第八章線性變換﹡本章將討論線性空間的線性變換及其性質(zhì)，并通過線性變換在基下對(duì)應(yīng)的矩陣來探尋線性變換的相應(yīng)結(jié)論。§1

線性變換及其性質(zhì)1.1變換及其運(yùn)算定義1.1對(duì)于線性空間V，如果存在一種規(guī)則σ：對(duì)于V每個(gè)元素α，都有V中一個(gè)確定的元素α′′與之對(duì)應(yīng)，則稱σ為線性空間V的一個(gè)變換，并把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記為σ（α）=α′

α′稱為α再變換σ下的象，α稱為α′在變換σ下的一個(gè)原象（或稱象源）。

V中元素在變換σ下的象的全體，稱為σ的象集或值域，記為σ（V）。顯然，對(duì)于數(shù)域F上的線性空間V，定義幾個(gè)特殊的變換，其名稱、記法及變換規(guī)則如下。恒等變換1﹡：1﹡（α）=α，α∈V；零變換0﹡：0﹡（α）=0，α∈V；數(shù)乘變換k﹡：k﹡（α）=kα，k∈F，α∈V。恒等變換亦稱單位變換。恒等變換與零變換是數(shù)乘變換k﹡當(dāng)k=1及k=0時(shí)的特例。例1.1設(shè)A是一個(gè)三階實(shí)矩陣，對(duì)于線性空間R3，給出規(guī)則σ：σ（α）=A

α，α∈R3對(duì)于任意的α∈R3，A

α是R3中確定的向量。于是σ是R3的一個(gè)變換。定義1.2設(shè)σ，τ都是線性空間V的變換。如果對(duì)于任意的α∈

V，總有σ（α）=τ（α），則說變換σ與變換τ相等，記作σ=τ。設(shè)σ，τ都是線性空間V的變換，定義σ與τ的和變換σ+τ及乘積變換στ如下：如果V是數(shù)域F上的線性空間，那么，對(duì)于F中的數(shù)k及V的變換σ，可定義σ與k的數(shù)積kσ為kσ亦可記為σk，易證。kσ=k*σ。對(duì)于線性空間V的變換σ，定義它的負(fù)變換-σ為-σ=（-1）σ

對(duì)于任意的α∈V，便有定義1.3對(duì)于線性空間V的變換σ，若有V的變換τ，使則稱σ為可逆變換，τ稱為σ的逆變換，記為σ

-1。于是，對(duì)于逆變換σ，便有σσ

-1=σ

-1σ=1*。由定義1.3可知，當(dāng)k≠0時(shí)，數(shù)乘變換k*是可逆變換，并且例1.2設(shè)例1.1中的矩陣A可逆，則相應(yīng)的變換σ是可逆變換。這是因?yàn)?，若令變化τ為則對(duì)任意的α∈R3，有由定義1.2知στ=1*。同理可證τσ=1*。再由定義1.3便知σ可逆且σ-1=τ。1.2 線性變換及其性質(zhì)在線性空間的變換中，最重要、最常用的，是我們下面討論的線性變換。定義1.4設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的一個(gè)變換，如果對(duì)于V中任意的元素α,β和數(shù)域F中任意的數(shù)k，總有則稱σ為線性空間V的一個(gè)線性變換。上述定義中1）、2）兩條所表明的σ的性質(zhì)，通常稱為保持加法、保持?jǐn)?shù)乘，合起來稱為保持線性運(yùn)算。線性變換就是保持線性運(yùn)算的變換。容易驗(yàn)證，恒等變換，零變換及數(shù)乘變換都是線性變換。例1.3對(duì)于線性空間R[x]n

，用τ表示求導(dǎo)規(guī)則：則τ是一個(gè)線性變換。證明首先τ顯然是一個(gè)變換。又對(duì)R[x]n中任意的多項(xiàng)式f(x),g(x)及任意k∈R的，有所以τ是一個(gè)線性變換。例1.4證明例1.1中的變換σ是線性空間R3的一個(gè)線性變換。證明對(duì)任意的α，β∈R3及任意的k∈R，有可見σ是一個(gè)線性變換。例1.5設(shè)α0是線性空間V中一個(gè)確定的非零向量。設(shè)規(guī)則σ為則σ是V的變換，但不是線性變換。證明

σ為V的變換是明顯的。欲說明σ不是線性變換，只須說明σ不能保持加法（或不能保持?jǐn)?shù)乘）。事實(shí)上，對(duì)V中向量α，β，而因?yàn)棣?

≠0，所以?？梢姦遥é?

β）≠σ（α）+σ（β）不是線性變換。設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間。V的線性變換具有下述基本性質(zhì)。性質(zhì)1若σ為線性變換，則σ

（0）=0；σ（-α）=-（α）證明

性質(zhì)2線性變換σ保持線性組合關(guān)系，即對(duì)V中任意向量α1，α2

，···αs及數(shù)域F中任意數(shù)k

1，k2，···，k

s，總有證明應(yīng)用定義1.4中的1），2）即得。性質(zhì)3線性變換σ把線性相關(guān)向量組化為線性相關(guān)向量組，即若α1，α2

，···αs是V中線性相關(guān)向量組，則σ（α1），σ（α2），···

σ（αs）也一定是線性相關(guān)的。證明若V中α1，α2

，···αs線性相關(guān)，則有數(shù)域F中不全為零的數(shù)k

1，k2，···，k

s，使于是利用上述性質(zhì)1，2，上式即成為即說明σ（α1），σ（α2），···

σ（αs）線性相關(guān)。請(qǐng)讀者注意，性質(zhì)3的逆命題并不成立。即不能從σ（α1），σ（α2），···

，σ（αs）線性相關(guān)得出α1，α2

，···αs一定線性相關(guān)的結(jié)論。例如，當(dāng)σ=0*時(shí)，對(duì)任何線性無關(guān)的向量組α1，α2

，···αs

，σ（α1），σ（α2），···

，σ（αs）個(gè)個(gè)都是零向量，它們組成的向量組當(dāng)然是線性相關(guān)的。性質(zhì)4若σ，τ都是線性變換，則σ+τ，στ都是線性變換；對(duì)于k∈

F，kσ也是線性變換。證明對(duì)任意α,β∈V的及任意的k∈

F

，有故知σ+τ為線性變換。類似可證στ及kσ亦為線性變換。如果線性空間V的線性變換σ還是可逆變換，則稱σ為可逆線性變換。對(duì)于可逆線性變換，還有下面的性質(zhì)。性質(zhì)5若σ是可逆線性變換，則σ-1也是可逆線性變換。證明由于σ與σ-1互為逆變換，只須再證σ-