1.6無窮小階的比較1無窮小的比較設(shè)a,p是自變量的同一變化過程中的兩個無窮小.。(1)如果limP=0，則稱p是比a高階的無窮小，記為p=。(a)；也說a是比p低階的aXTx50無窮小。(2)如果limXTX0p=c(c是不為0的常數(shù))，則稱p是與a同階的無窮小。a如果limXTX0p=1，則稱p與a是等價無窮小，記作p口a或a□p。a旦=c(k>0，c是不為0的常數(shù))，ak例如如果limXTX0XT0時，3X2=o(X)，sinx□x，1一cos則稱p是關(guān)于a的k階無窮小。X與X2是同階無窮小，同時1-cosX也是關(guān)于x的二階無窮小。注意并不是所有的無窮小都能進行比較，XT8時1f(X)=-Xsinxg(x)=都是無窮小。l注意并不是所有的無窮小都能進行比較，XT8時1f(X)=-Xsinxg(x)=都是無窮小。li-m1和lim史旦=limsinT8siXnXT8f(X)XT8X都不存在因此，g(x)=、不能進行階的比較。X例1XT0時，比較1-cosX與X2的階。XX12sin22sin1一cosX22解lim=lim=limXT0X2XT0X2XT04(X)221=lim—XT021=一?1=-22XT0時，1-cosX與LX2是等價無窮小。2設(shè)a,p是自變量的同1.5.1變化過程中的兩個無窮小=a+o(a)。XT0時，1一cxOs—x2，21故1一cosX=—X2+o(X2)2cosX=1-—X2+o(X2)，于是在X=0的小鄰域內(nèi)可以用1-—X2近似代替cosX。22定理1.5.2設(shè)a,a，,p,p，都是自變量同一變化過程中的無窮小，且a□a'，p□plim'存在，^0lim'=lim'存在，^0lim'=lim'以'以以'證明lim旦=lim

a<_P8，a')

kP'a'a?P時a'時=lim—-lim—-lim—=lim—。P'a'aa'等價無窮小代換是計算極限的一個重要方法。求limxT0sin5x3(sin2x)3解xT0時，sin2x-2x;又xT0時5x3t0，所以sin5x3-5x3。因此sin5x35x35lim=lim=-xT0(sin2x)3xT0(2x)38例3求極限limtanx例3求極限limtanx一sinx解tanx一1sinx=sinx(一1)cosxsinx(1一cosx)cosxxT0時，sinx~x,所以，.例4證明xT0時，sinhx□ex-1。sinhxexe-x(ex1)一(e-xxT0時，sinx~x,所以例4證明xT0時，sinhx□ex-1。sinhxexe-x(ex1)一(e-x一1)ex一12(ex一1)2(ex一1)e-x一1=一2(ex-1)xT0時，ex一1□x，因此，e-x一1□一x，故e-x一1一x1lim=lim=一一xt02(ex—1)xt02x2lim=limlim2=—xT0x3xT0x3cosxxT0x3cosx2若分子、分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限。2xT0時幾個常見的無窮小xT0日寸，sinx□x,tanx□x，1一cosxH~x2，arcsinx□x，arctanx□xln(1+x)□x，2證明ax一1□xlna(a>0a豐1)