學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3課時余弦定理（1）知識點(diǎn)一已知兩邊及其夾角解三角形1．在△ABC中，已知a＝1,b＝2,C＝60°，則邊c等于（)A．eq\r（3)B．eq\r(2）C．3D．4答案A解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×eq\f(1，2)＝3，∴c＝eq\r(3)．2．在△ABC中，若a＝8，B＝60°,c＝4(eq\r（3）＋1),則b＝________．答案4eq\r（6)解析由余弦定理,得b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(eq\r（3)＋1）]2－2×8×4（eq\r(3)＋1）×cos60°＝64＋16(4＋2eq\r(3）)－64(eq\r（3)＋1)×eq\f（1,2)＝96，∴b＝4eq\r（6）．知識點(diǎn)二已知兩邊及一邊對角解三角形3．在△ABC中，若a＝3，c＝7,∠C＝60°，則邊長b為（）A．5B．8C．5或－8D．－5或8答案B解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b?（b－8)（b＋5）＝0．∵b＞0,∴b＝8．故選B．4．在△ABC中,內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a，b,c,若a＝2，c＝2eq\r（3)，cosA＝eq\f（\r(3)，2)，且b＜c，則b＝（)A．eq\r（3)B．2C．2eq\r(2）D．3答案B解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．∵b＜c，∴b＝2．故選B．知識點(diǎn)三已知三邊解三角形5．在△ABC中,a＝3，b＝eq\r（7)，c＝2,那么B等于(）A．30° B．45°C．60° D．120°答案C解析由余弦定理,得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac)＝eq\f（9＋4－7,12）＝eq\f（1，2)，∴B＝60°．6．在△ABC中,已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC．解由題意可知，a＞c＞b，∴A為最大角，cosA＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2）,又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝eq\f(2π,3)．由正弦定理，得eq\f(a,sinA）＝eq\f（c，sinC），即eq\f(7,\f(\r（3）,2)）＝eq\f(5，sinC),∴sinC＝eq\f(5\r(3)，14)．知識點(diǎn)四余弦定理的推論7．在不等邊三角形中，a是最大的邊，若a2＜b2＋c2，則角A的取值范圍是（）A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，2），π)）B．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，4)，\f(π，2）))C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，3），\f（π，2)）)D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2）)）答案C解析∵a是最大的邊，∴A＞eq\f(π，3)．∵a2＜b2＋c2，∴cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）＞0．∴A＜eq\f(π,2),故eq\f（π,3）＜A＜eq\f（π,2)．故選C．8．在△ABC中，角A，B,C的對邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為()A．eq\f（π,6） B．eq\f(π,3）C．eq\f(π，6）或eq\f（5π,6) D．eq\f(π，3)或eq\f（2π，3）答案D解析依題意，得eq\f（a2＋c2－b2，2ac)·tanB＝eq\f(\r（3),2),所以由余弦定理，得cosBtanB＝eq\f(\r(3)，2)，∴sinB＝eq\f(\r(3)，2)，∴B＝eq\f(π，3)或B＝eq\f（2π，3）．故選D．易錯點(diǎn)一忽視三角形中邊的隱含關(guān)系9．在鈍角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大邊c的取值范圍．易錯分析易忽略兩邊之和大于第三邊即c＜3，錯解為c∈（eq\r(5），＋∞)．解∵在鈍角三角形ABC中，c為最大邊，∴cosC＜0，即a2＋b2－c2＜0．∴c2＞a2＋b2＝5,∴c＞eq\r(5)．又c＜b＋a＝3，∴eq\r（5）＜c＜3，即c的取值范圍是（eq\r(5)，3)．易錯點(diǎn)二運(yùn)算時定理選錯10．如圖，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝eq\r(19)，∠BAD＝60°，求梯形的高．易錯分析本題易選用正弦定理致計算冗雜出錯，審清題干條件通過余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用．解由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°，在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD×CD×cos∠ADC，即19＝AD2＋4－2AD×2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）)）,解得AD＝3或AD＝－5（舍去)．在△ADE中,DE＝ADsin60°＝eq\f(3\r(3），2）．一、選擇題1．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a,b,c，23cos2A＋cos2A＝0,a＝7，c＝6，則b＝（)A．10B．9C．8D．5答案D解析∵23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝eq\f（1,25），∴cosA＝±eq\f(1,5）．∵△ABC為銳角三角形,∴cosA＝eq\f(1，5），又∵a＝7，c＝6,由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA,即49＝b2＋36－eq\f（12,5）b．∴b＝5或b＝－eq\f(13，5)(舍去)．∴b＝5．故選D．2．在△ABC中,若AB＝eq\r（3）－1，BC＝eq\r(3)＋1，AC＝eq\r（6)，則B的大小為（）A．30° B．45°C．60° D．120°答案C解析∵cosB＝eq\f（AB2＋BC2－AC2,2AB×BC)＝eq\f（\r(3)－12＋\r（3）＋12－\r（6)2,2\r(3）－1\r(3）＋1)＝eq\f(1，2)，∴B＝60°．3．已知△ABC的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(c－b,c－a）＝eq\f(sinA,sinC＋sinB），則B＝（)A．eq\f(π，6）B．eq\f(π，4）C．eq\f（π，3）D．eq\f(π，2）答案C解析由sinA＝eq\f(a，2R），sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f（c,2R）,代入整理，得eq\f(c－b,c－a）＝eq\f（a，c＋b)?c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac,故由余弦定理，得cosB＝eq\f（1，2),所以B＝eq\f(π，3)．4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝()A．eq\f（\r（10），10）B．eq\f（3\r(10),10）C．eq\f(\r(5)，5）D．eq\f(2\r（5）,5）答案B解析如圖所示，在△ACD中，設(shè)CD＝a,由CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，得a2＝（eq\r（2)a)2＋（eq\r(5)a)2－2×eq\r(2）a×eq\r（5)a×cos∠DAC,解得cos∠DAC＝eq\f(3\r(10）,10)．故選B．5．在△ABC中,內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝4，b＝5,c＝6，則eq\f(sin2A,sinC）＝（）A．eq\f(3,4)B．eq\f(1,2)C．1D．2答案C解析由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f（25＋36－16,2×5×6)＝eq\f(3,4),所以eq\f(sin2A，sinC)＝eq\f（2sinAcosA，sinC)＝eq\f(2acosA，c）＝eq\f（4cosA,3）＝1．故選C．二、填空題6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c,且a＝3，b＝4,c＝6，則bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．答案eq\f(61,2）解析∵cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc），∴bccosA＝eq\f（1，2）(b2＋c2－a2）．同理，accosB＝eq\f(1,2）（a2＋c2－b2），abcosC＝eq\f(1，2)(a2＋b2－c2）．∴bccosA＋accosB＋abcosC＝eq\f（1,2)（a2＋b2＋c2)＝eq\f（61,2)．7．在△ABC中，a,b，c分別是角A，B，C的對邊，若a2－c2＝2b，且sinB＝6cosAsinC，則b的值為________．答案3解析由正弦定理與余弦定理，知sinB＝6cosAsinC可化為b＝6·eq\f（b2＋c2－a2,2bc)·c，化簡可得b2＝3（b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b≠0，計算得b＝3．8．已知在△ABC中,a,b，c分別為內(nèi)角A,B，C所對的邊，b2＋c2－a2＝bc．若a＝eq\r(3)，cosC＝eq\f（\r（3）,3），則b＝________．答案1＋eq\f(\r(6),3）解析由b2＋c2－a2＝bc，得cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1，2)，∵0＜A＜π,∴A＝eq\f（π,3)．∵cosC＝eq\f（\r(3），3），∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(6),3）．由正弦定理，知eq\f(a,sinA）＝eq\f（c,sinC)，∴c＝eq\f(asinC，sinA)＝eq\f(\r(3)×\f（\r(6)，3)，\f(\r（3）,2）)＝eq\f(2\r（6）,3)，∴b2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r（6)，3）））2－(eq\r（3））2＝eq\f（2\r(6),3）b,解得b＝1＋eq\f(\r(6)，3)或b＝－1＋eq\f(\r（6),3)(舍去）．三、解答題9．在△ABC中，已知sinC＝eq\f（1，2),a＝2eq\r(3)，b＝2，求邊c．解∵sinC＝eq\f（1,2），且0<C<π，∴C為eq\f（π，6)或eq\f(5π,6）．當(dāng)C＝eq\f（π，6)時,cosC＝eq\f（\r（3),2)，此時,由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2．當(dāng)C＝eq\f（5π，6)時，cosC＝－eq\f(\r（3),2)，此時，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2eq\r（7)．10．已知在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,且a2＝b2＋c2