直梁的彎曲(wānqū)第一頁，共63頁。臥式化工(huàgōng)容器：彎曲梁受力特點(diǎn)——在通過梁某一縱向平面 內(nèi)，受到垂直于軸線的 外力(wàilì)或力偶作用。受力如圖：第二頁，共63頁。變形特點(diǎn)——任兩個(gè)截面繞垂直于梁軸線軸 相對轉(zhuǎn)動(dòng)，梁軸線由直線(zhíxiàn)變曲線。平面(píngmiàn)彎曲——所有外力或力偶作用在縱向?qū)ΨQ 面內(nèi)，梁軸線在對稱面內(nèi)彎曲成 平面(píngmiàn)曲線?？v向?qū)ΨQ面——在縱向可將梁分成對稱兩半。第三頁，共63頁。2、梁簡化對實(shí)際梁受力分析和強(qiáng)度計(jì)算，對梁進(jìn)行簡化，以軸線(zhóuxiàn)表示梁。梁簡化成三種力學(xué)模型：（1）簡支梁如圖：一端(yīduān)固定簡支，另一端(yīduān)可動(dòng)鉸支。（2）外伸梁如圖：梁一端(yīduān)或兩端伸出支座外。（3）懸臂梁如圖：梁一端固定約束，另一端自由。第四頁，共63頁。各支座(zhīzuò)處力與位移邊界條件：①固定鉸支支座(zhīzuò)處梁左、右，上、下均不可移動(dòng)，但可繞約束點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。解除約束受力圖力的邊界條件位移(wèiyí)邊界條件m=0Rx≠0Ry≠0x=0y=0第五頁，共63頁。②可動(dòng)鉸支支座點(diǎn)左、右可移動(dòng)，上、下不可動(dòng)。解除(jiěchú)約束受力圖力的邊界條件位移(wèiyí)邊界條件Ry≠0Rx=0m=0x≠0y=0③固定端約束(yuēshù)限制固定端既不能轉(zhuǎn)動(dòng)，也不可移動(dòng)。解除約束(yuēshù)受力圖第六頁，共63頁。力的邊界條件位移(wèiyí)邊界條件Rx≠0Ry≠0m≠0x=0y=0各支座(zhīzuò)反力可根據(jù)平衡條件求出。如果未知力數(shù)與所列出的獨(dú)立(dúlì)方程數(shù)相同，則可求出未知力——稱為靜定問題，屬于靜定梁；反之為靜不定，稱為不靜定梁或超靜定問題。第七頁，共63頁。①集中力：作用力作用在很小面積上，可近似(jìnsì)一點(diǎn)。如圖：②集中力偶：力偶兩力分布(fēnbù)在很短一段梁上，可簡化為作用在梁的某一截面上。如圖：③分布(fēnbù)載荷：載荷分布(fēnbù)在較長范圍內(nèi)，以單位長度受力q表示。q單位N/m如圖：作用于梁上載荷有三種形式：第八頁，共63頁。§4-2梁彎曲(wānqū)時(shí)的內(nèi)力一、內(nèi)力計(jì)算內(nèi)力計(jì)算方法如下：第一步——解除支座約束，計(jì)算約束反力。第二步——用截面(jiémiàn)法將梁分成兩部分。第三步——由平衡條件計(jì)算截面(jiémiàn)處內(nèi)力。第九頁，共63頁。如圖：簡支梁，試計(jì)算(jìsuàn)m—n截面內(nèi)力。解:(1)解除(jiěchú)約束，求約束反力列平衡(pínghéng)方程RxA=0RyA+RyB=PRyB·(a+b)–Pa=0第十頁，共63頁。(2)用截面(jiémiàn)法求內(nèi)力截面處存在的內(nèi)力：①阻止RyA作用下繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，截面必存在附加內(nèi)力矩M，阻止轉(zhuǎn)動(dòng)。②平衡(pínghéng)RyA力，截面上必有向下力Q附加內(nèi)力矩(lìjǔ)M——稱為截面彎矩。 截面內(nèi)力Q——稱為剪力，與外力平行，有使 梁沿m—n截面剪斷趨勢。分離體處于平衡，由平衡條件得：∑y=0RAy–Q=0∑M=0M–RAy·x=0第十一頁，共63頁。結(jié)論(jiélùn)：①受彎曲梁任一截面內(nèi)力有彎矩與剪力。②剪力等于截面之左（或右）所有外力代數(shù)和。③彎矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）對截面形心之矩代數(shù)和。剪力與彎矩對梁強(qiáng)度影響(yǐngxiǎng)：由經(jīng)典力學(xué)分析彎矩對梁強(qiáng)度影響(yǐngxiǎng)遠(yuǎn)大于剪力對梁強(qiáng)度。工程計(jì)算一般只考慮彎矩，忽略剪力。第十二頁，共63頁。二、彎矩符號規(guī)定規(guī)定如下：所求彎矩的截面附近(fùjìn)能形成上凹下凸的彎曲變形，該截面彎矩為正；反之為負(fù)。m—n截面(jiémiàn)附近彎曲形狀，如圖，彎矩M為正。反之發(fā)生(fāshēng)如下圖彎曲形狀，彎矩為負(fù)。第十三頁，共63頁。由此得“左順右逆”彎矩為正規(guī)定(guīdìng)：截面左側(cè)——所有對截面形心之矩為順時(shí)針 的外力及順時(shí)針的力偶，它們 在截面處產(chǎn)生(chǎnshēng)彎矩為正，反之 為負(fù)。截面右側(cè)——所有對截面形心之矩為逆時(shí)針 的外力及逆時(shí)針的力偶，它們 在截面處產(chǎn)生(chǎnshēng)彎矩為正，反之 為負(fù)。第十四頁，共63頁?！?-3彎矩圖由截面法計(jì)算出橫截面彎矩隨軸線x變化規(guī)律M=M(x)→稱為梁彎矩方程將彎矩大小與正負(fù)表示在圖上——彎矩圖畫彎矩圖的基本方法：(1)對雙支點(diǎn)梁解除約束，求支座反力，懸臂 梁不必求支座反力,從懸臂端開始計(jì)算。(2)在有集中力或集中力偶(lìǒu)處分段，求出每一段彎矩方程。(3)選適當(dāng)比例，以橫截面位置x為橫坐標(biāo)，彎矩M為縱坐標(biāo)作彎矩圖。第十五頁，共63頁。例一，如圖：受集中(jízhōng)載荷簡支梁。試畫出彎矩圖。解：①解除(jiěchú)約束，求約束反力RAy·3a–P·2a+m=0RAy+RBy–P=0第十六頁，共63頁。②分段(fēnduàn)求各段彎矩AC段，在AC段任取一截面(jiémiàn)0≤x≤aDC段，在DC段任取一截面(jiémiàn)a≤x＜2a第十七頁，共63頁。BD段，在BD段任取一截面(jiémiàn)0≤x＜a③畫彎矩圖第十八頁，共63頁。例二、有一懸臂梁長l，其上分布載荷(zàihè)q和集中力偶矩m.試畫出彎矩圖。解：懸臂梁可不必求約束反力直接(zhíjiē)分段AB與BC段①AB段在AB之間任取一截面(jiémiàn)彎矩B截面右側(cè)MB右=0≤x≤第十九頁，共63頁。②BC段在BC之間任取一截面(jiémiàn)B截面(jiémiàn)左側(cè)，MB左C點(diǎn)x=l，MC=0第二十頁，共63頁。例三、有一梁受力如圖，試畫出彎矩圖。解:(1)解除(jiěchú)約束，求約束反力RBx=0RBy+RAy–qa–qa=0RAy=1.75qaRBy=0.25qa第二十一頁，共63頁。(2)分段(fēnduàn)求各段彎矩，分DA,AC,CB三段。0≤x≤aDA段，在之間任取一截面(jiémiàn)AC段，在之間任取一截面(jiémiàn)

a≤x≤2a第二十二頁，共63頁。BC段，在之間任取一截面(jiémiàn)(3)畫彎矩圖0≤x≤a第二十三頁，共63頁?！?-4純彎曲(wānqū)時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲——忽略(hūlüè)掉剪應(yīng)力，梁變?yōu)橹挥袕澗? 而無剪力梁，此時(shí)彎曲為純彎曲。純彎曲梁——梁橫截面上只有彎矩而無剪力。兩端(liǎnɡduān)受到一對外力偶作用——典型純彎曲梁梁上既有彎矩又有剪力作用時(shí)的彎曲稱為剪切彎曲

第二十四頁，共63頁。分析純彎曲(wānqū)梁橫截面正應(yīng)力方法分四步：一、實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)推論如圖一矩形截面梁，在側(cè)面分別畫上與梁軸線相垂直的線1—1，2—2，及與梁軸線平行線ab，cd1—1，2—2代表橫向截面ab，cd代表縱向截面第二十五頁，共63頁。兩端施加(shījiā)外力偶，使梁產(chǎn)生純彎曲

變形如圖觀察現(xiàn)象如下：1、變形后，1—1，2—2仍為直線，但轉(zhuǎn)一定角度(jiǎodù)，仍與梁軸相垂直。2、縱向線ab，cd及軸線由直線變?yōu)閳A弧，ab縮短，cd伸長。3、梁橫截面高度不變，寬度變化，凹入頂部略增大，凸出底部略變小。第二十六頁，共63頁?！?-7梁截面(jiémiàn)合理形狀選擇(1)對雙支點(diǎn)梁解除約束，求支座反力，懸臂 梁不必求支座反力,從懸臂端開始計(jì)算。位移(wèiyí)邊界條件③彎矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）對截面形心之矩代數(shù)和。根據(jù)精確理論和實(shí)驗(yàn)分析：如圖：純彎曲梁橫截面應(yīng)力(yìnglì)分布有效(yǒuxiào)方法是提高軸慣性矩I第四十五頁，共63頁。即Iz=Iy=∫y2dADC段，在DC段任取一截面(jiémiàn)第二十四頁，共63頁。由觀察現(xiàn)象(xiànxiàng)作兩點(diǎn)假設(shè)：1、平面假設(shè)——梁橫截面彎曲變形后均為 平面，仍垂直于軸線(zhóuxiàn)。橫 截面只繞某軸轉(zhuǎn)個(gè)角度。2、互不擠壓假設(shè)——假設(shè)梁由很多層纖維 組成，變形時(shí)各層纖 維只受軸向拉伸或壓 縮，各層纖維互不 擠壓。第二十七頁，共63頁。由假設(shè)作如下推論(tuīlùn)：由觀察得知，橫截面只相對偏轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，縱向纖維受到軸向拉伸或壓縮。1、純彎曲梁變形本質(zhì)是拉伸或壓縮變形，不是剪切變形。2、橫截面只有(zhǐyǒu)正應(yīng)力，無剪應(yīng)力。凹側(cè)受壓，有壓縮應(yīng)力，凸側(cè)受拉，存在拉應(yīng)力。3、中間存在一層既不受拉也不受壓的中性層，其上應(yīng)力為0。注意：中性層含義第二十八頁，共63頁。二、應(yīng)變與幾何尺寸之間關(guān)系從受純彎曲梁取一段dx長。dx微段的兩橫截面變形后夾角(jiājiǎo)dθ,中性層曲率半徑為ρOO1=OO2=ρO1O2=dx=ρdθ中性(zhōngxìng)層變形前后長度不變。變形后c1d1=(ρ+y)dθc1d1的應(yīng)變⌒第二十九頁，共63頁。如圖：純彎曲梁橫截面應(yīng)力(yìnglì)分布稱為梁彈性曲線近似方程(1)對雙支點(diǎn)梁解除約束，求支座反力，懸臂 梁不必求支座反力,從懸臂端開始計(jì)算。位移(wèiyí)邊界條件Iy=∫y2hdy=如圖一矩形截面梁，梁一端固定約束，另一端自由。例一、梁受力如圖，畫彎矩圖③彎矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）對截面形心之矩代數(shù)和。所以公式適用于有縱向?qū)ΨQ面的其它截面梁。由觀察現(xiàn)象(xiànxiàng)作兩點(diǎn)假設(shè)：θ很小時(shí)(xiǎoshí)，tgθ≈θ,即θ≈f`(x)分離體處于平衡，由平衡條件得：受集中(jízhōng)載荷簡支梁。解:(1)解除(jiěchú)約束，∑M=0M–RAy·x=0三、物理關(guān)系——虎克定律由假設(shè)可得梁彎曲(wānqū)本質(zhì)是拉伸與壓縮

hook定律：上式顯示：梁截面(jiémiàn)上任一點(diǎn)應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸距離成正比，y=0的中性面上應(yīng)力σ為0，上、下邊緣正應(yīng)力最大。第三十頁，共63頁。四、靜力學(xué)關(guān)系尋找正應(yīng)力(yìnglì)σ與彎矩M之間關(guān)系如圖：純彎曲梁橫截面應(yīng)力(yìnglì)分布中性軸兩側(cè)一邊受拉一邊受壓可構(gòu)成力偶如圖在梁橫截面上取微面dA，距中性(zhōngxìng)軸距離ydA上內(nèi)力dF

dF=σdA第三十一頁，共63頁。dF對中性(zhōngxìng)軸之矩dM，dM=σ·y·dAM=∫AdM=∫AσydA,M=∫Ay2dA令I(lǐng)Z=∫Ay2dA，IZ—橫截面對中性(zhōngxìng)軸的軸慣性矩y——為橫截面任一點(diǎn)到中性(zhōngxìng)層的距離

EIZ——抗彎剛度(ɡānɡdù)第三十二頁，共63頁。此式為純彎矩梁橫截面上任一點(diǎn)正應(yīng)力公式(gōngshì)。y→橫截面上任一點(diǎn)距中性軸距離。①曲率與M成正比，M越大，梁彎曲(wānqū)越厲害。②曲率與EIZ成反比。第三十三頁，共63頁。注意：①彎曲正應(yīng)力σ與M成正比，與距離(jùlí)y成反比，最大應(yīng)力存在于梁邊緣處②當(dāng)截面對稱于中性(zhōngxìng)面，最大拉、壓應(yīng)力相等。③當(dāng)中性面與上下(shàngxià)邊緣距離不等時(shí)，要分別計(jì)算拉應(yīng)力與壓應(yīng)力。令WZ——橫截面對中性軸Z的抗彎截面模量。第三十四頁，共63頁。五：彎曲(wānqū)正應(yīng)力公式適用范圍彎曲(wānqū)正應(yīng)力計(jì)算公式是在純彎曲(wānqū)下導(dǎo)出——梁截面只有彎距沒有剪力。實(shí)際梁受到橫向力作用——梁截面既有彎矩又有剪力。橫截面存在剪力互不擠壓假設(shè)不成立，梁發(fā)生翹曲。根據(jù)精確理論和實(shí)驗(yàn)分析：當(dāng)梁跨度L與橫截面高度h之比L/h＞5時(shí)，存在剪應(yīng)力梁的正應(yīng)力分布與純彎曲(wānqū)很接近。公式(gōngshì)適用范圍：①梁跨度l與橫截面高度h之比l/h＞5，可使用梁正應(yīng)力計(jì)算公式(gōngshì)。第三十五頁，共63頁。②梁正應(yīng)力計(jì)算公式由矩形截面梁導(dǎo)出，但未使用(shǐyòng)矩形的幾何特性。所以公式適用于有縱向?qū)ΨQ面的其它截面梁。如工字鋼、槽鋼及梯形截面梁等。③梁材料必須服從虎克定律，在彈性范圍內(nèi)，且材料的拉伸與壓縮彈性模量相同，公式(gōngshì)才適用。第三十六頁，共63頁?！?-5截面(jiémiàn)的軸慣性矩和抗彎截面(jiémiàn)模量1、矩形(jǔxíng)截面（中性軸與截面形心重合）梁上受載荷如圖(h＞b立放)軸慣性矩IZ抗彎截面(jiémiàn)模量WZIZ=∫

y2bdy=h/2-h/2IZ=∫Ay2dAdA=b﹒dy第三十七頁，共63頁。Iy=∫

y2hdy=-b/2b/2將上圖矩形截面(jiémiàn)梁，如圖放置時(shí)（平放）Iy=∫Ay2dAdA=h﹒dy對相同(xiānɡtónɡ)的矩形截面梁不同放置方法,會(huì)有不同的軸慣性矩和不同的抗彎模量。工程上承受彎曲作用時(shí),要選擇I與W大的放法,要立放第三十八頁，共63頁。對中性軸與截面(jiémiàn)形心不重合如圖梯形截面(jiémiàn)

IZ=∫y2dA=∫y2dAy1-y2WZ1與WZ2不相等，正應(yīng)力計(jì)算時(shí)采用較小抗彎模量進(jìn)行計(jì)算。對中性軸與截面形心不重合(chónghé)的梁，IZ只有一個(gè)值，但抗彎模量有兩個(gè)，在設(shè)計(jì)與計(jì)算時(shí)必須注意。A第三十九頁，共63頁。2、圓形及圓環(huán)形截面(jiémiàn)①對實(shí)心圓截面(jiémiàn)對圓截面(jiémiàn)，通過形心任一軸的慣性矩相等。即Iz=Iy=∫y2dA=∫(Rsina)2

·dAdA=2Rcosa·dy,y=Rsinady=Rcosa·daAIz=Iy=2∫2R4sin2a·cos2a·da=截面(jiémiàn)抗彎模量Wz=Wy=π0第四十頁，共63頁。②對圓環(huán)截面(jiémiàn)令d/D=αIy=Iz=Wz=Wy=對于口徑(kǒujìng)較大，壁厚較薄管

D-d=2SIz=Iy≈作業(yè)(zuòyè):4-1(c、g、h），2，3第四十一頁，共63頁?！?-6彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度(qiángdù)條件保證梁工作時(shí)最大應(yīng)力在許用應(yīng)力范圍(fànwéi)內(nèi)，即滿足強(qiáng)度條件：可能存在最大應(yīng)力(yìnglì)的位置：①彎矩最大截面②慣性矩IZ最小截面第四十二頁，共63頁。注：①彎矩有正負(fù)。計(jì)算時(shí)以絕對值代入， 計(jì)算應(yīng)力σmax總為正，是拉應(yīng)力。 ②許用應(yīng)力[σ]由實(shí)驗(yàn)確定。③截面不對稱于中性軸時(shí)，存在兩個(gè)抗 彎截面模量WZ1，WZ2，計(jì)算取較小截 面模量代入。④材料抗拉、抗壓強(qiáng)度(kànɡyāqiánɡdù)不同時(shí)，分別求出梁的最大拉、壓應(yīng)力，保證：σmax拉=σmax壓=≤[σ]拉≤[σ]壓第四十三頁，共63頁。例一、有一階梯圓柱(yuánzhù)截面梁，許用應(yīng)力[σ]=200MPa,結(jié)構(gòu)尺寸如圖d1=50mm，d2=80mm，d3=60mmP1=10kN，P2=5kN第四十四頁，共63頁。解：①解除(jiěchú)約束，求約束反力N1

·1500－P1

·750－P2

·250=0N1=5.83(kN)N2=9.17(kN)②畫彎矩圖分段(fēnduàn)求各段彎矩方程MAB=5.83x，0≤x≤0.75mMCD=9.17x，0≤x≤0.25m第四十五頁，共63頁。③可能(kěnéng)的危險(xiǎn)截面E，F(xiàn)，B截面可能(kěnéng)成為危險(xiǎn)截面。E截面(jiémiàn)彎矩ME=5.83×0.5=2.92kN·mB截面(jiémiàn)彎矩MB=5.83×0.75=4.37kN·mF截面(jiémiàn)彎矩MF=F在B、C中點(diǎn)④對B，E，F(xiàn)截面(jiémiàn)強(qiáng)度校核對B截面(jiémiàn)≈87MPa<[σ]=200MPa安全第四十六頁，共63頁。對F截面(jiémiàn)=157MPa<[σ]安全(ānquán)對E截面(jiémiàn)=238.9MPa>[σ]危險(xiǎn)第四十七頁，共63頁。例二、有一梯形截面(jiémiàn)支承架，結(jié)構(gòu)尺寸如圖截面慣性矩IZ=100cm4，y1=100mm，y2=50mm材料許用拉應(yīng)力(yìnglì)[σ]拉=200Mpa材料許用壓應(yīng)力(yìnglì)[σ]壓=250Mpa試校核該梁強(qiáng)度。第四十八頁，共63頁。解：①解除(jiěchú)約束，求約束反力N1

·5－1×5×2.5=0N1=2.5kNN2=2.5kN②求彎矩0≤x≤5③畫彎矩圖第四十九頁，共63頁。④強(qiáng)度(qiángdù)校核σmax拉=σmax拉==156MPa<[σ]拉σmax壓=σmax壓==312.5MPa>[σ]壓梁不安全(ānquán)第五十頁，共63頁?！?-7梁截面(jiémiàn)合理形狀選擇工程常用的矩形(jǔxíng)截面梁如圖：h>b,立放平放立放WZ1>平放WZ2上、下表面(biǎomiàn)應(yīng)力小，安全或可以承受更大載荷。第五十一頁，共63頁?！?-8梁彎曲(wānqū)變形一、梁的彈性曲線，撓度和轉(zhuǎn)角如圖梁受力，中心軸線(zhóuxiàn)變形AB`的曲線為撓曲線撓度：梁任一截面(jiémiàn)形心位移量為該截面(jiémiàn)撓度，用y表示。用f表示最大撓度。y與坐標(biāo)軸y正方向相同為正，反之為負(fù)。第五十二頁，共63頁。將梁彎曲形狀用曲線方程表示，該方程稱為(chēnɡwéi)撓曲線方程。位移量y隨截面位置變化，y=f(x)為撓曲線方程。截面轉(zhuǎn)角：梁截面繞自身中性軸轉(zhuǎn)角θ表示。θ逆時(shí)針為正，反之為負(fù)。由微分學(xué)得：θ很小時(shí)(xiǎoshí)，tgθ≈θ,即θ≈f`(x)第五十三頁，共63頁。二、撓曲線的近似(jìnsì)微分方程梁軸上任一點(diǎn)曲率(qūlǜ)方程：由微分學(xué)方程(fāngchéng)可得：梁變形曲率方程：由于梁是微變形，截面轉(zhuǎn)角很小，dy/dx項(xiàng)極小可以忽略，