第七章軸的扭轉(zhuǎn)Prof.WangJX第七章軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的彈性扭轉(zhuǎn)非圓截面桿件的彈性扭轉(zhuǎn)圓軸的彈塑性扭轉(zhuǎn)非圓截面桿件的彈塑性扭轉(zhuǎn)Prof,WangJX§7－1圓軸的彈性扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量：xyzoMtrxyoyxbtzxtzytRrProf,WangJX應(yīng)力分量：xyoyxbtzxtzytRr平衡微分方程應(yīng)力邊界條件：側(cè)面：端面：FxFyM用應(yīng)力表示的相容方程：彈性解：2.應(yīng)變分量：2.位移分量：位移分量：位移條件：（1）坐標(biāo)原點固定：（2）原點的單元固定：Prof,WangJXxyzoMtr位移分量：（1）坐標(biāo)原點固定：（2）原點的單元固定：過原點沿z向的線段在xoz、zoy面內(nèi)不轉(zhuǎn)動：過原點沿x向的線段在xoy面內(nèi)不轉(zhuǎn)動：剛體位移為零。單位長度的相對扭轉(zhuǎn)角平截面假設(shè)設(shè)xyuvuqq'qrxyAProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§7－2非圓截面面桿件的的彈性扭扭轉(zhuǎn)一、應(yīng)力力分量yxoyxbtzxtzyr平衡微分分方程xyzoMProf,WangJX用應(yīng)力表表示的相相容方程程：用扭轉(zhuǎn)應(yīng)應(yīng)力函數(shù)數(shù)表示的的相容方方程。邊界條件件：側(cè)面：xodydxNds側(cè)面邊界界條件：多連域：端面：xyoyxqRrFxFyMdxdyAB二、應(yīng)應(yīng)變分量量：三、位移移分量：：不計剛體體位移q為單位長度度的相對對扭轉(zhuǎn)角角wProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解題步驟驟：（1）確定扭扭轉(zhuǎn)應(yīng)力力函數(shù)：：（2）確定應(yīng)應(yīng)力函數(shù)數(shù)中的待待定常數(shù)數(shù)：（3）確定應(yīng)應(yīng)力分量量：（5）確定單單位長度度的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角及位位移分量量：wxy0AiAabcdFxFy多連體：：例題1：橢圓截截面桿的的扭轉(zhuǎn)oabxy解：滿足：M端面邊界界條件：：例題1：橢圓截截面桿的的扭轉(zhuǎn)解：應(yīng)力分量量：oabxyM單位長度度的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角：位移分量量：扭桿的橫橫截面不不再保持持為平面面，而翹翹曲為曲曲面。oabxyMProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例題2：空心圓圓軸的扭扭轉(zhuǎn)oabxy解：滿足：M端面邊界界條件：：四、彈性性扭轉(zhuǎn)的的薄膜比比擬比擬：兩個概念念完全不不同的問問題，如如果數(shù)學(xué)學(xué)表達(dá)式式相同，，可借助助比較直直觀的簡簡單問題題討論復(fù)復(fù)雜的抽抽象的問問題。薄膜在均均勻壓力力作用下下的垂度度與等截截面扭桿桿問題的的應(yīng)力函函數(shù)在數(shù)數(shù)學(xué)上是是相似的的，故可可用比擬擬方法求求扭轉(zhuǎn)問問題的解解答。（2）邊界形形狀與扭扭桿橫截截面相同同。（1）薄膜均均勻張在在水平邊邊界上。。（3）給薄膜膜施加均均勻壓力力。q薄膜上的的點產(chǎn)生生垂度薄膜具有有柔順性性薄膜只受受表面張張力作用用z(x,y)Prof,WangJXqz(x,y)公式推導(dǎo)導(dǎo)：（1）建立坐坐標(biāo)系：：xyoxzo（2）取微元元體：dxdy薄膜單位位長度上上的張力力：TTdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyabProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqz(x,y)xyoxzodxdy薄膜在周周邊上的的撓度：：TdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyab薄膜與支支承面間間體積的的2倍：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（1）薄膜的的垂度對對應(yīng)扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)應(yīng)力函函數(shù)，薄薄膜與支支承面體體積的2倍對應(yīng)扭扭矩。討論：（2）薄膜在在y方向斜率率對應(yīng)扭扭桿在同同一點處處x方向的剪剪應(yīng)力。。薄膜在在x方向斜率率對應(yīng)扭扭桿在同同一點處處y方向的剪剪應(yīng)力的的大小。扭桿橫截截面上某某一點沿沿任意方方向的剪剪應(yīng)力，，等于薄薄膜對應(yīng)應(yīng)點處沿沿垂直方方向的斜斜率。最大剪應(yīng)應(yīng)力對應(yīng)應(yīng)于薄膜膜斜率最最大處。。剪應(yīng)力t等于j的梯度的的模，方方向沿j=const曲線（薄薄膜中的的等高線線）的切切線方向向。j的等值線線稱剪應(yīng)應(yīng)力跡線線。最大剪應(yīng)應(yīng)力產(chǎn)生生于j的梯度最最大處（（薄膜中中等高線線密度最最大處））。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（3）剪應(yīng)應(yīng)力環(huán)環(huán)量定定理：：在扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)應(yīng)力力函數(shù)數(shù)的閉閉合曲曲線上上，剪剪應(yīng)力力沿其其跡線線的回回路積積分（（剪應(yīng)應(yīng)力環(huán)環(huán)量））與所所圍面面積成成正比比。Adst證明：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（4）利用用薄膜膜比擬擬不僅僅可用用實驗驗方法法模擬擬扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)問題題，而而且有有助于于尋找找應(yīng)力力函數(shù)數(shù)，分分析扭扭桿內(nèi)內(nèi)的應(yīng)應(yīng)力分分布情情況，，找出出最大大剪應(yīng)應(yīng)力的的位置置。例題3：矩形形截面面桿的的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)解：abxyzxa>>bxzz(y)應(yīng)力函函數(shù)：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityabxyzxxzz(y)應(yīng)力函函數(shù)：：MProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityabxy應(yīng)力函函數(shù)：：應(yīng)力分分量：：M一般情情況：：12345100.1410.2080.22290.2630.2810.2910.3120.3330.3330.3120.2910.2820.2670.246Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity五、薄薄壁桿桿件的的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)1.開口薄薄壁桿桿件biaiM第i個長條條：（薄膜膜比擬擬）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity2.閉口薄薄壁桿桿件外邊界界：dsMxydhayxq無重剛性平板內(nèi)邊界界：取：A：桿壁中中心線線包圍圍的面面積最大剪剪應(yīng)力力發(fā)生生在壁壁厚最最小處處。剪應(yīng)力力環(huán)量量定理理：dsMxydqhayx等厚薄薄壁桿桿件：：S：桿壁中中心線線全長長Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity剪力流流S1、S2、S3：剪應(yīng)力力t1、t2、t3作用線線全長長3.具有兩兩個內(nèi)內(nèi)邊界界的閉閉口薄薄壁桿桿件A1d3A2d1qh2h1h3t1t2剪應(yīng)力力環(huán)量量定理理：d2t3A1d3qh23.具有兩兩個內(nèi)內(nèi)邊界界的閉閉口薄薄壁桿桿件A2d1d2h1h3t1t2t3解答：：§7－3圓軸的彈塑塑性扭轉(zhuǎn)理想彈塑性性材料：gt1.彈性極限扭扭矩xyzoMtrtsxyoMeR彈性解：屈服條件：：Prof,WangJX2.彈塑性階段段tsxyoMeRxyoMpRtsrpProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity3.塑性極限扭扭矩xyoMpRtsrpxyoMlRtsProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4.殘余應(yīng)力：：當(dāng)扭矩加至至Mp后再卸載至至零，在圓圓軸中產(chǎn)生生的應(yīng)力。。Mp:卸去的應(yīng)力力：（按按彈性計算算）殘余應(yīng)力：：rtrRrpProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§7－4非圓截面桿桿件的彈塑塑性扭轉(zhuǎn)一、彈性解解Prof,WangJX二、全塑性性解塑性應(yīng)力函函數(shù)平衡方程：：屈服條件：：Tresca：Mises：全塑性條件件下構(gòu)件內(nèi)內(nèi)應(yīng)力函數(shù)數(shù)應(yīng)滿足的的基本方程程邊界條件：：側(cè)面上無面面力：端面上：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity討論：對于理想彈彈塑性材料料，剪切屈屈服極限k為常數(shù)，|gradp|=k表明：應(yīng)力力函數(shù)p所代表的曲曲面斜率為為常數(shù)。p(x,y)是一個等傾傾斜面構(gòu)成成的多面體體，其坡度度為k.所有p(x,y)的等值線是是相互平行行的，且與與截面的周周邊界平行行。截面上的總總剪應(yīng)力t與p(x,y)的等值線相相切。塑性極限扭扭矩Ml是塑性應(yīng)力力函數(shù)所代代表曲面所所界體積的的2倍。Nadai:沙堆比擬法法。Prof,WangJXNadai沙堆比擬法法：作一個形狀狀與桿件截截面相同的的底板。在底板上堆堆放干沙，，直至不能能再增加為為止。沙子的內(nèi)摩摩擦系數(shù)為為常數(shù)，沙沙堆表面為為斜率為常常數(shù)的曲面面－－等傾傾面。wW：沙堆任意點點的高度aa：沙子的內(nèi)摩摩擦角1kProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityNadai沙堆比擬法法：wWa1k比擬條件：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例題1：圓軸的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的塑性極限限載荷RRha例題2：矩形截面桿桿扭轉(zhuǎn)的塑性性極限載荷a/2haa/2b-aba45o正方形：例題3：空心圓截面面桿扭轉(zhuǎn)的塑塑性極限載荷荷oab比擬：沙堆外外表面為等傾傾面，內(nèi)邊界界處高度為常常量－－截錐錐體habh'a三、彈塑性解解彈性區(qū)：塑性區(qū)：邊界條件：側(cè)面上無面力力：交界線上：Nadai薄膜屋頂比擬法：在一平板上開開一個形狀與與桿件截面相相同的孔。在孔上張緊一一薄膜。在薄膜受壓力力作用的上面面，用透明材材料作一與沙沙堆比擬形成成的表面相一一致的等傾頂頂蓋（屋頂））P=0：膜水平1kP＞0：膜向上彎曲，，彈性變形膜剛接觸屋頂頂：彈性極限限狀態(tài)，截面面開始屈服。。膜接觸屋頂：：彈塑性狀態(tài)態(tài)，相貼部分