：FN圖（kN）20（+）10(－)§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形MechanicofMaterials

Paσ圖（MPa）40（+）20（－）50（－）90.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2AA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形MechanicofMaterials10kN0.1m0.1m0.1m30kNFN圖（kN）20（+）10(－)σ圖（MPa）40（+）20（－）50（－）10A1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8二、橫向變形：

橫向應(yīng)變：

實踐表明：當應(yīng)力不超過比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，即：μ——稱為橫向變形系數(shù)或泊松比，是個沒有量綱的量。

MechanicofMaterials因和的符號總是相反的。故可知§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形幾種常用材料的

值見書P33表2.211二、橫向變形：橫向應(yīng)變：實踐表明：當應(yīng)力不超過比例極三．變截面桿在軸向拉伸或壓縮時的變形

圖所示，截面尺寸沿軸線變化緩慢，且外力作用線與軸線重合，我們在桿件中取出dx微段，由于dx非常微小。故從而，整個桿件的伸長為：

§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形dxlOSx怎樣求A(x)b1b2bMechanicofMaterials由相似三角形的比例關(guān)系求解A(x)。12三．變截面桿在軸向拉伸或壓縮時的變形圖所示，截l四、等直桿在分布力系作用下的變形例4如圖，等直桿，外力為F，自重集度為q，長度為l，容重為彈性模量為E，容許應(yīng)力為[]求：伸長l。FMechanicofMaterials[分析]此題與上面一題非常相似，由于自重的影響，桿內(nèi)各橫截面的軸力不相等，故不能直接應(yīng)用

而必須從桿的長度為dx的微段出發(fā)，略去無窮小量dN(x)，用公式并利用積分求得

△l

§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形13l四、等直桿在分布力系作用下的變形例4如圖，等直桿，lFFMechanicofMaterials

作微段的受力分析如圖所示，利用虎克定律可得微段dx的伸長為：對上式兩邊按桿件長度進行積分，即可求得整個桿件的伸長量為：§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形14lFFMechanicofMaterials例5：圖示為一簡單托架，BC桿為圓鋼，橫截面直徑d=20mm，BD桿為8號槽鋼。若,試求B點的位移。設(shè)F=60kN(b)B2B1BB3(c)MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形4m3mDCBFB3B1B2(a)GHααα15例5：圖示為一簡單托架，BC桿為圓鋼，橫截面直徑d=20mm解：（1）對B點作受力分析，如圖(b)由

（2）根據(jù)靜力學平衡方程求未知應(yīng)力MechanicofMaterials（3）由虎克定律求BC、BD桿的變形：(b)（4）求B點位移§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形16解：（1）對B點作受力分析，如圖(b)由（2）根據(jù)靜力學平討論1：圖示為一簡單桁架，DB桿橫截面為A、桿長l；BC桿為8號槽鋼。若已知力F和兩桿彈性模量均為E。試求B點的位移。

MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形DCBFαB‘0(b)BF17討論1：圖示為一簡單桁架，DB桿橫截面為A、桿長l；MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形例題7

簡易起重機構(gòu)如圖，

為剛性梁，求C點的位移LPqABCDhxEAB’C’18MechanicofMaterials§2-8軸向123LFAB剛體MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題求A點的位移A’0αααF19123LFAB剛體MechanicofMateria§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄MechanicofMaterials討論題2：在板狀試件的表面上，沿縱向和橫向粘貼兩個應(yīng)變片，在立作用下，若測得則該試件材料的泊松比是

。FF√20§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄Mechanic§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄MechanicofMaterials討論題3：圖示階梯桿總變形EA2EA3FF2Fll√21§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄Mechanic目錄MechanicofMaterials§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形討論題4：圖示平板，受均布荷載q作用，若變形前在板面上劃兩條平行線AB、CD階梯桿總變形。，α角減??；，α角不變；，α角增大；qqABαCDα√22目錄MechanicofMaterials§2-71、定義：在外力作用下，彈性體因變形而儲存的能量，稱為變形能或應(yīng)變能。則：設(shè)直線的斜率為k2、變形能的計算MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能一、基本概念P（1）彈性范圍，外力與變形成正比231、定義：在外力作用下，彈性體因變形而儲存的能量，稱為變力由零逐漸增加。在比例極限的范圍之內(nèi)關(guān)系如圖。當外力加到F1時，桿件的伸長量為l1。當外力加到F1+dF1時，桿件的伸長量為l1+d(l1)。

由于dF1為無窮小量，在區(qū)間(a,b)內(nèi)我們可近似地認為F1為常量，則在這個區(qū)間內(nèi)外力作的功為：

MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能P24力由零逐漸增加。在比例極限的范圍之內(nèi)關(guān)系dW在數(shù)值上等于陰影部分的面積，當我們把拉力F看作是一系列dF1的積累時，則拉力F所作的總功W應(yīng)為上述微分面積的總和。即W等于F~l線下與水平軸之間區(qū)域的面積。

根據(jù)功能原理可知：拉力F所作的功應(yīng)等于桿件所儲存的變形能。（緩慢加載，動能忽略，熱能微小，可忽略）桿件的變形能用U表示，則：MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能P25dW在數(shù)值上等于陰影部分的面積，當我們把拉力F看作是由虎克定律：變形能：

由于整個桿件內(nèi)各點的受力是均勻的，故每單位體積內(nèi)儲存的變形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示。——比能

∵∴

（線彈性范圍內(nèi)）單位：比能的單位為：J/m3MechanicofMaterials（2-17）

§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能P26由虎克定律：變形能：由于整個桿件內(nèi)各點的受力是均解：例：求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點A的位移A

。已知F=100kN,桿長l=2m，桿徑d=25mm,

=30°，材料的彈性模量E=210GPa。FABCaa12MechanicofMaterials而§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能27解：例：求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點A的一、靜定與超靜定的概念：1、靜定問題

僅利用靜力學平衡方程就可求解出全部未知力的問題稱為靜定問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。2、超靜定問題

僅利用靜力學平衡方程無法確定全部未知力的問題稱為超靜定問題或靜不定問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)?！?-10拉（壓）超靜定問題特點：未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)目。特點：未知力的個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)目。MechanicofMaterials28一、靜定與超靜定的概念：1、靜定問題2、超靜定問題§2-10二、實例

如圖所示：當把螺母旋進1/4圈以后，螺栓必然受到拉力而FN1而使筒受到壓力FN2，由于在這里求解FN1，F(xiàn)N2

的靜力平衡方程只有一個：故不能求解出FN1和FN2

，因此該問題屬靜不定問題。

MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題29二、實例如圖所示：當把螺母旋進1/4圈以后，螺三、靜不定次數(shù)（——超靜定次數(shù)）=

未知力數(shù)目—獨立平衡方程的數(shù)目。四、求解步驟：

（1）通過分析多余未知力的數(shù)目和獨立平衡方程的數(shù)目，判明是否屬靜不定問題，若是靜不定問題，屬幾次靜不定問題。（2）建立靜力學平衡方程。（3）根據(jù)構(gòu)件之間的變形關(guān)系，找出幾何方程。（4）根據(jù)虎克定律建立物理方程。（5）根據(jù)靜力平衡方程、幾何方程、物理方程求解出全部求知力。MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題五、荷載作用下超靜定問題30三、靜不定次數(shù)（——超靜定次數(shù)）=未知力數(shù)目—獨立平四、求例４：AB桿上下兩端固定，尺寸、材料、受力，求約束反力、桿內(nèi)應(yīng)力。（1）建立靜力學平衡方程（2）尋找?guī)缀畏匠蹋?）建立物理方程(1)PBAC(3)(2)PABCPCBAMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題31例４：AB桿上下兩端固定，尺寸、材料、受力，求約束反力、桿（4）依據(jù)幾何方程和物理方程確立變形協(xié)調(diào)條件（或稱相容方程、補充方程）(4)（5）聯(lián)立方程（1）、（4），即可求解未知力解題關(guān)鍵點：找?guī)缀畏匠?、建立協(xié)調(diào)條件方程。MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題應(yīng)力：PBAC32（4）依據(jù)幾何方程和物理方程確立變形協(xié)調(diào)(4)（5）聯(lián)立方程同學思考ABlllF1F2ABll△FMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題33同學思考ABlllF1F2ABll△FMechanico例5：如圖所示結(jié)構(gòu)中，1，2桿抗拉剛度為E1A1，3桿抗拉剛度為E3A3，求各桿內(nèi)力?解：1）取A結(jié)點研究，作受力圖如圖所示（1）由于未知力個數(shù)是2個（FN1和FN3），而平衡方程數(shù)只有1個，故為一次超靜定問題。A123PLP2）建立靜力學平衡方程（2）MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題34例5：如圖所示結(jié)構(gòu)中，1，2桿抗拉剛度為E1A1，3桿3）幾何方程由結(jié)構(gòu)、材料、荷載的對稱性4）物理方程123LA（3）（4）5）變形協(xié)調(diào)條件（5）聯(lián)立（3）、（4）MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題6）聯(lián)立（1），（5）即可求得未知力如下353）幾何方程由結(jié)構(gòu)、材料、荷載的對稱性4）物理方程123LA例6：

列出求解圖示靜不定結(jié)構(gòu)的靜力學平衡方程、幾何方程和物理方程。解：1）靜力學平衡方程2）幾何方程123LaaFAB剛體ＰMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題36例6：列出求解圖示靜不定結(jié)構(gòu)的靜力學平衡方程、幾何方程解一、裝配應(yīng)力的求解（舉例說明）

裝配應(yīng)力（對于一個靜不定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)裝配過程中產(chǎn)生的應(yīng)力）和溫度應(yīng)力（對于一個靜不定結(jié)構(gòu)，溫度變化導致構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力）問題均為靜不定問題中的一種，屬特殊的靜不定問題。因此，該兩種問題的求解方法與前述靜不定問題的求解方法一致。

例7：如圖所示，3桿因制造誤差，比設(shè)計尺寸短了，求強行裝配之后，各桿內(nèi)產(chǎn)生的裝配應(yīng)力。A123LMechanicofMaterials§2-11溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力37一、裝配應(yīng)力的求解（舉例說明）裝配應(yīng)力（對于一2）建立靜力學平衡方程（根據(jù)受力圖）3）建立幾何方程（根據(jù)幾何變形圖）AA1）取A點為研究對象，畫受力圖和幾何變形圖如圖所示（1）（2）MechanicofMaterials§2-10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力4）物理方程5）變形協(xié)調(diào)條件（3）（4）6）聯(lián)立（1），（4）即可求得未知力382）建立靜力學平衡方程（根據(jù)受力圖）3）建立幾何方程（1）平衡方程2）幾何方程為引起的壓縮變形二、溫度應(yīng)力的求解（舉例說明）LALABLA例8：如圖所示靜不定結(jié)構(gòu)，求其溫度由時，構(gòu)件內(nèi)部的應(yīng)力值。解MechanicofMaterials§2-10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力錄像1391）平衡方程2）幾何方程為引起的壓縮變形二、溫度應(yīng)力的求解（4）變形協(xié)調(diào)條件

5）由變形協(xié)調(diào)條件可直接求得桿端約束反力3）物理方程——線脹系數(shù)進而求得構(gòu)件橫截面上溫度應(yīng)力為MechanicofMaterials§2-10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力錄像2404）變形協(xié)調(diào)條件5）由變形協(xié)調(diào)條件可直接求得桿端約束反力3作業(yè)P.58：2-17、18、192-24、42、46、48

作業(yè)41作業(yè)P.58：2-17、18、19作業(yè)41小結(jié)：1.應(yīng)力正應(yīng)力σ剪應(yīng)力τ應(yīng)變線應(yīng)變ε角應(yīng)變γ2、虎克定律系統(tǒng)的材料的力的獨立性原理軸向拉伸或壓縮時的變形、超靜定問題３、三類超靜定問題42小結(jié)：1.應(yīng)力正應(yīng)力σ剪應(yīng)力τ應(yīng)變線應(yīng)變ε角應(yīng)變γ2、虎克思考題目錄MechanicofMaterials30oFABCD123請思考：圖示結(jié)構(gòu)是幾次超靜定？43思考題目錄MechanicofMaterials3思考題目錄MechanicofMaterials30oFABCD123ABCD30o12330oFAFN1FN2FN3xy可列幾個靜力方程？如何建立變形幾何方程？44思考題目錄MechanicofMaterials3§2-12應(yīng)力集中的概念一、應(yīng)力集中現(xiàn)象：

由于構(gòu)件截面突然變化而引起的局部應(yīng)力發(fā)生驟然變化的現(xiàn)象。

幾何形狀不連續(xù)處應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中（stressconcentration）。

MechanicofMaterialsFFdbmaxFFFmax45§2-12應(yīng)力集中的概念一、應(yīng)力集中現(xiàn)象：Mechan§2-12應(yīng)力集中的概念工程中常見的油孔、溝槽、軸肩、螺紋等均發(fā)生構(gòu)件尺寸突變，突變處將產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。即目錄§2-11應(yīng)力集中的概念MechanicofMaterials46§2-12應(yīng)力集中的概念圣維南原理（Saint-Venantprinciple）：如果桿端兩種外加力靜力學等效，則距離加力點稍遠處，靜力學等效對應(yīng)力分布的影響很小，可以忽略不計?！?-12應(yīng)力集中的概念MechanicofMaterials47圣維南原理（Saint-Venantprinciple）：應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)描述。應(yīng)力集中處橫截面上的應(yīng)力最大值與不考慮應(yīng)力集中時的應(yīng)力值(稱為名義應(yīng)力)之比，稱為應(yīng)力集中因數(shù)(factorofstressconcentration)，用K表示：

§2-12應(yīng)力集中的概念MechanicofMaterials

應(yīng)力集中程度與外形的突變程度直接相關(guān)，突變越劇烈，應(yīng)力集中程度越劇烈。理想應(yīng)力集中系數(shù):其中：——最大局部應(yīng)力——名義應(yīng)力（平均應(yīng)力）48應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)描述。應(yīng)力集中處橫截面上

靜載下，塑性材料可不考慮應(yīng)力集中MechanicofMaterials§2-12應(yīng)力集中的概念FFdbFFmaxFmaxFmaxFmaxmax脆性材料（除特殊的，如鑄鐵）應(yīng)考慮應(yīng)力集中。

動載下，塑性和脆性材料均需考慮。49靜載下，塑性材料可不考慮應(yīng)力集中Mechan§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形§2-10拉（壓）超靜定問題MechanicofMaterials第五、六講內(nèi)容目錄§2-12應(yīng)力集中的概念§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能50§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形§2-10拉（壓）超靜定拉壓桿的變形與位移、超靜定問題

教學要求：1、超靜定問題的基本方法（拉壓）

；2、熟練掌握縱向、橫向應(yīng)變，虎克定律和材料的彈性模量E這些基本概念和定律；3、掌握求拉壓桿的變形。

重點：應(yīng)變、虎克定律

難點：求拉壓桿系變形后的位置

學時安排：2學時教學內(nèi)容：第五、六講的內(nèi)容、要求、重難點MechanicofMaterials51拉壓桿的變形與位移、超靜定問題教學內(nèi)容：第五、六講§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形一、等直桿在軸向拉伸或壓縮時的變形直桿在外力F作用前后的情況如圖中所示：

1、軸向變形MechanicofMaterials軸向絕對變形52§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形一、等直桿在軸向拉伸或壓縮時軸線方向線應(yīng)變：

橫截面上應(yīng)力：

虎克定律：

------------虎克定律的兩種表達形式

物理意義：即當應(yīng)力不超過比例極限時，桿件的伸長l與F和桿件的原長度成正比，與橫截面面積A成反比。式中：EA——桿件的抗拉（壓）剛度。EA越大，l越小

MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形53軸線方向線應(yīng)變：橫截面上應(yīng)力：虎克定律：-------2）構(gòu)件的工作應(yīng)力（線彈性范圍內(nèi)）；3）軸力N、橫截面面積A為常量——等直桿兩端受軸向力；討論：1.軸力變化時1）L為“+”時伸長，為“-”時縮短，符號規(guī)定與軸力一致。拉為“+”，壓為“-”。2.橫截面變化時：BCACAB階梯狀桿2.公式的應(yīng)用范圍與注意事項542）構(gòu)件的工作應(yīng)力（線彈性范圍內(nèi)）；3）軸力N、橫截面面積A若軸力FN=FN(x)，或AN=AN(x)則3、位移的計算物體受外力后會發(fā)生形狀和尺寸的改變，稱為物體的變形，物體變形后，在物體上一些點、線、面會發(fā)生空間位置的改變。物體點、線、面空間位置的改變稱位移。有變形就會有位移；但有位移不一定有變形，因為可能是剛體位移。55若軸力FN=FN(x)，或AN=AN(x)則3、

例1圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長△L解:56例1圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2例2

螺栓直徑d1=10.1mm，擰緊后在計算長度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生總伸長

?l=0.03mm,鋼的彈性模量E=210Gpa,試計算螺栓內(nèi)應(yīng)力和螺栓的預緊力。解：應(yīng)變:應(yīng)力:預緊力:57例2螺栓直徑d1=10.1mm，擰緊后在計算長度l=800.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa例3:已知:1)求最大的工作正應(yīng)力。2)求桿的絕對變形量Δl。試：FN圖（kN）20（+）10(－)§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形MechanicofMaterials

Paσ圖（MPa）40（+）20（－）50（－）580.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2AA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形MechanicofMaterials10kN0.1m0.1m0.1m30kNFN圖（kN）20（+）10(－)σ圖（MPa）40（+）20（－）50（－）59A1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8二、橫向變形：

橫向應(yīng)變：

實踐表明：當應(yīng)力不超過比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，即：μ——稱為橫向變形系數(shù)或泊松比，是個沒有量綱的量。

MechanicofMaterials因和的符號總是相反的。故可知§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形幾種常用材料的

值見書P33表2.260二、橫向變形：橫向應(yīng)變：實踐表明：當應(yīng)力不超過比例極三．變截面桿在軸向拉伸或壓縮時的變形

圖所示，截面尺寸沿軸線變化緩慢，且外力作用線與軸線重合，我們在桿件中取出dx微段，由于dx非常微小。故從而，整個桿件的伸長為：

§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形dxlOSx怎樣求A(x)b1b2bMechanicofMaterials由相似三角形的比例關(guān)系求解A(x)。61三．變截面桿在軸向拉伸或壓縮時的變形圖所示，截l四、等直桿在分布力系作用下的變形例4如圖，等直桿，外力為F，自重集度為q，長度為l，容重為彈性模量為E，容許應(yīng)力為[]求：伸長l。FMechanicofMaterials[分析]此題與上面一題非常相似，由于自重的影響，桿內(nèi)各橫截面的軸力不相等，故不能直接應(yīng)用

而必須從桿的長度為dx的微段出發(fā)，略去無窮小量dN(x)，用公式并利用積分求得

△l

§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形62l四、等直桿在分布力系作用下的變形例4如圖，等直桿，lFFMechanicofMaterials

作微段的受力分析如圖所示，利用虎克定律可得微段dx的伸長為：對上式兩邊按桿件長度進行積分，即可求得整個桿件的伸長量為：§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形63lFFMechanicofMaterials例5：圖示為一簡單托架，BC桿為圓鋼，橫截面直徑d=20mm，BD桿為8號槽鋼。若,試求B點的位移。設(shè)F=60kN(b)B2B1BB3(c)MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形4m3mDCBFB3B1B2(a)GHααα64例5：圖示為一簡單托架，BC桿為圓鋼，橫截面直徑d=20mm解：（1）對B點作受力分析，如圖(b)由

（2）根據(jù)靜力學平衡方程求未知應(yīng)力MechanicofMaterials（3）由虎克定律求BC、BD桿的變形：(b)（4）求B點位移§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形65解：（1）對B點作受力分析，如圖(b)由（2）根據(jù)靜力學平討論1：圖示為一簡單桁架，DB桿橫截面為A、桿長l；BC桿為8號槽鋼。若已知力F和兩桿彈性模量均為E。試求B點的位移。

MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形DCBFαB‘0(b)BF66討論1：圖示為一簡單桁架，DB桿橫截面為A、桿長l；MechanicofMaterials§2-8軸向拉伸或壓縮時的變形例題7

簡易起重機構(gòu)如圖，

為剛性梁，求C點的位移LPqABCDhxEAB’C’67MechanicofMaterials§2-8軸向123LFAB剛體MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題求A點的位移A’0αααF68123LFAB剛體MechanicofMateria§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄MechanicofMaterials討論題2：在板狀試件的表面上，沿縱向和橫向粘貼兩個應(yīng)變片，在立作用下，若測得則該試件材料的泊松比是

。FF√69§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄Mechanic§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄MechanicofMaterials討論題3：圖示階梯桿總變形EA2EA3FF2Fll√70§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形目錄Mechanic目錄MechanicofMaterials§2-7軸向拉伸或壓縮時的變形討論題4：圖示平板，受均布荷載q作用，若變形前在板面上劃兩條平行線AB、CD階梯桿總變形。，α角減??；，α角不變；，α角增大；qqABαCDα√71目錄MechanicofMaterials§2-71、定義：在外力作用下，彈性體因變形而儲存的能量，稱為變形能或應(yīng)變能。則：設(shè)直線的斜率為k2、變形能的計算MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能一、基本概念P（1）彈性范圍，外力與變形成正比721、定義：在外力作用下，彈性體因變形而儲存的能量，稱為變力由零逐漸增加。在比例極限的范圍之內(nèi)關(guān)系如圖。當外力加到F1時，桿件的伸長量為l1。當外力加到F1+dF1時，桿件的伸長量為l1+d(l1)。

由于dF1為無窮小量，在區(qū)間(a,b)內(nèi)我們可近似地認為F1為常量，則在這個區(qū)間內(nèi)外力作的功為：

MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能P73力由零逐漸增加。在比例極限的范圍之內(nèi)關(guān)系dW在數(shù)值上等于陰影部分的面積，當我們把拉力F看作是一系列dF1的積累時，則拉力F所作的總功W應(yīng)為上述微分面積的總和。即W等于F~l線下與水平軸之間區(qū)域的面積。

根據(jù)功能原理可知：拉力F所作的功應(yīng)等于桿件所儲存的變形能。（緩慢加載，動能忽略，熱能微小，可忽略）桿件的變形能用U表示，則：MechanicofMaterials§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能P74dW在數(shù)值上等于陰影部分的面積，當我們把拉力F看作是由虎克定律：變形能：

由于整個桿件內(nèi)各點的受力是均勻的，故每單位體積內(nèi)儲存的變形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示?！饶?/p>

∵∴

（線彈性范圍內(nèi)）單位：比能的單位為：J/m3MechanicofMaterials（2-17）

§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能P75由虎克定律：變形能：由于整個桿件內(nèi)各點的受力是均解：例：求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點A的位移A

。已知F=100kN,桿長l=2m，桿徑d=25mm,

=30°，材料的彈性模量E=210GPa。FABCaa12MechanicofMaterials而§2-9軸向拉伸或壓縮時的變形能76解：例：求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點A的一、靜定與超靜定的概念：1、靜定問題

僅利用靜力學平衡方程就可求解出全部未知力的問題稱為靜定問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。2、超靜定問題

僅利用靜力學平衡方程無法確定全部未知力的問題稱為超靜定問題或靜不定問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)?！?-10拉（壓）超靜定問題特點：未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)目。特點：未知力的個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)目。MechanicofMaterials77一、靜定與超靜定的概念：1、靜定問題2、超靜定問題§2-10二、實例

如圖所示：當把螺母旋進1/4圈以后，螺栓必然受到拉力而FN1而使筒受到壓力FN2，由于在這里求解FN1，F(xiàn)N2

的靜力平衡方程只有一個：故不能求解出FN1和FN2

，因此該問題屬靜不定問題。

MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題78二、實例如圖所示：當把螺母旋進1/4圈以后，螺三、靜不定次數(shù)（——超靜定次數(shù)）=

未知力數(shù)目—獨立平衡方程的數(shù)目。四、求解步驟：

（1）通過分析多余未知力的數(shù)目和獨立平衡方程的數(shù)目，判明是否屬靜不定問題，若是靜不定問題，屬幾次靜不定問題。（2）建立靜力學平衡方程。（3）根據(jù)構(gòu)件之間的變形關(guān)系，找出幾何方程。（4）根據(jù)虎克定律建立物理方程。（5）根據(jù)靜力平衡方程、幾何方程、物理方程求解出全部求知力。MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題五、荷載作用下超靜定問題79三、靜不定次數(shù)（——超靜定次數(shù)）=未知力數(shù)目—獨立平四、求例４：AB桿上下兩端固定，尺寸、材料、受力，求約束反力、桿內(nèi)應(yīng)力。（1）建立靜力學平衡方程（2）尋找?guī)缀畏匠蹋?）建立物理方程(1)PBAC(3)(2)PABCPCBAMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題80例４：AB桿上下兩端固定，尺寸、材料、受力，求約束反力、桿（4）依據(jù)幾何方程和物理方程確立變形協(xié)調(diào)條件（或稱相容方程、補充方程）(4)（5）聯(lián)立方程（1）、（4），即可求解未知力解題關(guān)鍵點：找?guī)缀畏匠?、建立協(xié)調(diào)條件方程。MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題應(yīng)力：PBAC81（4）依據(jù)幾何方程和物理方程確立變形協(xié)調(diào)(4)（5）聯(lián)立方程同學思考ABlllF1F2ABll△FMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題82同學思考ABlllF1F2ABll△FMechanico例5：如圖所示結(jié)構(gòu)中，1，2桿抗拉剛度為E1A1，3桿抗拉剛度為E3A3，求各桿內(nèi)力?解：1）取A結(jié)點研究，作受力圖如圖所示（1）由于未知力個數(shù)是2個（FN1和FN3），而平衡方程數(shù)只有1個，故為一次超靜定問題。A123PLP2）建立靜力學平衡方程（2）MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題83例5：如圖所示結(jié)構(gòu)中，1，2桿抗拉剛度為E1A1，3桿3）幾何方程由結(jié)構(gòu)、材料、荷載的對稱性4）物理方程123LA（3）（4）5）變形協(xié)調(diào)條件（5）聯(lián)立（3）、（4）MechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題6）聯(lián)立（1），（5）即可求得未知力如下843）幾何方程由結(jié)構(gòu)、材料、荷載的對稱性4）物理方程123LA例6：

列出求解圖示靜不定結(jié)構(gòu)的靜力學平衡方程、幾何方程和物理方程。解：1）靜力學平衡方程2）幾何方程123LaaFAB剛體ＰMechanicofMaterials§2-10拉（壓）超靜定問題85例6：列出求解圖示靜不定結(jié)構(gòu)的靜力學平衡方程、幾何方程解一、裝配應(yīng)力的求解（舉例說明）

裝配應(yīng)力（對于一個靜不定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)裝配過程中產(chǎn)生的應(yīng)力）和溫度應(yīng)力（對于一個靜不定結(jié)構(gòu)，溫度變化導致構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力）問題均為靜不定問題中的一種，屬特殊的靜不定問題。因此，該兩種問題的求解方法與前述靜不定問題的求解方法一致。

例7：如圖所示，3桿因制造誤差，比設(shè)計尺寸短了，求強行裝配之后，各桿內(nèi)產(chǎn)生的裝配應(yīng)力。A123LMechanicofMaterials§2-11溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力86一、裝配應(yīng)力的求解（舉例說明）裝配應(yīng)力（對于一2）建立靜力學平衡方程（根據(jù)受力圖）3）建立幾何方程（根據(jù)幾何變形圖）AA1）取A點為研究對象，畫受力圖和幾何變形圖如圖所示（1）（2）MechanicofMaterials§2-10