關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性第1頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六兩事件A,B獨(dú)立的定義是:若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.1.設(shè)X,Y是兩個r.v,若對任意的x,y,有:

則稱X和Y相互獨(dú)立

.一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義2.設(shè)X,Y是兩個r.v,若對任意的x,y,有:則稱X和Y相互獨(dú)立

.第2頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六3.若(X,Y)是離散型r.v,則上述獨(dú)立性的定義等價于：對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有則稱X和Y相互獨(dú)立.第3頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六其中是X和Y的聯(lián)合密度，幾乎處處成立,則稱X和Y相互獨(dú)立

.對任意的x,y,有:4.若(X,Y)是連續(xù)型r.v,則上述獨(dú)立性的定義等價于:這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.由條件密度的定義：可知,當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時，第4頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六例1:1)設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？解:x>0

y

>0即:可見對一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立.第5頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六2)若(X,Y)的概率密度為:情況又怎樣？解:0<x<10<y<1故X和Y不獨(dú)立.第6頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六例2:甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.

乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時間不超過5分鐘的概率.

又甲先到的概率是多少？解:設(shè)X為甲到達(dá)時刻,Y為乙到達(dá)時刻以12時為起點(diǎn),以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)第7頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六所求為:P(|X-Y|≤5),甲先到的概率由獨(dú)立性:先到的人等待另一人到達(dá)的時間不超過5分鐘的概率P(X<Y)第8頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六解一:P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)P(X<Y)第9頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六解二:P(X<Y)=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)第10頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六類似的問題如：甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭,設(shè)兩船各自獨(dú)立地到達(dá),并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的.若甲船需停泊1小時,乙船需停泊2小時,而該碼頭只能停泊一艘船,試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率.第11頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六在某一分鐘的任何時刻,信號進(jìn)入收音機(jī)是等可能的.若收到兩個互相獨(dú)立的這種信號的時間間隔小于0.5秒,則信號將產(chǎn)生互相干擾.求發(fā)生兩信號互相干擾的概率.第12頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六盒內(nèi)有個白球,個黑球,有放回地摸球兩次.例3:設(shè):第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球試求(1)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律;(2)判斷的相互獨(dú)立性;(3)若改為無放回摸球,解上述兩個問題.第13頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六(1)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律解如下表所示:(2)由上表可知故的相互獨(dú)立.第14頁，共17頁，2022年，5月20日，12點(diǎn)56分，星期六(3)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示:第15頁，共17頁，2022年，5月20日