學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域?qū)W習目標核心素養(yǎng)1。會從實際情景中抽象出二元一次不等式(組).2.理解二元一次不等式(組）的幾何意義.3.會畫二元一次不等式(組）表示的平面區(qū)域（重點、難點)．通過二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域及其應用的學習，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。1．二元一次不等式的概念我們把含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式．2．二元一次不等式組的概念我們把由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組．思考:點（2,1）是否是不等式3x－2y＋1>0的解?[提示］是．把(2，1）代入,不等式成立．3．二元一次不等式(組)的解集概念滿足二元一次不等式(組）的x和y的取值構(gòu)成一個有序數(shù)對(x，y），稱為二元一次不等式(組)的一個解，所有這樣的有序數(shù)對（x,y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組)的解集．思考：把二元一次不等式的解看作有序數(shù)對，它與平面內(nèi)的點之間有什么關系?［提示]一一對應．4．二元一次不等式表示的平面區(qū)域及確定(1)直線l：ax＋by＋c＝0把直角坐標平面分成了三個部分：①直線l上的點(x，y)的坐標滿足ax＋by＋c＝0．②直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的坐標滿足ax＋by＋c〉0，另一側(cè)平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y)的坐標滿足ax＋by＋c〈0．（2)在直角坐標平面內(nèi)，把直線l:ax＋by＋c＝0畫成實線，表示平面區(qū)域包括這一邊界直線;畫成虛線表示平面區(qū)域不包括這一邊界直線．（3）①對于直線ax＋by＋c＝0同一側(cè)的所有點，把它的坐標(x，y)代入ax＋by＋c所得的符號都相同．②在直線ax＋by＋c＝0的一側(cè)取某個特殊點（x0，y0）,由ax0＋by0＋c<0的符號可以斷定ax＋by＋c>0表示的是直線ax＋by＋c＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．5．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分．思考：y≥ax＋b所表示的平面區(qū)域與y〉ax＋b表示的平面區(qū)域有什么不同？如何體現(xiàn)這種區(qū)別？［提示]前者表示的平面區(qū)域含有該直線上的點，后者表示的平面區(qū)域不含該直線上的點．畫圖時用實線表示前者，用虛線表示后者．1．以下不等式所表示的平面區(qū)域中包含原點的是（）A．x－y＋1＜0 B．2x＋3y－6＞0C．2x＋5y－10≥0 D．4x－3y≤12D［將點（0，0）代入不等式驗證即可．]2．直線x＋2y－1＝0右上方的平面區(qū)域可用不等式________表示．x＋2y－1>0[用右上方特殊點(1，1）代入x＋2y－1得結(jié)果為2〉0.所以所求為x＋2y－1>0。］3．不等式組eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋12〉0，，2x＋y－4<0，，y>0)）所表示的平面區(qū)域的面積是________．10［畫出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略），它是一個底邊長為5,高為4的三角形區(qū)域，其面積S＝eq\f(1，2)×5×4＝10.］4．已知點A(1,0)，B(－2,m)，若A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側(cè)，則m的取值集合是________．eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（m\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(m>－\f(1，2））））)［因為A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側(cè)，所以把點A（1，0)，B（－2，m)代入可得x＋2y＋3的符號相同，即（1＋2×0＋3）(－2＋2m＋3）〉0，解得m>－eq\f（1，2)。]二元一次不等式表示的平面區(qū)域【例1】(1)畫出不等式3x＋2y＋6＞0表示的區(qū)域；（2）寫出如圖表示平面區(qū)域的二元一次不等式：[解](1）如圖:第一步：畫出直線3x＋2y＋6＝0（注意應畫成虛線)，第二步：直線不過原點，把原點坐標(0，0）代入3x＋2y＋6得6＞0，∴不等式表示的區(qū)域為原點所在的一側(cè)．（2)①x＋y－1≤0；②x－2y＋2＜0；③x＋y≥0.二元一次不等式表示平面區(qū)域的判定方法第一步:直線定界．畫出直線ax＋by＋c＝0，不等式為ax＋by＋c＞0(＜0)時直線畫虛線，不等式為ax＋by＋c≥0（≤0）時畫成實線；第二步:特殊點定域．在平面內(nèi)取一個特殊點，當c≠0時,常取原點(0，0）．若原點（0，0）滿足不等式，則原點所在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域；若原點不滿足不等式,則原點不在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域．當c＝0時，可取(1，0）或（0，1）作為測試點．簡記為：直線定界,特殊點定域．1．畫下列不等式表示的平面區(qū)域:（1）2x＋y－10〈0；(2）y≥－2x＋3。[解](1）先畫出直線2x＋y－10＝0（畫成虛線)．取原點（0，0)，代入2x＋y－10＝2×0＋0－10<0,∴原點在2x＋y－10<0表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式2x＋y－10<0表示的平面區(qū)域如圖所示．（2）先畫出直線2x＋y－3＝0(畫成實線）．取原點（0,0），代入2x＋y－3＝2×0＋0－3〈0，∴原點不在2x＋y－3≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式y(tǒng)≥－2x＋3所表示的平面區(qū)域如圖所示．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域【例2】畫出不等式組eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x－y＋5≥0,，x＋y≤0，,y≥－3，））表示的平面區(qū)域．思路探究：①你能作出各不等式對應的直線嗎？②如何確定各不等式表示的區(qū)域？③各線是實線還是虛線？［解］不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0及其右下方的點的集合；x＋y≤0表示直線x＋y＝0及其左下方的點的集合;y≥－3表示直線y＝－3及其上方的點的集合．不等式組表示的平面區(qū)域即為下圖所示的三角形區(qū)域:1．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是由每個不等式所表示的平面區(qū)域來確定的，是它們所表示平面區(qū)域的交集．2．畫平面區(qū)域的步驟（1）畫線——畫出不等式對應的方程所表示的直線；（2）定側(cè)-—將某個區(qū)域位置明顯的特殊點的坐標代入不等式，根據(jù)“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律，確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè);（3)求“交”——如果平面區(qū)域是由不等式組決定的，則在確定了各個不等式所表示的區(qū)域后,再求這些區(qū)域的公共部分，這個公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．2．畫出不等式（x－y＋1）(x＋y－2）≥0表示的平面區(qū)域．［解]原不等式等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，，x＋y－2≥0，）)或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0,，x＋y－2≤0.）)平面區(qū)域如圖．二元一次不等式(組）表示平面區(qū)域的應用［探究問題］1．若點P（1,2），Q（1,1)在直線x－3y＋m＝0的同側(cè)，如何求m的取值范圍？［提示]直線x－3y＋m＝0將坐標平面內(nèi)的點分成三類：在直線x－3y＋m＝0上的點和在直線x－3y＋m＝0兩側(cè)的點，而在直線x－3y＋m＝0同側(cè)點的坐標，使x－3y＋m的值同號，異側(cè)點的坐標使x－3y＋m的值異號．故有(1－3×2＋m)(1－3×1＋m)>0,即（m－5）(m－2）〉0，所以m>5或m<2.2．不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＋y>2，,x－y>0,，x〈4)）表示的區(qū)域是什么圖形，你能求出它的面積嗎？該圖形若是不規(guī)則圖形，如何求其面積?［提示]不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分△ABC，該三角形的面積為S△ABC＝eq\f(1，2）×6×3＝9.若該圖形不是規(guī)則的圖形．我們可以采取“割補”的方法，將平面區(qū)域分為幾個規(guī)則圖形求解．3．點（0,0)，（1，0),(2，1），（3，4)在不等式組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＋y>2，,x－y〉0，，x<4））表示的平面區(qū)域內(nèi)嗎?該平面區(qū)域內(nèi)有多少個縱、橫坐標均為整數(shù)的點？[提示]若所給點在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi),則該點的坐標一定適合不等式組，否則,該點不在這個不等組表示的平面區(qū)域內(nèi)．經(jīng)代入檢驗可知，在(0,0），（1，0），（2,1），(3，4）中只有點(2，1）在不等式組表示的平面內(nèi)．在尋求平面區(qū)域內(nèi)整數(shù)點時，可根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域(探究2提示中的圖形)邊界的頂點,先給其中的一個未知數(shù)賦值，如x＝1，則不等式組可化為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（y>1,，y〈1，，1<4,))顯然該不等式組無解；再令x＝2,則原不等式組化為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(y>0，，y<2，，2<4，））則0<y<2，又因為y∈Z,故y＝1，所以x＝2時只有一個整點．同樣方法x＝3時，有(3，0），（3，1），（3,2）三個整點在該區(qū)域內(nèi)；x＝4時在該區(qū)域內(nèi)沒有整點．總之在不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋y〉2,,x－y>0,,x〈4)）表示的平面區(qū)域內(nèi)，共有4個整點．當然，也可在作圖時,利用打網(wǎng)格線的方法尋求．【例3】已知不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x>0,,y〉0,，4x＋3y≤12.)）(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域；（2)求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積;(3）求不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標．思路探究：(1)怎樣畫出不等式組表示的平面區(qū)域？(2）該平面區(qū)域是什么圖形？如何求其面積?(3）整點是什么樣的點?怎樣求其坐標?[解］（1）不等式4x＋3y≤12表示直線4x＋3y＝12上及其左下方的點的集合;x〉0表示直線x＝0右方的所有點的集合；y〉0表示直線y＝0上方的所有點的集合,故不等式組表示的平面區(qū)域如圖(1)所示．（1）（2）（2）如圖（1）所示，不等式組表示的平面區(qū)域為直角三角形，其面積S＝eq\f(1,2)×4×3＝6。(3）當x＝1時,代入4x＋3y≤12，得y≤eq\f(8，3），∴整點為(1，2)，（1，1)．當x＝2時，代入4x＋3y≤12,得y≤eq\f(4,3)，∴整點為（2,1）．∴區(qū)域內(nèi)整點共有3個，其坐標分別為（1，1)，（1，2)，(2，1）．如圖（2)．1．(變條件)若將例題中的條件“eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x>0，,y>0，，4x＋3y≤12)）”變?yōu)椤癳q\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＋2y－1≥0，2x＋y－5≤0，y≤x＋2))”求所表示區(qū)域的面積．[解］如圖所示,其中的陰影部分便是不等式組所表示的平面區(qū)域．由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x－y＋2＝0,,2x＋y－5＝0，）)得A（1，3）．同理得B（－1,1)，C（3，－1）．∴|AC|＝eq\r（22＋（－4）2)＝2eq\r（5)，而點B到直線2x＋y－5＝0的距離為d＝eq\f(|－2＋1－5｜,\r(5))＝eq\f（6,\r(5)）,∴S△ABC＝eq\f（1,2）|AC｜·d＝eq\f(1，2)×2eq\r(5）×eq\f（6，\r（5）)＝6.2．若將例題中的條件“eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x〉0，y>0，4x＋3y≤12)）"變?yōu)椤癳q\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(y≤2,|x｜≤y≤｜x｜＋1））”求所表示的平面區(qū)域的面積．［解］可將原不等式組分解成如下兩個不等式組：①eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x≥0，，y≥x，,y≤x＋1，，y≤2,)）或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥－x，，y≤－x＋1，,y≤2.））上述兩個不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，所圍成的面積S＝eq\f(1，2)×4×2－eq\f(1，2)×2×1＝3.1．在應用平面區(qū)域時，準確畫出不等式組表示的平面區(qū)域是解題的關鍵．2．畫出不等式表示的平面區(qū)域后,常常要求區(qū)域面積或區(qū)域內(nèi)整點的坐標．(1)求區(qū)域面積時，要先確定好平面區(qū)域的形狀,注意與坐標軸垂直的直線及區(qū)域端點的坐標，這樣易求底與高．必要時分割區(qū)域為特殊圖形．(2）整點是橫縱坐標都是整數(shù)的點，求整點坐標時要注意虛線上的點和靠近直線的點,以免出現(xiàn)錯誤．1．對于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0（或＜0)，無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)，當B＞0時，(1）Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0上方的區(qū)域；（2)Ax＋By＋C＜0表示直線Ax＋By＋C＝0下方的區(qū)域．2．畫平面區(qū)域時，注意邊界線的虛實問題．1．判斷正誤（1）由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一區(qū)域． （）(2）點（1，2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面區(qū)域內(nèi)． （）(3）不等式Ax＋By＋C>0與Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域是相同的． （)（4)二元一次不等式組中每個不等式都是二元一次不等式． ()（5）二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域都是封閉區(qū)域． （)［答案](1）×（2）×(3）×（4）×(5）×［提示]（1）錯誤．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，表示的區(qū)域是直線x＝eq\f（1,2）的右側(cè)(不包括邊界)．(2）錯誤．把點(1,2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3〉0，所以點（1,2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面區(qū)域內(nèi)．(3）錯誤．不等式Ax＋By＋C〉0表示的平面區(qū)域不包括邊界,而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域包括邊界，所以兩個不等式表示的平面區(qū)域是不相同的．(4)錯