方

第四 量的數(shù)字特

在實(shí)際問題中常關(guān)心隨量與均值的偏離程度，可用E|X-EX|通常用E

)2來度量隨量X與其EX1、定設(shè)X是隨量，

E(X

EX)2

E(X

EX)2。DX稱為標(biāo)準(zhǔn)iiDX

E(

EX

(i

EX)2

DX

(x

EX

f(

連續(xù)型

返回 第四 方差也可由下面公式求得DX

EX

證明

DX

E

EXE[X

2(EX)

(EX)2EX

(EXEX

2EX

EXEX

EX

返回 第四 甲、乙兩人射擊，他的射擊水平由下表給的環(huán)數(shù)的環(huán)數(shù)的環(huán)數(shù)的環(huán)數(shù)X89PY89P試問哪一個(gè)人的射擊水平較高

返回

第四 量的數(shù)字特 比較兩個(gè)人的平均環(huán)數(shù)．甲的平均環(huán)數(shù)EX8′0.39′0.210′

環(huán)乙的平均環(huán)數(shù)EY

8′0.2

9′0.410′

環(huán)因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲乙兩人的射擊水平是一樣的，但兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的方差分別為返回

第四 量的數(shù)字特 DX

′0.3

′0.2

′DY

′0.2

′0.4

′DY

這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定．返回 第四

X~YDYEYDYEY2EY

XXX

則方差DY 解：

(x)

1,

x 其它 P{

0}

P{

返回 DYEY2DYEY2EY f(f(x)1,1x其它EY

P{

0}

P{

2 0 dx0

dx3333EY

P{

0}

P{

DY

EY

(EY

11

返回 §2第四 §2DXE(XDXE(XEXD(CX)D(CX)E(CXECXD(CX)

C2

bY)

a2

b2

2abE(

EX

EY)a，b是常數(shù)。X，Y獨(dú)立

bY)

a2

b2證

bY)

E(aX

bYE

X

[)(

EYE[a2(

)2]

E[b2

)22E[ab(

EYa2DX

b2DY

2abE(

)

EY 第四 隨 若X,Y獨(dú)立，

bY)

a2DX

2abE(

EX

EYa2DXDX=0{X=}=，=X返回 注

第四 量的數(shù)字特§2§2Y(XEX) DXEYDY

E[(

EX)EX)

DXDX

E(

EX)

DX0D(X) DX)2稱Y是 量X的標(biāo)準(zhǔn)化了的 量3.幾種重要 量的數(shù)學(xué)期望及方1）.兩點(diǎn)分

1

DX

(EX)2

pp2。返回 。第四 量的數(shù)字特二項(xiàng)分

X~B(n,DXDXEX方法1：用定

E(X)kP{

k}P{

k}Ck

pkqnk

k

,knnEXkCkpkqn k nn

pkqnnnkn

k

k!(n

k)!

(n

k1

nkn

Ci0C

piqn1inp(p

q)n1

返回 第四 量的數(shù)字特EX

nnn2nk

nnk

k2

)

nn k

1)!(n

k

pk1qnnnk

(!(

nn

nnk

(!(

n2)!

k

)!

n

DX

(EX

n2

n

npn2

np(1

p)

方法2Xi

第四 隨量的數(shù)字特服從（0-1）分布P{Xi

q,P{Xi

1}

p,

1,2,,X1,,Xn獨(dú)立

Xn，

X~B(n,P{CnnCn

k}

kpkqnk,

0,,EXEXii

nnDXi

DX

EXEX 其分布律為P

k}

返回 第四 量的數(shù)字特

k

EX

k0

k1

1)!

EX

k2 e

ek

k! k

(k k

kk

1(!

k

k1(!2e

k

ee

2k2(k

DX

EX

(EX

返回 第四 量的數(shù)字特EXaEXa2

X~U(a,1/(ba),a

xf(x)

0,其它EX

DX(bDX(ba)2

bb1a dxb1aa

a2DX

EX

2a

x2 dx

)222返回 第四 量的數(shù)字特正態(tài)分

X~N(,2EXEX DXEX

(x 2 dx

t)e

dt,(x

t

t 2dt

t 21

x XE

x

2

t 2t

t 2dt

t

t 2dt

t2

t | |

t 2

返回 第四 量的數(shù)字特P{|

|}

P{

X

()()

(1)(1)2(1)1

P{|X|2}P{

2X

2(2)1

P{|

3

32(3)1

因此，對于正態(tài) 量來說，它的值落在區(qū) 幾乎是肯定 不等式估計(jì)概率有P{|

返回 第四 量的數(shù)字特指數(shù)分設(shè) 量

服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)f(x)

1e

x

xEE(X) ,D(X)E(X2)

x2

f(x)dx

x21

dx

返回 第四 隨量的數(shù)字特 設(shè)X

B(n,

E(X)

D(X

則p n 解：

E(X)

np

D(X)

np(1 p

n例 設(shè)

~()

E[(

1)(

2)]則 返回 4(續(xù)

第四 量的數(shù)字特DXEXDXEX2EXDXEX

1E(X

3X

E(

2)

3E(X)D(X)

(EX

3E(X)

2

1 返回 第四 隨 例 設(shè)X、Y相互1

~N（2，Y~N(3

),8

P{3X

E(3XD(3X

3E(X)9D(X)

2E(Y)4D(Y) 3X

~N X 2

X

返回 3、定

第四 量的數(shù)字特

定理 不等式

(Chebyshev不等式設(shè) 量X有數(shù)學(xué)期

EX,

方差

,對任>0,不等

P{|

}

2/

成立 P{|

}

1

2/證明只證X是連續(xù)型

|xP{|X|} f(

(|x |x (x

f(2。

返回第四 量的數(shù)字特 這個(gè)不等式給出了 量X的分布未知況下，事{| 的概率的一種估方法例如：在上面不等式中，取 有P{|P{|

4}

返回 第四 隨量的數(shù)字特

§2設(shè)隨量X的方差為2，則根據(jù)（Chebyshev）不等式有

X

|}

2/P{|

E(X)|2} 222

X

|}1

/設(shè)相互獨(dú)立的隨量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-22，方差分別為14，則根據(jù)（Chebyshev）不等式有P{|X

|

P{|

E(Z)|

562 Z

X

則E

E

E

D(Z)

D(X)

D(Y

14

返回 第四 量的數(shù)字特 1假設(shè)一 的良種率為6，從中任意選出600粒，試（Chebyshev）不等式估計(jì)：這600 良種所占比例與1之差的絕對值不超過0.02的概率

中的良種數(shù)

.6EX

6006

DX

60015

5006 不等式P{X1

0.02}

P{X-

P{X-

12}1

1

第四 隨 利用Chebyshev不等式證證

0，則P

PX

0

PX1P

0

1而P

0

Pn1

XEX nn 1P

X

n

概率的次可列可加 Chebyshev

返回 第四 量的數(shù)字特例5（續(xù)）0

1 PX PX 1n n 所以，

1

n1，2，P

所以0P

EX0

0n1n所以Pn

EX0

因此P由此例及方差的性質(zhì)，我們有

C為常數(shù)的充分必要條件

DX0

返回 第四 例 設(shè)X

~U[0，且相互獨(dú)立求：E|XY|D|XY解 1,0

x

f(y)

1,0

y0,,0,0fX(x) 0 其它

其它y101xy101x

其它返回 第四 量的數(shù)字特9

E|

Y||xy|f(x,y)dxdy|x

y|yyyy101x dx(xy)dydy(y 2dx(x

2(0

DX

EX

2(

XY)2

XY2 1|x

y

f(

|xy|2

0 返回 第四 隨量的數(shù)字特 1 1 (xy)2dxdy(x22xyy2)dxdy0 0 則：DX

EXY2(11

XY)2 思考題：若

~N(,

2

~N(,

2),且它求：E|

Y

D|

Y返回 第四 量的數(shù)字特

若X