同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1.倒數(shù)關(guān)系2.商數(shù)關(guān)系3.平方關(guān)系tan·cot=1sin2+cos2=1tan=cot=sincoscossin二、誘導(dǎo)公式奇變偶不變,符號(hào)看象限.3.本質(zhì)通過(guò)不相等的兩個(gè)角的同名三角函數(shù)或兩個(gè)互為余函數(shù)的三角函數(shù)值相等或互為相反數(shù),

反映了三角函數(shù)的周期性及各種對(duì)稱性.1.定義2.口訣用自變量

的三角函數(shù)表示自變量為(kZ)的三角函數(shù)的公式叫誘導(dǎo)公式.2k1.已知

cot(-)=2,求

sin(

+)的值.32解:

∵cot(-)=2,又

cot(-)=-cot,∴cot=-2.∴

是第二或第四象限角,且

tan=-.12∴cos2==.1+tan2

145又

sin(

+)=-cos,32255,

是第二象限角,255,

是第四象限角.-∴sin(

+)=

32∴cos=255,

是第四象限角.255,

是第二象限角,-典型例題2.已知

cot=m(m0),求

cos.

解:

∵cot=m(m0),∴角

的終邊不在坐標(biāo)軸上.若

是第一或第二象限角,則

csc=

1+cot2

=

1+m2.∴sin=csc11+m21=.∴cos=sincot=

.m1+m21+m2若

是第三或第四象限角,則

csc=-

1+cot2

=-

1+m2.∴sin=csc11+m21=-.∴cos=sincot=-.m1+m21+m23.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.23解法1將已知等式兩邊平方得

sincos=-

<0,187∵0<<,∴sin>0.∴由

sincos<0

知

cos<0.∴sin-cos=(sin-cos)2=

1-2sincos

=.43sin+cos=,sin-cos=,4323解方程組得sin=,cos=.2

+462

-46∴tan==

.sincos-9-4

27解法2將已知等式兩邊平方得

sincos=-

<0,187∵0<<,∴sin>0.∴由

sincos<0

知

cos<0.∴tan==

.sincos-9-4

27∴sin,cos

是方程

x2-x-=0

的根,且

cos

為小根.

18723∴cos=,sin=.2

+462

-463.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.23解法3由已知

sin,

,cos

成等差數(shù)列,設(shè)其公差為

d,則26∴sin=

-d,26cos=

+d.26∴由

sin2+cos2=1得:(

-d)2+(

+d)2=1.2626解得

d=-或.2323∴tan==

.sincos-9-4

27∴cos=,sin=.2

+462

-46當(dāng)

d=

時(shí),sin

=

<0,與

0<<

時(shí)

sin>0矛盾,232

-46∴d=-.233.已知

sin+cos=(0<<),求

tan

的值.234.已知

f()=

.(1)化簡(jiǎn)

f();sin(-)cos(2-)tan(-+

)32cot(--)sin(--)(2)若

是第三象限角,且

cos(-)=,求

f()

的值;3215(3)若

=-

,求

f()

的值;331解:(1)f()=sincoscot

-cotsin

=-cos;(2)∵cos(-)=-sin,32∴由已知可得

sin=-.15∵

是第三象限角,∴cos<0.∴cos=-

1-sin2

=-256.256∴f()=-cos=.(3)∵

=-

=-62+

,33153∴f(-

)=-cos(-

)33133153=-cos(-62+

)=-cos

53=-cos=-.123

5.已知

0<<

,tan

+cot

=

,求sin(-

)的值.522

2

2

3

解:

∵tan

+cot

=

,2

2

sin

2∴由已知可得

sin=

.45∵0<<

,2

cos=

1-sin235∴=

.∴sin(-

)=sincos

-cossin3

3

3

=

×-×12354532=(4-33

).1016.已知

為銳角,且

tan=

,求的值.sin2cos-sin

sin2cos212解:

∵tan=

,12又∵

為銳角,1+tan2

1∴cos2==

.45∴cos=

.52∴原式=2sincos2-sin

2sincoscos2

sincos2

2sincoscos2

=1

2cos

==.547.已知

tan(-)=2,求:(1);(2)2sin(3+)cos(+)+sin(-)sin(-).4cos2-3sin2+1sin2-2sincos-cos2

3252解:(1)∵tan(-)=2,又

tan(-)=-tan,∴tan=-2.∴原式=

5cos2-2sin2

sin2-2sincos-cos2

1+tan2

2tan2-tan

=5-2tan2

tan2-2tan-1==-.73(2)由(1)知tan=-2,∴原式=2(-sin)(-sin)+(-cos)sin

=2sin2-sincos

=cos2(2tan2-tan)=2.8.角

的終邊上的點(diǎn)

P

與

A(a,

b)

關(guān)于

x

軸對(duì)稱(a0,

b0),角

的終邊上的點(diǎn)

Q

與

A

點(diǎn)關(guān)于直線

y=x

對(duì)稱,求

sinsec+tan

?cot+seccsc

的值.解法1依題意

P(a,-b),Q(b,a),設(shè)

r=

a2+b2,則:sin=-,sec=

,tan=-,cot=

,sec=,csc=.brrbbabarara∴原式=-

+(-)

+brrbbabarara=-1-

+=0.a2+b2a2b2a2解法2依題意

-=2k+

(kZ),即

=2k+

+.2

2

∴原式=sin+tancot(2k+

+)+

cos(2k+

+)2

12

cos

1sin(2k+

+)2

1=sin+tan(-tan)+-sin

1cos

1cos

1=-1-tan2+sec2

=0.課后練習(xí)1.已知

sin+sin2=1,求

cos2+cos4的值.解:由

sin+sin2=1

得sin=1-sin2=cos2.∴cos2+cos4=sin+sin2=1.2.已知

cos=(m≤-1),求

sin,cot.

m2+12m

解:由已知

cos<0,

∴角

的終邊在第二或第三象限或?yàn)?/p>

x

軸的非正半軸.當(dāng)角

的終邊在第二象限或?yàn)?/p>

x

軸的非正半軸時(shí),sin=

1-cos2=

,m2+1m2-12m

tan==.sincosm2-1當(dāng)角

的終邊在第三象限時(shí),sin=-

1-cos2=

,1+m21-m22m

tan==.sincos1-m2已知cotx=m,x(2k-,2k)(kZ),求cosx的值.tan==.∴sin(cos)<0,cos(sin)>0.解得d=-或.=-1-tan2+sec2∴sin,cos是方程x2-x-=0的根,且cos為小根.tan==.∴sec(+)=-∴由sincos<0知cos<0.已知tan(-)=2,求:(1);=sin45ocos60o+cos45osin60o∴cos=sincot=-.∵0<<,∴sin>0.∴cos=,sin=.∴()2=1+2.sin2+cos2=13.設(shè)

sin,cos

是方程

2x2-(

3

+1)x+m=0

的兩根,求:(1)

+及

m

的值;(2)方程兩根

sin,cos

及此時(shí)

的值.1-cot

sin1-tan

cos解:(1)由已知

sin+cos=

,sincos=.

3

+122m1-cot

sin1-tan

cos∴

+=+1-

sin1-

coscossinsincos=cos-sin

cos2-sin2

=+cos-sin

cos2

sin-cos

sin2

=sin+cos=

.

3

+12∵(sin+cos)2=1+2sincos,2m∴()2=1+2

.

3

+12解得

m=.32解:(2)由(1)知原方程為

2x2-(

3

+1)x+

=0.

32∴

=2k+或

=2k+(kZ).3

6

3.設(shè)

sin,cos

是方程

2x2-(

3

+1)x+m=0

的兩根,求:(1)

+及

m

的值;(2)方程兩根

sin,cos

及此時(shí)

的值.1-cot

sin1-tan

cos解得

x1=

,x2=.1232sin=

,cos=,12sin=,cos=,12∴或3232∴由sincos<0知cos<0.且tan=-.(1)+及m的值;(2)方程兩根sin,cos及此時(shí)的值.∴=.∴角的終邊在第二或第三象限或?yàn)閤軸的非正半軸.∴sec(+)=-奇變偶不變,符號(hào)看象限.∴cos=,sin=.∴由sin2+cos2=1得:(-d)2+(+d)2=1.csc=-1+cot2∴sin與cos異號(hào).cos2-sin2∴-<cos<0,0<sin<.解:∵=sinA+cosA=2sin(A+45o),∴|cos|=-cos.5.已知

tan(-)=a2,|cos(-)|=-cos,求

sec(+)

的值;4.已知

cos(-)=a(|a|≤1),求

cos(

+)+sin(-)

的值;566

23解:

∵cos(-)=a(|a|≤1),6

∴cos(

+)=cos[-(-)]566

=-cos(-)=-a,6

=cos(-)=a,6

sin(

-)=sin[

+(-)]236

2

∴cos(

+)+sin(-)5623=-a+a=0.解:∵tan(-)=a2,又

tan(-)=-tan,∴tan=-a2.∵|cos(-)|=-cos,又

|cos(-)|=|cos|,∴|cos|=-cos.∴cos<0.∴sec(+)=-

cos1=

1+tan2

=

1+a4.6.若

+

=0,試判斷

cos(sin)sin(cos)

的符號(hào);1-cos2

sin

1-sin2

cos|cos|sin

|sin|cos解:

由已知+

=0,∴sin

與

cos

異號(hào).∴

是第二或第四象限角.當(dāng)

是第二象限角時(shí),-1<cos<0,0<sin<1.∴sin(cos)<0,cos(sin)>0.∴cos(sin)sin(cos)<0.故

cos(sin)sin(cos)

的符號(hào)為“

-

”號(hào).當(dāng)

是第四象限角時(shí),同理可得

cos(sin)sin(cos)>0.故

cos(sin)sin(cos)

的符號(hào)為“

+

”號(hào).∵-<-1,1<,2

2

∴-<cos<0,0<sin<.2

2

解:

∵

是第二象限角,7.已知

sin=

,cos=,若

是第二象限角,求實(shí)數(shù)

a

的值.1+a

3a-11+a

1-a

∴0<sin<1,-1<cos<0.

1+a

3a-11+a

1-a

0<<1,-1<<0,∴解得

0<a<.13又

sin2+cos2=1,

1+a

3a-11+a

1-a

∴()2+()2=1.整理得

9a2-10a+1=0.解得

a=

或

a=1(舍去).19故實(shí)數(shù)

a

的值為.198.在

△ABC

中,sinA+cosA=

,AC=2,AB=3,求

tanA

的值和

△ABC

的面積.22解:

∵

=sinA+cosA=2

sin(A+45o),22∴sin(A+45