第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1?等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的計(jì)算;2?等差數(shù)列前n項(xiàng)和及性質(zhì)的應(yīng)用；3?等差數(shù)列的判定與證明.突破點(diǎn)(一)等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的計(jì)算基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”等差數(shù)列的有關(guān)概念定義:等差中項(xiàng)：等差數(shù)列的有關(guān)公式通項(xiàng)公式：an=前n項(xiàng)和公式：Sn=等差數(shù)列的常用性質(zhì)通項(xiàng)公式的推廣：a”=a””+(n_m)d(n,m^N*).若｛an｝為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k,l,m,n^N*)，貝0ak+a=am+an?若｛a”｝是等差數(shù)列，公差為d則｛a2n｝也是等差數(shù)列，公差為2d.若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d則ak，ak+m，ak+2m，…(k,m^N*)是公差為md的等差數(shù)列.⑸若數(shù)列｛an｝，｛巧｝是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛pa,,｛an+p｝，｛pan+qbn｝都是等差數(shù)列pq都是常數(shù))，且公差分別為pd1，d],pd]+qd2?考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算[例1](1)(2016?東北師大附中摸底考試)在等差數(shù)列｛a/中，a1+?5=10,a4=7,貝9數(shù)列｛a”｝的公差為()TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.4(2)(2016?臺(tái)州調(diào)研)已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，若S3=6,a1=4，則公差d等于()

A.1C.—2D.3考點(diǎn)二D.3［例2］(1)在等差數(shù)列S”｝中，a3+a9=27—a6，Sn表示數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和，則S11=()A.18B.99C.198D.297⑵已知｛a”｝,｛即都是等差數(shù)列，若?1+^10=9,a3+b8=15，則a5+b6=.能力練通C?3錢(qián)1?［考點(diǎn)一］《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等.問(wèn)各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”(“錢(qián)”是古代的一種重量單位)這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為C?3錢(qián)2?［考點(diǎn)一］設(shè)Sn為等差數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和，若a1=1，公差d=2，￡”書(shū)一S”=36，則n=(A.5B.6C.7D.83?［考點(diǎn)二］已知數(shù)列｛a”｝為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=n，則cos(a2+a12)的值為()33小1,1A?2B.—2C?2D.—24?［考點(diǎn)一］(2016?江蘇高考)已知｛a”｝是等差數(shù)列，S”是其前n項(xiàng)和?若a1+?2=—3，S5=10，則a9的值是.5?［考點(diǎn)二］設(shè)等差數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為S”，已知前6項(xiàng)和為36,最后6項(xiàng)的和為180,S”=324(n>6)，求數(shù)列｛a”｝的項(xiàng)數(shù)及a9+a10?

突破點(diǎn)(二)等差數(shù)列前n項(xiàng)和及性質(zhì)的應(yīng)用基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m—S2m，???(mEN*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.S2?-1=(2n_1)a?，S2n="(叫+%尸n(an+an+)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2時(shí)，S偶一S奇=皿；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí)，S奇一S偶=仇中，S奇：S偶=“：(“一1).偶奇奇偶中奇偶｛a”｝,｛即均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn，人，則才=爭(zhēng)1?bnT2n-1⑸若｛an｝是等差數(shù)列，則｛予｝也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與｛an｝的首項(xiàng)相同，公差是｛an｝的公差的2?考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”考點(diǎn)一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)［例1］已知｛an｝為等差數(shù)列，若a1+a2+a3=5，a7+a8+a9=10，則a19+a20+a21=.考點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值［例2］等差數(shù)列｛a”｝的首項(xiàng)叫＞0,設(shè)其前n項(xiàng)和為S”，且S5=S12,則當(dāng)n為何值時(shí)，Sn有最大值?n1n512n能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1?［考點(diǎn)二］在等差數(shù)列｛an｝中，氣=29,S10=S20，貝0數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn的最大值為(AS15B.S16C.S15或S16D.S172?［考點(diǎn)二］設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，(n+1)SnVnS(nGN*).若』＜一1,則(a7A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.sn的最大值是s7D.sn的最小值是s73?［考點(diǎn)一］已知等差數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為S”，且S10=10,S20=30，則S30=.

TOC\o"1-5"\h\z4?［考點(diǎn)一］已知兩個(gè)等差數(shù)列S”｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且Bn='7n^35，貝y使得fn為整數(shù)nn的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是.5?［考點(diǎn)一］一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32:27,則該數(shù)列的公差d=.突破點(diǎn)（三）等差數(shù)列的判定與證明基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于數(shù)列｛fn｝，?n_an-1（n^2,n^N*）為同一常數(shù)O｛f”｝是等差數(shù)列解答題中的證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an1=an+an2（nN3，n^N*）成立o｛f”｝是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法a=pn+q（p，q為常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)n都成立o｛“n｝是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證S=An2+Bn（A，B是常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)n都成立o｛a”｝是等差數(shù)列考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“袖”考點(diǎn)等差數(shù)列的判定與證明

［典例】已知數(shù)列S”｝的前n項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足：叫+2昭―円⑺曲，n^N*）,?1=|,判斷｛即是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明你的理由.能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1?若｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，則｛a2n_i+2a2n｝是（）公差為3的等差數(shù)列公差為4的等差數(shù)列公差為6的等差數(shù)列公差為9的等差數(shù)列已知數(shù)列｛a^中，a=2,“”=2—嚴(yán)（"$2,n^N*）,設(shè)土（n^N*）.求證：數(shù)列｛b^是等n—1n差數(shù)列.3.已知公差大于零的等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足a3?a4=117,a2+a5=22?（1）求數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列｛bn｝滿(mǎn)足bn=n+c，是否存在非零實(shí)數(shù)c使得｛bn｝為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)］重點(diǎn)保分課時(shí)一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考［練基礎(chǔ)小題一強(qiáng)化運(yùn)算能力］TOC\o"1-5"\h\z1.（2017?溫州十校聯(lián)考）等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2,S3=12，則a5等于（）A.8B.10""C.12D.142?在等差數(shù)列｛an｝中，a1=0，公差dH0,若am=a1+a2+a9，則m的值為（）A.37B.36C.20D.193.（2017?杭州模擬）已知遞增的等差數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1,“3="2—4?則數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式為（）A.a=2n—1B.a=—2n+3nnC.an=2n—1或—2n+3D.an=2n4?設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=—11,a3+a7=—6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于（）CC.180D.121AA.9B.8TOC\o"1-5"\h\zC.7D.65已知等差數(shù)列S”｝中，a^0,若nM2且an_1+an+1—a2=0,*^2?_1=38，則n等于［練常考題點(diǎn)驗(yàn)高考能力］一、選擇題（2017?金華模擬）在等差數(shù)列｛a^中，如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=（）A.95B.100C.135D.80（2017?臨安中學(xué)高三月考）已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為3,｛即為等差數(shù)列，且力n=an+1—an（nEN*）,若b3=—2,b2=12，則a8=()A.0B.—109C.—181D.1213.在等差數(shù)列｛an｝中，a3+a5+a11+a17=4,且其前n項(xiàng)和為Sn，則S17為()A.20B.17C.42D.84設(shè)等差數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為S”，且a1>0，a3+a10>0,a6a7V0,貝9滿(mǎn)足S”>0的最大自然數(shù)n的值為（）A.6B.7C.12D.13設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若務(wù)為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列｛an｝為''吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列｛bn｝的首2n項(xiàng)為1,公差不為0,若數(shù)列｛bn｝為“吉祥數(shù)列”，貝U數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為（）A.b=n—1B.b=2n—1nnC.b=n+1D.b=2n+1nns6.設(shè)等差數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a】=1,an>0（nEN*）,其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列⑴瓦｝也為等差數(shù)列，則擊的最大值是（）A.310B.212

二、填空題TOC\o"1-5"\h\z7.（2017?金華十校聯(lián)考）等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為￡”，若a=\,S=a3，貝卩a=；S=8?若等差數(shù)列｛a”｝的前17項(xiàng)和S17=51，則ag—a7+a9—a11+a13等于.19?在等差數(shù)列｛a”｝中，?9=2?12+6,貝0數(shù)列｛an｝的前11項(xiàng)和尙等于?（2017?浙江五校聯(lián)考）已知等差數(shù)列｛a”｝的公差dH0,且a1,a3,a13成等比數(shù)列，若a1=1,S”為數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和，則2J*6的最小值為?n三、解答題已知數(shù)列｛a”｝滿(mǎn)足a1=1，a”=2："*］（”罰*,”M2），數(shù)列｛b”｝滿(mǎn)足關(guān)系式〃”=右（”罰*）.（1）求證：數(shù)列｛b“｝為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.12?已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足Za^naH+a^GEN*），它的前”項(xiàng)和為S”，且a3=10，S6=72，若b”=2a”—30，設(shè)數(shù)列｛b”｝的前”項(xiàng)和為！”，求T”的最小值.第二節(jié)等差數(shù)列及其前”項(xiàng)和本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1?等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的計(jì)算;2?等差數(shù)列前n項(xiàng)和及性質(zhì)的應(yīng)用；3?等差數(shù)列的判定與證明.突破點(diǎn)(一)等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的計(jì)算基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”等差數(shù)列的有關(guān)概念定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號(hào)表示為an-af=d(n^N*,d為常數(shù)).等差中項(xiàng)：數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A=字，其中A叫做a,b的等差中項(xiàng).等差數(shù)列的有關(guān)公式通項(xiàng)公式：ar=a1+(n—V)d.前n項(xiàng)和公式：Sn=na]+n(n—巧』"1嚴(yán)).等差數(shù)列的常用性質(zhì)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n—m)d(n,m^N*).若｛a”｝為等差數(shù)列，且A+Z=m+n(￡,l,m,n^N*)，貝0a&+a=am+a”?若｛a”｝是等差數(shù)列，公差為d,貝0｛a2n｝也是等差數(shù)列，公差為2d.若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則ak，ak+m，ak+2m，…(k,m^N*)是公差為md的等差數(shù)列.⑸若數(shù)列｛an｝,｛b”｝是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛pan｝,｛a”+p｝,｛pan+qbn｝都是等差數(shù)列(p,q都是常數(shù))，且公差分別為pd1，d],pd]+qd2?考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“袖”考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算[例1](1)(2016?東北師大附中摸底考試)在等差數(shù)列｛an｝中，a1+a5=10,a4=7,貝懺列｛a”｝的公差為()TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.4⑵(2016?臺(tái)州調(diào)研)已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，若S3=6,a1=4，則公差d等于()A.1B.5C.—2D.3［解析］(1)Va1+a5=2a3=10,.??“3=5,則公差d=a4—a3=2,故選B.⑵由S尸警鼻6,且“］=4,得a3=0,a—a則d=弓二孑=一2，故選C.［答案］(1)B(2)C［方法技巧］「—…工"等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法一-…一一…-…一一……一"…一…-…一"…一…-"…一…一…-…一…一…-…|(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)叫和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程||(組)求解.TOC\o"1-5"\h\z|(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量氣，陽(yáng)，d,n,耳，知其中三個(gè)就能求另外兩||個(gè)，體現(xiàn)了方程的思想.||2.等差數(shù)列設(shè)項(xiàng)技巧|!若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三項(xiàng)為a—d，a，a+d；若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和［I為定值時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a—d，a+d,其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱(chēng)設(shè)元.|考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)［例2］(1)在等差數(shù)列｛a”｝中，a3+a9=27—a6，Sn表示數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和，則S11=()A.18B.99C.198D.297⑵已知｛an｝,｛〃”｝都是等差數(shù)列，若a1+A10=9,a3+〃8=15，則"5+b6=.［解析】(1)因?yàn)閍3+a9=27—a62a6=a3+a9,396,639所以3a6=27，所以a6=9,所以S11=11(a1+a11)=11a6=99.⑵因?yàn)椋鸻”｝,｛b”｝都是等差數(shù)列，所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6，所以2(a3+b8)=(a1+b1o)+(a5+b6)，即2X15=9+(a5+b6)，解得a5+b6=21?［答案］(1)B(2)21能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1?［考點(diǎn)一］《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等.問(wèn)各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”(“錢(qián)”是古

代的一種重量單位）這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為（）a?4錢(qián)b?3錢(qián)C?3錢(qián)解析:選D解析:選D設(shè)等差數(shù)列S”｝的首項(xiàng)為氣，公差為必依題意有＜2a1+d=3a1+9d,十5，解得a1=3，d=-64即甲得3錢(qián)，故選D.則n=()解得n=8?2?［考點(diǎn)一］設(shè)Sn為等差數(shù)列｛叫｝的前n項(xiàng)和，若a1=1,公差d=2,Sn則n=()解得n=8?A.5B.6C.7D.8解析：選D由題意知Sn+2—Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,A.3?［考點(diǎn)二］已知數(shù)列｛a”｝為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=n,則cos(a2+a12)的值為(邁3小1“1A.2B—2C?2D._21212=普，所以cos（a2解析：選D在等差數(shù)列｛an｝中，因?yàn)閍1+a7+a13=n,所以a7=3，所以a2+a+a12)=—2故選D.4?［考點(diǎn)一］（2016?江蘇高考）已知｛a”｝是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和?若a1+a2=—3,S5=10，則a9的值是?5X4解析：設(shè)等差數(shù)列｛a”｝的公差為d由S5=10，知S5=5a］+—廠〃=10，得a1+2d=2，即a1=2—2d.所以a2=a1+d=2—d，代入a1+a2=—3，化簡(jiǎn)得d2—6d+9=0，所以d=3，a1=—4?故a9=a1+8d=—4+24=20?答案：205?［考點(diǎn)二］設(shè)等差數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為S”，已知前6項(xiàng)和為36,最后6項(xiàng)的和為180,S”=324(n>6),求數(shù)列｛a”｝的項(xiàng)數(shù)及a9+a10?解：由題意知a1+a2+a6=36，①a+ai+a，+???+“_=180，②n”一1n—2n—5①+②得(氣+叫)*^?*“”—J(a6+a”—JuGC^+oJu216，.??a1+a”=36，n(a^+a)又S”=2”=324，???18”=324，???”=18????a1+a”=36,n=18，.*.a1+a18=36，

從而a9+a10=a1+a18=36.突破點(diǎn)(二)等差數(shù)列前n項(xiàng)和及性質(zhì)的應(yīng)用基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m—S2m，???(mEN*)也是等差數(shù)列，公差為mid.S2n-1=(2n_1)an，S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)-當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶一S奇=“必項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n-1時(shí)，S奇一S偶=。中，S奇：S偶=“：(〃一1).偶奇奇偶中奇偶｛a”｝,｛即均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn，人，則牛=爭(zhēng)1?bnT2n-1⑸若｛an｝是等差數(shù)列，則｛S］也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與｛an｝的首項(xiàng)相同，公差是｛a”｝的公差的±考點(diǎn)貫通抓高老命題的“形”與“神”考點(diǎn)一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)［例1］已知｛an｝為等差數(shù)列，若a1+a2+a3=5，a7+a8+a9=10,則a19+a20+a21=.［解析】法一：設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,則a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10，所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20?法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S3,S6-S3,S9-S6,…，S21-S18成等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列公差為D.所以5+2D=10，所以D=2?所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.［答案］20考點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值［例2］等差數(shù)列｛“”｝的首項(xiàng)叫>0,設(shè)其前n項(xiàng)和為S”，且S5=S12,則當(dāng)n為何值時(shí)，Sn有最大值?n1n512n懈］設(shè)等差數(shù)列｛a”｝的公差為d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,d=-1a1<0.n(n—1)”法一：Sn=na1+2d=叫+嚀l_8fl=叫+嚀l_8fl=-盒叫("2-17")=-蘇^-毋+貉,因?yàn)閍1>0,n^N*,所以當(dāng)n=8或n=9時(shí)，Sn有最大值.(aM0,(aM0,法二：設(shè)此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大，則\”一°Sn+iW0，va1+(n-i)^(-8ai)^0,(Ya)?g+n(nW9,nM8,8WnW9,又n^N*,所以當(dāng)n=8或n=9時(shí)，Sn有最大值.法三：由于法三：由于Sn=na+/(?二務(wù)+^］—2L，則函數(shù)y=f(x)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線,由S5=S12知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x="畀=￥(如圖所示)，由圖可知，當(dāng)1WnW8時(shí)，Sn單調(diào)遞增；當(dāng)心9時(shí)，Sn單調(diào)遞減.又nEN*，所以當(dāng)n=8或n=9時(shí)，Sn最大.［方法技巧］求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的三種方法函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn=ani+bn，通過(guò)配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方法求解.鄰項(xiàng)變號(hào)法：①a1>0,d①a1>0,d<0時(shí)，滿(mǎn)足,:Wo的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；、m+1②當(dāng)a1<0,d②當(dāng)a1<0,d>0時(shí)，滿(mǎn)足?m的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm

lam+1^0”m通項(xiàng)公式法：求使a”M0(a”W0)成立時(shí)最大的n值即可?一般地，等差數(shù)列｛a”｝中，若氣>0,且Sp=Sq(p^q)，則:若p+q為偶數(shù)，則當(dāng)n=^時(shí)，Sn最大；若p+q為奇數(shù)，則當(dāng)n=吐2—-或n=總土警丄時(shí)，Sn最大.能力練誦抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”能力練誦1?［考點(diǎn)二］在等差數(shù)列｛an｝中，氣=29,S10=S20，貝0數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn的最大值為()AS15B.S16C.S15或S16D.S17解析：選AVa1=29,S10=S20,基礎(chǔ)聯(lián)通基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”???10?1+^^d=20a1+20XX^d,解得d=-2,n(n—1)?.Sn=29n+廠X(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.???當(dāng)n=15時(shí)，Sn取得最大值.TOC\o"1-5"\h\z2?［考點(diǎn)二］設(shè)Sn為等差數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和，(n+1)Sn<nSn+1(n￡N*).若0*<_1,貝“)A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7解析：選D由(n+1)SnVnSn+1得(“+1)〃(叫嚴(yán))</"+1)(；1+叫+丄，整理得?nV?n+1，所以等差數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，又芽<一1,所以a8>0,a7V0，所以數(shù)列｛an｝的前7項(xiàng)為負(fù)值，即Sn的最小值是S7.na7nn3?［考點(diǎn)一］已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，且S10=10,S20=30，則S30=.??％，取0一％??％，取0一％^30-^20成等差數(shù)列，且％=10，$20=30，収0一％=20,?遇0—30=20X2??』30=60?60一10=30,答案:4?［考點(diǎn)一］已知兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝和｛即的前n項(xiàng)和分別為An和B”，且爭(zhēng)=號(hào)普，貝9使得訴為整數(shù)的正整數(shù)“的個(gè)數(shù)是解析：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知，?n=A3?-i=^^=:S=32:27,i偶奇，又S-S:S=32:27,i偶奇，又S-S奇=6d,所以d=192-162=5?答案：5突破點(diǎn)(三)等差數(shù)列的判定與證明n2n-1故當(dāng)"=1,29,5,11時(shí)，齊為整數(shù),n故使得畀為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.n答案：55?［考點(diǎn)一］一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32:27,則該數(shù)列的公差d=解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S土，偶數(shù)項(xiàng)的和為S，等差數(shù)列的公差為d?由已知條奇偶件,得\S=192,偶S=得\S=192,偶S=162.i奇奇偶等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于數(shù)列｛an｝，an_an-1(n^2,n^N*)為同一常數(shù)o｛an｝是等差數(shù)列解答題中的證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an1—an+an2(nM3,n^N*)成立o{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an—pn+q(p,q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立o｛an｝是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證S—An2+Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立o｛a“｝是等差數(shù)列考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”考點(diǎn)等差數(shù)列的判定與證明［典例】已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為且滿(mǎn)足：a+2SS1=0(n^2,n^N*),a1=能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”?若｛an｝是公差為1的等差數(shù)列，則｛a2n_1+2a2n｝是()公差為3的等差數(shù)列公差為4的等差數(shù)列公差為6的等差數(shù)列nnnnn112n否為等差數(shù)列，并說(shuō)明你的理由.因?yàn)閍n=Sn—Sn」E，。“+2氏氏一1=0，所以S-s,+2SS=0(n^2).nn—1nn—1所以+—nS所以+—nSn—1=2(nM2).又s1=a1=2r1〕所以忖｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.所以+=2+(n—1)X2=2n，故Sn=2^?n11—1所以當(dāng)心2時(shí)，an=Sn—Sn—1=2^—2(n—1)=2n(n—1)J所以an+1—12n(n+1)'而—=—1—所以an+1—12n(n+1)'a?+1"n2n(n+1)2n(n—1)=2n\n+1n—1丿=n(n—1)(n+1)°所以當(dāng)心2時(shí)，an+1—an的值不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列｛a”｝不是等差數(shù)列.公差為9的等差數(shù)列解析：選C令解析：選C令b”=a2”_1+2a2”，則b”+1=a2”+1+2a2”+2,故b”+1-b”=a2”+1+2a2”+2—(a2”—1+2a2”)

)+2(a2”+2—a2”)=2d+4d=6d=6X1=6?即｛a^—1+2a2i｝是公差為6的等差數(shù)列.12?已知數(shù)列｛a”｝中，a1=2,a”=2——(”M2,n—1=（勺“+1一％_1“GN**???),設(shè)1bn=a_1（?GN*）.求證：數(shù)列｛b”｝是等n差數(shù)列.??叫+1=2-1n?”+1"”=a［—1a—11???｛b”｝是首項(xiàng)為曾=2—1=1,公差為1的等差數(shù)列.3.已知公差大于零的等差數(shù)列｛a”｝的前”項(xiàng)和為S”，且滿(mǎn)足a3?a4=117,a2+a5=22.（1）求數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列｛b”｝滿(mǎn)足b”=總，是否存在非零實(shí)數(shù)c使得｛b”｝為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)???數(shù)列｛a”｝為等差數(shù)列，???a3+a4=a2+a5=22?又a3?a4=117,力］=1,d=4????a3,a4是方程xz—22x+117=0的兩實(shí)根，又公差d>0,.?a3Va4,??a3=9,a4=13,a力］=1,d=4?，，［a1+3d=13,解得.??數(shù)列｛a^的通項(xiàng)公式為a”=4”一3?(2)由(1)知a=1,d=4,,”(”—1).?.S=na+Xd=2”2—”，12［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)］重點(diǎn)保分課時(shí)練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)］重點(diǎn)保分課時(shí)練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考練基礎(chǔ)小題一一強(qiáng)化運(yùn)算能力］(2017溫州十校聯(lián)考)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若a】=2,S3=12，則a5等于()A.8B.10C.12D.14解析：選B因?yàn)閍1=2,S3=12，所以S3=3a1+3d=6+3d=12,解得d=2.所以a5=2+4d=10.在等差數(shù)列｛an｝中，ax=0,公差df0,若am=a1+a2+—+a9，則m的值為()A.37B.36C.20D.199x8解析：選Aam=a1+a2+^+a9=9a1+2d=36d=a37,即m=37.(2017杭州模擬)已知遞增的等差數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a1=1,a3=a2-4.則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為()A.a=2n—1B.a=—2n+3nnC.a=2n—1或一2n+3D.a=2n解析：選A設(shè)數(shù)列的公差為d,由a3=a2—4可得1+2d=(1+d)2—4,解得d=±2因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以d>0,故d=2.所以an=1+24i—1)=2n—1.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若a】=—11,a3+a7=—6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()TOC\o"1-5"\h\zA.9B.8C.7D.6解析：選D設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d.因?yàn)閍3+a7=—6,所以a5=—3,d=2，則Sn=n2—12n,故當(dāng)n等于6時(shí)Sn取得最小值.已知等差數(shù)列｛an｝中，an弄0,若n>2且an—1+an+1—a2=0,S2n—1=38,貝Un等于.解析:V｛an｝是等差數(shù)列，???2an=an一]+an+1，又一]+an+1—a2=0,???2an—a2=0,即an(2-an)=0.???anr0,???an=2.???S2n—1=(2Q—1)an=2(2i—1)=38,解得n=10.答案：10練?？碱}點(diǎn)一一檢驗(yàn)高考能力]―、選擇題(2017金華模擬)在等差數(shù)列｛an｝中，如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=()A.95B.100C.135D.80解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7+a&=(a】+a2)+(4—1)[a>3+aq)—(a]+a2)]=40+3x20=100.(2017臨安中學(xué)高三月考)已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為3,｛bn｝為等差數(shù)列，且bn=an+1—an(i6N*),若b3=—2,b2=12，則a8=()A.0B.—109C.—181D.121解析：選B設(shè)等差數(shù)列｛bn｝的公差為d,則d=b3—b2=—14,因?yàn)閍n+1—an=bn，所以a8—a1=b1+b2+???+b7=了"jb?=*[?一d)+(b2+5d)]=—112,又a1=3,則a8=—109.3.在等差數(shù)列｛a”｝中，a3+a5+a11+?17=4,且其前n項(xiàng)和為S”，則S17為()A.20B.17C.42DC.42解析:選B由a3+a5+a11+a17=4,得2(a4+a14)=4,即?4+?14=2,則a1+a17=2,故S17='"叫]"17)=17.4.設(shè)等差數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為S”，且氣>0，a3+a10>0,a6?7<0，貝卩滿(mǎn)足S”>0的最大自然數(shù)n的值為()B.7AB.7C.12DC.12解析：選CVa1解析：選CVa1>0,a6a7V0,???“6>0，?7<0,等差數(shù)列的公差小于零.又Va3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,AS12>0,S13<0,A滿(mǎn)足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.設(shè)數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為Sn，若務(wù)為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列｛an｝為“吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列｛b“｝的首S2n公差不為0,若數(shù)列｛bn｝為“吉祥數(shù)列”，貝g數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為()b=n—1B.b=2n—1nnb=n+1D.b=2n+1nn5.項(xiàng)為1，A.C.解析：選B設(shè)等差數(shù)列｛bn｝的公差為d(dH0),S=k,因?yàn)閎1=1,則n+1n(n一1)d="2n,即2+(n-1)d=4￡+2M2n-,即2+(n-1)d=4￡+2M2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0?因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k—1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=|.所以數(shù)列｛b”｝的通項(xiàng)公式為bn=2n-1?S6.設(shè)等差數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a】=1,an>0(n￡N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列｛閥｝也為等差數(shù)列，則#的2B.212DB.212D.121A.310C.180解析：選D設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,依題意得2逅=悶+疤，因?yàn)閍=1,所以2\^2a1+d=^a1+■\/3a1+3d,化簡(jiǎn)可得d=2a1=2，所以an=1+(n-1)X2=2n-1,Sn=n+也產(chǎn)X2=n2，所以冷甞=n(n+10)(n+10)2(2n-1)21(2n-1)+2r2n-12=寸(1+21

2n-12wi21?即冷畀的最大值為121.n二、填空題Sn7.(2017?金華十校聯(lián)考)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S”，若氣=1,S=a3，則a=Sn解析:設(shè)公差為d,則由a1=1,S2=a3,可得2+d=1+2d,所以d=1?所以a2=1+1=2;S”=n+鷲也

"（力+1）2'答案：2彎1)8?若等差數(shù)列｛“”｝