2017數(shù)列拔高訓(xùn)練1、已知數(shù)列｛an｝滿足a1=-2,an+1=2an+4.(1)證明數(shù)列｛an+4｝是等比數(shù)列并求出｛an｝通項(xiàng)公式；⑵若句=10號(hào)(烏升1+4)的產(chǎn)，求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和Sn.一2、已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足a1=b1=1,b2-a3=2b3a3-2b2=-1(1)求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式⑵設(shè)cn=an+bn，n￡N*,求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Sn.3、(理科答)已知數(shù)列｛a[及等差數(shù)列｛bj,若a『3,an=an2+1(n>2),aT=b2,2a3+a2=b4，(1)證明數(shù)列U｛an-2｝為等比數(shù)列；⑵求數(shù)列｛an｝及數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；⑶設(shè)數(shù)列｛an?bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.4、已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列｛an｝滿足，2Sn=an(an+1).(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為A。，求證：對(duì)任意正整數(shù)n,都有A“<成立；⑶數(shù)列0｝滿足\=(4)町，它的前n項(xiàng)和為二，若存在正整數(shù)n,使得不等式(-2)n-iX<Tn+號(hào)-2n-l成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.一5、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列凡｝的前n項(xiàng)和為S”，且滿足以二盤2+軸￡如*).(1)計(jì)算a1,a2,a3的值，并猜想｛an｝的通項(xiàng)公式；⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明｛an｝的通項(xiàng)公式.6、數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn,a1=5,且an=Sn-1(n=2,3,4,…).(1)求Sn；⑵求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；⑶求證：卷+++...+[.7、已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,S4=30,過(guò)點(diǎn)P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n￡N*)的直線的一個(gè)方向向量為(-1,-1)(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；都有⑵設(shè)b:藤成五嬴,數(shù)列｛斗｝的前n項(xiàng)和為T”,證明：對(duì)于任意n￡N*都有33一4<nT8、已知函數(shù)二衰門,數(shù)列滿足的=1,%=拉點(diǎn)昨口.⑴求證：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；⑵求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；⑶記Sn=a1a2+a2a3+“?+anan+1，求Sn?9、各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝中，a1=1,Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n￡N*,有2Sn=2pan2+pan-p(pGR)(1)求常數(shù)p的值；⑵求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；⑶記哈屋?巴求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和T.10、已知數(shù)列｛a.滿足：a式+，a2=,2an=an+1+anT(n>2,n￡N?)，數(shù)列｛b1滿足：耳<0,3bn-bn-1=n(n>2,nGR),數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證：數(shù)列｛bn-an｝為等比數(shù)列；⑵求證：數(shù)列｛bn｝為遞增數(shù)列；⑶若當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，Sn取得最小值，求b1的取值范圍.11、已知遞增等比數(shù)列｛an｝的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512,且這三項(xiàng)分別減去1,3,9后成等差數(shù)列．(1)求｛an｝的首項(xiàng)和公比；⑵設(shè)Sn=a12+a22+^+an2，求Sn?12、已知f(x)=3x2-2x,數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(nGN*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上.(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；-5-一曜，一一一上_,、、，，一,一(2)設(shè)b:訴3，'是數(shù)列｛-｝的前n項(xiàng)和，求使得二<與對(duì)所有n￡N*都成立的最小正整數(shù)m.13、已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的nGN*,點(diǎn)(n,Sn)恒在函數(shù)y=/3+'x的圖象上.(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；值才“就1⑵記Trf一,若對(duì)于一切的正整數(shù)n,總有T/m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；問(wèn)是否存在正整數(shù)n,t,使⑶設(shè)Kn為數(shù)列｛bn｝的前n問(wèn)是否存在正整數(shù)n,t,使]<奈成立？若存在，求出正整數(shù)n,t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.14、已知等差數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，且Sn=/%++…+,S2=,S3=設(shè)岡表示不大于X的最大整數(shù)(如[2.10]=2,[0.9]=0).(1)試求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；⑵求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log?(2%-1)]+Hog2()]關(guān)于n的表達(dá)式.15、已知數(shù)列｛an｝中，a1=3,a2=5,其前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn+Sn_2=2Sn_1+2n-i(n>3,n￡N*)(1)試求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式1⑵令bn=瘋不,'是數(shù)列｛-｝的前n項(xiàng)和?證明：對(duì)任意給定的me(0,2)，均存在n0￡N*,使得當(dāng)n>n0時(shí)，Tn>m恒成立.16、已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=2an-3(-1)n(n￡N*).(1)若bn=a2n-1，求證：bn+1=4bn；⑵求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；⑶若aj2a2+3a3+…+nan>入?2n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.17、已知等差數(shù)列｛an｝,a2=8,前9項(xiàng)和為153.(1)求a5和an；⑵若公=平，證明數(shù)列與｝為等比數(shù)列；18、一列火車從重慶駛往北京，沿途有n個(gè)車站(包括起點(diǎn)站重慶和終點(diǎn)站北京).車上有一郵政車廂,每停靠一站便要卸下火車已經(jīng)過(guò)的各站發(fā)往該站的郵袋各1個(gè),同時(shí)又要裝上該站發(fā)往以后各站的郵袋各1個(gè)，設(shè)從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車廂內(nèi)共有郵袋ak個(gè)(k=1,2,…，n).⑴求數(shù)列｛ak｝的通項(xiàng)公式；k⑵當(dāng)k為何值時(shí)，ak的值最大，求出ak的最大值.19、已知白.是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(I)求｛an｝的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列｛不｝的前n項(xiàng)和.20、數(shù)列｛an｝滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n￡N*.(工)證明：數(shù)列｛詈｝是等差數(shù)列；(口)設(shè)b/3n?廚求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和S”.

21、已知數(shù)列"｝滿足a『l,an+1=0月.（工）求證：an/、；（n）求證：<an<.22、已知數(shù)列"｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=l,且叫十產(chǎn)口（n￡N*）,數(shù)列｛bj滿足b『4,b2=,對(duì)任意n￡N+,都有bn+jubjbn+z（I）求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項(xiàng)公式;4一兒（II）設(shè)｛a*/的前n項(xiàng)和為T”，若二>「廠對(duì)任意的n￡N+恒成立，求人得取值范圍.23、已知數(shù)列｛an｝是非常值數(shù)列，且滿足an+2=2an+1-an（n￡N*）,其前n項(xiàng)和為sn,若s5=70,a2，a7，a22成等比數(shù)列.（I）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列｛9｝的前n項(xiàng)和為二,求證：24、數(shù)列｛a/中，即=4一斯一橐.（工）求a1,a2,a3,a4；（口）猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.25、設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1=a,an+1=can+1-c（n￡N*）,其中a,c為實(shí)數(shù)，且80.（工）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；y2）是函數(shù)f工的圖象上的任意兩（口）設(shè)曰二=&=（1一％又￡M）,求數(shù)列｛bjy2）是函數(shù)f工的圖象上的任意兩26、已知A（X]點(diǎn)（可以重合），點(diǎn)M在直線x=[上，且而=（工）求xjx2的值及y1+y2的值（口）已知S『0,當(dāng)42時(shí)，Sn=/（^）+++…+,求Sn；（HI）在（口）的條件下，設(shè)a/盧，'為數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和，若存在正整數(shù)c、m,使得不等式音畛成立，求C和m的值.答案解析部分一、綜合題1、【答案】⑴證明：.「a「2,」.a1+4=2,;an+1=2an+4,aan+1+4=2an+8=2(an+4),「?｛an+4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由上知=J.4=2同一4.凡=—[2乂21+3乂2]+4乂下+…+W+1)乂,①現(xiàn)二一—2立十3在十八片十…十色十＞2向],②②一①得：勾=2/2.展+展+2二+…+7：-5+1)m2M…可/L(eh=2+2n+1-2-(n+1)x2n+1=-n*2n+1.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】(1)利用已知條件轉(zhuǎn)化求解數(shù)列｛an+4｝是等比數(shù)列，然后求出｛an｝通項(xiàng)公式.(2)化簡(jiǎn)數(shù)列通項(xiàng)公式bn,利用錯(cuò)位相減法求和求解即可.2、【答案】(1)解：設(shè)數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，｛bn｝是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，由a1=b1=1,b2-a3=2b3,a3-2b2=-1,可得q-(1+2d)=2q2,1+2d-2q=-1,解得d=-g'q=’可得(n-1)d=l-—(n-1)=(3-n)；bn=b1qn-i=(—)n-i,nGN*1(2)解：c/an+bn=-(3-n)+()n-i,可得數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和S/n(1+

—r>2+—n-+244【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，｛bn｝是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；⑵求出cn=an+bn=(3-n)+()n-i,運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．■3、【答案】(1)證明：a『3,an=-anT+1(n>2),an-2=(a0「2),1則數(shù)列0-2｝為首項(xiàng)為1,公比為工的等比數(shù)列1(2)解：(由(1)可得a0-2=(耳)「1,即為a/2+()n-ia1=b2=3，2a3+a2=b4=2(2+1)+2+=7,可得等差數(shù)列｛bj可得等差數(shù)列｛bj的公差d=7-3=2,4-2則bn=b2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1(3)證明：數(shù)列｛ajb”｝的前n項(xiàng)和為Tn，ajb;[2+((3)證明：數(shù)列｛ajb”｝的前n項(xiàng)和為Tn，ajb;[2+(-)n-i](2n-1)=2(2n-1)2+(2n-1))2+…+(2n-1)?()n-1()+3?()2+5-()3+…+(2n-1)?()n相減可得,1—Sn=l+2[()+()2+()相減可得,1—Sn=l+2[()+()2+()3+...+()n-1]-(2n-1)?()n4再+62M'化簡(jiǎn)可得S:6-4用十6=2^+6-4、【答案】⑴解：河=口1%,當(dāng)42時(shí),,兩式相減得:貝1JT:2?gn(l+2n-1)+6-【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【解析】【分析】（1）an=弓a”的兩邊減2,再由等比數(shù)列的定義即可得證；（2）運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到；（3）求得ajbn=[2+（[）n-i]（2n分組求和和錯(cuò)位相減-1)=2(2n-1)+(2n-1)?(^)n-i,再由數(shù)列的求和方法:法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．分組求和和錯(cuò)位相減所以數(shù)列｛an｝為以1所以數(shù)列｛an｝為以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為an=n，n￡N*⑵解：+用,+色+%+...+%:7-...——6，[設(shè)+2y一%1+4—5所以心產(chǎn)…)(a/ap-l)=0._an-i=1，因?yàn)閿?shù)列｛an｝為正項(xiàng)數(shù)列，故an+an1_an-i=1，任意正整數(shù)n,都有4?；成立故彳二2故彳二2一事，所以不等式成立,若n為偶數(shù)，貝ij（―2廣義42—最―尸，所以z>-2x+十1設(shè)#=e￡（0'：］，則y—2t+t2+l=（t-1）2在單調(diào)遞減，故當(dāng)上二;時(shí)，，所以；若n為奇數(shù),則2府/工2-捺一戶，所以-1.設(shè)仁白五口」］，則y=2t-t2-l=-（t-1）2在（0,1］單調(diào)遞增，故當(dāng)t=1時(shí)，ymax=0,所以入<0..1綜上所述，入的取值范圍入<0或4【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式1【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式，（2）［方=］1L（葉寸<份加冉=--，利用放縮法即可證明’（3）先利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列⑷的前n項(xiàng)和為、，不等式（-2）n-iX<Tn+爭(zhēng)-2「i成立，轉(zhuǎn)化為（—2）十一成立，分n為偶數(shù)和奇數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)人的取值范圍…、、行、..12,1,口5、【答案】（1）解：當(dāng)n=l時(shí)，研二國(guó)二3巧+/得a『l；得a2=2,西+與+為=國(guó)=：里、+；,得83=3,猜想an=n

(2)解：證明：(i)當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立，(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，(2)解：證明：(i)當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立，(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=k,1nk+1'1aC產(chǎn)7+三七%十升整理得：口：+1—2%.]-”+1=0,即凡+廣(k+1)][ak+1+(k-1)]=0,結(jié)合an>0,解得ak+1=k+1,于是對(duì)于一切的自然數(shù)n￡N*,都有an=n【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法【解析】【分析】(1)利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列a1，a2，a3的值，猜想｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，逐步證明即可.6、【答案】(1)解：由an=Sn_1,①，得：an+1=Sn,②②-①得：a。--80二，-Sn-1=an，即an+1=2an，(能2且n￡N*),丁a2=S1=a1=5，故數(shù)列從第二項(xiàng)起，各項(xiàng)成等比數(shù)列且公比為2.$年=日/1=&2馬，n￡N*故數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式為外=，5:ii=1&一汽之工且heN一(2)解：當(dāng)n=l時(shí)，a『故數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式為外=，5:ii=1&一汽之工且heN一二十二乂二十二乂113(3)證明：當(dāng)n=l時(shí)，一=二匚二，成立，當(dāng)42且n￡N*時(shí)【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合【解析】【分析】(1)由an=Sn_1,得an+1=2an,(n>2且n￡N*),由此能求出Sn.(2)當(dāng)n=l時(shí)，a『5,當(dāng)42,且n￡N*時(shí)，新二口丁"一=5?2”2.由此能求出數(shù)列｛a.的通項(xiàng)公式.(3)當(dāng)n=l時(shí)，卷=,成立，當(dāng)心2且n￡N*時(shí)，：1+晨。+3+4+”?++)由此能證明高+++“?+奈<.7、【答案】(1)解：;各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，S4=30，過(guò)點(diǎn)P(n,10g2an)和Q(n+2,10g2an+1)(n￡N*)的直線的一個(gè)方向向量為(-1,-1),.?一一1口知口無(wú)/二T,n+2—n—1解得因=且，q=4,

.對(duì)于任意n￡N*,都有二＜;【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】(1)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及直線的方向向量性質(zhì)列出方程組，由此能求出首項(xiàng)和公比,(■產(chǎn)I-從而能求出數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式.),利用裂項(xiàng)法能證明對(duì)于任意n￡N*此能求出首項(xiàng)和公比,(■產(chǎn)I-從而能求出數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式.),利用裂項(xiàng)法能證明對(duì)于任意n￡N*8、【答案】⑴證明：二.函數(shù)/(工)二刀丁丁(2)由b=n3-4

<nT有Rr者數(shù)列a｝滿足1111——=3,—=1Gn%」?數(shù)列｛—｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列(2)解：二?數(shù)列｛一｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，=l+(n-l)x3=3n-2,an

+.??++.??+【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】(1)由已知利用函數(shù)性質(zhì)得6什1=/(公=^^，從而3=若一=3+W：由此能證明數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列.(2)由^=l+(n-l)x3=3n-2,能求出a”?(3)a/.『橐M若%=(),利用裂項(xiàng)求和法能求出sn.9、【答案】(1)解：:a『l,對(duì)任意的n￡N*,有2S『2pan2+pan-p2a1=2pa12+pa1-p,即2=2p+p-p,解得p=l(2)解：2S=2a2+a-1,①2S=2a2+a「1,(n>2),②/J1nnnn_1n_1n_1①-②即得(a-a-g)(a+a)=0,?nn_1?nn_1因?yàn)閍n+an產(chǎn)°，所以an-an1"K=0>fw+rr篦+1題二十3相(3)解：2Sn=2an2+an-l=2x+,/.S;,?-4二號(hào)；Jn2n+3T=1x21+2x22+...+n?2n③又2T;1x22+2x23+..?+(n-1)?2n+n2n+i④(4)-(3)Tn=-lx2i-(22+23+...+2n)+n2n+i=(n-1)2n+i+2??T=(n-1)2n+i+2n【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】(1)根據(jù)對(duì)任意的n￡N*,有ZS:Zpa,+pan-p,令n=l,解方程即可求得結(jié)果；(2)由2Sn=2an2+,-1,知2S“『2a"j+a”「1,(n>2),所以甩-為

r1）（an+anp=0,由此能求出數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.（3）根據(jù)為二屋?2n求出數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.10、【答案】（1）解：:2an=an+1+an1（nN,n￡2）,「?｛an｝是等差數(shù)列.2k+1Abn+l-an+2k+1Abn+l-an+l?小口?小口L1，乂工??叱-3”｝是以用一^為首項(xiàng)，以1彳為公比的等比數(shù)列.*（2）證明：*（2）證明：bn-an=（bT-（）?（；）…，又bi<0，\_'_1>0?:｛bn｝是單調(diào)遞增數(shù)列.

「?b1e（-47,-11）【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】（1）由已知得｛aj是等差數(shù)列，/=4十（n一1>3=于,1jgJ.1bn+l-an+l=3^1+-?由此能證明與-a”｝是以為首項(xiàng)，以/公比的等比數(shù)列.⑵由％=（比一好代「十午.得當(dāng)42時(shí)，bn-bn1=1.由此能證明｛bj1.由此能證明｛bj是單調(diào)遞增數(shù)歹U.（3）由已知得由此能求出b1的取值范圍.11、【答案】（1）解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a3?a5?a7=a53=512,解之得8a5=8.設(shè)數(shù)列｛aj的公比為q,則83=/,a7=8q2,8由題設(shè)可得(T-1)+(8q2-9)=2(8-3)=104解之得q2=2或-.??風(fēng)｝是遞增數(shù)列，可得q>l,，q2=2,得q=息.因止匕35=3門4=431=8,解得a1=2（2）解：由（1）得｛aj的通項(xiàng)公式為an=ajqn-i=2x（a）=，,,an2=[|&]]2=2n+l,可得｛an2｝是以4為首項(xiàng)，公比等于2的等比數(shù)列.14（1-2^]因止匕Sn=a12+a22+...+an2=—：=2n+2-4【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a53=512,解出a5=8.設(shè)公比為q,得83=奈且a7=8q2,由等差中項(xiàng)的定義建立關(guān)于q的方程，解出q的值，進(jìn)

]2=2n+lSn)(力)而可得"｝的首項(xiàng)；⑵由⑴得a:ajqn-i：(在廣，從而得到8]2=2n+lSn)(力)12、【答案】⑴解：:f(x)=3x2-2x,數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n均在函數(shù)y=f(x)的圖像上，%=3獷—2n，當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn-Sn1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3-2=1,滿足上式，:an=6n-5,n￡N*布]7J2「?使得砧對(duì)所有n￡N*都成立的最小正整數(shù)m必須且僅須滿足,即m>10,「?滿足要求的最小整數(shù)m=10【考點(diǎn)】數(shù)列的求和【解析X分析](1)由已知條件推導(dǎo)出“二加一%,由此能求出ar6n-5,n￡N*.(2)r,3§——….由月一事31=51~5[6什1)='利用衣項(xiàng)求和法求出T;1-1_而用，由此能求出滿足要求的最小整數(shù)m=10.13、【答案】⑴解：由已知，得當(dāng)=孤+”當(dāng)值2時(shí),an=Sn-Sn1=多0+\”片1)+號(hào)(M—訃3n當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3.:an=3nI力鏟『9而H)9疝什1柏葉二)9疝升1)9(葉寅.“)(2)斛：0丁.「丁產(chǎn)———^―=^—?.■一一-1當(dāng)n=1時(shí)，Tn+1>Tn，即T2>T1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn+1=Tn，即T3=T2；當(dāng)n>3時(shí)，Tn+1<Tn，即Tn<Tn-1<…<T4<T3｛Tj中的最大值為丁2=4二H，要使T4m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需字5m

當(dāng)n=1,2時(shí)，Tn+/Tn；當(dāng)n>3時(shí)，n+2<2nan+1VTn，n=l時(shí)，T『9；n=2,3時(shí)，？3=73=母能4時(shí)，Tn<T3「J中的最大值為72=4二4，要使T4m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需尋三制「?⑶解：瓦二產(chǎn)二用=￡=扁二華空奇設(shè)—1）若t=l時(shí)，若t=l時(shí)，笈出;一比［1<需'化簡(jiǎn)得，《早，顯然n=l時(shí)成立;若t>l時(shí)，（AM+0（*）式化簡(jiǎn)為不可能成立心—聞1綜上，存在正整數(shù)n=l,t=l使度二％：］<杰成立【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的綜合恒成立，【解析】【分析】（1）利用an=Sn-Sn_1求解；（2）要使Tn<m對(duì)于一切的正整數(shù)n只需m>{Tn}中的最大值即可；（3）求解有關(guān)正整數(shù)n的不等式.恒成立，11114、【答案】⑴解：Sn=—++…+=-：（--）,TOC\o"1-5"\h\z?-1(1-1)=1(-)=,d-flLa-S「?a1=1,d=1,?;an=n(2)解：T=[log2l]+[log22]+[log23]+...+[log2(2^-D]+[log2()]=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2(2n-1)]+[log2(2n)]=呵1]=0,[log22]=[log23]=1,[log22m]=[log2(m+1)]=...=[log2(m+1-1)]=m.

[log2l]+[log22]+[log23]+...+[log2(2n-1)]+[log2(2n)]=0+1x2+2x22+...+(n-1)?2n-i+n,由S=1x2+2x22+...+(n-1)*2n-i,則2s=1x22+2x23+...+(n-1)?2n,Tl2_q.lI-S=lx2+lx224-...+2n-1-(n-1)*2n=—L--(n-1)*2n,1-2S=(2-n)*2n-2T=(2-n)?2n_2+n【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用【解析】【分析】(1)利用裂項(xiàng)法求和，結(jié)合$2=寫，S3=,即可求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)；(2)先化簡(jiǎn)，再利用錯(cuò)位相減法，即可得出結(jié)論.TOC\o"1-5"\h\z15、【答案】⑴解：由Sn+Sn2=2Sn]+2n-i(n>3,nGN*),整理得：=Sr-Sn2+2n-l,."『a…=2n-i,ipan-an1=2n-i,n>3,「a2-a『2,34-33=23,an-an_l=2nl，將上式累加整理得：an-a1=2+4+23+...+2n-i,戶ja=_+3=2n+l,n1-2數(shù)列同｝的通項(xiàng)公式an=2n+l；(2)證明：(2)證明：bn===22"+l數(shù)列叱｝的前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+b3+...+bn,)]，丁+()]，2-wL+1)'2HTn+l-T;(「a附？+1]>0,??、隨著n的增大而增大,

11l-6m若<Am,貝IJ3(-嚴(yán)4)>m,化簡(jiǎn)整理得：-^―>me(0,i),...1-6m>0,,,2n+l>----1,1—Dmn>log2(31當(dāng)log2(]_色叨-1)-1<1時(shí)，即當(dāng)log2(當(dāng)log2當(dāng)log2(11、-121時(shí)，解得：—<m<—,記log(15u-1）-1的整數(shù)部分為p，取n0=p+1即可，1一綜上可知，對(duì)任意m￡（0,-）,均存在n0￡N*,使得當(dāng)成與時(shí)，<Am恒成立【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】（1）由題意可知Sn-Sn_1=Sn_1-Sn_2+2n-i,即an-an_1=2n-i,n>3,采用“累加法〃即可求得數(shù)列"｝的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，bn=瘋不==W（丸-不比），采用“裂項(xiàng)法〃即可求得數(shù)列｛燈｝的前n項(xiàng)和二,由函數(shù)的單3調(diào)性可知，二隨著n的增大而增大，分離參數(shù)n>log2（下赤-1）-1,分類Iog2（-1）-1<1及1第2（下臺(tái)-1）-1"時(shí)，求得m的取值范圍，求得n0的值，即可證明存在n0￡N*,使得當(dāng)n>n0時(shí)，Tn>m恒成立.16、【答案】（1）解：如胃7%記-1=?叼用-3|11廣一1-1=2與府］+2=4%-6（-1廣+氏缶%-*也（2）解：a2=2a1-3（-1）=5,b『a2-1=4,因?yàn)閎n+1=4bn所以攀=4,所以⑷是等比數(shù)列，所以b:4n=a2nl,時(shí)才十1=產(chǎn)+1,叼戶*+3=2%1,所以外一；然，即"二f」『灑偶教…r?1八H(3)解：由(2)^=n-2+(-11-n,S=a-7a.-3a.一…一加，=(11」).(工T-2)----(?T-f-lf^=(1-2'-2T+--.nT}-(-l-2-J--+(-：J-nJ令S=l*2i+2*22+...+n*2n、7_2J3+1則2s=l?22+2?23+...+(n-1)?2n+n?2n+i-S"=P十2"H—H-w-2'--1=-2'1*1,1-2S=(n-1)?2n+i+2__「f喋i口n為奇數(shù)時(shí)，—3hH-l)-w=,2n為偶數(shù)時(shí)，T=A.+2—3H1-1-1-n=—、’2J/JI1所以n為奇數(shù)時(shí)S.=5+T=("l)-2向+2——〉/丁，L即火+恒成立，X"X易證2(ml)+三遞增，n=l時(shí)取最小值：，2?22.J1所以/＜不門為偶數(shù)時(shí)，XS,=S^T=I??-1)-2n+1+2+-＞A2n,J.即上＜2(『I)+誓，X-X一,n4+k11易證25-1)+^?遞增，n=2時(shí)取最小值一，2-24

所以>■<所以>■<11綜上可得【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式即可證明，（2）先求出數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式，再分類求出｛an｝的通項(xiàng)公式，（3）令S=*2i+2O2+…+x2n根據(jù)錯(cuò)位相減法求出Sn，分離參數(shù)，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征即可求出入的取值范圍.“、【答案】（1）設(shè)數(shù)列凡｝的公差為d,首項(xiàng)%,則=Li%：(2)」?數(shù)列｛bj是首項(xiàng)為(2)」?數(shù)列｛bj是首項(xiàng)為32,公比為8的等比數(shù)列【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差關(guān)系的確定【解析】知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等比關(guān)系的確定解析【分析】（1）根據(jù)前9項(xiàng)和為153和第五項(xiàng)是前9項(xiàng)的等差中項(xiàng)，得到第五項(xiàng)的值，根據(jù)第二項(xiàng)和第五項(xiàng)的值列出方程求得首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式．（2）要證明數(shù)列是等比數(shù)列，只要相鄰兩項(xiàng)之比是常數(shù)即可，兩項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)得到結(jié)論．18、【答案】（1）解：a1=n-1,考察相鄰兩站ak,ak_1之間的關(guān)系，由題意知a=八1一（k-1）+（n-k）,，k-「1=（n+1）-2k（k>2）.依次讓k取2,3,4,…，k得k-1個(gè)等式，將這k-1個(gè)等式相加，得=nk-k2（n,k￡N+，l<k<n）.k,、回「wYyT（2）斛：%——Jc——十,,日—必一1，dk取得最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取1<=,日—必一1，dk取得最大值,，…一r麟一1一當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取k=——或1【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性

【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用.二、解答題又｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2,a419、【答案】解：（I）由X2-5x+6=0,解得x=2又｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2,a4??a2=2，a4=3.?二a1+d=2,a1+3d=3,(n-1)=(n-1)=【考點(diǎn)】數(shù)列的求和【解析】【分析】（I）由x2-5x+6=0,解得x=2,3.又｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.可得a?=2,a4=3.再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.（II）等/冬+1,

/冬+1,

8+ln20、【答案】證明（工）:nan+1=（n+1）an+n（n+1）s±L*i,彩十1JT

數(shù)列｛4｝是以［為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列;n(II)由(工)知,—=1+(?-1)*1=?,--jFa!bn=3n*=n?3n,S:.=1*3+2H荏一ll?3n-i+n*3n(l)3S,=1m3++2丈3’+3M-lI?3n+n?3n+l②①-②得一2$月二三十土-3’Hh3n-n*3n+l$30.13-1=—31-2也向3=■J——2???【考點(diǎn)】等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和1冊(cè)【解析】【分析】（I）將nan+1=（n+l）an+n（n+l）的兩邊同除以n（n+1）得前二萬(wàn)'+1,由等差數(shù)列的定義得證.（口）由（工）求出b/3n?標(biāo)=n?3n,利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列｛斗｝的前n項(xiàng)和Sn.21、【答案】解:21、【答案】解:（I）證明：由an+1=得*。，（生N）,一%一an=<^<0,an=n+l<'an；（口）證明：由（工）知。<\<1,又隔『壬（口）證明：由（工）知。<\<1,又隔『壬P，1;5>若+1一即a.而a而a=1綜上得或rwa/【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合【解析】【分析】（］）由a0>0,則做差a.-a『石黃一a『石第<。，即可證明與式』（口）由8向>打,an>3/（』（口）由8向>打,an>3/（)2an_1>.>()2a*()n-ia1=1_j_,11一E~、…一”千，則a”？不互.由詬J-^=an,米用“累加法〃即可求得卞廠=5數(shù)，即可求得<an<>3-()n-2=22、【答案】解：（工）:nan+1=2Sn(n-1)an=2Sn](n22),兩式相減得，nan+1-(n-1)an=2an,八口r%什1,八nan+1=(n+1)an,即=(n>2),又因?yàn)閍又因?yàn)閍T=l,a2=2,a從而工=2,23nan=lxyx—x...x=n(n>2),故數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=n(n￡N*).在數(shù)列｛斗｝中，由*124rl?%2，知數(shù)列甩｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為」?數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式bn=4—A一「^對(duì)任意的n￡N+」?數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式bn=4—A一「^對(duì)任意的n￡N+恒成立，人〉對(duì)任意的n￡N+恒成立,Tn><0,則f(n)在[1,+8)上單調(diào)遞減，f(n)＜f(1)=3恒成立，則入＞3滿足條件.綜上所述，實(shí)數(shù)人的取值范圍是(3,+8)【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，數(shù)列與不等式的綜合【解析】【分析】(])利用nan+1=2Sn,再寫一式，兩式相減，再疊乘，即可求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；在等比數(shù)列-｝滿足b『b2=,公比為，由此可得數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公什二式；(口)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，再將不等式轉(zhuǎn)化為人＞中對(duì)任意的n￡N+恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可確定實(shí)數(shù)人的取值范圍.

23、【答案】解：（I）因?yàn)閿?shù)列滿足an+2=2an+1-an（n￡N*）,所以｛an｝是等差數(shù)列且s5=70,「?5al+10d=70.①a2，a7,%成等比數(shù)列，「?虜二姆3,即（口i+血］=（口］_+d）（口］_+三以）?②由①，②解得a『6,d=4