精品文檔精品文檔“等差數(shù)列的前項(xiàng)和”教案教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)活動(dòng)說(shuō)明創(chuàng)設(shè)情境首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點(diǎn)，傳說(shuō)中陵寢中有一個(gè)三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時(shí)提出第一個(gè)問(wèn)題:你能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計(jì)算1+2+3+..+100=？問(wèn)題2：何老師按揭買房向銀行貸款萬(wàn)元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數(shù)額。我第一次向銀行還款年月，元，以后每月比上月的還款額減少元，若以銀行貸款利率為基準(zhǔn)利率那么到月最后一次還款為止，何老師連本帶利一共還款多少萬(wàn)元？生活引入新課。模型直觀用實(shí)際首先認(rèn)識(shí)一位偉大的數(shù)學(xué)家一一高斯，然后提出問(wèn)題：高斯是如何快速計(jì)算1+2+3+4+..+100？設(shè)等差數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)和為S，則nS■a■a■???■a■an12n■n問(wèn)題老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？老師：但是否剛好配對(duì)成功呢？。（1）n為偶數(shù)時(shí)S■a????■an1n2an

.2學(xué)生：1+100=101，2+99=101，..50+51=101,所以原式=50■（1+101）=5050學(xué)生：將首末兩項(xiàng)配對(duì)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)，以此類推，每一對(duì)的和都相等，并且都等于a1?an。學(xué)生：不一定，需要對(duì)n取值的奇偶進(jìn)行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)剛好配對(duì)成功。高斯求

和眾所周知，學(xué)生能

快速解答。這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì)從高斯算法出發(fā)，對(duì)n進(jìn)(2)n為奇數(shù)時(shí):■a■l???■a■a■a■l???■a■2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)a落單了。,nn2行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。對(duì)中間項(xiàng)老師：那么該如何解決落單的a呢？~_n■1__0S■—(a■a)■a2n21nn?a2IanHinnnn■—(a■a)■二__三21n2■n(a■a)21n同過(guò)對(duì)n取值的討論，得到了前nn項(xiàng)和求和公式:S■_(a■a)n21n但是對(duì)n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項(xiàng)和公式呢？接下來(lái)給出實(shí)際問(wèn)題：伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場(chǎng)的木頭根數(shù)呢？問(wèn)題：如何用倒置的思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和呢？方法一：S■a■a■…■a■annn■21兩式相加得：2s■n(a■a)n1nn■S■—(a■a)

n21n方法二同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：S■a■(a■d)-..■[a■(nHl)d]n111(可能部分學(xué)生在此會(huì)遇到困難，老師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。)學(xué)生：觀察a的腳標(biāo)與

_k2a1■an腳標(biāo)的關(guān)系，即：a■a學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來(lái)解決此問(wèn)題。(由上一問(wèn)題的解決學(xué)生容易想到倒序相加求和法。)學(xué)生：利用倒序相加求和法。將S中的每一項(xiàng)用等n差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫，在倒序相加求和S■a■(a■d)■…■[a■(n■1)d]時(shí)，每一組中的d都被正負(fù)a_h2解決辦法的過(guò)程中，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)列就是對(duì)腳標(biāo)數(shù)學(xué)的研究。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)抵消了。兩式相加得：2s■n(a■a)n1n:_nzz公式1：S■—(a■a)n21n引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，換掉a整理得到公式2。ka”q■:c?幾(兒?)M公式2：S■na■dn12學(xué)生類比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。議練活動(dòng)例1：計(jì)算(1)1+2+3++n(2)1+3+5++(2n-1)2+4+6++2n(4)1-2+3-4+5-6++(2n-1)-2n教師通過(guò)動(dòng)畫演示給問(wèn)一個(gè)直觀的解釋。變式練習(xí)：課前提出的房貸問(wèn)題。解由已知每月還款數(shù)成等差數(shù)列設(shè)為■■a■2348,dBIE,n■240n?1n(n■1)S■na■_()dn12240■239240■2348■2■(IE)420120(元)學(xué)生自己閱讀教材，體會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用求和公式。觀察多媒體課件演示。學(xué)生：要求總還款額實(shí)際就是對(duì)一個(gè)等差數(shù)列求和。問(wèn)題：能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢?

教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。公式1：S/na^nl學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，而梯形面積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。學(xué)生：同樣將公式與梯形面積公式建立聯(lián)系。用“割”的思想將梯形分做一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，而梯形面積就是這兩部分面積之和。題獲得知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題一一提出問(wèn)題一一解決問(wèn)題”的過(guò)程通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式有直

觀的認(rèn)精品文檔精品文檔式aan1公式2S■na■n(ndn12識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言。(n■1)daI(n■1)d1剖析公式：議I公式1尸整)練公式2S■na■n(n叫dn12通項(xiàng)公式：a■a■(n■1)dn1教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。例等差數(shù)列少項(xiàng)的和為？，，22…前多解：設(shè)題中的等差數(shù)列是前n項(xiàng)和則a1=110,d=—6—(—10)=4令.,54,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，精品文檔,0n■學(xué)生討論：公式中一共含有五個(gè)量，根據(jù)三個(gè)公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二。學(xué)生討論分析題目所含的已知量，選取了公式2進(jìn)行運(yùn)算，利用了方程的思想。需要注意的是學(xué)生可能會(huì)把公差認(rèn)為是-4,以及解得n的值后未把n=-3舍去。學(xué)生進(jìn)行了分組討論，然后每組派學(xué)生代表進(jìn)行分析。不少小組首先對(duì)已知條件作轉(zhuǎn)化，希望能通過(guò)解方程求出首項(xiàng)和公差，但例2在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，深化了對(duì)公式的理解，體現(xiàn)了方程的思想。緊扣教材，讓學(xué)生體會(huì)整體應(yīng)用公式，類比化歸的思精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔得：發(fā)現(xiàn)條件不夠，不能解出這想方解得n—9,n一3(舍去)些基本量，教師做適當(dāng)?shù)囊ǎn12因此等差數(shù)列的前項(xiàng)和是例3：在等差數(shù)列a｝中n(1)已知：a■a■a■a■36,求S25121516(2)已知：a■20,求S611解：()■a■a■a■a■a■a215512116■a■a■a■a■18116215導(dǎo)。本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主時(shí)，為以后綜合問(wèn)題的解答設(shè)下伏筆。堂總-0一16(a■a).，,■S■—16-■144162,、t.(aj)■11()、■111要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說(shuō)明.(1)回顧從特殊到一\ykJ1111122a?1…般，一般到特殊的研究方法.結(jié)■—6■220本小題主要考察了對(duì)公式一的整體應(yīng)(2)體會(huì)等差數(shù)列的基本元表示方法，倒序相加的用。根據(jù)課堂剩余時(shí)間，本題作為機(jī)動(dòng)練習(xí)，算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思通過(guò)對(duì)()小問(wèn)留給學(xué)生課后完成。1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.想.(3)掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用。等差數(shù)列求和歷史的了解，2、課后作業(yè)：教材118頁(yè)：1、2、3、5、6、7了解我國(guó)古代研究等差滲透數(shù)課后思考：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的求和方法除了倒序相加法還有沒(méi)有其它方法呢3、對(duì)求和史的了解我國(guó)數(shù)列求和的概念起源很早，在北朝時(shí)，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在《張丘建算經(jīng)》中給出等差數(shù)列求和問(wèn)題：例如：今有女子不善織布，每天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，共織三十日，問(wèn)共織幾何？原書的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之再乘以織日數(shù)，即得。”數(shù)列求和的情況。學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷和學(xué)生的反饋信息，筆者對(duì)本課有如下五點(diǎn)反思：（1）根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，學(xué)生比較容易掌握本課知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，我重點(diǎn)突出了學(xué)生活動(dòng)，設(shè)計(jì)了四個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)：（1公）式的探究活動(dòng)；（2公）式的認(rèn)識(shí)（3公）式的應(yīng)用（學(xué)生課后的拓展學(xué)習(xí)。（2）本課特別強(qiáng)調(diào)了幾何直觀，我不僅對(duì)求和公式給出了幾何解釋，也對(duì)部分習(xí)題給出了幾何解釋，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。（3）由于高斯求和法眾所周知，于是我補(bǔ)充了我國(guó)古代研究數(shù)列求和的情況，但由于時(shí)間關(guān)系不能展開講解，所以如何在課后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了解是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。（4）本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強(qiáng)大功能，