復(fù)習(xí)一、秩二、滿秩陣三、解方程組~線性方程組有解

r=n——唯一解(齊次——唯一零解)r<n——無(wú)窮多解(齊次——非零解)求出解

行最簡(jiǎn)形判別有解否階梯形B1.解的判定2.求解

的階數(shù)最高解非零子式初等變換不改變矩陣的秩求秩化為梯形陣四、初等陣復(fù)習(xí)一、秩~線性方程組有解r=n——唯一解(齊次—1§4初等矩陣單位陣交換1、2兩行交換1、2兩行將初等變換用矩陣的乘法表示出來(lái)意義——§4初等矩陣單位陣交換交換1、將初等變換用矩陣的乘法2定義3

對(duì)單位陣進(jìn)行一次初等變換后得到的矩陣為初等矩陣。三種初等行變換得到的三種初等矩陣分別：1、對(duì)調(diào)兩行或兩列E(i,j)對(duì)調(diào)i、j兩行一、概念2、以數(shù)k乘某行或列E(i(k))ij定義3對(duì)單位陣進(jìn)行一次初等變換后得到的矩陣為初等3以數(shù)k

乘第i行2、以數(shù)k乘某行或列E(i(k))3、某行或列的k倍加到另一行或列上去E(ij(k))對(duì)單位陣作一次列變換所得矩陣就包括在上面的三類矩陣之中初等變換初等矩陣i以數(shù)k乘第i行2、以數(shù)k乘某行或列E(i4二、初等矩陣的性質(zhì)(1)初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為同類型的初等矩陣(2)初等矩陣都是可逆的且逆陣仍為同類型的初等矩陣定理4

對(duì)實(shí)施一次初等行(列)變換,相當(dāng)于在A的左(右)邊乘相應(yīng)的m

(n)

階初等矩陣；行變換

左乘初等矩陣;列變換右乘初等矩陣二、初等矩陣的性質(zhì)(1)初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為同類型的初等矩5=？E(3,1(1)

)E(2,3(-2))例1例2=？E(3,1(1))E(2,3(-2))例1例6可以驗(yàn)證?例3求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形并用初等矩陣表示初等變換。A可逆可以驗(yàn)證?例3求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形并用初等矩陣表示初等變換7定理5證即E經(jīng)有限次初等變換可變?yōu)锳~推論5個(gè)?～~自證等價(jià)矩陣的等式表達(dá)式定理5證即E經(jīng)有限次初等變換可變?yōu)锳~推論5個(gè)～~自證8例4若P、Q為滿秩陣，則=R(AQ)=R(PAQ)R(A)R(PA)推論=P1…PS=例4若P、Q為滿秩陣，則9三、用初等變換求逆陣求逆陣的方法三逆陣的求法用伴隨陣求用定義求用初等變換求

A可逆，且三、用初等變換求逆陣求逆陣的方法三逆陣的求法用伴隨陣求10解例4

(P.90例8)解例4

(P.90例8)11P.91例9逆陣的應(yīng)用——求解矩陣方程即將

A變成E

的初等變換就是將B變?yōu)閄

的初等變換P.91例9逆陣的應(yīng)用——求解矩陣方程即將A變成E12求解矩陣方程時(shí),一定要先整理化簡(jiǎn),再求解.例2解求解矩陣方程時(shí),一定要先整理化簡(jiǎn),再求解.例2解13§1

n維向量及其線性運(yùn)算一、n維向量的概念

定義1行向量—實(shí)數(shù)第

i個(gè)分量n維向量，簡(jiǎn)稱向量。列向量第四章n維向量實(shí)向量§1n維向量及其線性運(yùn)算一、n維向量的概念定義14O

=(0,0,···,0)零向量負(fù)向量α＝(-1,0,?

)三維向量三維向量空間n

維向量空間

中的平面

中n–1維超平面第i個(gè)坐標(biāo)是1其余均為零單位向量組O=(0,0,···,0)零向量負(fù)向量α＝(-115設(shè)向量1.加法(減法):2.數(shù)乘:線性運(yùn)算滿足運(yùn)算規(guī)律?同于矩陣的相應(yīng)運(yùn)算二、n維向量的線性運(yùn)算設(shè)向量1.加法(減法):2.數(shù)乘:線性運(yùn)算同于矩陣的相應(yīng)運(yùn)算16一、線性表示1、向量組——由若干個(gè)同維數(shù)的列(行)向量構(gòu)成的集合——n個(gè)m維列向量m個(gè)n維行向量矩陣A的列向量組矩陣A的行向量組§2向量組的線性相關(guān)性一、線性表示1、向量組——由若干個(gè)同維數(shù)的列(行)向量構(gòu)成的17(I)有解

(I)均構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)向量組A:的一個(gè)線性組合▊

▊

▊組合系數(shù)(I)有解(I)均構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)向量組A:18線性組合。線性表示(出)。α1α2β三個(gè)向量？共面四個(gè)定義12、線性表示k1α1k2α2線性組合。線性表示(出)。α1α2β三個(gè)向量？共面四個(gè)定義119向量b可由向量組A線性表示例1解法I無(wú)窮多種表達(dá)式由向量組的線性表示與方程組的關(guān)系知R(A)=R(B)定理1向量b可由向量組A線性表示解法I無(wú)窮多種表達(dá)式由向量20矩陣的初等(行)變換

向量的線性運(yùn)算＋

方程間的線性運(yùn)算一個(gè)向量可由其他向量線性表示這個(gè)方程是其他方程的線性組合多余方程解法II矩陣的初等(行)變換＋方程間的線性運(yùn)算一個(gè)向量可由其他向21定義3設(shè)有兩個(gè)n維向量組

若向量組（I

）中每個(gè)向量都可由向量組（II）線性表示，則稱向量組（I

）可由向量組（II）線性表示；

若向量組（I

）與向量組（II）可以互相線性表示，則稱向量組（I

）與向量組（II）等價(jià)。向量組的等價(jià)關(guān)系具有:自反性、對(duì)稱性、傳遞性向量組A與B等價(jià)方程組AX=O與

BX=O同解3向量組的等價(jià)定義3設(shè)有兩個(gè)n維向量組若向量組（I）22證例2證例223復(fù)習(xí)一、秩二、滿秩陣三、解方程組~線性方程組有解

r=n——唯一解(齊次——唯一零解)r<n——無(wú)窮多解(齊次——非零解)求出解

行最簡(jiǎn)形判別有解否階梯形B1.解的判定2.求解

的階數(shù)最高解非零子式初等變換不改變矩陣的秩求秩化為梯形陣四、初等陣復(fù)習(xí)一、秩~線性方程組有解r=n——唯一解(齊次—24§4初等矩陣單位陣交換1、2兩行交換1、2兩行將初等變換用矩陣的乘法表示出來(lái)意義——§4初等矩陣單位陣交換交換1、將初等變換用矩陣的乘法25定義3

對(duì)單位陣進(jìn)行一次初等變換后得到的矩陣為初等矩陣。三種初等行變換得到的三種初等矩陣分別：1、對(duì)調(diào)兩行或兩列E(i,j)對(duì)調(diào)i、j兩行一、概念2、以數(shù)k乘某行或列E(i(k))ij定義3對(duì)單位陣進(jìn)行一次初等變換后得到的矩陣為初等26以數(shù)k

乘第i行2、以數(shù)k乘某行或列E(i(k))3、某行或列的k倍加到另一行或列上去E(ij(k))對(duì)單位陣作一次列變換所得矩陣就包括在上面的三類矩陣之中初等變換初等矩陣i以數(shù)k乘第i行2、以數(shù)k乘某行或列E(i27二、初等矩陣的性質(zhì)(1)初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為同類型的初等矩陣(2)初等矩陣都是可逆的且逆陣仍為同類型的初等矩陣定理4

對(duì)實(shí)施一次初等行(列)變換,相當(dāng)于在A的左(右)邊乘相應(yīng)的m

(n)

階初等矩陣；行變換

左乘初等矩陣;列變換右乘初等矩陣二、初等矩陣的性質(zhì)(1)初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為同類型的初等矩28=？E(3,1(1)

)E(2,3(-2))例1例2=？E(3,1(1))E(2,3(-2))例1例29可以驗(yàn)證?例3求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形并用初等矩陣表示初等變換。A可逆可以驗(yàn)證?例3求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形并用初等矩陣表示初等變換30定理5證即E經(jīng)有限次初等變換可變?yōu)锳~推論5個(gè)?～~自證等價(jià)矩陣的等式表達(dá)式定理5證即E經(jīng)有限次初等變換可變?yōu)锳~推論5個(gè)～~自證31例4若P、Q為滿秩陣，則=R(AQ)=R(PAQ)R(A)R(PA)推論=P1…PS=例4若P、Q為滿秩陣，則32三、用初等變換求逆陣求逆陣的方法三逆陣的求法用伴隨陣求用定義求用初等變換求

A可逆，且三、用初等變換求逆陣求逆陣的方法三逆陣的求法用伴隨陣求33解例4

(P.90例8)解例4

(P.90例8)34P.91例9逆陣的應(yīng)用——求解矩陣方程即將

A變成E

的初等變換就是將B變?yōu)閄

的初等變換P.91例9逆陣的應(yīng)用——求解矩陣方程即將A變成E35求解矩陣方程時(shí),一定要先整理化簡(jiǎn),再求解.例2解求解矩陣方程時(shí),一定要先整理化簡(jiǎn),再求解.例2解36§1

n維向量及其線性運(yùn)算一、n維向量的概念

定義1行向量—實(shí)數(shù)第

i個(gè)分量n維向量，簡(jiǎn)稱向量。列向量第四章n維向量實(shí)向量§1n維向量及其線性運(yùn)算一、n維向量的概念定義37O

=(0,0,···,0)零向量負(fù)向量α＝(-1,0,?

)三維向量三維向量空間n

維向量空間

中的平面

中n–1維超平面第i個(gè)坐標(biāo)是1其余均為零單位向量組O=(0,0,···,0)零向量負(fù)向量α＝(-138設(shè)向量1.加法(減法):2.數(shù)乘:線性運(yùn)算滿足運(yùn)算規(guī)律?同于矩陣的相應(yīng)運(yùn)算二、n維向量的線性運(yùn)算設(shè)向量1.加法(減法):2.數(shù)乘:線性運(yùn)算同于矩陣的相應(yīng)運(yùn)算39一、線性表示1、向量組——由若干個(gè)同維數(shù)的列(行)向量構(gòu)成的集合——n個(gè)m維列向量m個(gè)n維行向量矩陣A的列向量組矩陣A的行向量組§2向量組的線性相關(guān)性一、線性表示1、向量組——由若干個(gè)同維數(shù)的列(行)向量構(gòu)成的40(I)有解

(I)均構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)向量組A:的一個(gè)線性組合▊

▊

▊組合系數(shù)(I)有解(I)均構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)向量組A:41線性組合。線性表示(出)。α1α2β三個(gè)向量？共面四個(gè)定義