第三章

運動的守恒定律conservationlawofmotion1第三章

運動的守恒定律conservationlawo

物理規(guī)律是分層次的，有的只對某些具體事物適用，如胡克定律只適用于彈性體；有的在一定范疇內(nèi)成立，如牛頓定律適用于一切低速運動的宏觀物體；有的則在自然界的所有領域起作用，

屬于自然界更深層次、最為基本的規(guī)律，如能量守恒、動量守恒等守恒定律。2物理規(guī)律是分層次的，有的只對某些具體事物適

宇宙大爆炸論提出時間是有起點的，時間不具有平移不變性了，能量守恒的理論基礎將出現(xiàn)裂痕。同時又發(fā)現(xiàn)萬有引力常數(shù)隨時間變化，能量守恒定律面臨挑戰(zhàn)。

王燕生《東北大學學報》

（社會科學版）

1999年10月第一卷第4期前沿課題——能量守恒和宇宙大爆炸3宇宙大爆炸論提出時間是有起點的，時間不具有平保守力成對力作功勢能功能原理機械能守恒定律能量守恒定律動量守恒定律碰撞質(zhì)點的角動量角動量守恒定律本章主要內(nèi)容4保守力成對力作功勢能功能原理本章研究對象：質(zhì)點系統(tǒng)過程問題守恒量：對于物體系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生的各種過程，如果某物理量始終保持不變，該物理量就叫做守恒量。守恒定律：由宏觀現(xiàn)象總結出來的最深刻、最簡潔的自然規(guī)律。（動量守恒定律、機械能守恒定律、能量守恒定律和角動量守恒定律等）適用范圍：不僅適用于宏觀也適用于微觀世界，不僅適用于任何物理過程，也適用于化學、生物等其他過程，是自然界的普遍規(guī)律。5研究對象：質(zhì)點系統(tǒng)過程問題52、保守力conservativeforce

：作功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經(jīng)歷的路徑無關，這種力叫做保守力。重力、萬有引力，彈性力及靜電力都是保守力。沒有這種性質(zhì)的力稱為非保守力nonconservativeforce(耗散力dissipativeforce），如摩擦力?！?.1保守力成對力作功勢能

conservativeforce,workdonebytwinforce,potentialenergy

一、保守力conservativeforce1、功與路徑有關：由功的定義可知，一般來說，作功與路徑有關。62、保守力conservativeforce：作功的大3、保守力作功workdonebyconservativeforce有心力為例centralforcer+DrroABF1F2q1q2Dr2Dr1路徑1路徑2有心力centralforce做功與路徑無關73、保守力作功有心力為例r+DrroABF1F2q1q2D所做的功與路徑無關，這種力稱為保守力conservativeforce

。保守力沿任意閉合路徑所做的功為零。萬有引力universalgravitation,靜電力electrostaticforce,彈性力elasticforce8所做的功與路徑無關，這種力稱為保守力conservativ4、保守力場：conservativeforcefield

如果質(zhì)點在某一部分空間內(nèi)的任何位置，都受到一個大小和方向完全確定的保守力的作用，稱這部分空間中存在著保守力場。功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周重力作功必為零；(3)質(zhì)點上升重力作負功。二、幾種常見力的功

workdonebycommonforces1、重力的功：workdonebygravity94、保守力場：conservativeforcefie2、萬有引力作功Workdonebyuniversalgravitation

oBArArBC102、萬有引力作功oBArArBC10功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周引力作功必為零；(3)質(zhì)點移近時（r2<r1）引力作正功。功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周彈力作功必為零；(3)彈性形變減小時，彈力作正功。3、彈簧的彈力的功：Workdonebyelasticforceofspring11功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周引力摩擦力功的特點：(1)與路徑有關；(2)沿任意閉合路徑一周摩擦力作功不為零；(3)摩擦力永遠作負功。三、成對力的功workdonebytwinforce力總是成對的，無論是保守力還是非保守力。設質(zhì)量為m1

和m2的兩個物體分別受到F1和F2的力，且F1=-F2，4、摩擦力的功:Workdonebyfriction12摩擦力功的特點：(1)與路徑有關；(2)沿任意閉合路徑在dt時間內(nèi)位移為和,質(zhì)點2相對于質(zhì)點1的相對位移為，則，元功為:

這一對力所作元功之和為：13在dt時間內(nèi)位移為13（1）成對力的功只與作用力和相對位移有關（一般不為零）。relativedisplacement（2）成對力的總功具有與參考系選擇無關的不變性質(zhì)。為方便起見，計算時常認為其中一個質(zhì)點靜止，并以該質(zhì)點所在位置為原點，再計算另一質(zhì)點受力所做的功，這就是一對力的功。14（1）成對力的功只與作用力和相對位移有關（一般不為零）。

(3)

一對滑動摩擦力的功恒小于零（摩擦生熱是一對滑動摩擦力作功的結果）。

以地面為參考系：

以滑塊為參考系：15(3)一對滑動摩擦力的功恒小于零（摩擦生熱是一對滑動摩(4)

在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下，一對力的功必為零。16(4)在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下，一對力的例題：光滑的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦系數(shù)m

，在外力作用下小物體（質(zhì)量m）以速率v做勻速圓周運動，求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功

friction。解：小物體對環(huán)帶壓力走一段小位移Ds

所做的功轉(zhuǎn)一周r17例題：光滑的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦解：小物體例題：有一面為1/4凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量M）放置在光滑水平面，一小球（質(zhì)量m），從靜止開始沿圓面從頂端無摩擦下落（如圖），小球從水平方向飛離大物體時速度v

，求：1）重力所做的功；2）內(nèi)力所做的功。

internalforceRMm解：重力只對小球做功水平方向無外力，系統(tǒng)保持水平方向動量守恒。DsmgjDh18例題：有一面為1/4凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量M）放置在對m，內(nèi)力所做的功對M，內(nèi)力所做的功internalforce由于A重力=mgR,可見，內(nèi)力所做功A內(nèi)力=0內(nèi)力與相對位移總垂直，故內(nèi)力所做的功總和為零。internalforce由機械能守恒定律：Thelawofconservationofmechanicalenergy19對m，內(nèi)力所做的功對M，內(nèi)力所做的功由于A重力=mg四、勢能potentialenergy

1、勢能概念

conceptionofpotentialenergy

質(zhì)點因相對位置而具有的作功本領稱為勢能（因有速度而具有的作功本領稱為動能），勢能的引入是以保守力作功為前提的，非保守力作功與路徑有關，不能引入勢能的概念。AB在保守力場中，質(zhì)點從A-->B，保守力所做的功與路徑無關，而只與這兩點的位置有關?？梢胍粋€只與位置有關的函數(shù)，B點的函數(shù)值減去A點的函數(shù)值，定義為從B-->A保守力所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。20四、勢能potentialenergy1、勢能概念2、勢能差

changeinpotentialenergy

質(zhì)點從位置A到位置B，保守力作的功可以統(tǒng)一寫為：定義了勢能差，函數(shù)Ep只與質(zhì)點的位置有關，稱為質(zhì)點的勢能或位能。上式表示，保守力作的功等于勢能的減少：

或：212、勢能差changeinpotentialen保守力的功只與始末位置有關，而與中間路徑無關，因此，要確定質(zhì)點在保守力場中任一點的勢能，必須先選定零勢能的位置，由于零勢能位置的選取是任意的，所以勢能的值總是相對的，但兩點的勢能差是不變的。選參考點（勢能零點），設B點的勢能:3、勢能的相對性relativityofpotentialenergy22保守力的功只與始末位置有關，而與中間路徑無關選無限遠點勢能為零5、重力勢能

Gravitationalpotentialenergy

4、萬有引力勢能universalgravitation

potentialenergy

6、彈簧的彈性勢能elasticpotentialenergy

23選無限遠點勢能為零5、重力勢能4、萬有引力勢能univ7、勢能曲線

potentialenergycurves

勢能是位置的函數(shù),把勢能和相對位置的關系繪成曲線，便得到勢能曲線。通過勢能曲線，可以顯示出系統(tǒng)總能量、動能和勢能間的關系，由，可以根據(jù)曲線的形狀討論物體的運動；247、勢能曲線potentialenergycurve

還可以根據(jù)勢能Ep(x,y,z)的情況，判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向：如果勢能是位置（x,y,z）的多元函數(shù)，則:得例如：由彈性勢能8、由勢能求保守力conservativeforcefrompotentialenergy

25還可以根據(jù)勢能Ep(x,y,z)的情況§3.2功能原理能量守恒定律

Work-energyprinciple

Thelawofconservationofenergy一、質(zhì)點系動能定理

kineticenergyofparticlesystem1、什么是質(zhì)點系？

particlesystem,many-bodysystem

（由有限個或無限個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。可以是固體也可以是液體，它概括了力學中最普遍的研究對象）2、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力是怎么規(guī)定的？

externalandinternalforce

（質(zhì)點系外的物體作用于質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的力稱為外力，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力稱為內(nèi)力，外力和內(nèi)力的區(qū)分完全決定于質(zhì)點系（研究對象）的選取。）26§3.2功能原理能量守恒定律

Work-energy3、質(zhì)點系內(nèi)力的功：workdonebyinternalforce

一切內(nèi)力矢量和恒等于零。但一般情況下，所有內(nèi)力作功的總和并不為零。例如，兩個彼此相互吸引的物體，移動一段位移，都作正功。質(zhì)點系動能定理：系統(tǒng)的外力和內(nèi)力作功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。外力和內(nèi)力的功都可以改變質(zhì)點系的動能。4、質(zhì)點系動能定理：kineticenergytheoremofparticlesystem由質(zhì)點動能定理：273、質(zhì)點系內(nèi)力的功：workdonebyinterna二、質(zhì)點系功能原理

Work-energyprincipleofparticlesystem1、系統(tǒng)的機械能mechanicalenergyofsystem

動能與勢能的總和稱為機械能

3、由勢能的定義，保守內(nèi)力的功總等于系統(tǒng)勢能的減少（保守內(nèi)力的功由勢能代替）

2、內(nèi)力的功可分為：（保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力功conservativeandnonconservativeinternalforce）28二、質(zhì)點系功能原理3、由勢能的定義，保守內(nèi)力的功總等于系非保守內(nèi)力的功將導致機械能與其他形式的能量轉(zhuǎn)換。energytransform4、系統(tǒng)的功能原理（由質(zhì)點系動能定理）

Work-energyprincipleofsystem在選定的質(zhì)點系內(nèi)，在任一過程中，質(zhì)點系總機械能的增量等于所有外力的功與非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和。29非保守內(nèi)力的功將導致機械能與其他形式的三、能量守恒定律

lawofconservationofenergy1、機械能守恒定律lawofconservationofmechanicalenergy

如果一個系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力作功，其他內(nèi)力和一切外力都不作功，或者它們（在每一瞬間所作）的總功為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換，但機械能的總值不變。2、非保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)的機械能不守恒例如，摩擦力作功，機械能轉(zhuǎn)變成熱能。（由系統(tǒng)的功能原理）

則：或即，如果：30三、能量守恒定律2、非保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)的機械能不守恒（機械能守恒定律的條件的討論

discussion例：在一光滑的水平桌面上，有一個質(zhì)量為m的靜止物體，用一個恒力Ｆ先推它，運動了Ｓ距離，在這段時間里，物體做勻加速運動，速度從零增加到v，然后再用同樣的力拉物體，物體將做勻減速運動，當運動了Ｓ距離后，它一定停下來，在這個過程中，外力Ｆ作的總功為：Ａ＝Ｆ?Ｓ＋（－Ｆ?Ｓ）＝０但機械能并不守恒！可見，“非保守內(nèi)力和一切外力所作的總功為零”并不能保證系統(tǒng)的機械能守恒！31機械能守恒定律的條件的討論discussion例：在一光滑右圖：力f作正功，f’作負功，總和為零，機械能守恒。3、孤立系統(tǒng)isolatedsystem

一個不受外界作用的系統(tǒng)叫作孤立系統(tǒng)。對于孤立系統(tǒng)，外界的功一定是零。4、能量守恒定律lawofconservationofenergy

實驗證明，一個孤立系統(tǒng)，歷經(jīng)任何變化過程，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另一種形式，或從一個物體傳給另一個物體。——能量守恒定律?！笆睾恪保褐冈谝粋€過程中始終不變?！跋嗟取保褐竷蓚€特定狀態(tài)之間的關系?！癈onservation”and“Equation”32右圖：力f作正功，f’作負功，總和為零，機械5、能量守恒定律的意義及其重要性significationandimportofconservationofenergy

（1）因為能量是各種運動的一般量度，所以能量守恒定律所闡明的實質(zhì)就是各種物質(zhì)運動可以相互轉(zhuǎn)化，但是，就物質(zhì)或運動本身來說，卻既不能創(chuàng)造，也不會消滅的。（2）能量守恒定律是自然界中具有最大普遍性的定律之一，適用于任何變化過程，包括機械的、熱的、電磁的、原子核的、化學的及生物的等等。33（2）能量守恒定律是自然界中具有最大普遍性的定律之一，適用于（3）自然界一切已經(jīng)實現(xiàn)的過程無一例外地遵守著這一定律，如果發(fā)現(xiàn)有所違反，那常常是因為過程中孕含著還未被認識的新事物。于是人們就按守恒定律要求去尋找和發(fā)現(xiàn)新事物。例如：中微子的發(fā)現(xiàn)。(20世紀初衰變的研究中發(fā)現(xiàn)實驗結果與能量守恒相違背，泡利提出中微子假說，20年后，科學終于證實了中微子的存在）。（4）凡違背守恒定律的過程不可能實現(xiàn)，由此判斷哪些過程是不可能發(fā)生的，例如：“永動機?！?4（3）自然界一切已經(jīng)實現(xiàn)的過程無一例外地遵守著這一定律，如果例題3-2：

一汽車的速度，駛至一斜率為0.010的斜坡時，關閉油門，設車與路面間的摩擦阻力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜面多遠？

解法一：應用動能定理，以車為研究對象。車受力如圖：摩擦力fr，支持力N（不作功），重力G。由動能定理：由于fr=0.05G：又由于：故有：由此得：35例題3-2：

一汽車的速度解法二：取車和地球作為研究對象（系統(tǒng)），用功能原理。車受的外力：摩擦力fr，支持力N，（重力G為內(nèi)力）設坡底勢能為零，由功能原理提示：在應用功能原理時，由于取車與地球為系統(tǒng)，考慮了系統(tǒng)的重力勢能，因此，就不能再把重力當成外力來計算它的功了。則：36解法二：取車和地球作為研究對象（系統(tǒng)），用功能原理。提示：在§3.3動量守恒定律碰撞

lawofconservationofmomentumcollision一、質(zhì)點系的動量定理

momentumtheoremofparticlesystem1、質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動量的矢量和。微分形式：積分形式：質(zhì)點系動量的增量，等于作用在質(zhì)點系上所有外力在同一時間內(nèi)的沖量的矢量和?！|(zhì)點系動量定理2、質(zhì)點系的動量定理：37§3.3動量守恒定律碰撞

lawofconser4、內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的總動量即內(nèi)力的沖量的矢量和恒為零。

5、內(nèi)力可以改變質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的動量例如爆炸。因為內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，且則沖量和為：3、分量式384、內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的總動量即內(nèi)力的沖量的矢量和恒為零。因如果則

二、質(zhì)點系的動量守恒定律

lawofconservationofmomentumofparticlesystem如果：（質(zhì)點系所受合外力的矢量和為零）則：或1、動量守恒定律：（由動量定理）定律：

如果系統(tǒng)所受到的外力的矢量和為零，則系統(tǒng)的總動量保持不變。2、分量式：(投影式)39如果單位

kg·m/s(千克·米/秒)J(焦耳)(或N·m牛頓·米)性質(zhì)矢量標量變化量△P由力的沖量決定△Ek由力的功決定

對于給定兩個時刻t1和t2：對于給定兩個時刻t1和t2：△P與慣性系的選擇無關△Ek隨慣性系的不同而不同

關系三、動量與動能的比較momentumandkineticenergy物理量

動量(momentum)動能(kineticenergy)

表達式40三、動量與動能的比較momentumandkinet1、碰撞的定義definitionofcollision

質(zhì)點、質(zhì)點系或剛體之間，通過極短時間的相互作用而使運動狀態(tài)發(fā)生顯著變化的過程——碰撞(collision)。（人從車上跳下，子彈打入墻壁等都屬于碰撞）2、碰撞過程的特點characteristicofcollision

(1)作用時間極短(2)作用力變化極快

(3)作用力峰值極大(4)過程中物體會產(chǎn)生形變

(5)可認為僅有內(nèi)力的作用，故系統(tǒng)遵守動量守恒定律。3、碰撞定律

lawofcollision四、碰撞collisione稱恢復系數(shù)

（決定于材料性質(zhì)）411、碰撞的定義definitionofcollisi(3)非完全彈性碰撞non-perfectlyelasticcollision

當0＜e＜1時，

此時說明碰撞后形變能完全恢復，沒有機械能的損失(碰撞前后機械能守恒)。elasticcollision,perfectlyelasticcollision(2)完全非彈性碰撞當e＝0時，perfectlyinelasticcollision

此時，物體碰撞后以同一速度運動，不再分開，這就是說物體碰撞后已經(jīng)完全不能恢復形變。4、碰撞的分類classcollisions(1)彈性碰撞當e＝1時，此時，碰撞后形變不能完全恢復，一部分機械能將被轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪芰?如熱能）。42(3)非完全彈性碰撞non-perfectlyela討論：力的大小與接近速度成正比，與接觸時間成反比，還與物體的質(zhì)量和材料有關。5、碰撞中的力

(以兩物體碰撞為例）（1）動量守恒：（2）碰撞定律：（3）非完全彈性碰撞：(3)（4）由動量定理(對m2)將(3)代入(4)

43討論：力的大小與接近速度成正比，與接觸時間成反比，還與物體的6、碰撞中能量的損失碰撞前后機械能的損失為：將前面式(3)代入式(6)便得：討論：(1)對于完全彈性碰撞（e=1),無能量損失。利用：(2)打鐵、打樁等則：(3)損失的機械能，通常變?yōu)闊崮芑蛐巫兡堋?46、碰撞中能量的損失碰撞前后機械能的損失為：將前面式(3)代求兩物到達最高處的張角例題3-11由式(1)、(2)、(3)消去解：分三個過程：（1）小球自A下落到B，機械能守恒：（2）小球與蹄狀物碰撞過程，動量守恒：（3）小球與蹄狀物開始運動到最高處，機械能守恒：可求得：45求兩物到達最高處的張角例題3-11由式(1)、(2)、(3)解：設碰撞后兩球速度由動量守恒兩邊平方由機械能守恒（勢能無變化）兩球速度總互相垂直例題：在一平面上,兩相同的球做完全彈性碰撞，其中一球開始時處于靜止狀態(tài)，另一球速度v。求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。比較以上兩式46解：設碰撞后兩球速度由動量守恒兩邊平方由機械能守恒（勢能無變§3.4質(zhì)點的角動量角動量守恒定律

angularmomentum,lawofconservationofangularmomentum

力的作用效果，不僅與力的大小magnitude有關、還與力的方向direction和力的作用點actingpoint有關。力矩是全面考慮這三要素的一個重要的概念。ao一、質(zhì)點角動量(angularmomentum)的定義1、力矩定義torque方向：由右手定則大?。?7§3.4質(zhì)點的角動量角動量守恒定律

angularm角動量與參考點O的選擇有關，同一質(zhì)點對于不同的參考點其角動量是不同的。定義：任取一點o,建立坐標系oxyz，設質(zhì)點A的質(zhì)量為m，速度為，矢徑為，則質(zhì)點A對o點的角動量為：2、角動量angularmomentum

（momentofmomentum）方向：由右手螺旋定則確定，righthandscrewrule大?。?8角動量與參考點O的選擇有關，定義：任取一點二、質(zhì)點角動量定理

angularmomentumtheorem1、推導過程：由牛頓第二定律得:兩邊叉乘將角動量定義式對時間求導數(shù)。即：49二、質(zhì)點角動量定理angularmomentumt

質(zhì)點（轉(zhuǎn)動物體）所受合外力矩torque的沖量矩等于在這段時間內(nèi)質(zhì)點（轉(zhuǎn)動物體）角動量的增量。2、角動量定理angularmomentumtheorem

質(zhì)點對某點的角動量對時間的變化率等于質(zhì)點所受到的合力對同一點的力矩。

3、另一種表述：將變形為式中稱為外力矩的沖量矩

impulsetorque(角沖量angularimpulse）50質(zhì)點（轉(zhuǎn)動物體）所受合外力矩torque的

若質(zhì)點所受外力矩對某給定點o的力矩為零，則質(zhì)點對o的角動量保持不變。(具有普遍意義，對m變的也適用）三、質(zhì)點角動量守恒定律lawofconservationofangularmomentumofparticle由角動量定理可知，若：（條件)則：

或（結論）即：(constantvector)51若質(zhì)點所受外力矩對某給定點o的力矩為零，則質(zhì)點對例題3-14

人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球中心為橢圓的一個焦點，已知地球平均半徑R=6378km，近地距離l1=439km,A1

點速度v1=8.10km,遠地距離l2=2384km,求A2

點的速度v2=?52例題3-14人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球中心為橢圓的解：衛(wèi)星在運行時只受地球?qū)λ囊Γ较蚴冀K指向地心o,力的大小只依賴于兩點距離（這種力稱為有心力），對于O點，力矩為零，故角動量守恒。衛(wèi)星在近地點A1的角動量：衛(wèi)星在遠地點A2的角動量:因角動量守恒，所以：于是：53解：衛(wèi)星在運行時只受地球?qū)λ囊?，故角動量守恒。衛(wèi)星在近地問題

1、哪些力是保守力？它們有哪些共同的特點？（重力、萬有引力、彈簧彈性力、靜電力；作功與路徑無關）2、成對力的功有什么特點？（只與相對位移有關；與參考系的選擇無關）3、勢能的大小與哪些因素有關？（相對位置；零點的選擇）54問題1、哪些力是保守力？它們有哪些共同的特點？544、本章介紹幾個“原理”？請你敘述一下？（功能原理）5、本章介紹哪幾個“定理”？請敘述其中之一。（動能定理、動量定理、質(zhì)心運動定理、角動量定理）6、本章介紹哪幾個“定律”？請敘述其中之一。（碰撞定律、機械能守恒定律、能量守恒定律、動量守恒定律、角動量守恒定律）7、角動量是怎么定義的？它與哪些因素有關？（和O點的選擇）554、本章介紹幾個“原理”？請你敘述一下？558、系統(tǒng)內(nèi)力可否改變系統(tǒng)的總動量？可否改變系統(tǒng)的總動能？（不能改變總動量；可以改變總動能）9、兩個質(zhì)量相等的小球，分別從兩個高度相同、傾角不同的光滑斜面的頂端由靜止滑到底部，它們的動量是否相同？它們的動能是否相同？（動量不同；動能相同）10、質(zhì)點在有心力場中的運動具有什么性質(zhì)？（角動量守恒）568、系統(tǒng)內(nèi)力可否改變系統(tǒng)的總動量？可否改變系統(tǒng)的總動能？56

第三章結束

57

第三章結束

57第三章

運動的守恒定律conservationlawofmotion58第三章

運動的守恒定律conservationlawo

物理規(guī)律是分層次的，有的只對某些具體事物適用，如胡克定律只適用于彈性體；有的在一定范疇內(nèi)成立，如牛頓定律適用于一切低速運動的宏觀物體；有的則在自然界的所有領域起作用，

屬于自然界更深層次、最為基本的規(guī)律，如能量守恒、動量守恒等守恒定律。59物理規(guī)律是分層次的，有的只對某些具體事物適

宇宙大爆炸論提出時間是有起點的，時間不具有平移不變性了，能量守恒的理論基礎將出現(xiàn)裂痕。同時又發(fā)現(xiàn)萬有引力常數(shù)隨時間變化，能量守恒定律面臨挑戰(zhàn)。

王燕生《東北大學學報》

（社會科學版）

1999年10月第一卷第4期前沿課題——能量守恒和宇宙大爆炸60宇宙大爆炸論提出時間是有起點的，時間不具有平保守力成對力作功勢能功能原理機械能守恒定律能量守恒定律動量守恒定律碰撞質(zhì)點的角動量角動量守恒定律本章主要內(nèi)容61保守力成對力作功勢能功能原理本章研究對象：質(zhì)點系統(tǒng)過程問題守恒量：對于物體系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生的各種過程，如果某物理量始終保持不變，該物理量就叫做守恒量。守恒定律：由宏觀現(xiàn)象總結出來的最深刻、最簡潔的自然規(guī)律。（動量守恒定律、機械能守恒定律、能量守恒定律和角動量守恒定律等）適用范圍：不僅適用于宏觀也適用于微觀世界，不僅適用于任何物理過程，也適用于化學、生物等其他過程，是自然界的普遍規(guī)律。62研究對象：質(zhì)點系統(tǒng)過程問題52、保守力conservativeforce

：作功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經(jīng)歷的路徑無關，這種力叫做保守力。重力、萬有引力，彈性力及靜電力都是保守力。沒有這種性質(zhì)的力稱為非保守力nonconservativeforce(耗散力dissipativeforce），如摩擦力。§3.1保守力成對力作功勢能

conservativeforce,workdonebytwinforce,potentialenergy

一、保守力conservativeforce1、功與路徑有關：由功的定義可知，一般來說，作功與路徑有關。632、保守力conservativeforce：作功的大3、保守力作功workdonebyconservativeforce有心力為例centralforcer+DrroABF1F2q1q2Dr2Dr1路徑1路徑2有心力centralforce做功與路徑無關643、保守力作功有心力為例r+DrroABF1F2q1q2D所做的功與路徑無關，這種力稱為保守力conservativeforce

。保守力沿任意閉合路徑所做的功為零。萬有引力universalgravitation,靜電力electrostaticforce,彈性力elasticforce65所做的功與路徑無關，這種力稱為保守力conservativ4、保守力場：conservativeforcefield

如果質(zhì)點在某一部分空間內(nèi)的任何位置，都受到一個大小和方向完全確定的保守力的作用，稱這部分空間中存在著保守力場。功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周重力作功必為零；(3)質(zhì)點上升重力作負功。二、幾種常見力的功

workdonebycommonforces1、重力的功：workdonebygravity664、保守力場：conservativeforcefie2、萬有引力作功Workdonebyuniversalgravitation

oBArArBC672、萬有引力作功oBArArBC10功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周引力作功必為零；(3)質(zhì)點移近時（r2<r1）引力作正功。功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周彈力作功必為零；(3)彈性形變減小時，彈力作正功。3、彈簧的彈力的功：Workdonebyelasticforceofspring68功的特點：(1)與路徑無關；(2)沿任意閉合路徑一周引力摩擦力功的特點：(1)與路徑有關；(2)沿任意閉合路徑一周摩擦力作功不為零；(3)摩擦力永遠作負功。三、成對力的功workdonebytwinforce力總是成對的，無論是保守力還是非保守力。設質(zhì)量為m1

和m2的兩個物體分別受到F1和F2的力，且F1=-F2，4、摩擦力的功:Workdonebyfriction69摩擦力功的特點：(1)與路徑有關；(2)沿任意閉合路徑在dt時間內(nèi)位移為和,質(zhì)點2相對于質(zhì)點1的相對位移為，則，元功為:

這一對力所作元功之和為：70在dt時間內(nèi)位移為13（1）成對力的功只與作用力和相對位移有關（一般不為零）。relativedisplacement（2）成對力的總功具有與參考系選擇無關的不變性質(zhì)。為方便起見，計算時常認為其中一個質(zhì)點靜止，并以該質(zhì)點所在位置為原點，再計算另一質(zhì)點受力所做的功，這就是一對力的功。71（1）成對力的功只與作用力和相對位移有關（一般不為零）。

(3)

一對滑動摩擦力的功恒小于零（摩擦生熱是一對滑動摩擦力作功的結果）。

以地面為參考系：

以滑塊為參考系：72(3)一對滑動摩擦力的功恒小于零（摩擦生熱是一對滑動摩(4)

在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下，一對力的功必為零。73(4)在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下，一對力的例題：光滑的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦系數(shù)m

，在外力作用下小物體（質(zhì)量m）以速率v做勻速圓周運動，求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功

friction。解：小物體對環(huán)帶壓力走一段小位移Ds

所做的功轉(zhuǎn)一周r74例題：光滑的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦解：小物體例題：有一面為1/4凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量M）放置在光滑水平面，一小球（質(zhì)量m），從靜止開始沿圓面從頂端無摩擦下落（如圖），小球從水平方向飛離大物體時速度v

，求：1）重力所做的功；2）內(nèi)力所做的功。

internalforceRMm解：重力只對小球做功水平方向無外力，系統(tǒng)保持水平方向動量守恒。DsmgjDh75例題：有一面為1/4凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量M）放置在對m，內(nèi)力所做的功對M，內(nèi)力所做的功internalforce由于A重力=mgR,可見，內(nèi)力所做功A內(nèi)力=0內(nèi)力與相對位移總垂直，故內(nèi)力所做的功總和為零。internalforce由機械能守恒定律：Thelawofconservationofmechanicalenergy76對m，內(nèi)力所做的功對M，內(nèi)力所做的功由于A重力=mg四、勢能potentialenergy

1、勢能概念

conceptionofpotentialenergy

質(zhì)點因相對位置而具有的作功本領稱為勢能（因有速度而具有的作功本領稱為動能），勢能的引入是以保守力作功為前提的，非保守力作功與路徑有關，不能引入勢能的概念。AB在保守力場中，質(zhì)點從A-->B，保守力所做的功與路徑無關，而只與這兩點的位置有關?？梢胍粋€只與位置有關的函數(shù)，B點的函數(shù)值減去A點的函數(shù)值，定義為從B-->A保守力所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。77四、勢能potentialenergy1、勢能概念2、勢能差

changeinpotentialenergy

質(zhì)點從位置A到位置B，保守力作的功可以統(tǒng)一寫為：定義了勢能差，函數(shù)Ep只與質(zhì)點的位置有關，稱為質(zhì)點的勢能或位能。上式表示，保守力作的功等于勢能的減少：

或：782、勢能差changeinpotentialen保守力的功只與始末位置有關，而與中間路徑無關，因此，要確定質(zhì)點在保守力場中任一點的勢能，必須先選定零勢能的位置，由于零勢能位置的選取是任意的，所以勢能的值總是相對的，但兩點的勢能差是不變的。選參考點（勢能零點），設B點的勢能:3、勢能的相對性relativityofpotentialenergy79保守力的功只與始末位置有關，而與中間路徑無關選無限遠點勢能為零5、重力勢能

Gravitationalpotentialenergy

4、萬有引力勢能universalgravitation

potentialenergy

6、彈簧的彈性勢能elasticpotentialenergy

80選無限遠點勢能為零5、重力勢能4、萬有引力勢能univ7、勢能曲線

potentialenergycurves

勢能是位置的函數(shù),把勢能和相對位置的關系繪成曲線，便得到勢能曲線。通過勢能曲線，可以顯示出系統(tǒng)總能量、動能和勢能間的關系，由，可以根據(jù)曲線的形狀討論物體的運動；817、勢能曲線potentialenergycurve

還可以根據(jù)勢能Ep(x,y,z)的情況，判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向：如果勢能是位置（x,y,z）的多元函數(shù)，則:得例如：由彈性勢能8、由勢能求保守力conservativeforcefrompotentialenergy

82還可以根據(jù)勢能Ep(x,y,z)的情況§3.2功能原理能量守恒定律

Work-energyprinciple

Thelawofconservationofenergy一、質(zhì)點系動能定理

kineticenergyofparticlesystem1、什么是質(zhì)點系？

particlesystem,many-bodysystem

（由有限個或無限個質(zhì)點組成的系統(tǒng)?？梢允枪腆w也可以是液體，它概括了力學中最普遍的研究對象）2、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力是怎么規(guī)定的？

externalandinternalforce

（質(zhì)點系外的物體作用于質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的力稱為外力，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力稱為內(nèi)力，外力和內(nèi)力的區(qū)分完全決定于質(zhì)點系（研究對象）的選取。）83§3.2功能原理能量守恒定律

Work-energy3、質(zhì)點系內(nèi)力的功：workdonebyinternalforce

一切內(nèi)力矢量和恒等于零。但一般情況下，所有內(nèi)力作功的總和并不為零。例如，兩個彼此相互吸引的物體，移動一段位移，都作正功。質(zhì)點系動能定理：系統(tǒng)的外力和內(nèi)力作功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。外力和內(nèi)力的功都可以改變質(zhì)點系的動能。4、質(zhì)點系動能定理：kineticenergytheoremofparticlesystem由質(zhì)點動能定理：843、質(zhì)點系內(nèi)力的功：workdonebyinterna二、質(zhì)點系功能原理

Work-energyprincipleofparticlesystem1、系統(tǒng)的機械能mechanicalenergyofsystem

動能與勢能的總和稱為機械能

3、由勢能的定義，保守內(nèi)力的功總等于系統(tǒng)勢能的減少（保守內(nèi)力的功由勢能代替）

2、內(nèi)力的功可分為：（保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力功conservativeandnonconservativeinternalforce）85二、質(zhì)點系功能原理3、由勢能的定義，保守內(nèi)力的功總等于系非保守內(nèi)力的功將導致機械能與其他形式的能量轉(zhuǎn)換。energytransform4、系統(tǒng)的功能原理（由質(zhì)點系動能定理）

Work-energyprincipleofsystem在選定的質(zhì)點系內(nèi)，在任一過程中，質(zhì)點系總機械能的增量等于所有外力的功與非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和。86非保守內(nèi)力的功將導致機械能與其他形式的三、能量守恒定律

lawofconservationofenergy1、機械能守恒定律lawofconservationofmechanicalenergy

如果一個系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力作功，其他內(nèi)力和一切外力都不作功，或者它們（在每一瞬間所作）的總功為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換，但機械能的總值不變。2、非保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)的機械能不守恒例如，摩擦力作功，機械能轉(zhuǎn)變成熱能。（由系統(tǒng)的功能原理）

則：或即，如果：87三、能量守恒定律2、非保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)的機械能不守恒（機械能守恒定律的條件的討論

discussion例：在一光滑的水平桌面上，有一個質(zhì)量為m的靜止物體，用一個恒力Ｆ先推它，運動了Ｓ距離，在這段時間里，物體做勻加速運動，速度從零增加到v，然后再用同樣的力拉物體，物體將做勻減速運動，當運動了Ｓ距離后，它一定停下來，在這個過程中，外力Ｆ作的總功為：Ａ＝Ｆ?Ｓ＋（－Ｆ?Ｓ）＝０但機械能并不守恒！可見，“非保守內(nèi)力和一切外力所作的總功為零”并不能保證系統(tǒng)的機械能守恒！88機械能守恒定律的條件的討論discussion例：在一光滑右圖：力f作正功，f’作負功，總和為零，機械能守恒。3、孤立系統(tǒng)isolatedsystem

一個不受外界作用的系統(tǒng)叫作孤立系統(tǒng)。對于孤立系統(tǒng)，外界的功一定是零。4、能量守恒定律lawofconservationofenergy

實驗證明，一個孤立系統(tǒng)，歷經(jīng)任何變化過程，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另一種形式，或從一個物體傳給另一個物體。——能量守恒定律?！笆睾恪保褐冈谝粋€過程中始終不變?！跋嗟取保褐竷蓚€特定狀態(tài)之間的關系?！癈onservation”and“Equation”89右圖：力f作正功，f’作負功，總和為零，機械5、能量守恒定律的意義及其重要性significationandimportofconservationofenergy

（1）因為能量是各種運動的一般量度，所以能量守恒定律所闡明的實質(zhì)就是各種物質(zhì)運動可以相互轉(zhuǎn)化，但是，就物質(zhì)或運動本身來說，卻既不能創(chuàng)造，也不會消滅的。（2）能量守恒定律是自然界中具有最大普遍性的定律之一，適用于任何變化過程，包括機械的、熱的、電磁的、原子核的、化學的及生物的等等。90（2）能量守恒定律是自然界中具有最大普遍性的定律之一，適用于（3）自然界一切已經(jīng)實現(xiàn)的過程無一例外地遵守著這一定律，如果發(fā)現(xiàn)有所違反，那常常是因為過程中孕含著還未被認識的新事物。于是人們就按守恒定律要求去尋找和發(fā)現(xiàn)新事物。例如：中微子的發(fā)現(xiàn)。(20世紀初衰變的研究中發(fā)現(xiàn)實驗結果與能量守恒相違背，泡利提出中微子假說，20年后，科學終于證實了中微子的存在）。（4）凡違背守恒定律的過程不可能實現(xiàn)，由此判斷哪些過程是不可能發(fā)生的，例如：“永動機?！?1（3）自然界一切已經(jīng)實現(xiàn)的過程無一例外地遵守著這一定律，如果例題3-2：

一汽車的速度，駛至一斜率為0.010的斜坡時，關閉油門，設車與路面間的摩擦阻力為車重G的0.05倍，問汽車能沖上斜面多遠？

解法一：應用動能定理，以車為研究對象。車受力如圖：摩擦力fr，支持力N（不作功），重力G。由動能定理：由于fr=0.05G：又由于：故有：由此得：92例題3-2：

一汽車的速度解法二：取車和地球作為研究對象（系統(tǒng)），用功能原理。車受的外力：摩擦力fr，支持力N，（重力G為內(nèi)力）設坡底勢能為零，由功能原理提示：在應用功能原理時，由于取車與地球為系統(tǒng)，考慮了系統(tǒng)的重力勢能，因此，就不能再把重力當成外力來計算它的功了。則：93解法二：取車和地球作為研究對象（系統(tǒng)），用功能原理。提示：在§3.3動量守恒定律碰撞

lawofconservationofmomentumcollision一、質(zhì)點系的動量定理

momentumtheoremofparticlesystem1、質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動量的矢量和。微分形式：積分形式：質(zhì)點系動量的增量，等于作用在質(zhì)點系上所有外力在同一時間內(nèi)的沖量的矢量和?！|(zhì)點系動量定理2、質(zhì)點系的動量定理：94§3.3動量守恒定律碰撞

lawofconser4、內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的總動量即內(nèi)力的沖量的矢量和恒為零。

5、內(nèi)力可以改變質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的動量例如爆炸。因為內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，且則沖量和為：3、分量式954、內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的總動量即內(nèi)力的沖量的矢量和恒為零。因如果則

二、質(zhì)點系的動量守恒定律

lawofconservationofmomentumofparticlesystem如果：（質(zhì)點系所受合外力的矢量和為零）則：或1、動量守恒定律：（由動量定理）定律：

如果系統(tǒng)所受到的外力的矢量和為零，則系統(tǒng)的總動量保持不變。2、分量式：(投影式)96如果單位

kg·m/s(千克·米/秒)J(焦耳)(或N·m牛頓·米)性質(zhì)矢量標量變化量△P由力的沖量決定△Ek由力的功決定

對于給定兩個時刻t1和t2：對于給定兩個時刻t1和t2：△P與慣性系的選擇無關△Ek隨慣性系的不同而不同

關系三、動量與動能的比較momentumandkineticenergy物理量

動量(momentum)動能(kineticenergy)

表達式97三、動量與動能的比較momentumandkinet1、碰撞的定義definitionofcollision

質(zhì)點、質(zhì)點系或剛體之間，通過極短時間的相互作用而使運動狀態(tài)發(fā)生顯著變化的過程——碰撞(collision)。（人從車上跳下，子彈打入墻壁等都屬于碰撞）2、碰撞過程的特點characteristicofcollision

(1)作用時間極短(2)作用力變化極快

(3)作用力峰值極大(4)過程中物體會產(chǎn)生形變

(5)可認為僅有內(nèi)力的作用，故系統(tǒng)遵守動量守恒定律。3、碰撞定律

lawofcollision四、碰撞collisione稱恢復系數(shù)

（決定于材料性質(zhì)）981、碰撞的定義definitionofcollisi(3)非完全彈性碰撞non-perfectlyelasticcollision

當0＜e＜1時，

此時說明碰撞后形變能完全恢復，沒有機械能的損失(碰撞前后機械能守恒)。elasticcollision,perfectlyelasticcollision(2)完全非彈性碰撞當e＝0時，perfectlyinelasticcollision

此時，物體碰撞后以同一速度運動，不再分開，這就是說物體碰撞后已經(jīng)完全不能恢復形變。4、碰撞的分類classcollisions(1)彈性碰撞當e＝1時，此時，碰撞后形變不能完全恢復，一部分機械能將被轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪芰?如熱能）。99(3)非完全彈性碰撞non-perfectlyela討論：力的大小與接近速度成正比，與接觸時間成反比，還與物體的質(zhì)量和材料有關。5、碰撞中的力

(以兩物體碰撞為例）（1）動量守恒：（2）碰撞定律：（3）非完全彈性碰撞：(3)（4）由動量定理(對m2)將(3)代入(4)

100討論：力的大小與接近速度成正比，與接觸時間成反比，還與物體的6、碰撞中能量的損失碰撞前后機械能的損失為：將前面式(3)代入式(6)便得：討論：(1)對于完全彈性碰撞（e=1),無能量損失。利用：(2)打鐵、打樁等則：(3)損失的機械能，通常變?yōu)闊崮芑蛐巫?/p>