對(duì)于極值點(diǎn)與零點(diǎn)的幾個(gè)題?解答題(共7小題)?已知函數(shù)f3二汎Im遺J+1?若y=f(乂)在(0,+%)恒單一遞減，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)xi,X2(xivx2),求a的取值范圍并證明xi+x2>2?2.已知函數(shù)f(x)=xlnxx2-x+a(a?R)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不一樣的極值點(diǎn)求a的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)xi,X2，且X1VX2，已知入》,若不等式xi?x2>e1+入恒成立，求入的取值范圍..已知函數(shù)f(x)=ln---------ax2+x,(1)議論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2，證明：f(X1)+f(X2)>3-4ln2.24?已知函數(shù)f(X)八八—「L(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))?|ex|若a二占，求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(2)若f(1)=1，且方程f(x)=1在(0,1)內(nèi)有解，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍.5.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.若函數(shù)f(x)在(1,+x)上單一遞減，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍;當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)X1，X2，且X1VX2.求證:X1+X2>1.已知f(x)=ln(mx+1)-2(m卻).議論f(x)的單一性；A(2)若m0，g(x)=f(x)+齊7存在兩個(gè)極值點(diǎn)X，X，且g(x)+g(X)1212V0，求m的取值范圍.7.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)(a?R)，g(x)=f'( ).(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線3x-y-仁0平行，務(wù)實(shí)數(shù)a的值;若函數(shù)F(x)=g(x)+丄X2有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2,且X1VX2，求證：fl^-l(X2)-1Vf(X1)對(duì)于極值點(diǎn)的幾個(gè)題目------有點(diǎn)難參照答案與試題分析一?解答題(共7小題)1.(2017?達(dá)州模擬)已知函數(shù)-若y=f(乂)在(0,+%)恒單一遞減，求a的取值范圍；若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)xi,X2(xivx2),求a的取值范圍并證明i+x2>2.【剖析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)變?yōu)閤E(0,+8)，令yJilSin.G)二垃也^?(0，+8),依據(jù)函數(shù)的單一性求出g(x)的最大值，進(jìn)而求出的范圍即可；(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，令F(x)=f(x)=lnx-ax+1，求出函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過議論a的范圍求出a的范圍，證明即可.【解答】解：(1)因?yàn)閒(x)=lnx-ax+1(x>0)，所以由f(x)<0在(0，+%)上恒建立得)蠶?(Q,，yJlloA.令^(耳)二汪(0,+8)，易知g(x)在(0，1)單一遞加(1，+%)單一遞減，所以a>g(1)=1，即得：a>1(5分)(2)函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1，X2(X1VX2)，即y=f(x)有兩個(gè)不一樣的零點(diǎn)，且均為正，f(x)=lnx-ax+1(x>0)，令F(x)=f(x)=lnx-ax+1，由尸二丄-且工G>0)可知此時(shí)又因結(jié)構(gòu)函數(shù)

1）aO時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0,+%）上是增函數(shù)，不行能有兩個(gè)零點(diǎn).2）a＞0時(shí)，y=F（x）在丄）是增函數(shù)在a此時(shí)「二為函數(shù)的極大值，也是最大值.*當(dāng)XO時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以卩（丄）二1門丄＞0才可能有兩個(gè)零點(diǎn),a12Z，陀啟＜“，罕）3山亡（0＜心,得：0vav1(7分)2n22q>0,^(&)在(0,1)上單令$Ca)=3-21na-------，①'(a)=—+e_已一羽□~~~調(diào)遞加,2所以?(a)v?(1)=3-e2,即jIIa綜上，所以a的取值范圍是（0,1）-（8分）F面證明X1+X2>2因?yàn)閥=F（x）在（山丄）是增函數(shù)在［丄，?）是減函數(shù)，＜1-，可結(jié)構(gòu)aa1a(—~x)~Ftx)二1口(-|■-x)-0(呂-區(qū))-(lm-ai)ax—xu—)12aa故m（x）在區(qū)間〔0,ii丄］上單一減.又a打G)二—TP羽二F2、?0因?yàn)槎?am（［〕Am（丄）二0,丄a即有m(X1)＞0在（0,土）上恒建立，即有a因?yàn)橐?丄-x1,y=F（x）在（丄*+°°）是減函數(shù)，所以1aa所以■,-，-1一「建立1疋a分）【評(píng)論】此題考察了函數(shù)的單一性、最值問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類議論思想，轉(zhuǎn)變思想，是一道綜合題.2.（2017?天心區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)f（x）=xlnxx2-x+a（a?R）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不一樣的極值點(diǎn)（1）求a的取值范圍；（2）記兩個(gè)極值點(diǎn)xi,X2，且xivX2，已知入＞0,若不等式xi?x2入〉e1+刀恒成f'x)=lnx-ax=0在(0，【剖析】（1）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠?X）有兩個(gè)不一樣根；再轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+X）上有兩個(gè)不一樣交點(diǎn);立，求入的取值范圍.1)，依據(jù)函數(shù)的單一性求出即可.【解答】解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+X），方程f'x）=0在（0，+X）有兩個(gè)不一樣根，即方程lnx-ax=0在（0，+^）有兩個(gè)不一樣根；轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+上有兩個(gè)不一樣交點(diǎn),lrr214-X+5（2）原式等價(jià)于A1lntV，令t=（，），則不等式t?01在t?(0，1)上恒建立.令h(t)=lnt-（1+，t?(0，人）（一1）如圖示:可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0vavk.故k=y'|x=xo=——Eo令切點(diǎn)A(xo,Inxo),11mtn故=，解得，,又xok==e,故k=1，故0vav丄；因?yàn)閑1+Vxi?x2入等價(jià)于1+入Vnxi+Alnx2.由（1）可知xi，X2分別是方程Inx-ax=0的兩個(gè)根,即Inxi=axi,InX=ax22所以原式等價(jià)于1+入vaxi+Aax2=a(xi+Zx2),因?yàn)槿耄?,0vxivX2,所以原式等價(jià)于a＞一y-y—,又由Inxi=axi,Inx2=ax2作差得，In—=a(xi-X2),x2所以原式等價(jià)于(1+人)vX1+丸巳因?yàn)?vxivX2，原式恒建立，即恒建立.令t=,t?(0,i),則不等式lntV在t?(0,1)上恒建立.t+A令h(t)=lnt-,t?(0,1),t+入又h，tO二亠TI「：,tG+X)2當(dāng)X>1時(shí)，可見t?(0,1)時(shí)，h'K)>0,所以h(t)在t?(0,1)上單一增，又h(1)=0,h(t)V0在t?(0,1)恒成立，切合題意.當(dāng)XV1時(shí)，可見t?(0，入2)時(shí)，h'to>0，t?(入2，1)時(shí)h'tov0，所以h(t)在t?(0,X)時(shí)單一增，在t?(X2，1)時(shí)單一減，又h(1)=0，所以h(t)在t?(0，1)上不可以恒小于0，不切合題意，舍去.綜上所述，若不等式e1+Xvx1?x2入恒建立，只須X>1，又入》,所以入>.【評(píng)論】此題考察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類議論，轉(zhuǎn)變思想，數(shù)形聯(lián)合的思想方法的應(yīng)用，是一道綜合題.3.(2017?湖北模擬)已知函數(shù)f(x)=ln-ax2+x,議論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2，證明：f(X1)+f(X2)>3-4ln2.【剖析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過議論a的范圍，獲得函數(shù)的單一區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)；(2)依據(jù)X1,X2是方程2ax2-x+仁0的兩根，獲得K［十七二三^,“工2二扌^,求出f(X1)+f(X2),依據(jù)函數(shù)的單一性證明即可.【解答】解：(I)由得：+2X［二畑+K-1,遷(Of心)⑴a=0時(shí)，曲山號(hào)x?(0,(1,+^),f'x)>0,1),f'所以x=1,f(x)獲得極小值,X=是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).11^/1-8a1+V1-8s(ii)av0時(shí)，△=〔-8a>0,令f'x)=o,得：74aAl"4aI))f’QXOix?(u+8),,?A］U-■V明顯，xi>0,X20,f(X)在x=xi獲得極小值，f(X)有一個(gè)極小值點(diǎn).(iii)a>0時(shí)，少1-8aO即—丄時(shí)，f'( )<0,of(x)在(0,+x)是減函數(shù)，f(x)無極值點(diǎn).當(dāng)0<a<!時(shí)，△=〔-8a>0，令f'X)=0,得4a81當(dāng)x?(0,xi)和x?(X2,+x)f'x)v0,x?(xi,X2)時(shí)，f'( )>0,?'?f(x)在xi獲得極小值，在X2獲得極大值，所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上可知：(i)a<0時(shí)，f(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)二一一時(shí)，f(x)無極值點(diǎn);當(dāng)。<a<-^時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).Sxi和極(2)證明：由(i)知，當(dāng)且僅當(dāng)a?(0，盍)時(shí)，f(x)有極小值點(diǎn)大值點(diǎn)X2,且xi,X2是方程2ax2-x+仁0的兩根,「一―，￡(xp+f(ip二In---------ax|［十1—赳疋三'十xj設(shè)&(a)=1l-ln2,T2r11Inn-玄2a4a2=-Cln2sj+1112瓷送)-8〔兀[2十只22)+(才]+耳2na+-■l_ln2f呂E(0,—)，4a8，=]礙沽打心^十柚a4,4a2?E(0,g)時(shí)，g(a)是減函數(shù),8?1二二-1:亠，?'?f(xi)+f(X2)>3-41n2.【評(píng)論】此題考察了函數(shù)的單一性、最值問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類議論數(shù)思想，是一道綜合題.4.(x)

='

(2016?)..(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

f￡若a=￡，求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；若f(1)=1，且方程f(x)=1在(0，1)內(nèi)有解，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍.【剖析】(1)若a=±，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，禾U用函數(shù)單一性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(2)依據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)問題，結(jié)構(gòu)函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)變求解即可.【解答】解：(1)若a==，f(x)=(x2+bx+1)e-x，則f'x)=(2x+b)e-x-(x2+bx+1)e-x=-[x2+(b-2)x+1-b]e-x=-(x-1)[x-(1-b)]e-x，由f'x)=0得—(x-1)[x-(1-b)]=0，即x=1或x=1-b，①若1-b=1,即b=0時(shí)，f'( )=-(x-1)2e_xo，此時(shí)函數(shù)單一遞減，單一遞減區(qū)間為(-K,+%).②若1-b>1，即bv0時(shí)，由f'(=-(x-1)[x-(1-b)]e-x>0得(x-1)[x-(1-b)]v0，即1vxv1-b,此時(shí)函數(shù)單一遞加，單一遞加區(qū)間為(1,1-b),由f'( )=-(x-1)[x-(1-b)]e-xv0得(x-1)[x-(1-b)]>0，即xv1，或x>1-b，此時(shí)函數(shù)單一遞減，單一遞減區(qū)間為(-X，1)，(1-b，+°°)，③若1-bv1，即b>0時(shí)，由f'(=-(x-1)[x-(1-b)]e-x>0得(x-1)[x-(1-b)]v0，即1-bvxv1，此時(shí)函數(shù)單一遞加，單一遞加區(qū)間為(1-b，1)，由f'( )=-(x-1)[x-(1-b)]e-xv0得(x-1)[x-(1-b)]>0，即xv1-b，或x>1，此時(shí)函數(shù)單一遞減，單一遞減區(qū)間為(-°，1-b)，(1，+°).(2)若f(1)=1，則f(1)=(2a+b+1)e-1=1，即2a+b+1=e，則b=e-1-2a，若方程f(x)=1在(0，1)內(nèi)有解，即方程f(x)=(2ax2+bx+1)e-x=1在(0，1)內(nèi)有解，即2ax2+bx+1=ex在(0，1)內(nèi)有解，即ex-2ax2-bx-仁0，設(shè)g(x)=ex-2ax2-bx-1，則g(x)在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn),設(shè)X0是g(x)在(0,1)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則g(0)=0,g(1)=0,知函數(shù)g(x)在(0,xo)和(xo,1)上不行能單一遞加，也不行能單一遞減，設(shè)h(x)=g'x),則h(x)在(0,xo)和(xo,1)上存在零點(diǎn)，即h(x)在(0,1)上起碼有兩個(gè)零點(diǎn)，g'x)=ex-4ax-b,h'( )=ex-4a,當(dāng)a斗時(shí)，h'X)>0,h(x)在(0,1)上遞加，h(x)不行能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng)a訂時(shí)，h'X)v0,h(x)在(0,1)上遞減，h(x)不行能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，當(dāng)*vav〒時(shí)，令h'x)=0,得x=ln(4a)?(0,1),則h(x)在(0,In(4a))上遞減，在(In(4a),1)上遞加，h(x)在(0,1)上存在最小值h(In(4a)).若h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有h(In(4a))v0,h(0)>0,h(1)>0,h(In(4a))=4a-4aIn(4a)-b=6a-4aIn(4a)+1-e,帶a專53設(shè)?(x)x-xlnx+1-e,(1vxve),貝打’x)=亍-Inx,令?'x)=_-Inx=0，得x=.L,當(dāng)1vxv.-時(shí)，?‘( )>0，此時(shí)函數(shù)?(x)遞加，當(dāng)-Yxve時(shí)，?‘( )v0，此時(shí)函數(shù)?(x)遞減，則?(x)max=?(.L)=L+1-ev0,則h(In(4a))

v0

恒建立,由

h(0)

=1-

b=2a-

e+2>0,

h(1)

=e-

4a-

b>0,得工^v

av22當(dāng)罟■<a

Vy；時(shí)，設(shè)

h(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為

xi,

X2，則g(x)在(0,

xi)

遞加,

在(xi,

X2)上遞減，在

(X2

,

1)遞加，則

g(xi)>

g(

0)

=0,g(X2)V

g(1)

=0

,則g(x)在(X1

,

X2)

內(nèi)有零點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(［厶,肓)-【評(píng)論】此題主要考察函數(shù)單一性和單一區(qū)間的求解和判斷，利用函數(shù)單一性的質(zhì)以及函數(shù)單一性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決此題的重點(diǎn).綜合性較強(qiáng)，難度較

大.

性(2016?寧城縣模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.(I)若函數(shù)f(x)在(1,+%)上單一遞減，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍;(U)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)：；.'■<：t'v.+v二有兩個(gè)零點(diǎn)X1,X2,且X1VX2.求證:X1+X2>1.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單一性，分別參數(shù)a，問題轉(zhuǎn)變?yōu)?【剖析】(I).1T—(n)求出個(gè)零點(diǎn)X1,X2,獲得l+xt-1,.結(jié)構(gòu)函數(shù)x二----------L-二-二I,依據(jù)函數(shù)的單一性證明即可.當(dāng)x>1時(shí)丄恒建立，解出即可;【解答】解：（I）因?yàn)閒（x）=lnx-ax，則二:Y—-TL-1-ai匕1恒建立，所以a>1.（5分）即當(dāng)x>1時(shí)Xi一S'，百O二,是函數(shù)呂（f）（II）證明：依據(jù)題意211K2x2因?yàn)?lnx+-^—r■的兩個(gè)零X1,點(diǎn),ITHO,l.ri艾刁

IDHOMI1社2x21兩式相減，可得W■.”,(7分)-,2]即lrr，故2X上A1Jt9只]21n—x2若函數(shù)f（x）=lnx-ax在（1,+x）上單一遞減,則1-ax<0在（1,+%）上恒建立,則xl+x^2]_nt+2]_nt_2].nt那么結(jié)構(gòu)函數(shù)「二-亠廠一—,（10分）則fCt)='vv,此中0t1,.因?yàn)?vtv1，所以h'（t）>0恒建立,m,故X1+X2>1.(12分)可知Zlnt故h(t)vh(1),即上*一21門十<0.【評(píng)論】此題考察了函數(shù)的單一性、最值問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒建立問題，考察不等式的證明，是一道綜合題.(2016?河南三模)已知f(x)=ln(mx+1)-2(m丸)).議論f(x)的單一性；(2)若m>0,g(x)=f(x)+」一存在兩個(gè)極值點(diǎn)xi,X2，且g(xi)+g(X2)x+2v0,求m的取值范圍.【剖析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過議論m的范圍，確立函數(shù)的單一性；(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過議論m的范圍，求出函數(shù)的單一區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，判斷能否切合題意，進(jìn)而判斷出m的范圍即可.【解答】解：(1)由已知得mx+1>0，f'x)=―—，mx+1①若m0時(shí)，由mx+1>0，得：x>-—，恒有f'( )>0，>m???f(x)在(-丄，+%)遞加；②若mv0，由mx+1>0，得：xv—'|，恒有f'x)v0，?'?f(x)在(-x，----------)遞減；m綜上，m>0時(shí)，f(x)在(-丄，+x)遞加，mv0時(shí)，f(x)在(-x，-丄)遞減；JT(2)g(x)=ln(mx+1)-2，(m>0)，s+2?■gx)=----------------右，Cnnd-13(i+2)Z令h(x)=mx2+4m-4，0vmv1時(shí)，令h(x)=0，得:m>1時(shí)，h(x)>0，g'( )>0，g(x)無極值點(diǎn),X1=或X2=2廠丄且-2工-2，解得:由g(X)的定義域可知X>-—且X工-2,m即Xi=-2-I，m且Xl+X2=0,X1?X2=，得:Hl?'XI,X2為g(X)的兩個(gè)極值點(diǎn),g(XI)+g(X2)=ln(mxi+1)+=ln42+ln(mx2+1)(2m-1)2+,X2=2七+2令t=2m-1,F(t)=lnt2Ovmv丄時(shí)，-1vtv0,???F(t)=2ln(-t)+手-2,?FtO=)，I'v0,t???F(t)在(-1,0)遞減，F(xiàn)(t)vF(-1)v0,即0vmv亍時(shí)，g(X1)+g(X2)v0建立，切合題意;②丄vmv1時(shí)，0vtv1,???F(t)=2lnt+二-2,F'tO=；?1v0,"t十￡???F(t)在(0,1)遞減，F(xiàn)(t)>F(1)=0,??亍vmv1時(shí)，g(X1)+g(X2)>0，不合題意,綜上，m?(0，寺)?【評(píng)論】此題考察了函數(shù)的單一性、最值問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒建立問題，考察分類議論思想，是一道綜合題.7.(2016?湖北模擬)已知函數(shù)f(x)=x(Inx-ax)(a?R),g(x)=f'X)-(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線3x-y-仁0平行，務(wù)實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)F(x)=g(x)+丄X2有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2,且X1VX2，求證：f(X2)-1vf(X1)【剖析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，解a；(2)利用極值點(diǎn)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出a的范圍，進(jìn)一步求出f(X)的分析式，經(jīng)過求導(dǎo)判斷其單一性以及最值.【解答】