金融計(jì)量學(xué)第5章平穩(wěn)金融時(shí)間序列:ARMA模型5.1移動平均過程(MAProcess)5.2自回歸移動平均過程(ARMAProcesses)5.3部分自相關(guān)函數(shù)(PartialAutocorrelations)5.4樣本自相關(guān)與部分自相關(guān)函數(shù)5.5自相關(guān)性檢驗(yàn)5.6ARMA模型的實(shí)證分析及應(yīng)用5.7實(shí)例應(yīng)用：中國CPI通脹率的AR模型5.1移動平均過程(MAProcess)5.1.1MA(1)模型圖5.1模擬生成的MA(1)序列均值方差自協(xié)方差

自相關(guān)函數(shù)

如果

換成它的倒數(shù)形式

，表達(dá)式

是保持不變的。所以，對于

取介于-0.5和0.5之間的實(shí)數(shù)，可以產(chǎn)生完全相同的自相關(guān)函數(shù)圖。圖5.2(a)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖圖5.2(b)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖圖5.2(c)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖圖5.2(d)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖可逆性(Invertibility)

對進(jìn)行整理,不難看出其是一種無窮AR過程,或?qū)懗?即:

以上推導(dǎo)過程說明了一個MA(1)過程的可逆條件，即當(dāng)

時(shí)，MA(1)過程可逆。在這種情況下，

MA(1)過程可以“逆”過來寫成

的形式。5.1.2MA(2)模型圖5.3MA(2)過程模擬

生成的序列5.4MA(2)過程的理論

自相關(guān)函數(shù)圖MA(2)過程的可逆

與MA(1)過程對應(yīng)的概念類似，MA(2)過程的可逆性是指將MA(2)過程轉(zhuǎn)化寫成

的特性。

MA(2)過程可逆，要求逆特征方程

的根要全部落在單位圓內(nèi)。5.1.3MA（q）模型q

階移動平均過程:

MA(q)過程的可逆條件:

逆特征方程

的所有根都落在單位圓外。5.2自回歸移動平均過程5.2.1ARMA（p,q）過程的基本定義其中：滯后算子多項(xiàng)式滿足和。其中,滯后算子多項(xiàng)式滿足和

。

5.2.2ARMA（p,q）過程的平穩(wěn)性與可逆性

從MA過程的特性知道，MA過程在任何條件下都是平穩(wěn)過程，所以，對于ARMA過程的平穩(wěn)性要求，就完全表現(xiàn)在對AR部分的要求上。平穩(wěn)性

對于任意一個ARMA過程

其平穩(wěn)性要求是，等式的根都要落在單位圓內(nèi)。如果其中一個或多個根落于單位圓上，則此時(shí)的ARMA(p,q)過程稱為自回歸單整移動平均過程，記做ARIMA(p,d,q)。

可逆性ARMA（p,q）過程的可逆條件是都要落在單位圓外，與純MA（q）過程的可逆條件完全相同。5.2.3ARMA（p,q）過程的均值、方差和自協(xié)方差

5.2.4ARMA（p,q）過程的自相關(guān)函數(shù)圖5.5ARMA（1，1）的

理論自相關(guān)函數(shù)圖5.2.5AR與MA模型的相互轉(zhuǎn)化如果平穩(wěn)性和可逆性都滿足，那么AR、MA和ARMA之間可以相互轉(zhuǎn)化。

ARMA轉(zhuǎn)化為MAARMA轉(zhuǎn)化為AR

利用滯后算子的特性，可以進(jìn)一步寫成更為直觀的形式，即：其中：，并且滯后算子。

其中：

，并且滯后算子。

一般來說，將ARMA模型轉(zhuǎn)化成MA模型的目的，是可以清楚地考查以往的隨機(jī)沖擊因素當(dāng)前

的影響效果。所以在實(shí)證研究中，MA模型或者M(jìn)A的表達(dá)形式經(jīng)常被用來分析隨機(jī)擾動因素對代表特定含義的金融或經(jīng)濟(jì)變量的影響情況。典型的例子就是我們在第3章介紹的脈沖相應(yīng)函數(shù)。

另一方面，將ARMA模型轉(zhuǎn)化成AR模型的形式，經(jīng)?？梢杂脕砜坍嬆承┙鹑跁r(shí)間序列變量的動態(tài)路徑。5.3部分自相關(guān)函數(shù)

部分自相關(guān)函數(shù)是指

與

之間，在剔除了這兩期通過中間的

形成的線性依賴關(guān)系后，而存在的相關(guān)性。

對于一個AR(1)模型，因?yàn)槿绻豢紤]在

與

之間的“橋梁”和“紐帶”作用，剔除了它的中間影響，那么PACF在第2個滯后期就應(yīng)該是0。圖5.6AR（1）模型的

理論P(yáng)ACF

在實(shí)際中，還有一種估計(jì)PACF的方法PACF可以用來區(qū)分AR與MA過程，因?yàn)閷τ谝粋€AR(p)模型，其PACF應(yīng)該在p個滯后期之后陡然降為0，而對于MA(q)模型來說，由于它可以轉(zhuǎn)化為的形式，所以其對應(yīng)的PACF應(yīng)該呈現(xiàn)出逐漸衰減、向0趨近的態(tài)勢。

無論對于ACF還是PACF，如果圖示出現(xiàn)在某一期陡然減小為0（并且之后也為0）的現(xiàn)象，通?？梢孕蜗蟮孛枋鰹锳CF或PACF“在某期后出現(xiàn)截尾特征”。相反，如果圖示出現(xiàn)逐