個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)第六章數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力［教學(xué)目標(biāo)］了解數(shù)學(xué)思維的種類(lèi)、含義方法；理解數(shù)學(xué)能力的基本內(nèi)涵與特征，熟悉中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的方法與途徑。［學(xué)時(shí)］4［教學(xué)方法］課堂講解；課例討論［重點(diǎn)、難點(diǎn)］數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力的意義［教學(xué)過(guò)程］§6-1數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng)一、數(shù)學(xué)思維（Mathematicalthinking）1、思維的種類(lèi)根據(jù)思維過(guò)程中的憑借物或思維形態(tài)不同，可將思維分為動(dòng)作思維，形象思維和抽象思維三大類(lèi)。動(dòng)作思維，就是在思維過(guò)程中依賴(lài)實(shí)際動(dòng)作為支柱的思維，其特點(diǎn)是：任務(wù)是直覺(jué)的，以具體形式給予的。其解決方法是實(shí)際動(dòng)作，動(dòng)作停止，思維也即停止。例如：動(dòng)手做、折紙等。形象思維，是由表象或憑借事物的知覺(jué)形象來(lái)進(jìn)行分析、綜合、抽象、概括的過(guò)程。這種思維的基本單位是表象。例如：空間觀念、函數(shù)圖象、向量。抽象思維，是以概念、判斷、推理的形式來(lái)反映客觀事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以達(dá)到對(duì)事物本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)過(guò)程。思維的其他分類(lèi)：再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維（智力品質(zhì)）；發(fā)散性思維和聚合（集中）思維（指向性）;（求異） （求同）直覺(jué)思維（頓悟）和分析思維。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷加深和抽象概括水平的逐步提高，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也逐步由直觀行動(dòng)的動(dòng)作思維發(fā)展到具體形象思維，再發(fā)展到抽象的邏輯思維。同時(shí)，由于數(shù)學(xué)思維的復(fù)雜性，年齡的增長(zhǎng)，學(xué)習(xí)內(nèi)容的綜合，這三你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)種思維成分之間往往又是相互滲透的。數(shù)學(xué)思維最主要形式是邏輯思維及分析思維。2、數(shù)學(xué)思維的基本成分形象思維、抽象邏輯思維及直覺(jué)思維是數(shù)學(xué)思維的基本成分。（1）形象思維數(shù)學(xué)雖以其抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性著稱(chēng)，但數(shù)學(xué)思維中也有形象思維的成分。這里人們建立在理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)科學(xué)的演繹體系中，從原始概念到命題、結(jié)論，無(wú)一不是從具體事物中抽象出來(lái)的理想事物。以圖表為例。在數(shù)學(xué)中，圖不僅是研究的對(duì)象，而且也成為重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行思維表達(dá)的工具。用圖形表現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容能化抽象為具體、化深?yuàn)W為淺顯，從而有利于抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容的識(shí)記、保持和運(yùn)用。形象思維，具備思維的各種特性。它的主要心理成分有聯(lián)想、表象，想象和情感。（2）抽象邏輯思維它是以概念、判斷、推理的形式來(lái)進(jìn)行的思維。它是一切正常人的思維，是人類(lèi)思維的核心形態(tài)。數(shù)學(xué)中的抽象邏輯思維包括形式邏輯思維和辯證邏輯思維。抽象思維又分為經(jīng)驗(yàn)型抽象思維和理論型抽象思維。一般地，小學(xué)一一形象思維為主初中一一經(jīng)驗(yàn)型抽象思維高中一一經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡大學(xué)一一理論型抽象思維辯證思維，是抽象邏輯思維發(fā)展的高級(jí)階段。這種思維依據(jù)的不是形式邏輯，而是辯證邏輯。所謂辯證邏輯是同形式邏輯相比較而存在，并且是在形式邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展形成的，所以它屬于高等邏輯。辯證邏輯的概念具有靈活性和具體性，強(qiáng)調(diào)思維反映事物的內(nèi)在矛盾。在數(shù)學(xué)中有豐富的辯證法思維。恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)，辯證的輔助工作和表現(xiàn)形式。”例如：正與負(fù)，常數(shù)與變數(shù)，微分與積分，直線與曲線等（對(duì)立統(tǒng)一）你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)數(shù)與形（如曲線和方程，傾向和斜率等） （矛盾轉(zhuǎn)化）分?jǐn)?shù)與整數(shù)，有限和無(wú)窮 （量變質(zhì)變）導(dǎo)函數(shù)的產(chǎn)生是對(duì)原始函數(shù)的“否定之否定”的結(jié)果。還有：個(gè)別到一般，相對(duì)到絕對(duì)，從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限等，必然中之偶然。（3）直覺(jué)思維直覺(jué)思維，就是具有意識(shí)的人腦對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)以及規(guī)律性關(guān)系的敏銳的想象和迅速的判斷。它包括兩個(gè)方面，一是判斷（洞察），二是想象，并且二者有機(jī)結(jié)合?！芭袛唷?，是指人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象以及結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的識(shí)別、直接的理解、綜合的判斷；?“想象”，是指人對(duì)腦中已有的表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造出新形象的過(guò)程。布魯納指出，直覺(jué)思維“它不是一按仔細(xì)的規(guī)定好的步驟前進(jìn)為其特征的”，“總是以熟悉牽涉到的知識(shí)領(lǐng)域及其結(jié)構(gòu)為根據(jù)，使思維者可能實(shí)行躍進(jìn)、越級(jí)和采取捷徑；多少需要用分析的方法一一不論演繹法或歸納法，重新檢驗(yàn)所作的結(jié)論?！睌?shù)學(xué)直覺(jué)思維往往會(huì)表現(xiàn)在靈感直覺(jué)和普通直覺(jué)兩個(gè)方面。它具有潛邏輯性、無(wú)意識(shí)性（自發(fā)性、不可解釋性及隨機(jī)性）的特征。概括地說(shuō)，所謂數(shù)學(xué)直充思維就是大腦基于有限的數(shù)據(jù)資料和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，充分調(diào)動(dòng)一切與問(wèn)題有關(guān)的顯意識(shí)和潛意識(shí)，在敏銳想象和迅速判斷有機(jī)結(jié)合下，從整體上單刀直入地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，洞察數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系的一種思維。這種思維的實(shí)質(zhì)，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其結(jié)構(gòu)、關(guān)系的想象和判斷。二、數(shù)學(xué)基本能力能力是直接影響活動(dòng)的效率，使活動(dòng)順利完成的穩(wěn)定的個(gè)性心理特征。有以下要點(diǎn)：①能力是活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的；②能力是影響活動(dòng)效果的；③能力是穩(wěn)定的個(gè)性心理特征。智力是屬一般的能力。它是觀察力、記憶力、注意力、想象力、思維力的總你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)稱(chēng)。但，數(shù)學(xué)成為是要反映出數(shù)學(xué)特點(diǎn)的。因此它是一種特殊的心理能力。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)里提到的數(shù)學(xué)基本能力是：運(yùn)算能力，邏輯思維能力和空間想象力；還有分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，創(chuàng)新意識(shí)（精神）。兩種數(shù)學(xué)能力的區(qū)分：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)能力和“創(chuàng)造性”的數(shù)學(xué)能力。所謂學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)能力就是在學(xué)習(xí)（學(xué)會(huì)、掌握）數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)課程的數(shù)學(xué)）的過(guò)程中，迅速而成功地掌握適當(dāng)知識(shí)和技能的能力。所謂“創(chuàng)造性”的數(shù)學(xué)能力，是在數(shù)學(xué)科學(xué)活動(dòng)中的能力，這種能力產(chǎn)生具有社會(huì)價(jià)值的新成果和新成就。我們認(rèn)為：二者本質(zhì)相同，只是在程度上不同。如阿達(dá)瑪斷言，在試圖解數(shù)學(xué)題和幾何題的學(xué)生的活動(dòng)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)者的活動(dòng)之間，僅僅只有程度上和水平上的差異一一這兩種活動(dòng)在性質(zhì)上是相似的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力是創(chuàng)造性數(shù)學(xué)能力的一種表現(xiàn)。中小學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是高水平數(shù)學(xué)能力的初級(jí)階段。已知的東西重新發(fā)現(xiàn)可以是創(chuàng)造性的。它的結(jié)果可能是非創(chuàng)造性的，但其過(guò)程卻是創(chuàng)造性的。這兩種數(shù)學(xué)能力都是在創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和發(fā)展起來(lái)的。因此，它們具有本質(zhì)上的相同。但是由于形成這兩種數(shù)學(xué)能力的實(shí)際活動(dòng)分別屬于不同的層次，因此它們也有區(qū)別。同時(shí)，在一定條件下，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力可以發(fā)展成為創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)能力，而且要具備創(chuàng)造性數(shù)學(xué)能力，必須首先具備較強(qiáng)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。由此可看出，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的所要培養(yǎng)的運(yùn)算能力，邏輯思維能力和空間想象中主要屬于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的教學(xué)能力。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以進(jìn)行創(chuàng)新精神、研究性意識(shí)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。其它還有更廣泛的數(shù)學(xué)能力：數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力、審美能力、自學(xué)能力以及數(shù)學(xué)建模能力。三、數(shù)學(xué)基本的能力的培養(yǎng)途徑（一）運(yùn)算能力1、運(yùn)算能力：運(yùn)算通常可理解為一種特殊的映射。你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)運(yùn)算過(guò)程可以理解為根據(jù)運(yùn)算定義及其性質(zhì)，從已知的運(yùn)算對(duì)象導(dǎo)出結(jié)果的過(guò)程。中學(xué)數(shù)學(xué)的運(yùn)算主要涉及數(shù)與式的各種代數(shù)運(yùn)算（整式、分式、根式運(yùn)算）；初等超越運(yùn)算（三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算）；微積分中求導(dǎo)、求積的初步運(yùn)算；概率的運(yùn)算和大量的數(shù)據(jù)處理。此外，還包括一些初等的“集合運(yùn)算”和邏輯運(yùn)算?？傊?，數(shù)學(xué)運(yùn)算在中學(xué)教材中是貫徹始終的。例定義：一個(gè)AXB到D的映射叫做一個(gè)AXB到D的代數(shù)運(yùn)算。用“?！北硎荆?。：（a,b）fd=。（a,b）例數(shù)值計(jì)算，式的恒等變形，方程與不等式的同解變形；函數(shù)的運(yùn)算；計(jì)算器、計(jì)算機(jī)一一數(shù)據(jù)處理，程序操作等；近似計(jì)算（估算）；數(shù)（式）的結(jié)合與分解。2、培養(yǎng)運(yùn)算能力的基本途徑（1）使學(xué)生理解和掌握各種運(yùn)算的有關(guān)概念、性質(zhì)、公式、法制等，是確保運(yùn)算正確、合理的（根本）前提。包括一些常用數(shù)據(jù)、口訣、速算的方法等。（2）進(jìn)行推理訓(xùn)練是提高運(yùn)算能力的必要途徑。（步步有根據(jù)、有充足理由、注意運(yùn)用性質(zhì)和公式進(jìn)行推理）（3）加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)是提高學(xué)生運(yùn)算能力的更有效途徑。3、中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)①深刻理解數(shù)學(xué)符號(hào)（圖形）的含義以及數(shù)學(xué)符號(hào)（圖形）運(yùn)算所表達(dá)的數(shù)學(xué)內(nèi)容；②熟記各種重要數(shù)據(jù)、公式和法則；③理解重要恒等變形的基本公式、法則的本質(zhì)特征和數(shù)學(xué)思想；④理解運(yùn)算的算理，并能根據(jù)算理進(jìn)行合理的推導(dǎo)；⑤有較強(qiáng)的觀察能力，能根據(jù)題目所給條件，探討解題途徑，尋求簡(jiǎn)捷、合理的解法；⑥會(huì)使用數(shù)學(xué)用表、會(huì)心算、近似計(jì)算和估算；⑦能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)從不同角度進(jìn)行驗(yàn)算和檢驗(yàn)；⑧能迅速準(zhǔn)確地得出解題結(jié)果。你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)（二）空間想象能力1、空間想象能力，是指人的對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思考的能力。數(shù)學(xué)中的空間想象力是指對(duì)物體的形態(tài)、結(jié)構(gòu)、大小、位置關(guān)系的想象能力。2、培養(yǎng)空間想象力的基本途經(jīng)①學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)；如立體幾何，平面幾何，解析幾何及其他數(shù)形結(jié)合內(nèi)容等。例數(shù)軸、坐標(biāo)、函數(shù)圖像、三角函數(shù)的意義，曲線與曲面幾何量的度量與計(jì)算，函數(shù)的極限與連續(xù)等。②通過(guò)某些數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)培養(yǎng)空間想象力；例如觀察、剖析、測(cè)量、設(shè)計(jì)作用或制作模型，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等。③利用幾何的圖像表達(dá)數(shù)量關(guān)系；④把立體幾何的教學(xué)作為重點(diǎn)，充分利用實(shí)物、模型、教具、掛圖等直觀教具。3、中學(xué)數(shù)學(xué)空間想象力應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)①對(duì)基本的幾何圖形熟悉，能正確畫(huà)圖，能在頭腦中分析圖形的基本元素之間的度是關(guān)系和位置關(guān)系。②能借助圖形來(lái)反映并思考客觀事物的空間形狀及位置關(guān)系。③能借助圖形來(lái)反映并思考用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或式所表達(dá)的空間形狀和位置關(guān)系。④熟練的識(shí)圖能力。即從復(fù)雜的圖形中能區(qū)分出基本圖形，能分析其中的基本圖形和基本元素之間的基本關(guān)系。NOTE：［關(guān)于數(shù)學(xué)能力的實(shí)質(zhì)說(shuō)］（一）數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心1（二）數(shù)學(xué)能力實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)說(shuō)（三）“以習(xí)題演練為基礎(chǔ)，以問(wèn)題解決為主導(dǎo)”的能力培養(yǎng)理念（四）問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)質(zhì)，數(shù)學(xué)建模是問(wèn)題解決的核心A?H?柯?tīng)柲曷宸蛟谡劦綌?shù)學(xué)中直覺(jué)的作用時(shí)曾指出：“在只要有可能的地方，數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問(wèn)題盡量地變成可借用的幾何直觀問(wèn)1曹才翰：《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論》，北京師范大學(xué)出版社，1999年，86?89。你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)題。……幾何想像，或如同平常人們所說(shuō)的‘幾何直覺(jué)’，對(duì)于幾乎所有數(shù)學(xué)分科的研究工作甚至對(duì)于最抽象的工作，有著重大的意義”。（三）邏輯思維能力1、邏輯思維能力就是正確、合理地進(jìn)行思考的能力。中學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯思維能力，是根據(jù)正確的思維規(guī)律和形式，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性進(jìn)行分析綜合、抽象概括、推理論證的能力。中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容是通過(guò)邏輯論證來(lái)敘述的。數(shù)學(xué)中的運(yùn)算、證明、作圖都蘊(yùn)含著邏輯推理過(guò)程。邏輯思維是數(shù)學(xué)中諸能力的核心，如果離開(kāi)了邏輯思維能力的培養(yǎng)，那么要想學(xué)好數(shù)學(xué)是根本不可能的。運(yùn)算能力是邏輯思維與一些具體的運(yùn)算知識(shí)和技能相結(jié)合而在處理數(shù)量關(guān)系方面的表現(xiàn)；空間想象力則是邏輯思維與一些經(jīng)驗(yàn)幾何知識(shí)和識(shí)圖、作圖技能相結(jié)合而在處理空間形式方面的表現(xiàn)。2、培養(yǎng)邏輯思維能力的基本途徑①堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性②把數(shù)學(xué)直觀作為邏輯推理的補(bǔ)充③通過(guò)解題訓(xùn)練積累思維經(jīng)驗(yàn)④重視教材中邏輯成分的講解3、中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯思維能力應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)①能從具體對(duì)象中抽象概括一類(lèi)事物的本質(zhì)特征；②在分析問(wèn)題和解題過(guò)程中，因果關(guān)系明確、邏輯層次分明、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明、步驟完整；③能運(yùn)用綜合、分析方法、尋找最優(yōu)解法；④能使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言流暢地?cái)⑹鲎约簩?duì)問(wèn)題的思考和解答過(guò)程，而且能熟練地使用數(shù)學(xué)符號(hào)、完整地表達(dá)這個(gè)過(guò)程；⑤能準(zhǔn)確識(shí)別數(shù)學(xué)語(yǔ)句的邏輯形式；⑥能綜合運(yùn)用觀察、擬情推理、轉(zhuǎn)化、設(shè)想、方向選擇等分析思維方法；⑦具有鑒別證明或解答是否正確的能力；⑧能構(gòu)造反例糾正邏輯錯(cuò)誤；⑨能擺脫固有模式，善于從不同角度去思考問(wèn)題，并且思考敏捷，轉(zhuǎn)向靈活。你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)（四）如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)的教學(xué)探討1、加強(qiáng)“雙基”教學(xué)，為培養(yǎng)學(xué)生的能力打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；“智慧不是別的，而是一種組織得很好的知識(shí)體系”（［俄］烏申斯基）。知識(shí)是培養(yǎng)能力的基礎(chǔ)。2、重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生能力的重要方面；數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要內(nèi)容。3、注重思維能力的培養(yǎng)，為培養(yǎng)學(xué)生能力的主攻方向；數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。思維能力是能力的核心。特別是數(shù)學(xué)的探究能力、抽象概括能力和推理論證能力。4、指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，為培養(yǎng)學(xué)生能力開(kāi)辟多種途徑；數(shù)學(xué)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模，問(wèn)題解決，研究性課題等。5、堅(jiān)持啟發(fā)-創(chuàng)新的教學(xué)模式，為培養(yǎng)學(xué)生的能力創(chuàng)造有利條件；激發(fā)興趣，合作交流，研究性學(xué)習(xí)。6、指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，為學(xué)生的能力培養(yǎng)提供積極因素。質(zhì)疑、善問(wèn)、示范、探究、自學(xué)。（五）閱讀材料：中學(xué)生數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)剖析表2思考與練習(xí)（P193）2李永新：《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法（上冊(cè)）》，東北師范大學(xué)出版社，2001年.P195.你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)§6-2問(wèn)題解決的教學(xué)與創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)一、什么是問(wèn)題（Problem）1、問(wèn)題，是認(rèn)識(shí)主體想要弄清楚或力圖說(shuō)明的東西，也就是主體所要解決的疑難。當(dāng)人們與客觀世界產(chǎn)生接觸，從抽象的量化的角度建立模式的過(guò)程中反映出認(rèn)識(shí)與客觀世界的矛盾時(shí)，就形成了數(shù)學(xué)問(wèn)題。換言之，以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問(wèn)題稱(chēng)為數(shù)學(xué)問(wèn)題。2、“問(wèn)題”與“習(xí)題”、“考題”有什么區(qū)別和關(guān)系？習(xí)題（Exercise）的目的在于鞏固和練習(xí)，內(nèi)容是常規(guī)的，學(xué)生易于模仿；考題（TestQuestion）專(zhuān)指在限定時(shí)間內(nèi)筆試且必須獨(dú)立完成的題目。問(wèn)題（Problem）應(yīng)如何定義，尚無(wú)統(tǒng)一的看法，有以下特點(diǎn)：①非常規(guī)，即不是教材內(nèi)容的簡(jiǎn)單模仿，不是靠熟練操作就能完成的，需要較多的創(chuàng)造性；②重視情景與應(yīng)用，即給出問(wèn)題往往不是純數(shù)學(xué)化的“已知”、“求證”模式，而是給出一種情景，一種實(shí)際要求，以克服一種現(xiàn)實(shí)困難為標(biāo)志。③探究性，問(wèn)題不一定有解、答案不必唯一，條件可以冗余，模型可以自己設(shè)計(jì)，這往往需要?jiǎng)邮植僮鳌⒃囼?yàn)，與別人討論，不必限時(shí)限刻地要求個(gè)人獨(dú)立完成。④開(kāi)放性，其發(fā)散思維十分突出。數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中，“解題”是最基本的活動(dòng)形式。無(wú)論是學(xué)生的數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的掌握、數(shù)學(xué)方法和技能技巧的獲得，還是學(xué)生智力的培養(yǎng)和發(fā)展，都必須通過(guò)“解題”同時(shí)，“解題”也是評(píng)價(jià)學(xué)生的知識(shí)和發(fā)展水平的主要手段。在我國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育觀念中，“解題”意味著解答“習(xí)題'。我們所說(shuō)的習(xí)題包括訓(xùn)練性的題和探索性的題，與國(guó)外的練習(xí)（Exercise）的含義不完全相同，可以蘊(yùn)涵“問(wèn)題”（Problem）的大部分內(nèi)容。但是，我國(guó)傳統(tǒng)意義下的習(xí)題，顯然不包括具有“開(kāi)放性答案”和某些從實(shí)際生活中提出的條件不充分的“問(wèn)題”。3、數(shù)學(xué)史的例證：《九章算術(shù)》（公元前一世紀(jì)）就是一本問(wèn)題集，收錄九類(lèi)246個(gè)問(wèn)題；秦九韶《數(shù)學(xué)九章》（南宋十三世紀(jì)）也是一本百科全書(shū)式的問(wèn)題集，九類(lèi)你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)81題。從問(wèn)題出發(fā)，從算法算理中總結(jié)數(shù)學(xué)原理而不是以推理論證為主旨，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)(算學(xué))發(fā)展的一條主線。吳文俊指出：“我國(guó)的古代數(shù)學(xué)基本上遵循了從生產(chǎn)實(shí)踐中提練出數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析綜合，形成概念方法，并上升到理論階段，精煉成極少數(shù)一般性原理，進(jìn)一步應(yīng)用于多種多樣的不同問(wèn)題。從問(wèn)題而不是從公理出發(fā)，以解決問(wèn)題而不是以推理論證為主旨，這與西方之以歐幾里得幾何為代表的所謂演釋體系旨趣迥異，途徑亦殊?！保邸皢?wèn)題”的例證］(參見(jiàn)戴再平《數(shù)學(xué)習(xí)題理論》P.12；《開(kāi)放題一數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式》)美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家基爾巴屈克。?長(zhǎng)曲2也記女)列舉以下六個(gè)題目，以顯示“問(wèn)題”的不同含義：(1)已知L12，問(wèn)x是多少？(這是常規(guī)計(jì)算題)25x(2)如圖： lOunce=29.57cm3,1^=1/100美元(3)如果一懷7Ounces的汽水賣(mài)25中，問(wèn)一杯12盎斯的汽水賣(mài)多少錢(qián)？NOTE：(2)、(3)屬于教材中文字題。(4)三個(gè)學(xué)生正在籌辦一次野餐，他們了解到一杯7盎斯的汽水通常賣(mài)25中，現(xiàn)在他們想知道一杯12盎斯的汽水應(yīng)該收多少錢(qián)？(5)社區(qū)舉辦慈善性野餐，有位辦事人員定出一杯7盎斯的汽水的價(jià)格是25中，并問(wèn)你一杯12盎斯的汽水應(yīng)賣(mài)多少錢(qián)？NOTE：(4)、(5)屬于問(wèn)題情境題。(6)如果一杯7盎斯的汽水賣(mài)25中，則按比例計(jì)算時(shí)，一杯12盎斯的汽水的價(jià)格不剛好為整數(shù)。一個(gè)解決的方式是把一杯7盎斯的汽水價(jià)格提高一些，使得按比例算出來(lái)的一杯12盎斯的汽水的價(jià)格為整數(shù)。請(qǐng)你提出解決的方案，在各種可能的解決方案中，提高的最少數(shù)目是多少？(non-routineproblem)(可以導(dǎo)出來(lái)有兩個(gè)未知數(shù)的不定方程)NOTE：(6)屬于非常規(guī)問(wèn)題。［日］澤田利夫的“開(kāi)放型”(Open-ended)問(wèn)題A、B、C三人作擲石子的游戲，結(jié)果如圖，這個(gè)游戲是以石子散落的距離你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理一僅供參考學(xué)習(xí)小者為優(yōu)勝。請(qǐng)想一想如何用“數(shù)”來(lái)表示這個(gè)“散度”？ABC以下是幾種比較“散度”的方法：①多邊(角)形的面積；②多邊(角)形的周長(zhǎng)；③連續(xù)兩點(diǎn)的最長(zhǎng)線段；④連續(xù)各點(diǎn)的線段之和；⑤從某一點(diǎn)引向各點(diǎn)的線段之和；⑥覆蓋各點(diǎn)的圓的最小半徑；⑦由于坐標(biāo)的引入而產(chǎn)生的平均差⑧標(biāo)準(zhǔn)差［高考中的開(kāi)放性問(wèn)題］(《開(kāi)放題一數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式》P252、268)國(guó)外的例證：1687年I?Newton的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)也是把數(shù)學(xué)建立為理論科學(xué)的方法論的范例。牛頓從他那個(gè)時(shí)代所積累的天文數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了模式，他的理論就是源于數(shù)據(jù)、演繹推導(dǎo)、觀察證實(shí)的一種模式的科學(xué)。(ScienceofPatterns)。對(duì)解題的思維策略的探討始終是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一條線索。L?Euler應(yīng)用了從有限過(guò)渡到無(wú)限，從代數(shù)方程過(guò)渡到三角方程的方法，求得了雅各?貝努利(JacobBernoulli)沒(méi)能解決的級(jí)數(shù)的和：寸X—兀2n2 6n=1迄今為人們所推崇，被認(rèn)為是運(yùn)用類(lèi)比推理的典范。笛長(zhǎng)爾(R-Descartes)在創(chuàng)立了解析幾何之后，進(jìn)一步?jīng)]想過(guò)一個(gè)包羅萬(wàn)象的解題方案；將任何種類(lèi)的問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題；將任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題；將任何代數(shù)問(wèn)題化歸為方程求解。這雖然是一個(gè)古老的哲學(xué)夢(mèng)想，但對(duì)數(shù)你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理一僅供參考學(xué)習(xí)學(xué)發(fā)展的影響是深遠(yuǎn)和深刻的。1900年，偉大數(shù)學(xué)家D-Hilbert在巴黎第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上以“23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題”的著名演講，昭示著數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)。他說(shuō)道：“只要一門(mén)科分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿(mǎn)著生命力；而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。”這23個(gè)問(wèn)題解決成為20世紀(jì)數(shù)學(xué)水平的標(biāo)志。正如人類(lèi)的每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊和自由境界。猜想：哥德巴赫C-Goldbach猜想：1742年6月7日，［德］Goldbach給僑居俄國(guó)彼得堡的大數(shù)學(xué)家Euler的一封信提出：是否任何不比6小的偶數(shù)均可表為兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和？比勃巴赫猜想(L,Bieberbach)：1916年，［德］Bieberbach提出原猜想是：定義在單位圓上形如z+a2z2+a3z3+…的單葉函數(shù)，有k/<k。Bieberbach本人只證明了|〃2K2，結(jié)論經(jīng)過(guò)多次改進(jìn)，最后由［美］達(dá)?布蘭奇斯(L?deBranges)于1984年徹底解決。正如人類(lèi)的每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊和自由境界。費(fèi)馬(Fermat)大定理。龐加萊(H-Poincare)的“三體問(wèn)題”。以及由于計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)擺在數(shù)學(xué)家面前的大量的應(yīng)用問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)。如：四色問(wèn)題。數(shù)學(xué)界普遍接受美國(guó)數(shù)學(xué)家P?R?Halmos的下述說(shuō)法：數(shù)學(xué)究竟是由什么組成的？是公理？定理？證明？概念？定義？理論？公式？誠(chéng)然，沒(méi)有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不存在，這些都是數(shù)學(xué)的重要組成部分。但是它們中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟，這個(gè)觀點(diǎn)是站得住腳的，數(shù)學(xué)存在的主要理由就是解題。因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問(wèn)題和解。二、問(wèn)題解決(ProblemSolving)是數(shù)學(xué)教育的核心你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會(huì)吃得起苦個(gè)人收集整理.僅供參考學(xué)習(xí)1、“問(wèn)題解決”的含義是什么？目前尚無(wú)統(tǒng)一解釋?zhuān)瑲w納有以下幾種情況：（1）問(wèn)題解決是人心理活動(dòng)。它指的是人們?cè)谌粘Ｉ詈蜕鐣?huì)實(shí)踐中，面臨新情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒(méi)有現(xiàn)成對(duì)策時(shí)，所引起的尋求處理問(wèn)題辦法的一種心理活動(dòng)。（2）問(wèn)題解決是過(guò)程。它是把以前面學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到新的和不熟悉的情境中的過(guò)程。（3）問(wèn)題解決是教學(xué)類(lèi)型。應(yīng)將“問(wèn)題解決”的活動(dòng)形成看作教和學(xué)的類(lèi)型，不應(yīng)將其看成課程附加的東西。（4）問(wèn)題解決是目的“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問(wèn)題解決。20世紀(jì)80年代以來(lái)，世界上許多國(guó)家都把提高學(xué)生問(wèn)題解決的能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。”（5）“問(wèn)題解決”是能力1982年，英國(guó)考克羅夫特（Cockroft）報(bào)告中指出：“那種把數(shù)學(xué)用之各種情況的能力，叫做問(wèn)題解決”。我們認(rèn)為：?jiǎn)栴}解決提出一種新的教學(xué)模式。和過(guò)去一個(gè)定理，一個(gè)公式地學(xué)習(xí)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)真理的靜態(tài)過(guò)程不同，它要求學(xué)生創(chuàng)造（建構(gòu)）“自己”的數(shù)學(xué)知識(shí)，在和困難作斗爭(zhēng)中探究數(shù)學(xué)真理，因而是動(dòng)態(tài)的?！皢?wèn)題解決”不是一種具體的技能，它是貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教育過(guò)程中，應(yīng)該在數(shù)學(xué)教育中所體現(xiàn)的一條主線。在數(shù)學(xué)中，“問(wèn)題解決”為學(xué)生提供了一個(gè)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的環(huán)境和機(jī)會(huì)，為教師提供了一條培養(yǎng)學(xué)生解題能力、自控能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的有效途徑?！皢?wèn)題解決”教學(xué)模式對(duì)于英才教育和大眾教育都是需要的。十幾年來(lái)，“問(wèn)題解決”已成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育的一個(gè)熱點(diǎn)?！睹绹?guó)數(shù)學(xué)月刊》、《數(shù)學(xué)教師》等雜志，英國(guó)、日本