專題28證明不等式的常見(jiàn)技巧【高考地位】證明數(shù)列不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的證明技巧。這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剡x擇不等式的證明技巧.在高考中常常以解答題出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.方法一比較法萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景一般不等式證明解題模板第一步通過(guò)兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號(hào)（范圍）確定與大小關(guān)系；第二步得出結(jié)論.例1設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求證：．【答案】詳見(jiàn)解析.【解析】第一步，通過(guò)兩個(gè)實(shí)數(shù)與的差或商的符號(hào)（范圍）確定與大小關(guān)系：第二步，得出結(jié)論：考點(diǎn)：不等式的證明.【點(diǎn)評(píng)】?jī)蓚€(gè)多項(xiàng)式的大小比較常用的兩種方法是作差法和作商法.【變式演練1】【2020年全國(guó)普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試試驗(yàn)檢測(cè)卷】設(shè)不等式的解集為且，．（1）證明：；（2）比較與的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）先將變成分段函數(shù)形式，即可求得集合M，則可得的范圍，利用絕對(duì)值的三角不等式，即可進(jìn)行證明；（2）將兩式分別平方，利用作差法比較大小即可.【詳解】（1）證明：∵，不等式等價(jià)為，解得，從而，∵，，∴且，∴．（2）∵，，∴，由（1）知，，即且，∴，即，故．方法二分析法萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景一般不等式證明解題模板第一步從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件；第二步把證明這個(gè)不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問(wèn)題；第三步如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立.例2設(shè)證明：?！敬鸢浮吭}等價(jià)于，利用分析法?！窘馕觥康谝徊剑瑥那笞C的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件：第二步，把證明這個(gè)不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問(wèn)題：第三步，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立：【變式演練2】吉林省通化市梅河口五中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文科）七?！吭O(shè)函數(shù)．（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）當(dāng)，時(shí)，若存在，使得成立的的最大值為，且實(shí)數(shù)，滿足，證明：．【答案】（1）或；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）就、、分類求解后結(jié)合已知的解集可得的值；（2）利用絕對(duì)值不等式求得最小值為，解不等式后可得，最后利用綜合法和分析法可證.【詳解】（1）即為，所以.若，，的解集不可能為，舍.當(dāng)時(shí)，的解為，所以，解得.當(dāng)時(shí)，的解為，所以，解得.綜上，或.（2）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故即，故，所以.故.因?yàn)?，故，所以?要證：，即證：，即證：，也就是即證：，即證：，也就是即證：，因?yàn)楹愠闪?，故必成立，?綜上，.方法三綜合法萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景一般不等式證明解題模板第一步從已知或證明過(guò)的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件；第二步根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式；第三步得出結(jié)論.例3已知，，求證：【答案】詳見(jiàn)解析.【解析】第一步，從已知或證明過(guò)的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件：第二步，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式：第三步，得出結(jié)論：【點(diǎn)評(píng)】其證明過(guò)程最關(guān)鍵的一步是連續(xù)利用兩次基本不等式放縮得到所證的結(jié)果，但要特別注意的是兩次不等式的放縮能否均取得到等號(hào)，需進(jìn)行驗(yàn)證.【變式演練3】【四川省巴中市2021屆高三零診考試】已知.（1）若存在使得，求的取值范圍；（2）記是（1）中的最大值且，證明.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求出，再解不等式即得解；（2）先證明，再結(jié)合基本不等式證明即得證.【詳解】（1）由題得，所以，所以.（2）由題得，所以，因?yàn)?，所以?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)所以.所以得證.方法四放縮法萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景一般不等式證明解題模板第一步根據(jù)已知找出其通項(xiàng)公式；第二步然后運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆趴s法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮；第三步利用數(shù)列求和公式即可得出結(jié)論.例4設(shè)求證【答案】詳見(jiàn)解析.【解析】第一步，根據(jù)已知找出其通項(xiàng)公式：第二步，然后運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆趴s法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮;第三步,利用數(shù)列求和公式即可得出結(jié)論:【點(diǎn)評(píng)】=1\*GB3①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過(guò)“度”了！=2\*GB3②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里，其中等的各式及其變式公式均可供選用。【變式演練4】求證：.【答案】見(jiàn)解析.考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.【變式演練5】設(shè)、、是三角形的邊長(zhǎng)，求證.【答案】見(jiàn)解析.學(xué)&科網(wǎng)考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.【變式演練6】【四川省巴中市2021屆高三零診考試】已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)1，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證結(jié)論；（2）由（1）知，，根據(jù)放大后裂項(xiàng)求和，可證不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.方法五數(shù)學(xué)歸納法萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景對(duì)于含有的不等式類型解題模板第一步驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立；第二步當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立；第三步這個(gè)不等式對(duì)取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立得出結(jié)論.例5若，觀察下列不等式：，，…，請(qǐng)你猜測(cè)將滿足的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明?！敬鸢浮浚▁1+x2+…+xn）（）≥n2（n≥2），證明見(jiàn)解析【解析】第一步，驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立：第二步，當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立：那么，當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。第三步，這個(gè)不等式對(duì)取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立得出結(jié)論：由,知對(duì)于大于的整數(shù)，成立。（12分）考點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法最關(guān)鍵的一步是當(dāng)假設(shè)使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，如何證明不等式在時(shí)也成立.學(xué)&科網(wǎng)考點(diǎn)：放縮法；不等式的證明.【變式演練7】已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，（n∈N*）.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn＜m對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（浙江專用））【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）；證明詳見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）由得遞推式，可得證明；（2）由（1）求出，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）求得，用裂項(xiàng)相消可求得答案.【詳解】（1）證明：由得，且首項(xiàng)a1+1＝3≠0，∴數(shù)列是公比為-2，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，∴，∴，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：.（i）n＝1時(shí)，|a1|＝|3﹣1|＝2，，∴|a1|≥.（ii）假設(shè)n＝k∈N*，|ak|≥.則n＝k+1，|ak+1|＝|3×2k﹣1|＝|2（3×2k﹣1﹣1）+1|≥+1≥.綜上可得：n＝k+1時(shí)成立.綜上可得：假設(shè)成立.因此?n∈N*，.（3）∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的求和，要有好的運(yùn)算能力、推理能力.方法六換元法萬(wàn)能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景對(duì)于一般的不等式證明解題模板第一步恰當(dāng)?shù)膿Q元，適當(dāng)?shù)囊雲(yún)?shù)；第二步利用已知求出新元的取值范圍；第三步根據(jù)現(xiàn)有的不等式放縮法得出結(jié)論.例7求證【答案】見(jiàn)解析.【解析】第一步，恰當(dāng)?shù)膿Q元，適當(dāng)?shù)囊雲(yún)?shù)：第二步，利用已知求出新元的取值范圍：第三步，根據(jù)現(xiàn)有的不等式放縮法得出結(jié)論：【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用.【變式演練8】已知：，求證：.【答案】見(jiàn)解析.考點(diǎn)：換元法；不等式的證明.【高考再現(xiàn)】1.【2016高考浙江理數(shù)】已知實(shí)數(shù)a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，則a2+b2+c2<100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，則a2+b2+c2<100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，則a2+b2+c2<100【答案】D考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)．【方法點(diǎn)睛】對(duì)于判斷不等式恒成立問(wèn)題，一般采用舉反例排除法．解答本題時(shí)能夠?qū)λ膫€(gè)選項(xiàng)逐個(gè)利用賦值的方式進(jìn)行排除，確認(rèn)成立的不等式．2.【2015年陜西卷】設(shè)f(x)=lnx,0<a<A．q=r<pBC．p=r<qD【答案】C【解析】p=f(ab)=lnab，q=f(a+b2)=ln【考點(diǎn)定位】1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性．3.【2014年四川卷】若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（）A．a(chǎn)d＞bcB．a(chǎn)c＜bcC．a(chǎn)c＞bdD【答案】B【解析】因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0,0<1-c<14.【2014年四川卷】若則一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本題主要考查不等關(guān)系。已知,所以，所以，故。故選5.【2011年上海市文科數(shù)學(xué)】若a,b∈RA．a(chǎn)2+b2>2abB．a(chǎn)+b≥2【答案】D【解析】試題分析：，所以A錯(cuò)；，只能說(shuō)明兩實(shí)數(shù)同號(hào)，同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，B錯(cuò)；同時(shí)C錯(cuò)；或都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，，故D正確．考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)6.【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.學(xué)&科網(wǎng)試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知，從而得證；（2）由和得，【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題，第一小問(wèn)易證，利用條件中的遞推公式作等價(jià)變形，即可得到，再結(jié)合已知條件即可得證，第二小7.【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足，(1)求的值；(2)求數(shù)列前項(xiàng)和；(3)令，，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析．（3）依題由知，，，∴，記，則，∴在上是增函數(shù)，又即，8.【2015高考湖南，文21】函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)。（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍?！敬鸢浮浚↖）略；(II)試題解析：（I）因此，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是。【考點(diǎn)定位】恒成立問(wèn)題；等比數(shù)列的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】解決數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)，如果是證明題要根據(jù)等比數(shù)列的定義明確證明的方向，如果是不等式恒成立問(wèn)題，要使用不等式恒成立的各種不同解法，如變量分離法、最值法、因式分解法等，總之解決這類問(wèn)題把數(shù)列看做特殊函數(shù)，并把它和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合起來(lái)綜合處理就行了．9.【2015高考陜西，文21】設(shè)(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且.【答案】(=1\*ROMANI)；(=2\*ROMANII)證明略，詳見(jiàn)解析.試題解析：(=1\*ROMANI)由題設(shè)，所以=1\*GB3①由=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以【考點(diǎn)定位】1.錯(cuò)位相減法；2.零點(diǎn)存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.【名師點(diǎn)睛】（1）在函數(shù)出現(xiàn)多項(xiàng)求和形式，可以類比數(shù)列求和的方法進(jìn)行求和；（2）證明零點(diǎn)的唯一可以從兩點(diǎn)出發(fā)：先使用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)的存在性，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明零點(diǎn)的唯一性；（2）有關(guān)函數(shù)中的不等式證明，一般是先構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域即可；（4）本題屬于中檔題，要求有較高邏輯思維能力和計(jì)算能力.10．【2019新課標(biāo)1】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結(jié)論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為，在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即：（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)同時(shí)成立）又【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時(shí)需注意取等條件能否成立.【反饋練習(xí)】1．已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，試比較與的大小.【來(lái)源】四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)聯(lián)盟2021屆高三第三次統(tǒng)一監(jiān)測(cè)文科數(shù)學(xué)試題【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分，和三種情況解不等式即可；（2）先利用作差法判斷與1的大小，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案【詳解】（1）由題當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)取；當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)取.綜上，不等式的解集為.（2）.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，即有，則，所以，由（1）已知函數(shù)為的增函數(shù)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本小題主要考查含絕對(duì)值的不等式、基本不等式、不等式證明方法等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力；考查分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是比較與1的大小，屬于中檔題2．設(shè)不等式的解集為M，．（1）求M；（2）證明．【來(lái)源】江西省鷹潭市第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）分段討論可得解集；（2）平方之后比差可證得結(jié)果.【詳解】（1）記，所以，原不等式等價(jià)于，解得，即原不等式解集；（2）由可知，，，即，，所以，故.3．已知實(shí)數(shù)，滿足，．（1）求證：；（2）求證：．【來(lái)源】廣西師大附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2021屆高三5月高考考前模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由絕對(duì)值三角不等式放縮得證；（2）用比差法：作差，變形，判斷符號(hào)，寫(xiě)出結(jié)論.【詳解】解法一：（1）由題意得．由絕對(duì)值三角不等式得所以．（2）由已知得，，所以，即．因?yàn)椋?，所以．所以由同向不等式相加得，得，即．解法二：?）由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由絕對(duì)值三角不等式得．所以．（2）．由已知得，，所以所以.4．已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）設(shè)，求證：.【來(lái)源】全國(guó)Ⅲ卷2021屆高三數(shù)學(xué)（文）模擬試題（三）【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）所求不等式即為|2x+1|+|x﹣1|>3，然后分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式即可；（2）利用分析法可知，即證(b﹣a)2<(ab﹣1)2，結(jié)合a，b∈M易得證.【詳解】（1）由f(x)+f(2x+2)>3得|2x+1|+|x﹣1|>3，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為﹣(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x<﹣1；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x>1，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)x>1時(shí)，原不等式可化為(2x+1)+(x﹣1)>3，解得x>1；綜上，所求不等式的解集為(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)；（2）證明：要證，只需證，即證，即證|b﹣a|<|ab﹣1|，即證(b﹣a)2<(ab﹣1)2，而(ab﹣1)2﹣(b﹣a)2=a2b2﹣a2﹣b2+1=(a2﹣1)(b2﹣1)，由a，b∈M，得a2>1，b2>1，∴(a2﹣1)(b2﹣1)>0，即得證.【點(diǎn)睛】分析法證明不等式，結(jié)構(gòu)是：要證——即證——即證……；然后證明一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論即可.5．已知函數(shù)，不等式的解集為A.（1）求A；（2）當(dāng)a，時(shí)，證明：.【來(lái)源】安徽省合肥市第一中學(xué)2021屆高三下學(xué)期6月最后一卷理科數(shù)學(xué)試題【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）討論自變量取值范圍去掉絕對(duì)值求解不等式即可；（2）通過(guò)分析法逐步證明最后只需證明一個(gè)明顯成立的不等式即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得(舍)；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上可知；（2）要證：只要證：只要證：只要證：只要證：，，，成立，所以原命題成立．【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的解法：法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．6．已知函數(shù).（1)解不等式；（2)記函數(shù)的最小值為，且，其中均為正實(shí)數(shù)，求證：【來(lái)源】貴州省銅仁市思南中學(xué)2021屆高三第十二次考試數(shù)學(xué)（文）試題【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題知，進(jìn)而分，，三種情況討論求解；（2）由絕對(duì)值三角不等式得，故，所以，再根據(jù)基本不等式得，故.【詳解】（1）令，①當(dāng)時(shí)，，則，②當(dāng)時(shí)，，則，③當(dāng)時(shí)，，則，綜上,不等式的解集為；（2）因?yàn)椋瑒t，，則，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，所以，即;【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是中檔題.本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于利用絕對(duì)值三角不等式得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明，再結(jié)合基本不等式求解即可.7．已知函數(shù)（）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，.【來(lái)源】寧夏銀川一中2022屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證明，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，，然后利用求出的最小值大于零即可【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上：時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間.時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，只需證明，設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，，，易知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，故存在唯一的使得，則滿足，當(dāng)x變化時(shí)，和變化情況如下表x0遞減遞增，因?yàn)?，且，所以，因此不等式得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是要證明，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，，然后利用導(dǎo)數(shù)解決即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題8．設(shè)，已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．【來(lái)源】浙江省金華十校2021屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（I）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義即切線斜率，，結(jié)合，求得參數(shù)值.（II）由（Ⅰ）可知，分別證得（化簡(jiǎn)得），，從而將轉(zhuǎn)化為，易知當(dāng)，右式小于0.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單增，單減，則，從而證得結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）由題意得：，則，解得，又，可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（?。┫茸C：由，即，得證．（ⅱ）再證：．∵，令，則．當(dāng)時(shí)，．即在上單調(diào)遞增，∴，得證.（ⅲ）由（?。┛傻茫从校Y(jié)合以上結(jié)論及（ⅱ）可得，當(dāng)時(shí)，．令∴當(dāng)，有；（ⅳ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單增，單減則．綜上，原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分式等函數(shù)組合成的不等式恒成立問(wèn)題，可以通過(guò)放縮法證得.如本題中使用的，，將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)均放縮成分式函數(shù)，易于求解.9．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，證明：.【來(lái)源】福建省廈門市2021屆高三5月二模數(shù)學(xué)（A卷）試題【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）依題意可得，再兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得證；（2）由（1）可得，則，利用放縮法得到，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可得證；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以﹐所以所以又因?yàn)?所以是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以即，【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．10．已知函數(shù).（1）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【來(lái)源】河南省洛陽(yáng)市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，通過(guò)求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而分析單調(diào)性再求得最小值得出結(jié)果；（2）由（1）知：恒成立，即，則累加后結(jié)合放縮法即可證明命題．【詳解】解：（1）不等式，即為，記，故，令，則，∵，∴在單調(diào)遞增，故，故，故在上單調(diào)遞增，故，故；（2）由（1）知：恒成立，即，令，則，故，，累加得：，故．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若.（1）求通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.【來(lái)源】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【答案】（1）；