..北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)第一章三角形的證明一．選擇題〔共12小題1．〔2014?XX如圖,AD是△ABC中∠BAC的角平分線,DE⊥AB于點E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC長是〔A．3B．4C．6D．52．〔2014?XX如圖,銳角三角形ABC中,直線L為BC的中垂線,直線M為∠ABC的角平分線,L與M相交于P點．若∠A=60°,∠ACP=24°,則∠ABP的度數(shù)為何？〔A．24B．30C．32D．363．〔2014?XX已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b,且a、b滿足+〔2a+3b﹣132=0,則此等腰三角形的周長為〔A．7或8B．6或1OC．6或7D．7或104．〔2014?XX如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是〔A．2.5B．C．D．25．〔2014?甘井子區(qū)一模如圖,△ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=4cm,△ABD的周長為14cm,則△ABC的周長為〔A．18cmB．22cmC．24cmD．26cm6．〔2014?XX一模如圖,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂線DE交BC于D,E為垂足,若BD=10cm,則AC等于〔A．10cmB．8cmC．5cmD．2.5cm7．〔2013?XX如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E．如果點M是OP的中點,則DM的長是〔A．2B．C．D．8．〔2013?濱城區(qū)二模如圖,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分線交AC于D,交BC于E,且∠EAB：∠CAE=3：1,則∠C等于〔A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．〔2013?澄江縣一模若一個等腰三角形至少有一個內(nèi)角是88°,則它的頂角是〔A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．〔2012?XX如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O,連接CE,則CE的長為〔A．3B．3.5C．2.5D．2.811．〔2011?成華區(qū)二模如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于點D,則點D到BC的距離是〔A．1B．2C．D．12．〔2006?威海如圖,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,則∠DCE的度數(shù)為〔A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空題〔共6小題13．〔2014?XX如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一條角平分線．若CD=3,則△ABD的面積為_________．14．〔2013?XX如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分線DE交AC于E,交BC的延長線于F,若∠F=30°,DE=1,則BE的長是_________．15．〔2013?XX模擬如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC平分線BE交于點E,若∠BAC=70°,則∠CAE=_________．16．〔2012?XX如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O,則S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．17．〔2012?XX模擬在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,則∠DCB的度數(shù)是_________．18．〔2009?XX如圖,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分線交對角線BD于點P,垂足為E,連接CP,則∠CPB=_________度．三．解答題〔共12小題19．〔2014?翔安區(qū)質(zhì)檢如圖,已知DE是AC的垂直平分線,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周長．20．〔2014?XX模擬如圖,D為△ABC邊BC延長線上一點,且CD=CA,E是AD的中點,CF平分∠ACB交AB于點F．求證：CE⊥CF．21．〔2014?順義區(qū)一模如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,BC=4,CD=3,求AB的長．22．〔2013?湘西州如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3．〔1求DE的長；〔2求△ADB的面積．23．〔2012?XX模擬如圖,已知△ABC和△ABD均為直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E為AB的中點,求證：CE=DE．24．〔2010?XX如圖所示,在△ABC中,BC＞AC,點D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分線CF交AD于點F．點E是AB的中點,連接EF．〔1求證：EF∥BC；〔2若△ABD的面積是6,求四邊形BDFE的面積．25．〔2009?XX二模如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,CE⊥BD于點E．求證：AD=BE．26．〔2007?XX已知；如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90度．F為AB延長線上一點,點E在BC上,BE=BF,連接AE、EF和CF．〔1求證：AE=CF；〔2若∠CAE=30°,求∠EFC的度數(shù)．27．〔2006?XX如圖,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分線交直線BC于D,過D作DE⊥AB,DF⊥AC分別交直線AB,AC于E,F,連接EF．〔1求證：EF⊥AD；〔2若DE∥AC,且DE=1,求AD的長．28．如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于點D,求點D到斜邊AB的距離．29．如圖,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=3,AC=4,AD是∠CAB的平分線,AD交BC于D,求BD的長．30．如圖,四邊形ABCD中,AB=BC,AB∥CD,∠D=90°,AE⊥BC于點E,求證：CD=CE．北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)第一章三角形的證明參考答案與試題解析一．選擇題〔共12小題1．〔2014?XX如圖,AD是△ABC中∠BAC的角平分線,DE⊥AB于點E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC長是〔A．3B．4C．6D．5考點：角平分線的性質(zhì)．專題：幾何圖形問題．分析：過點D作DF⊥AC于F,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF,再根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如圖,過點D作DF⊥AC于F,∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線,DE⊥AB,∴DE=DF,由圖可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴×4×2+×AC×2=7,解得AC=3．故選：A．點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．〔2014?XX如圖,銳角三角形ABC中,直線L為BC的中垂線,直線M為∠ABC的角平分線,L與M相交于P點．若∠A=60°,∠ACP=24°,則∠ABP的度數(shù)為何？〔A．24B．30C．32D．36考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠ABP=∠CBP,根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BP=CP,再根據(jù)等邊對等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直線M為∠ABC的角平分線,∴∠ABP=∠CBP．∵直線L為BC的中垂線,∴BP=CP,∴∠CBP=∠BCP,∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,即3∠ABP+60°+24°=180°,解得∠ABP=32°．故選：C．點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì),角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和定理,熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠ABP的方程是解題的關(guān)鍵．3．〔2014?XX已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b,且a、b滿足+〔2a+3b﹣132=0,則此等腰三角形的周長為〔A．7或8B．6或1OC．6或7D．7或10考點：等腰三角形的性質(zhì)；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；解二元一次方程組；三角形三邊關(guān)系．分析：先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a,b的值,再分兩種情況確定第三邊的長,從而得出三角形的周長．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+〔2a+3b﹣132=0,∴,解得,當(dāng)a為底時,三角形的三邊長為2,3,3,則周長為8；當(dāng)b為底時,三角形的三邊長為2,2,3,則周長為7；綜上所述此等腰三角形的周長為7或8．故選：A．點評：本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及解二元一次方程組,是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．4．〔2014?XX如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中點,那么CH的長是〔A．2.5B．C．D．2考點：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理．專題：幾何圖形問題．分析：連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,∠ACD=∠GCF=45°,再求出∠ACF=90°,然后利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．解答：解：如圖,連接AC、CF,∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,∴AC=,CF=3,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,由勾股定理得,AF===2,∵H是AF的中點,∴CH=AF=×2=．故選：B．點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理,熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．〔2014?甘井子區(qū)一模如圖,△ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=4cm,△ABD的周長為14cm,則△ABC的周長為〔A．18cmB．22cmC．24cmD．26cm考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=CD,然后求出△ABD的周長=AB+BC,再求出AC的長,然后根據(jù)三角形的周長公式列式計算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分線,∴AD=CD,∴△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,∵AE=4cm,∴AC=2AE=2×4=8cm,∴△ABC的周長=AB+BC+AC=14+8=22cm．故選B．點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì),求出△ABD的周長=AB+BC是解題的關(guān)鍵．6．〔2014?XX一模如圖,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂線DE交BC于D,E為垂足,若BD=10cm,則AC等于〔A．10cmB．8cmC．5cmD．2.5cm考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．專題：探究型．分析：連接AD,先由三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù),再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出∠DAB的度數(shù),根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可求出AD的長及∠DAC的度數(shù),最后由直角三角形的性質(zhì)即可求出AC的長．解答：解：連接AD,∵DE是線段AB的垂直平分線,BD=15,∠B=15°,∴AD=BD=10,∴∠DAB=∠B=15°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°,∵∠C=90°,∴AC=AD=5cm．故選C．點評：本題考查的是直角三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì),熟知線段垂直平分的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．7．〔2013?XX如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E．如果點M是OP的中點,則DM的長是〔A．2B．C．D．考點：角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性質(zhì),即可求得PE的值,繼而求得OP的長,然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可求得DM的長．解答：解：∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,∴∠AOP=∠COP=30°,∵CP∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠COP=∠CPO,∴OC=CP=2,∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,∴∠CPE=30°,∴CE=CP=1,∴PE==,∴OP=2PE=2,∵PD⊥OA,點M是OP的中點,∴DM=OP=．故選：C．點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、含30°直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)．此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．〔2013?濱城區(qū)二模如圖,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分線交AC于D,交BC于E,且∠EAB：∠CAE=3：1,則∠C等于〔A．28°B．25°C．22.5°D．20°考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．專題：計算題．分析：設(shè)∠CAE=x,則∠EAB=3x．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì),得AE=CE,再根據(jù)等邊對等角,得∠C=∠CAE=x,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求解．解答：解：設(shè)∠CAE=x,則∠EAB=3x．∵AC的垂直平分線交AC于D,交BC于E,∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,得∠C+∠BAC=180°﹣∠B,即x+4x=140°,x=28°．則∠C=28°．故選A．點評：此題綜合運用了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．9．〔2013?澄江縣一模若一個等腰三角形至少有一個內(nèi)角是88°,則它的頂角是〔A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考點：等腰三角形的性質(zhì)．分析：分88°內(nèi)角是頂角和底角兩種情況討論求解．解答：解：88°是頂角時,等腰三角形的頂角為88°,88°是底角時,頂角為180°﹣2×88°=4°,綜上所述,它的頂角是88°或4°．故選C．點評：本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì),難點在于要分情況討論．10．〔2012?XX如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O,連接CE,則CE的長為〔A．3B．3.5C．2.5D．2.8考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．專題：計算題．分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得AE=CE,設(shè)CE=x,表示出ED的長度,然后在Rt△CDE中,利用勾股定理列式計算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分線,∴AE=CE,設(shè)CE=x,則ED=AD﹣AE=4﹣x,在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,即x2=22+〔4﹣x2,解得x=2.5,即CE的長為2.5．故選：C．點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,把相應(yīng)的邊轉(zhuǎn)化為同一個直角三角形的邊是解題的關(guān)鍵．11．〔2011?成華區(qū)二模如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于點D,則點D到BC的距離是〔A．1B．2C．D．考點：角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=60°,再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD=∠DBC=30°,從而得到∠DBC=∠ACB,然后利用等角對等邊的性質(zhì)求出BD的長度,再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD,過點D作DE⊥BC于點E,然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴∠ABC=60°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,∴∠DBC=∠ACB,∴BD=CD=4,在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°,∴AD=BD=×4=2,過點D作DE⊥BC于點E,則DE=AD=2．故選B．點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),以及等角對等邊的性質(zhì),小綜合題,但難度不大,熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．〔2006?威海如圖,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,則∠DCE的度數(shù)為〔A．20°B．25°C．30°D．40°考點：等腰三角形的性質(zhì)．專題：幾何圖形問題．分析：根據(jù)此題的條件,找出等腰三角形,找出相等的邊與角度,設(shè)出未知量,找出滿足條件的方程．解答：解：∵AC=AE,BC=BD∴設(shè)∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,∴∠A=180°﹣2x°,∠B=180°﹣2y°,∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∴100+〔180﹣2x+〔180﹣2y=180,得x+y=140,∴∠DCE=180﹣〔∠AEC+∠BDC=180﹣〔x+y=40°．故選D．點評：根據(jù)題目中的等邊關(guān)系,找出角的相等關(guān)系,再根據(jù)三角形內(nèi)角和180°的定理,列出方程,解決此題．二．填空題〔共6小題13．〔2014?XX如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一條角平分線．若CD=3,則△ABD的面積為15．考點：角平分線的性質(zhì)．專題：幾何圖形問題．分析：要求△ABD的面積,現(xiàn)有AB=7可作為三角形的底,只需求出該底上的高即可,需作DE⊥AB于E．根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE的長,即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=3．∴△ABD的面積為×3×10=15．故答案是：15．點評：此題主要考查角平分線的性質(zhì)；熟練運用角平分線的性質(zhì)定理,是很重要的,作出并求出三角形AB邊上的高時解答本題的關(guān)鍵．14．〔2013?XX如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分線DE交AC于E,交BC的延長線于F,若∠F=30°,DE=1,則BE的長是2．考點：含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)．分析：根據(jù)同角的余角相等、等腰△ABE的性質(zhì)推知∠DBE=30°,則在直角△DBE中由"30度角所對的直角邊是斜邊的一半"即可求得線段BE的長度．解答：解：∵∠ACB=90°,FD⊥AB,∴∠ACB=∠FDB=90°,∵∠F=30°,∴∠A=∠F=30°〔同角的余角相等．又∵AB的垂直平分線DE交AC于E,∴∠EBA=∠A=30°,∴直角△DBE中,BE=2DE=2．故答案是：2．點評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形．解題的難點是推知∠EBA=30°．15．〔2013?XX模擬如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC平分線BE交于點E,若∠BAC=70°,則∠CAE=55°．考點：角平分線的性質(zhì)．分析：首先過點E作EF⊥BD于點F,作EG⊥AC于點G,作EH⊥BA于點H,由△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC平分線BE交于點E,易證得AE是∠CAH的平分線,繼而求得答案．解答：解：過點E作EF⊥BD于點F,作EG⊥AC于點G,作EH⊥BA于點H,∵△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC平分線BE交于點E,∴EH=EF,EG=EF,∴EH=EG,∴AE是∠CAH的平分線,∵∠BAC=70°,∴∠CAH=110°,∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案為：55°．點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)與判定．此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．〔2012?XX如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O,則S△ABO：S△BCO：S△CAO=4：5：6．考點：角平分線的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：首先過點O作OD⊥AB于點D,作OE⊥AC于點E,作OF⊥BC于點F,由OA,OB,OC是△ABC的三條角平分線,根據(jù)角平分線的性質(zhì),可得OD=OE=OF,又由△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60,即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：過點O作OD⊥AB于點D,作OE⊥AC于點E,作OF⊥BC于點F,∵OA,OB,OC是△ABC的三條角平分線,∴OD=OE=OF,∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=〔AB?OD：〔BC?OF：〔AC?OE=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案為：4：5：6．點評：此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度不大,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．〔2012?XX模擬在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°,則∠DCB的度數(shù)是15°．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．分析：由DE垂直平分AC,∠A=50°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),易求得∠ACD的度數(shù),又由AB=AC,可求得∠ACB的度數(shù),繼而可求得∠DCB的度數(shù)．解答：解：∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠ACD=∠A=50°,∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ACB=∠B==65°,∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案為：15°．點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．〔2009?XX如圖,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分線交對角線BD于點P,垂足為E,連接CP,則∠CPB=72度．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．專題：計算題．分析：欲求∠CPB,可根據(jù)菱形、線段垂直平分線的性質(zhì)、對稱等方面去尋求解答方法．解答：解：先連接AP,由四邊形ABCD是菱形,∠ADC=72°,可得∠BAD=180°﹣72°=108°,根據(jù)菱形對角線平分對角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°,∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分線,由垂直平分線的對稱性可得∠DAP=∠ADB=36°,∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中,∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形對角線的對稱性可得∠CPB=∠APB=72度．點評：本題開放性較強,解法有多種,可以從菱形、線段垂直平分線的性質(zhì)、對稱等方面去尋求解答方法,在這些方法中,最容易理解和表達的應(yīng)為對稱法,這也應(yīng)該是本題考查的目的．靈活應(yīng)用菱形、垂直平分線的對稱性,可使解題過程更為簡便快捷．三．解答題〔共12小題19．〔2014?翔安區(qū)質(zhì)檢如圖,已知DE是AC的垂直平分線,AB=10cm,BC=11cm,求△ABD的周長．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．分析：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD,故可得出BD+AD=BD+CD=BC,進而可得出結(jié)論．解答：解：∵DE垂直平分,∴AD=CD,∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm,又∵AB=10cm,∴△ABD的周長=AB+BC=10+11=21〔cm．點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì),熟知線段垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．20．〔2014?XX模擬如圖,D為△ABC邊BC延長線上一點,且CD=CA,E是AD的中點,CF平分∠ACB交AB于點F．求證：CE⊥CF．考點：等腰三角形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：根據(jù)三線合一定理證明CF平分∠ACB,然后根據(jù)CF平分∠ACB,根據(jù)鄰補角的定義即可證得．解答：證明：∵CD=CA,E是AD的中點,∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°,∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì),頂角的平分線、底邊上的中線和高線、三線合一．21．〔2014?順義區(qū)一模如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,BC=4,CD=3,求AB的長．考點：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計算題．分析：延長DA,CB,交于點E,可得出三角形ABE與三角形CDE相似,由相似得比例,設(shè)AB=x,利用30角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AE=2x,利用勾股定理表示出BE,由BC+BE表示出CE,在直角三角形DCE中,利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到2DC=CE,即可求出AB的長．解答：解：延長DA,CB,交于點E,∵∠E=∠E,∠ANE=∠D=90°,∴△ABE∽△CDE,∴=,在Rt△ABE中,∠E=30°,設(shè)AB=x,則有AE=2x,根據(jù)勾股定理得：BE==x,∴CE=BC+BE=4+x,在Rt△DCE中,∠E=30°,∴CD=CE,即〔4+x=3,解得：x=,則AB=．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),含30度直角三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．22．〔2013?湘西州如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3．〔1求DE的長；〔2求△ADB的面積．考點：角平分線的性質(zhì)；勾股定理．分析：〔1根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE,代入求出即可；〔2利用勾股定理求出AB的長,然后計算△ADB的面積．解答：解：〔1∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3；〔2在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB===10,∴△ADB的面積為S△ADB=AB?DE=×10×3=15．點評：本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運用,注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．23．〔2012?XX模擬如圖,已知△ABC和△ABD均為直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E為AB的中點,求證：CE=DE．考點：直角三角形斜邊上的中線．專題：證明題．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊,因此可以AB為媒介,再根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半來證CE=ED．解答：證明：在Rt△ABC中,∵E為斜邊AB的中點,∴CE=AB．在Rt△ABD中,∵E為斜邊AB的中點,∴DE=AB．∴CE=DE．點評：本題考查的是直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半．24．〔2010?XX如圖所示,在△ABC中,BC＞AC,點D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分線CF交AD于點F．點E是AB的中點,連接EF．〔1求證：EF∥BC；〔2若△ABD的面積是6,求四邊形BDFE的面積．考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：〔1在等腰△ACD中,CF是頂角∠ACD的平分線,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知F是底邊AD的中點,由此可證得EF是△ABD的中位線,即可得到EF∥BC的結(jié)論；〔2易證得△AEF∽△ABD,根據(jù)兩個相似三角形的面積比〔即相似比的平方,可求出△ABD的面積,而四邊形BDFE的面積為△ABD和△AEF的面積差,由此得解．解答：〔1證明：∵在△ACD中,DC=AC,CF平分∠ACD；∴AF=FD,即F是AD的中點；又∵E是AB的中點,∴EF是△ABD的中位線；∴EF∥BC；〔2解：由〔1易證得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=〔AE：AB2=1：4,∴S△ABD=4S△AEF=6,∴S△AEF=1.5．∴S四邊形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．點評：此題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理及相似三角形的判定和性質(zhì)．25．〔2009?XX二模如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,CE⊥BD于點E．求證：AD=BE．考點：直角三角形全等的判定；全等三角形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：此題根據(jù)直角梯形的性質(zhì)和CE⊥BD可以得到全等條件,證明△ABD≌△BCE,然后利用全等三角形的性質(zhì)證明題目的結(jié)論．解答：證明：∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD,∴∠BEC=90°．∵∠A=90°,∴∠A=∠BEC．∵BD=BC,∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．點評：