第1章直角三角形1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）第1章直角三角形1連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段.1.直角三角形的定義2.三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有一個(gè)角是直角的三角形叫直角三角形.

三角形的內(nèi)角和等于180°.3.三角形中線的定義這節(jié)課我們一起探索直角三角形的判定和性質(zhì).知識(shí)回顧連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段.1.直角三角形的定義22說(shuō)一說(shuō)：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少度呢？

∠A+∠B=90°CAB自主預(yù)習(xí)

在Rt△ABC中，因?yàn)椤螩=90°，由三角形內(nèi)角和定理，可得：由此得到：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.說(shuō)一說(shuō)：∠A+∠B=90°CAB自主預(yù)習(xí)在Rt△ABC3

如圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，△ABC是直角三角形嗎?

定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

由∠A+∠B=90°和∠A+∠B+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形.CAB議一議如圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，△ABC4

畫(huà)一個(gè)直角三角形，并作出斜邊上的中線，量一量比較各線段的長(zhǎng)度.你能猜出什么結(jié)論？

我們發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.自主探究畫(huà)一個(gè)直角三角形，并作出斜邊上的中線，量一5

例1

如圖，已知CD是△ABC的AB邊上的中線，且CD=AB，求證：△ABC是直角三角形.CBAD21證明：∵CD=AB=AD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.例1如圖，已知CD是△ABC的AB邊上的中線，且CD=6ABCDO1.如圖，AB⊥DB,CD⊥DB,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.一定有∠A=∠CB.只要有一邊相等就有△ABO≌△CDOC.只要再給一個(gè)條件就能得到△ABO≌△CDOD.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD2.若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為2:1:1，則該三角形是（等腰直角三角形）.C隨堂練習(xí)ABCDO1.如圖，AB⊥DB,CD⊥DB,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的73.在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD=2.5cm，求斜邊AB的長(zhǎng)是多少.3.在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD=2.5cm，求斜邊8直角三角形的性質(zhì)：

1.直角三角形的兩銳角互余.

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.知識(shí)梳理直角三角形的判定：

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.直角三角形的性質(zhì)：知識(shí)梳理直角三角形的判定：9第1章直角三角形1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形10直角三角形的性質(zhì)

和判定（

Ⅱ

）本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.2直角三角形的性質(zhì)

和判定（Ⅱ）本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)11

如圖，S1

+

S2

=S3

，即BC2+AC2=AB2

，那么是否對(duì)所有的直角三角形，都有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？如圖，S1+S2=S3，即BC212探究如圖，任作一個(gè)Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2

，是否成立呢？探究如圖，任作一個(gè)Rt△ABC，∠C=90°13步驟1先剪出4個(gè)如圖1-11的直角三角形，由

于每個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b（其中

b>a），因此它們?nèi)龋⊿AS），所以它們的

斜邊長(zhǎng)相等.設(shè)斜邊長(zhǎng)為c.圖1-11我們來(lái)進(jìn)行研究.步驟1先剪出4個(gè)如圖1-11的直角三角形，由圖114步驟2再剪出1個(gè)邊長(zhǎng)為c

的正方形，如圖1-12.圖1-12步驟2再剪出1個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，如圖1-12.15步驟3把步驟1和步驟2中剪出來(lái)的圖形拼成如圖1-13的圖形.圖1-13∵△DHK≌△EIH，∴∠2＝∠4.又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠4=90°.步驟3把步驟1和步驟2中剪出來(lái)的圖形拼成圖1-13∵△16因此拼成的圖形是正方形DEFG，它的邊長(zhǎng)為(a+b)，它的面積為(a+b)2

.又∵∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，

即點(diǎn)D，H，E

在一條直線上.圖1-13同理，點(diǎn)E，I，F(xiàn)在一條直線上；點(diǎn)F，J，G

在一條直線上；點(diǎn)G

，K，D在一條直線上.因此拼成的圖形是正方形DEFG，又∵∠KHI=90°，圖17又∵正方形DEFG

的面積為c2+，∴即a2+2ab+b2

=c2

+2ab，∴a2+b2

=c2

.圖1-13又∵正方形DEFG的面積為c2+，18結(jié)論直角三角形的兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方.a2+b2

=c2

由此得到直角三角形的性質(zhì)定理：結(jié)論直角三角形的兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方.19其實(shí)我國(guó)早在三千多年前就已經(jīng)知道直角三角形的上述性質(zhì)，由于古人稱直角三角形的直角邊中較短的一邊為勾，較長(zhǎng)的一邊為股，斜邊為弦（如圖1-14），因此這一性質(zhì)被稱為勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意兩條邊長(zhǎng)，我們可以根據(jù)勾股定理，求出第三邊的長(zhǎng).勾股弦圖1-14其實(shí)我國(guó)早在三千多年前就已經(jīng)知道直角三20故AD的長(zhǎng)為12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，如圖1-15，在等腰三角形ABC

中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC

于點(diǎn)D.

你能算出BC邊上的高AD的長(zhǎng)嗎？例1圖1-15舉例解：在△ABC中，∵AB=AC

=13，BC=10，AD⊥BC，∴BD==

5.∴故AD的長(zhǎng)為12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得21在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.練習(xí)答案：（1）c=；（2）；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°.練習(xí)答案：（1）c=22動(dòng)腦筋如圖1-16，電工師傅把4m長(zhǎng)的梯子AC

靠在墻上，使梯腳C

離墻腳B

的距離為1.5m，準(zhǔn)備在墻上安裝電燈.當(dāng)他爬上梯子后，發(fā)現(xiàn)高度不夠，于是將梯腳往墻腳移近0.5m，即移動(dòng)到C′處.那么梯子頂端是否往上移動(dòng)0.5m呢？圖1-16動(dòng)腦筋如圖1-16，電工師傅把4m長(zhǎng)的梯子23在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，圖1-17由勾股定理，得（m）.由圖1-16抽象出示意圖1-17.在Rt△ABC

中，計(jì)算出AB；再在Rt△

中，計(jì)算出，則可得出梯子往上移動(dòng)的距離為（-AB）m.在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，圖1-1724即梯子頂端A點(diǎn)大約向上移動(dòng)了0.16m，而不是向上移動(dòng)0.5m.因此=3.87-3.71=0.16（m）.在Rt△

中，=4m，

=1m，故因此=3.87-3.71=025（“引葭赴岸”問(wèn)題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”意思是：有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在池的中央，其出水部分為1尺.如果將蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面.問(wèn)：水深與蘆葦長(zhǎng)分別為多少？例2宋刻《九章算術(shù)》書(shū)影（“引葭赴岸”問(wèn)題）“今有方池一丈，葭生其例2宋刻《九章26在Rt△ACB′中，根據(jù)勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度為12尺，蘆葦長(zhǎng)為13尺.如圖1-18，設(shè)水池的深度為x尺，則AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.解：圖1-18因?yàn)檎叫纬靥恋倪呴L(zhǎng)為10尺，所以B′C=5尺.解得x=12.則x+1=13.在Rt△ACB′中，根據(jù)勾股定理，得答：水池的深度為12尺271.如圖，一艘漁船以30海里/時(shí)

的速度由西向東追趕魚(yú)群.在A

處測(cè)得小島C

在船的北偏東60°方向；40min后，漁船行至B處，此時(shí)測(cè)得小島C在船的北偏東30°方向.已知以小島C

為中心，周圍10海里以內(nèi)有暗礁，問(wèn)：這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群是否有觸礁的危險(xiǎn)？練習(xí)1.如圖，一艘漁船以30海里/時(shí)的速度由西向東追趕魚(yú)28解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，DCD的距離不在以點(diǎn)C為中心，周圍10海里范圍內(nèi)，∴輪船不會(huì)觸礁.由題意，得AB=30×（海里）.

在Rt△CBD中，∠BCD=30°，BC=AB=20海里，∴BD=10海里.解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，DCD的距離不在以點(diǎn)C為中292.如圖，AE是位于公路邊的電線桿，高為12m，為了使電線CDE

不影響汽車的正常行駛，電力部門(mén)在公路的另一邊豎立了一根高為6m的水泥撐桿BD，用于撐起電線.已知兩根桿子之間的距離為8m，電線CD

與水平線AC

的夾角為60°.求電線CDE

的總長(zhǎng)L（A，B，C

三點(diǎn)在同一直線上，電線桿、水泥桿的粗細(xì)忽略不計(jì)）.2.如圖，AE是位于公路邊的電線桿，高為12m，30在下圖中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為M.解：M易知四邊形MABD為矩形，所以MA=BD=6m，所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在Rt△EMD中，由勾股定理，得在下圖中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為M.解：M易知四邊形MA31所以L=ED+CD=10+（m）.M在Rt△DBC中,∠CDB=30°,設(shè)BC=x,則DC=2x.由勾股定理，得x2+62=(2x)2

，解得

x=所以L=ED+CD=10+（m）.M在32我們已經(jīng)知道勾股定理：“直角三角形兩直角邊a，b

的平方和，等于斜邊c的平方.”那么這個(gè)定理的逆命題成立嗎？我們已經(jīng)知道勾股定理：“直角三角形兩直角邊a，b33探究如圖1-19，在△ABC

中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2

=c2，那么△ABC是直角三角形嗎？圖1-19

如果我們能構(gòu)造一個(gè)直角三角形，然后證明△ABC與所構(gòu)造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.探究如圖1-19，在△ABC中，AB=c34∵a2+b2

=c2，圖1-20∴

=c.如圖1-20，作Rt

，使∠=90°，

=

a，=b.△在Rt

中，根據(jù)勾股定理，得

2=a2+b2

.△∴2=c2.∵a2+b2=c2，圖1-20∴35∴△ABC是直角三角形.先構(gòu)造滿足某些條件的圖形，再根據(jù)所求證的圖形與所構(gòu)造圖形之間的關(guān)系，完成證明，這也是常用的問(wèn)題解決策略.在△ABC和中，∵BC=

=

a，AC=

=b，AB=

=c，△∴△ABC≌△∴∠C=∠

=90°.∴△ABC是直角三角形.先構(gòu)造滿足某些條件的36結(jié)論如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c滿足關(guān)系：，那么這個(gè)三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理：上述定理被稱為勾股定理的逆定理.結(jié)論如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c滿足關(guān)系：37分析

根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較短邊長(zhǎng)的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方.例3判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.分析根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角38

滿足a2+b2

=c2的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù).（2）∵122+152=369，202=400，∴122+152≠202.∴這個(gè)三角形不是直角三角形.（1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=102.∴這個(gè)三角形是直角三角形.解滿足a2+b2=c2的三個(gè)（2）∵122+139例4如圖1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的長(zhǎng).在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，∵62+82=102

，解即AD2+BD2=AB2

，∴△ADB為直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，∴圖1-21例4如圖1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD40練習(xí)1.判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.（1）

a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=.答：（1）是

；（2）不是；（3）是.練習(xí)1.判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.412.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，且EC=BC.求證：△AEF是直角三角形.證明：由已知可得DF=CF=2，

EC=1，BE=3.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得AE2=25，EF2=5.在△AEF中，因?yàn)锳E2

=AF2+

EF2，所以△AEF是直角三角形.2.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，42例如圖，在Rt△ABD中，∠D=90°，C為AD上一點(diǎn)，則x可能是（）.A.10°B.20°C.30°D.40°B因?yàn)?x>90，所以x>15.又6x<180，所以x<30.故選B.解此題題目中除了直角并未給出任何其他角的具體度數(shù)，因此要求出x的值，只能大致估計(jì)其范圍，再在選項(xiàng)中選擇可能的取值.分析例如圖，在Rt△ABD中，∠D=90°，C為AD上一43第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定第1章直角三角形441.如圖，△ABC≌△DEF，指出它們的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.ADBECF2.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)判定全等三角形的方法有哪些？AB——DE，AC——DF，BC——EF，∠A——∠D，∠B——∠DEF，∠ACB——∠FSSS、SAS、ASA、AAS知識(shí)回顧1.如圖，△ABC≌△DEF，指出它們的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.AD45

直角三角形全等的判定

斜邊、直角邊定理斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.直角三角形全等的判定46例1如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE=CD.求證：Rt△BEC≌Rt△CDB.自主探究ABCDE證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt△BEC和Rt△CDB中，∵BC=CB,BE=CD,∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).例1如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE=CD.求47AFCEDB1、如圖，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求證：BF=DE.G隨堂練習(xí)AFCEDB1、如圖，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥482、如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標(biāo)注在圖中，你能說(shuō)明BC與BD相等嗎？解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,

∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).D2、如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標(biāo)注在圖493、如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上，兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.解：BD=CD.理由：因?yàn)椤螦DB=∠ADC=90°.所以在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB=AC，AD=AD，所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=CD.3、如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分50直角三角形全等的判定SSS

一般三角形全等的判定SASASAAASSSSSASASAAASHL靈活運(yùn)用各種方法證明直角三角形全等.知識(shí)梳理直角三角形全等的判定一般三角形全等的判定SASASAAA51第1章直角三角形1.4角平分線的性質(zhì)第1章直角三角形52回憶舊知角平分線是以一個(gè)角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角.回憶舊知角平分線是以一個(gè)角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它把這個(gè)角53新知探究如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，試問(wèn)PD與PE相等嗎？ABOPC將∠AOB沿OC對(duì)折，可以發(fā)現(xiàn)PD與PE重合，即PD與PE相等.DE新知探究如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，作PD⊥54解∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.由此得到角平分線的性質(zhì)定理：解∵PD⊥OA，PE⊥OB，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊由此55OEPDACB思考角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上嗎？

如圖，點(diǎn)P在的內(nèi)部，作

垂足分別為點(diǎn)D，E.若PD=PE，那么點(diǎn)P在的平分線上嗎？OEPDACB思考角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在56如圖，過(guò)點(diǎn)O，P作射線OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分線，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.由此得到角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：如圖，過(guò)點(diǎn)O，P作射線OC.角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在57【例1】如圖，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求證：點(diǎn)B在∠ADC的平分線上；（2）求證：BD平分∠ABC.ABCD12證明：（1）在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴點(diǎn)B在∠ADC的平分線上.【例1】如圖，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.ABC58（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD平分∠ABC.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，591.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離相等.BAOMN解：如圖.P練習(xí)1.如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到∠AOB兩邊的距離602.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BD=CD.求證：AB=AC.ABCDEF證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△DBE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.∴AB=AC.2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，61如圖，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中點(diǎn).需添加一個(gè)什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？

CDBAEFMN可以添加條件MN=ME（或MN=MF）.∵M(jìn)E⊥CD，MN⊥CA，∴M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線.同理可得AM是∠CAB的平分線.思考如圖，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中點(diǎn)62【例2】如圖，在△ABC的外角∠DAC的平分線上任取一點(diǎn)P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系.解∵AP是∠DAC的平分線，又PE⊥DB，PF⊥AC，∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴BE+PF>PB.【例2】如圖，在△ABC的外角∠DAC的平分線上任取一點(diǎn)P，63如圖，你能在△ABC中找到一點(diǎn)P，使其到三邊的距離相等嗎？ABC因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以只要作△ABC任意兩角（例如∠A與∠B）的平分線，其交點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).點(diǎn)P也在∠C的平分線上，如圖.P思考如圖，你能在△ABC中找到一點(diǎn)P，使其到三邊的距離相等嗎？A643.E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D，求證：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.ABOCDE證明：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，

EC⊥OA于點(diǎn)C，ED⊥OB于點(diǎn)D，∴CE=DE.∴∠ECD=∠EDC.（2）在Rt△COE和Rt△DOE中，

CE=DE，OE=OE.∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL).∴OC=OD.練習(xí)3.E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA于點(diǎn)C，ABOCD654.如圖，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，點(diǎn)C在線段DE上.求證：AB=AD+BE.ABCDE證明：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.∵AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，且AD⊥DE，BE⊥DE，∴DC=CF，CE=CF.∴Rt△ACD≌Rt△ACF(HL)，Rt△BCE≌Rt△BCF(HL).∴AD=AF，BE=BF.∴AB=AF+BF=AD+BE.4.如圖，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分66通過(guò)本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問(wèn)，和同伴交流.我思我進(jìn)步通過(guò)本節(jié)課，你有什么收獲？我思我進(jìn)步67第1章直角三角形1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）第1章直角三角形68連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段.1.直角三角形的定義2.三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有一個(gè)角是直角的三角形叫直角三角形.

三角形的內(nèi)角和等于180°.3.三角形中線的定義這節(jié)課我們一起探索直角三角形的判定和性質(zhì).知識(shí)回顧連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段.1.直角三角形的定義269說(shuō)一說(shuō)：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少度呢？

∠A+∠B=90°CAB自主預(yù)習(xí)

在Rt△ABC中，因?yàn)椤螩=90°，由三角形內(nèi)角和定理，可得：由此得到：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.說(shuō)一說(shuō)：∠A+∠B=90°CAB自主預(yù)習(xí)在Rt△ABC70

如圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，△ABC是直角三角形嗎?

定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

由∠A+∠B=90°和∠A+∠B+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形.CAB議一議如圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，△ABC71

畫(huà)一個(gè)直角三角形，并作出斜邊上的中線，量一量比較各線段的長(zhǎng)度.你能猜出什么結(jié)論？

我們發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.自主探究畫(huà)一個(gè)直角三角形，并作出斜邊上的中線，量一72

例1

如圖，已知CD是△ABC的AB邊上的中線，且CD=AB，求證：△ABC是直角三角形.CBAD21證明：∵CD=AB=AD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.例1如圖，已知CD是△ABC的AB邊上的中線，且CD=73ABCDO1.如圖，AB⊥DB,CD⊥DB,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.一定有∠A=∠CB.只要有一邊相等就有△ABO≌△CDOC.只要再給一個(gè)條件就能得到△ABO≌△CDOD.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD2.若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為2:1:1，則該三角形是（等腰直角三角形）.C隨堂練習(xí)ABCDO1.如圖，AB⊥DB,CD⊥DB,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的743.在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD=2.5cm，求斜邊AB的長(zhǎng)是多少.3.在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD=2.5cm，求斜邊75直角三角形的性質(zhì)：

1.直角三角形的兩銳角互余.

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.知識(shí)梳理直角三角形的判定：

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.直角三角形的性質(zhì)：知識(shí)梳理直角三角形的判定：76第1章直角三角形1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形77直角三角形的性質(zhì)

和判定（

Ⅱ

）本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.2直角三角形的性質(zhì)

和判定（Ⅱ）本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)78

如圖，S1

+

S2

=S3

，即BC2+AC2=AB2

，那么是否對(duì)所有的直角三角形，都有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？如圖，S1+S2=S3，即BC279探究如圖，任作一個(gè)Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2

，是否成立呢？探究如圖，任作一個(gè)Rt△ABC，∠C=90°80步驟1先剪出4個(gè)如圖1-11的直角三角形，由

于每個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b（其中

b>a），因此它們?nèi)龋⊿AS），所以它們的

斜邊長(zhǎng)相等.設(shè)斜邊長(zhǎng)為c.圖1-11我們來(lái)進(jìn)行研究.步驟1先剪出4個(gè)如圖1-11的直角三角形，由圖181步驟2再剪出1個(gè)邊長(zhǎng)為c

的正方形，如圖1-12.圖1-12步驟2再剪出1個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，如圖1-12.82步驟3把步驟1和步驟2中剪出來(lái)的圖形拼成如圖1-13的圖形.圖1-13∵△DHK≌△EIH，∴∠2＝∠4.又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠4=90°.步驟3把步驟1和步驟2中剪出來(lái)的圖形拼成圖1-13∵△83因此拼成的圖形是正方形DEFG，它的邊長(zhǎng)為(a+b)，它的面積為(a+b)2

.又∵∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，

即點(diǎn)D，H，E

在一條直線上.圖1-13同理，點(diǎn)E，I，F(xiàn)在一條直線上；點(diǎn)F，J，G

在一條直線上；點(diǎn)G

，K，D在一條直線上.因此拼成的圖形是正方形DEFG，又∵∠KHI=90°，圖84又∵正方形DEFG

的面積為c2+，∴即a2+2ab+b2

=c2

+2ab，∴a2+b2

=c2

.圖1-13又∵正方形DEFG的面積為c2+，85結(jié)論直角三角形的兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方.a2+b2

=c2

由此得到直角三角形的性質(zhì)定理：結(jié)論直角三角形的兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方.86其實(shí)我國(guó)早在三千多年前就已經(jīng)知道直角三角形的上述性質(zhì)，由于古人稱直角三角形的直角邊中較短的一邊為勾，較長(zhǎng)的一邊為股，斜邊為弦（如圖1-14），因此這一性質(zhì)被稱為勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意兩條邊長(zhǎng)，我們可以根據(jù)勾股定理，求出第三邊的長(zhǎng).勾股弦圖1-14其實(shí)我國(guó)早在三千多年前就已經(jīng)知道直角三87故AD的長(zhǎng)為12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，如圖1-15，在等腰三角形ABC

中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC

于點(diǎn)D.

你能算出BC邊上的高AD的長(zhǎng)嗎？例1圖1-15舉例解：在△ABC中，∵AB=AC

=13，BC=10，AD⊥BC，∴BD==

5.∴故AD的長(zhǎng)為12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得88在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.練習(xí)答案：（1）c=；（2）；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°.練習(xí)答案：（1）c=89動(dòng)腦筋如圖1-16，電工師傅把4m長(zhǎng)的梯子AC

靠在墻上，使梯腳C

離墻腳B

的距離為1.5m，準(zhǔn)備在墻上安裝電燈.當(dāng)他爬上梯子后，發(fā)現(xiàn)高度不夠，于是將梯腳往墻腳移近0.5m，即移動(dòng)到C′處.那么梯子頂端是否往上移動(dòng)0.5m呢？圖1-16動(dòng)腦筋如圖1-16，電工師傅把4m長(zhǎng)的梯子90在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，圖1-17由勾股定理，得（m）.由圖1-16抽象出示意圖1-17.在Rt△ABC

中，計(jì)算出AB；再在Rt△

中，計(jì)算出，則可得出梯子往上移動(dòng)的距離為（-AB）m.在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，圖1-1791即梯子頂端A點(diǎn)大約向上移動(dòng)了0.16m，而不是向上移動(dòng)0.5m.因此=3.87-3.71=0.16（m）.在Rt△

中，=4m，

=1m，故因此=3.87-3.71=092（“引葭赴岸”問(wèn)題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”意思是：有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在池的中央，其出水部分為1尺.如果將蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面.問(wèn)：水深與蘆葦長(zhǎng)分別為多少？例2宋刻《九章算術(shù)》書(shū)影（“引葭赴岸”問(wèn)題）“今有方池一丈，葭生其例2宋刻《九章93在Rt△ACB′中，根據(jù)勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度為12尺，蘆葦長(zhǎng)為13尺.如圖1-18，設(shè)水池的深度為x尺，則AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.解：圖1-18因?yàn)檎叫纬靥恋倪呴L(zhǎng)為10尺，所以B′C=5尺.解得x=12.則x+1=13.在Rt△ACB′中，根據(jù)勾股定理，得答：水池的深度為12尺941.如圖，一艘漁船以30海里/時(shí)

的速度由西向東追趕魚(yú)群.在A

處測(cè)得小島C

在船的北偏東60°方向；40min后，漁船行至B處，此時(shí)測(cè)得小島C在船的北偏東30°方向.已知以小島C

為中心，周圍10海里以內(nèi)有暗礁，問(wèn)：這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群是否有觸礁的危險(xiǎn)？練習(xí)1.如圖，一艘漁船以30海里/時(shí)的速度由西向東追趕魚(yú)95解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，DCD的距離不在以點(diǎn)C為中心，周圍10海里范圍內(nèi)，∴輪船不會(huì)觸礁.由題意，得AB=30×（海里）.

在Rt△CBD中，∠BCD=30°，BC=AB=20海里，∴BD=10海里.解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，DCD的距離不在以點(diǎn)C為中962.如圖，AE是位于公路邊的電線桿，高為12m，為了使電線CDE

不影響汽車的正常行駛，電力部門(mén)在公路的另一邊豎立了一根高為6m的水泥撐桿BD，用于撐起電線.已知兩根桿子之間的距離為8m，電線CD

與水平線AC

的夾角為60°.求電線CDE

的總長(zhǎng)L（A，B，C

三點(diǎn)在同一直線上，電線桿、水泥桿的粗細(xì)忽略不計(jì)）.2.如圖，AE是位于公路邊的電線桿，高為12m，97在下圖中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為M.解：M易知四邊形MABD為矩形，所以MA=BD=6m，所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在Rt△EMD中，由勾股定理，得在下圖中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為M.解：M易知四邊形MA98所以L=ED+CD=10+（m）.M在Rt△DBC中,∠CDB=30°,設(shè)BC=x,則DC=2x.由勾股定理，得x2+62=(2x)2

，解得

x=所以L=ED+CD=10+（m）.M在99我們已經(jīng)知道勾股定理：“直角三角形兩直角邊a，b

的平方和，等于斜邊c的平方.”那么這個(gè)定理的逆命題成立嗎？我們已經(jīng)知道勾股定理：“直角三角形兩直角邊a，b100探究如圖1-19，在△ABC

中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2

=c2，那么△ABC是直角三角形嗎？圖1-19

如果我們能構(gòu)造一個(gè)直角三角形，然后證明△ABC與所構(gòu)造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.探究如圖1-19，在△ABC中，AB=c101∵a2+b2

=c2，圖1-20∴

=c.如圖1-20，作Rt

，使∠=90°，

=

a，=b.△在Rt

中，根據(jù)勾股定理，得

2=a2+b2

.△∴2=c2.∵a2+b2=c2，圖1-20∴102∴△ABC是直角三角形.先構(gòu)造滿足某些條件的圖形，再根據(jù)所求證的圖形與所構(gòu)造圖形之間的關(guān)系，完成證明，這也是常用的問(wèn)題解決策略.在△ABC和中，∵BC=

=

a，AC=

=b，AB=

=c，△∴△ABC≌△∴∠C=∠

=90°.∴△ABC是直角三角形.先構(gòu)造滿足某些條件的103結(jié)論如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c滿足關(guān)系：，那么這個(gè)三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理：上述定理被稱為勾股定理的逆定理.結(jié)論如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c滿足關(guān)系：104分析

根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較短邊長(zhǎng)的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方.例3判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.分析根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角105

滿足a2+b2

=c2的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù).（2）∵122+152=369，202=400，∴122+152≠202.∴這個(gè)三角形不是直角三角形.（1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=102.∴這個(gè)三角形是直角三角形.解滿足a2+b2=c2的三個(gè)（2）∵122+1106例4如圖1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的長(zhǎng).在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，∵62+82=102

，解即AD2+BD2=AB2

，∴△ADB為直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，∴圖1-21例4如圖1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD107練習(xí)1.判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.（1）

a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=.答：（1）是

；（2）不是；（3）是.練習(xí)1.判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.1082.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，且EC=BC.求證：△AEF是直角三角形.證明：由已知可得DF=CF=2，

EC=1，BE=3.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得AE2=25，EF2=5.在△AEF中，因?yàn)锳E2

=AF2+

EF2，所以△AEF是直角三角形.2.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，109例如圖，在Rt△ABD中，∠D=90°，C為AD上一點(diǎn)，則x可能是（）.A.10°B.20°C.30°D.40°B因?yàn)?x>90，所以x>15.又6x<180，所以x<30.故選B.解此題題目中除了直角并未給出任何其他角的具體度數(shù)，因此要求出x的值，只能大致估計(jì)其范圍，再在選項(xiàng)中選擇可能的取值.分析例如圖，在Rt△ABD中，∠D=90°，C為AD上一110第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定第1章直角三角形1111.如圖，△ABC≌△DEF，指出它們的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.ADBECF2.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)判定全等三角形的方法有哪些？AB——DE，AC——DF，BC——EF，∠A——∠D，∠B——∠DEF，∠ACB——∠FSSS、SAS、ASA、AAS知識(shí)回顧1.如圖，△ABC≌△DEF，指出它們的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.AD112

直角三角形全等的判定

斜邊、直角邊定理斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.直角三角形全等的判定113例1如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE=CD.求證：Rt△BEC≌Rt△CDB.自主探究ABCDE證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt△BEC和Rt△CDB中，∵BC=CB,BE=CD,∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).例1如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE=CD.求114AFCEDB1、如圖，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求證：BF=DE.G隨堂練習(xí)AFCEDB1、如圖，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥1152、如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標(biāo)注在圖中，你能說(shuō)明BC與BD相等嗎？解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,

∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).D2、如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標(biāo)注在圖1163、如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上，兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.解：BD=CD.理由：因?yàn)椤螦DB=∠ADC=90°.所以在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB=AC，AD=AD，所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=CD.3、如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分117直角三角形全等的判定SSS

一般三角形全等的判定SASASAAASSSSSASASAAASHL靈活運(yùn)用各種方法證明直角三角形全等.知識(shí)梳理直角三角形全等的判定一般三角形全等的判定SASASAAA118第1章直角三角形1.4角平分線的性質(zhì)第1章直角三角形119回憶舊知角平分線是以一個(gè)角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角.回憶舊知角平分線是以一個(gè)角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，它把這個(gè)角120新知探究如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，試問(wèn)PD與PE相等嗎？ABOPC將∠AOB沿OC對(duì)折，可以發(fā)現(xiàn)PD與PE重合，即PD與PE相等.DE新知探究如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，作PD⊥121解∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.由此得到角平分線的性質(zhì)定理：解∵PD⊥OA，PE⊥OB，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊由此122OEPDACB思考角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上嗎？

如圖，點(diǎn)P在的內(nèi)部，作

垂足分別為點(diǎn)D，E.若PD=PE，那么點(diǎn)P在