“方程與函數(shù)”競(jìng)賽問(wèn)題的簡(jiǎn)單剖析方程與函數(shù)是初中競(jìng)賽的主體內(nèi)容之一，方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問(wèn)題，也可以用函數(shù)思想討論方程問(wèn)題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等問(wèn)題時(shí)，常將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個(gè)數(shù)、解的分布情況等問(wèn)題時(shí)，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡(jiǎn)捷的解答.復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容的有效方法是對(duì)照初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱，逐條訓(xùn)練、理解、掌握下面選取一些試題對(duì)這部分內(nèi)容作一些剖析，以重難點(diǎn)、解題方法為主線，期望既能在試題的剖析中領(lǐng)悟、消化這些方法，又能把握初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的脈絡(luò)［例1］解絕對(duì)值方程|x—4|+|x—3|=2.［解答］（1）當(dāng)％>4時(shí)，有x—4>0,x—3>0,所以原方程變?yōu)閤—4+x—3=2解得：x=9，滿足條件，即是該方程的解.（2）當(dāng)3<x<4時(shí)，有x—4<0,x—3>0,所以原方程變?yōu)?-x+x-3=2,得1=2,不存在.（3）當(dāng)x<3時(shí)，有x-4<0,x-3<0,所以原方程變?yōu)?-x+3-x=2，解得：x=5,滿足條件，9 5即是該方程的解.綜上所述，原方程的解為x=5或x=5.［點(diǎn)評(píng)］解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，這可用“零點(diǎn)分段法”即x-4=0,x-3=0,,分別求得x=4,x=3,,用3,4將數(shù)軸分成三段x>4,3<x<4,x<3，然后在每一段上去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解.［例2］求方程5x+11y=1的整數(shù)解.［解答］［解答］x=1-y-10y

51-y_二一-2y（1）1-y設(shè)胃=k（k是整數(shù)），則y=1-5k （2）,把（2）代入（1）得x=k-2（1-5k）=11k-2Ix=11k-2???原方程所有的整數(shù)解是《 1口（k是整數(shù)）Iy=1-5k［點(diǎn)評(píng)］一般來(lái)說(shuō)，在解不定方程時(shí)，常用系數(shù)中較小的數(shù)字去除方程中的各項(xiàng)，并將所得結(jié)果中的整數(shù)分離出來(lái).這種解法一般都適合于所有的二元一次不定方程.有時(shí)我們?nèi)菀子^察到

元一次方程的一組特解，比如例2.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)x=-21是方程5x+11y=1元一次方程的一組特解，比如例2.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)x=-21是方程5x+11y=1的一組特解，y=1這時(shí)我們可以得到以下的規(guī)律：在ax+by=c中，若系數(shù)a與b互質(zhì)，且該方程有一組整數(shù)解x=x0，則此方程的所有整數(shù)解可以表示成|y=y0x=x0+bk，其中k是整數(shù).y=y-ak0［例3］方程組<|x|+y=12,’的解的個(gè)數(shù)為().x+y=6(A)1(D)4［解答］若x>Q則x+y=12, ??工x+y=6,于是Iy-y=-6，顯然不可能.若x<0，則—x+y=12,x+|y|=6,于是y|+y=18，解得y=9,進(jìn)而求得x=-3.所以，原方程組的解為x=-3,所以，原方程組的解為八只有1個(gè)解.故選(A).y=9,［點(diǎn)評(píng)］解決多元方程、多變量問(wèn)題的基本方法是消元.本題為消元，果斷地對(duì)x的符號(hào)展開討論，去掉x中的絕對(duì)值符號(hào)，再轉(zhuǎn)化為一元方程問(wèn)題來(lái)達(dá)到求解的目的.［例4］已知實(shí)數(shù)a豐b，且滿足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2.b.'a￡…，則bc—+ai'7的值為().a\b(A)23 (B)-23 (C)-2 (D)-13［解答］a,b是關(guān)于x的方程Q+1、+3(x+1)-3=0的兩個(gè)根，整理此方程，得x2+5x+1=0,?A=25-4>0,.，.a+b=-5,ab=1.故a、b均為負(fù)數(shù).b,ab:~aa.—— a2+b2:—— Ca+b)-2ab因此匕b■—+a.-=—-vab——<ab=- <ab=- — =-23.選aa\bab ab abb(B).1 1［點(diǎn)評(píng)］設(shè)X,X是二次方程的根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以解決諸如xk+xk,-+—,12 1 2XXx2+二等問(wèn)題，但要注意前提條件A>0.另外，有的競(jìng)賽試題還要求我們自己構(gòu)造二次XX方程，如本題構(gòu)造根為凡b的方程(X+11+3(X+1)-3=0.［例5］已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足：a+b+c=2,abc=4.(1)求a,b,c中的最大者的最小值；(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.［解答］(1)不妨設(shè)a是a,b,c中的最大者，即a>b,a>c，八 ， c ， 4由題設(shè)知a>0，且b+c=2-a，bc=—.a一-一一，、一 、4 于是b,c是一元二次方程X2-(2-a)X+-=0的兩實(shí)根，a4A=(2-a)2-4x—>0，a一a3-4a2+4a-16>0，(a2+4)(a-4)>0,所以a>4.又當(dāng)a=4，b=c=-1時(shí)，滿足題意.故a,b,c中最大者的最小值為4.(2)因?yàn)閍bc>0，所以a,b,c為全大于0或一正二負(fù).若a,b,c均大于0，則由(1)知，a,b,c中的最大者不小于4，這與a+b+c=2矛盾.若a,b,c為一正二負(fù)，設(shè)a>0，b<0，c<0，貝°|a|+|b|+|c|—a—b—c—a—(2—a)—2a—2,由(1)知a>4,故2a-2>6,當(dāng)a=4，b=c=-1時(shí)，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號(hào)成立.故|a|+|b|+|c|的最小值為6.［點(diǎn)評(píng)］本題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)值得我們借鑒：①由a,b,c的對(duì)稱性，假定a>b，a>c(當(dāng)然也可假定a>b>c)，既能簡(jiǎn)化問(wèn)題，又不失一般性；②視a為常量，由b+c,bc構(gòu)造二次方程，由A>0獲得a的范圍.A>0是一個(gè)隱含在二次方程中的重要不等式，大有用處;③解高次不等式a3-4a2+4a-16>0用到了分解因式，分解因式時(shí)可借助“試根法”12x+my=4［例6］m取何整數(shù)值時(shí),方程組［x+4y=1的解x和y都是整數(shù)?［解答］把m作為已知數(shù)，解方程組得:x是整數(shù)，，m—8取8的約數(shù)±1,士2,±4,±8.Vy是整數(shù)，，m—8取2的約數(shù)±1,±2.取它們的公共部分，m—8=±1,±2.解得m=9,7,10,6. 經(jīng)檢驗(yàn)m=9,7,10,6時(shí)，方程組的解都是整數(shù).［點(diǎn)評(píng)］求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解(把待定系數(shù)當(dāng)己知數(shù))，再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論，從而求出待定系數(shù)的取值TOC\o"1-5"\h\z， 一， 1，，、八［例7］已知a,b都是正整數(shù)，試問(wèn)關(guān)于x的方程x2—abx+-(a+b)=0是否有兩個(gè)整數(shù)解？如果有，請(qǐng)把它們求出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)給出證明.x+x=ab,［解答］不妨設(shè)a<b，且方程的兩個(gè)整數(shù)根為x,x(x<x)，則有J1 21121 2 xx=(a+b),〔12 2…， 1 1. . _所以xx—x—x=a+b—ab,4(x—1)(x—1)+(2a—1)(2b—1)=5.12 12 2 2 1 2因?yàn)閍,b都是正整數(shù)，所以x1,x2均是正整數(shù)，于是，x1—1>0,x2—1>0,2a—1>1,2b—1>1,J(x-1)(x-1)=0,卜x—1)(x—1)=1，所以J1 2 或J1 21(2a—1)(2b-1)=5, 1(2a—1)(2b-1)=1.[(x—1)(x—1)=0,, ……， , ,⑴當(dāng)J1 2 7時(shí)，由于a,b都是正整數(shù)，且a<b，可得a=1,b=3,1(2a—1)(2b-1)=5此時(shí)，一元二次方程為x2—3x+2=0，它的兩個(gè)根為x1=1,x2=2.r(%—i)(%-1)=i,(2)當(dāng)fi2時(shí)，可得a=1,b=1,［(2a-1)(2b-1)=1此時(shí)，一元二次方程為12-%+1=0，它無(wú)整數(shù)解.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=3時(shí)，題設(shè)方程有整數(shù)解，且它的兩個(gè)整數(shù)解為%1=1,%=2.［點(diǎn)評(píng)］①我們解決二次方程的整數(shù)根這類問(wèn)題總是依賴于幾個(gè)必要條件，如：兩個(gè)之和為整數(shù)、兩根之積為整數(shù)、A是整數(shù)且是完全平方數(shù)等；②本題的關(guān)鍵一步在4(%-1)(%-1)+(2a-1)(2b-1)=5.這一步用到了“局部因式分1 2解”，以及一個(gè)常見結(jié)論mn±m(xù)±n+1=(m±1)(n±1).接下來(lái)作整數(shù)分析，求四元不定方程4%y+z攻=5的自然數(shù)解.［例8］已知拋物線J=a%2+b%+c(a>0)過(guò)(0,4),(2,-2)兩點(diǎn)，當(dāng)拋物線在%軸上截得的線段最短時(shí)，求這時(shí)的拋物線解析式.［解答］?..拋物線過(guò)(0,4),(2,-2)兩點(diǎn)，，代入解析式得b=-2a-3,c=4所以j=a%2+b%+c=a%2—(2a+3)%+4TOC\o"1-5"\h\z%:(2a+3)2-16a : 49???此拋物線在%軸上截得的線段長(zhǎng)可表示為 =<'14--+—(a>0)a Vaa21 -4 2 9 9???當(dāng)一=- =，即a=-時(shí)，拋物線在%軸上截得的線段最短，將a=-代入a2義99 2 2， .- ， - 9-，b=-2a-3，得b=-12 .??拋物線的解析式是J=-%2-12%+4［點(diǎn)評(píng)］因?yàn)閽佄锞€J=a%2+b%+c(a>0)過(guò)(0,4),(2,-2)兩點(diǎn)，故可將a,b,c用同一個(gè)字母表示出來(lái)，再求出在%軸上截得線段的最小值.拋物線J=a%2+b%+c(a豐0)在%軸上-b-M-b+而而截出的距離公式為： c-c二斤.2a 2a |a|， 1 ， 八［例9］二次函數(shù)J=a%2+b%+c,當(dāng)%=-時(shí)，有最大值25,而方程a%2+b%+c=0的兩根a、P，滿足a3+p3=19,求a、b、c.[解答]設(shè)二次函數(shù)J=a(x—h)2+k(a豐0),?「當(dāng)x二TOC\o"1-5"\h\z1,—… …?「當(dāng)x二不時(shí)，有最大值25,即：頂點(diǎn)為-,252 12/ 1、 … 1 …j=a(x—)2+25=ax2—ax+a+252 41由已知得：ax2—ax+a+25=0的兩根為a、p，滿足a3+03=194(a+0)[(a+0)2—3ap]=19根據(jù)兩根之和與兩根之積的關(guān)系解得a=—4j=—4x2+4x+24,即a=-4,b=4,c=24.［點(diǎn)評(píng)］本例雖在題中已設(shè)一般式，但由于已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此，設(shè)頂點(diǎn)式較為方便，再把頂點(diǎn)式展開即為一般式.再利用a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)分解因式，轉(zhuǎn)化成兩根之和與兩根之積的問(wèn)題.［例10］已知二次函數(shù)J=-9x2—6ax—a2+2a(—3<x<3)有最大值一3,求實(shí)數(shù)a的值...1a1 一. . a.［解答］⑴若一3<-3<3,即—1<a<l拋物線開口向下,當(dāng)x二-3時(shí),J最大高2a一. 3???二次函數(shù)最大值—3，即a=--與-1<a<1矛盾，舍去。(2)若—3〈—3,即a>1當(dāng)一3<x<3時(shí),j隨x增大而減小,當(dāng)x二一3時(shí),j最大值=-a2+4a-1，由—a2+4a—1=—3,WWa二2±<6又a>1,；.a=2+<6(3)若—3>3,即a<—1當(dāng)―1<x<1時(shí)，J隨x增大而增大，當(dāng)x=1時(shí)，J目/J—a2—1,3 3 3最大值由—a2—1=—3次^^a=±\/2 又a<—1,.，.a=—%;2綜上所述，a=2+<6或a=—\；2［點(diǎn)評(píng)］本題是關(guān)于二次函數(shù)最值的“逆向問(wèn)題”，由題設(shè)知，二次函數(shù)

ayay=—9x2—6ax—a2+2a的對(duì)稱軸是x=——,而x的取值范圍是-;<x<3,所以要對(duì)a—3是否在x的取值范圍內(nèi)討論求解.［例11］已知：拋物線y=—x2+px+q交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸正半軸于點(diǎn)C,又ZACB=90°,tanZCAO—tanZCBO=2,求拋物線的解析式.［解答］設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，則x1,x2是方程x2—px—q=0的兩個(gè)根，且x<0<x,x+x=p,xx=—q<0???在Rt△ABC中，OC為斜邊AB上的高，??.OC2=O^A\?|OB|=|x1xJ=q又?「OC2=q2 q2=q因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，???q豐0,故q=1由三角函數(shù)的定義和xi<0<x2，易得：tan/CAO=tan/CBOtan/CAO=tan/CBO—AOx1則x+x——?jiǎng)tx+x——2xx由題設(shè)，得——————T 2—2,xxxxx+x+x—p,xx——q——1???p=2故拋物線得解析式為y——x2+2x+1［點(diǎn)評(píng)］本例是代數(shù)、三角、幾何的綜合題，涉及二次函數(shù)、方程、三角函數(shù)和Rt△等多方面的知識(shí).欲求拋物線的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q與方程x2—px—q—0的兩根有聯(lián)系，另一方面q等于線段OC的長(zhǎng)，而OC2—|OA卜|OB|,且|OA|、OB|又是方程x2—px—q—0的兩根的絕對(duì)值，這就使p與q能建立聯(lián)系，從中求出p、q.

［同步練習(xí)］一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1 ，，-八.（2010年全國(guó)競(jìng)賽）若實(shí)數(shù)a,b滿足萬(wàn)a—ab+b2+2=0，則a的取值范圍是（ ）.（A）a<-2 （b）a>4 （C）a?-2或a>4（d）-2<a<4.（2009年全國(guó)競(jìng)賽）關(guān)于l，y的方程x2+xy+2y2=29的整數(shù)解（％，y）的組數(shù)為（ ）.（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無(wú)窮多組（2009年全國(guó)競(jìng)賽）如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB//DC,/B=90°.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由B-C—D-A運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ABP的面積為y.把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（）.(A)10 (A)10 (B)16 (C)18(D)32二、填空題（2008年全國(guó)競(jìng)賽）對(duì)于實(shí)數(shù)u,v，定義一種運(yùn)算“*”為：u*v=uv+v.若關(guān)于x的方. / 、 1 人 ……程x*（a*x）=-4有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .（2008年全國(guó)競(jìng)賽）關(guān)于x,y的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整數(shù)解為.三、解答題（2008年全國(guó)競(jìng)賽）在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k豐0）的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)，且使得^OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3.（I）用b表示k； （11）求4OAB面積的最小值.設(shè)直線y=kx+b與拋物線y=ax2的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、和x2，且直線與x軸交TOC\o"1-5"\h\z一 1 1 1點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，求證：—? =—.x