140+50+300+200+800+510140+50+300+200+800+5102000140+50+300+200+800+510140+50+300+200+800+5102000大題專項：統(tǒng)計與概率問題一、解答題1.為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.⑴設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)由已知，有P(A)=C2C2+C3C2=A.C4835所以，事件A發(fā)生的概率為邑35(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=CM^(k=1，2,3,4).C4所以，隨機變量X的分布列為X12341331P—147714隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1x丄+2x3+3x3+4x丄=5.14771422.電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類Avys.第八類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立.從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率;假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等?用“?=1”表示第k類電影得到人們喜歡，用“?=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6)?寫出方差DG),D(0,DG),D(d4),D(?),D(d6)的大小關(guān)系.解：(1)設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機選取1部,這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A,第四類電影中獲得好評的電影為200x0.25=50(部).P(A)=50=_^=0.025.(2)設(shè)“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,恰有1部獲得好評”為事件B,P(B)=0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.(3)由題意可知,定義隨機變量如下:_{0,第k類電影沒有得到人們喜歡，耳={1,第花類電影得到人們喜歡，則?顯然服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下：第一類電影:第二類電影：10厶0.20.8D(d2)=0.2x0.8=0.16;第三類電影：1030.150.85D(4)=0?15x0.85=0.1275;第四類電影：?100.250.75D(d4)=0.25x0.75=0.1875;第五類電影：乙1050.20.8D(?)=0?2x0.8=0.16;第六類電影：100.10.9D(^6)=0.1x0.9=0.09.綜上所述,D(^1)>D(e4)>D(e2)=D(e5)>D(e3)>D(e6).3?某險種的基本保費為a(單位:元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)0123425保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險次數(shù)0123425概率0.300.150.200.200.100.05求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.解：⑴設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.⑵設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(BIA)=p(ab)=巳型=015=—.P(A)P(A)0.5511因此所求概率為旦.11(3)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85ax0.30+ax0.15+1.25ax0.20+1.5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.4.(2019北京,理17)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一?為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付僅使用A18人9人3人方式僅使用B10人14人1人從全校學(xué)生中隨機抽取1人,估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化?現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.解：(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.所以從全校學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計為如=0.4.100(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨立,且P(C)=9+3=0.4,P(D)=14+1=0.6.3025所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(C萬UCD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4x(1-0.6)+(1-0.4)x0.6=0.52,P(X=0)=P(CD')=P(C)P(萬)=0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x0.24+1x0.52+2x0.24=1.⑶記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得尸(￡)=丄=C3304060答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生?一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小，一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.5.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為丄,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.2設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列；玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.解：(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意,P(X=10)=C1X(!M2)2=3；P(X=20)=C3XO2X(1-2)1=3；P(X=100)=C33X(‘2)3X(1-1)0=1；228

所以X的分布列為X1020100-200P33118888P(X=-2OO)=CP(X=-2OO)=C0x(1)0x(1-1)3=1.28⑵設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件A.(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=1.8所以,“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1-P(A^A^3)=1-(1)3=1-丄=5111238512512因此,玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是竺.512(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=10x3+20x3+100x1-200x1=-5.88884這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)，因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.6.某汽車公司擬對甲款高端汽車發(fā)動機進(jìn)行科技改造,根據(jù)市場調(diào)研與模擬,得到科技改造投入x(單位:億元)與科技改造直接收益y(單位:億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)0vxW17時,建立了y與x的兩個回歸模型:AA模型①:y=4.1x+11.8;模型②:y=21.3仮-14.4;當(dāng)x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程A為y=-0.7x+a.⑴根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當(dāng)0vxW17時模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測對甲款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程y=4.1x+11.8y=21.37x-14.4￡(y,y『182.479.2￡盼)2附:相關(guān)指數(shù)R2=1氣,717?4.1(￡(兒刃2、(匸1)(2)為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)科技改造投入不少于20億元時,國家給予公司補貼收益10億元,以回歸方程為預(yù)測依據(jù),比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小.227T7T丫x(yinxyi=1—n2丫咒2_nxi=i邙付:用最小二乘法求線性回歸方程?=節(jié)x+2的系數(shù)公式:=7T音1「旳02）陰=y一百.S（叫可1=1（3）科技改造后，甲款汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高,X服從正態(tài)分布N（0.52,0.012）,公司對科技改造團隊的獎勵方案如下:若發(fā)動機的熱效率不超過50%,則不予獎勵;若發(fā)動機的熱效率超過50%但不超過53%,則每臺發(fā)動機獎勵2萬元;若發(fā)動機的熱效率超過53%,則每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.（附:隨機變量?服從正態(tài)分布暢,2）,則尸3-。＜?“+。）"?6827,尸3-2。＜?“+2。）".9545）解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，可知1824＞79」.t（y「y）2t（yt-y）2i=ii=i所以模型①的R2小于模型②的R2,說明回歸模型②擬合的效果更好.所以當(dāng)x=17億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值為y=21.3x717-14.4=21.3x4.1-14.4=72.93（億元）.⑵由已知可得無-20=1+2+3+4+5=3,所以元=23.560=8-5+8+7-5+6+6=7.25所以y=67.2.八5b=總叫兒-5%y=7721-5X23X67.2=-7=07t%25^22655-5X23X2310'i=11故a=y+0.7無=67.2+0.7x23=833當(dāng)x>17億元時,y與x滿足的線性回歸方程為y=-0.7x+83.3.八當(dāng)x=20億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值y=-0.7x20+83.3=69.3.當(dāng)x=20億元時，實際收益的預(yù)測值為69.3+10=79.3億元>72.93億元.所以科技改造投入20億元時,公司的實際收益更大.(3)因為P(0.52-0.02<X<0.52+0.02)-0.9545,所以P(X>0.50)