誤差、不確定度與數(shù)據(jù)處理徐志君xzj@測量永遠伴隨有誤差誤差分析、不確定度計算以及數(shù)據(jù)處理貫穿實驗的過程始終誤差、不確定度與數(shù)據(jù)處理徐志君測量永遠伴隨有誤差誤差分析、一、測量與誤差的基本概念1測量和單位結(jié)果：數(shù)值＋單位

2測量分類何謂測量？比較直接測量

間接測量單次測量多次測量等精度不等精度3測量的誤差測量值真值一、測量與誤差的基本概念1測量和單位結(jié)果：數(shù)值＋單位24.誤差的種類系統(tǒng)誤差:重復(fù)測量，誤差按某一規(guī)律變化，可預(yù)測、可控制隨機誤差：不可預(yù)測、不可控制，但服從一定的統(tǒng)計規(guī)律誤差4.誤差的種類系統(tǒng)誤差:重復(fù)測量，誤差按某一規(guī)律變化，可預(yù)天平不等臂所造成的系統(tǒng)誤差儀器誤差：儀器的結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)不完善或使用不當(dāng)引起的誤差

4.1系統(tǒng)誤差1.系統(tǒng)誤差源天平不等臂所造成的系統(tǒng)誤差儀器誤差：4.1系統(tǒng)誤差1.系統(tǒng)誤

不偏心時，由于，所以可用弧長反映角度的大小。

由于偏心，使之用弧長反映角度時產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。如：這是由偏心造成的。Oab偏心差A(yù)B不偏心時，由于由于偏心，使之用弧長反映角度理論與方法誤差：

實驗理論和實驗方法不完善，所引用的理論與實驗條件不符等產(chǎn)生的誤差

條件：理論：理論與方法誤差：條件：理論：方法：內(nèi)接AVVRVA用V作為VR的近似值時，求:AVIRIV外接方法：內(nèi)接AVVRVA用V作為VR的近似值A(chǔ)VIRI人為：實驗人員的生理或心理特點所造成的誤差

生理因素聽覺嗅覺色覺視覺對音域（20HZ--20KHZ）的辨別。對音色的辨別。人為：生理因素聽覺對音域（20HZ--20KHZ）環(huán)境市電的干擾輸入光點檢流計接近時，靜電干擾，使光斑移動等環(huán)境市電的干擾輸入光點檢流計接近時，靜

小結(jié)表現(xiàn)出恒偏大、恒偏小或周期性的特點（有規(guī)律性）。增加測量次數(shù)不能減少系統(tǒng)誤差,只能從方法、理論、儀器等方面的改進與修正來實現(xiàn)。小結(jié)表現(xiàn)出恒偏大、恒偏小或周期性的特點（有規(guī)律性）。增加測2.系統(tǒng)誤差的處理原則查出系統(tǒng)誤差源通過改進實驗方法和實驗裝置等方法對系統(tǒng)誤差加以補償、抵消或減少在數(shù)據(jù)處理中對測量結(jié)果進行理論上修正，以消除或盡可能減小系統(tǒng)誤差對實驗結(jié)果的影響對殘余系統(tǒng)誤差，根據(jù)具體情況作出估算2.系統(tǒng)誤差的處理原則查出系統(tǒng)誤差源對殘余系統(tǒng)誤差，根據(jù)具體4.2隨機（偶然）誤差1.隨機誤差源：不確定2.統(tǒng)計規(guī)律性：隨機誤差對任一次測量結(jié)果的影響具有隨機性特點。但在多次測量中表現(xiàn)出確定的規(guī)律即統(tǒng)計規(guī)律?？捎脕韺ε既徽`差的影響程度作出客觀的評價。4.2隨機（偶然）誤差1.隨機誤差源：不確定2.統(tǒng)計規(guī)律性例如：用秒表測單擺的周期T，將各測量值出現(xiàn)的次數(shù)列表如下。n=30次測量值xi(s)1.011.021.031.041.051.061.071.081.091.10次數(shù)n

1128852210概率P1/301/301/154/154/151/61/151/151/300Pxi(S)再測n=30次n=60次Pxi(S)再測n=60次例如：用秒表測單擺的周期T，將各測量n=30次測量值N→∞單峰性有界性對稱性大部分數(shù)據(jù)存在于確定的范圍內(nèi)，該范圍可評價偶然誤差的大小抵償性Pxi(S)再測N→∞正態(tài)分布函數(shù)高斯分布函數(shù)N→∞單峰性有界性對稱性大部分數(shù)據(jù)存在于確定的范圍內(nèi)，該范圍測量結(jié)果的最佳值：誤差限將概率P用概率密度f（x）來表示，則有測量結(jié)果的最佳值：誤差限將概率P用概率密度f（x）來表示，則標(biāo)準(zhǔn)偏差決定正態(tài)分布，表征測量數(shù)據(jù)的精密度精密度高，但系統(tǒng)誤差大大標(biāo)準(zhǔn)偏差決定正態(tài)分布，表征測量數(shù)據(jù)的精密度精密度高，但系統(tǒng)誤3.隨機誤差的估算--標(biāo)準(zhǔn)差

任何測量都不可能做無限次，只能是有限次。如對x量測量了n次得一測量列:{x1,x2,……,xn}可作為隨機誤差的估算。由測量列決定的標(biāo)準(zhǔn)差為：3.隨機誤差的估算--標(biāo)準(zhǔn)差任何測量都不可能做無限次測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差xi(S)f（x）

是用測量列的平均值作為真值的最佳估計值時，與兩者之間的偏離程度。測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差xi(S)f（x）是用測量列的平不確定度的概念表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，它表征了被測量量的真值所處的量值范圍的評定。2.測量結(jié)果的表示（三要素）

二.測量的不確定度人理論方法環(huán)境

儀器人為誤差理論誤差方法誤差儀器誤差環(huán)境誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差不確定度的概念2.測量結(jié)果的表示（三要素）二.測量的不確單次直接測量值多次直接測量平均值間接測量值物理意義：

待測物理量的真值以一定的置信概率P落在上述范圍內(nèi)（置信區(qū)間）測量結(jié)果不確定度測量誤差可能取值的測度測量真值可能存在的范圍的估計單次直接測量值多次直接測量平均值間接測量值物理意義：置信區(qū)間與置信概率存在單一關(guān)系:置信概率P越大，置信區(qū)間越大，或反之則越小A類（遵從統(tǒng)計分布）B類（不遵從統(tǒng)計分布）總的不確定度3.不確定度分類及計算(P接近100%）4.相對不確定度比較測量結(jié)果精度的高低置信區(qū)間與置信概率存在單一關(guān)系:置信概率P越大，置信區(qū)間越大三、數(shù)據(jù)處理—不確定度的計算將得到的數(shù)據(jù)整理、計算得出有關(guān)結(jié)果,并對結(jié)果的好壞作出客觀地評價。是整個實驗中最后一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。三、數(shù)據(jù)處理—不確定度的計算將得到的數(shù)據(jù)整理、計算得1.1單次測量儀器精度低（誤差大），隨機誤差很小條件限制，不可能進行多次測量對測量結(jié)果精度要求不高測量結(jié)果表示為：儀器誤差（出廠時的允差）根據(jù)測量情況估算兩者取其大1.直接測量量的數(shù)據(jù)處理1.1單次測量儀器精度低（誤差大），隨機誤差很小條件限制，1.2多次測量對測量列：{x1,x2,……,xn}1.2多次測量對測量列：{x1,x2,……,xn}1.3直接測量量數(shù)據(jù)處理舉例1.某長度測5次,分別為29.1829.2729.2529.2629.24(cm)ΔI=0.02cm.求測量結(jié)果。不確定度保留1位,且與平均值的最后一位對齊.解：在統(tǒng)計狀態(tài)下:依此29.18M+29.27M+----由X得：中間可多取一位最后取一位1.3直接測量量數(shù)據(jù)處理舉例1.某長度測5次,分別為29.2.間接測量量的數(shù)據(jù)處理2.1測量式為單元函數(shù)測量式結(jié)果直接測量量最佳值間接測量量不確定度例：2.間接測量量的數(shù)據(jù)處理2.1測量式為單元函數(shù)測量式結(jié)果直2.2測量式為多元函數(shù)各直接測量量的誤差對間接測量量誤差的影響2.2測量式為多元函數(shù)各直接測量量的誤差對間接測量量誤差的方和根合成得間接測量結(jié)果的總誤差：最佳值結(jié)果：方和根合成得間接測量結(jié)果的總誤差：最佳值結(jié)果：例：例：2.3測量式為乘除形式取自然對數(shù)，將乘除化為加減求導(dǎo)：微分改為不確定度，然后進行方和根合成，得2.3測量式為乘除形式取自然對數(shù)，將乘除化為加減求導(dǎo)：微分例：例：2.4間接測量量數(shù)據(jù)處理舉例（中間過程可多取幾位）2.4間接測量量數(shù)據(jù)處理舉例（中間過程可多取幾位）結(jié)果對齊結(jié)果對齊四.有效數(shù)字定義：有效數(shù)字=準(zhǔn)確數(shù)字+欠準(zhǔn)數(shù)位不確定位誤差所在位測量結(jié)果只能寫到開始有誤差、不確定的那一位若將上例的結(jié)果寫為不確定位1.有效數(shù)字的定義四.有效數(shù)字定義：不確定位誤差所在位測量結(jié)果只能寫到開始有誤2.有效數(shù)字的特點（1）位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)。35.76cm=0.3576m=0.0003576km（2）0的地位0.00035763.0053.000都是四位。（3）科學(xué)計數(shù)法（4）有效數(shù)字位數(shù)越多，相對不確定度越小2.有效數(shù)字的特點（1）位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)。35.76c3.有效數(shù)字的確定2.1由不確定度決定有效數(shù)字不確定度有效數(shù)字只取一位，測量結(jié)果最后一位與不確定度對齊.單次測量結(jié)果有效數(shù)字由儀器誤差或估計的不確定度決定.多次測量結(jié)果或間接測量結(jié)果，先計算不確定度，再由不確定度定有效數(shù)字位數(shù).3.有效數(shù)字的確定2.1由不確定度決定有效數(shù)字不確定度有效2.2沒有給出不確定度時有效數(shù)字的確定對直接測量結(jié)果，由儀器最小分度值+估讀一位決定[1]位置為35.00,不能寫成35cm。[1][2]位置為35.40cm[2][3][3]位置介于35.7--35.8之間,可以估計為635.77，不妨取35.76。

35

36(cm)2.2沒有給出不確定度時有效數(shù)字的確定對直接測量結(jié)果，由儀2.3對間接測量結(jié)果，由參與運算的各直接測量結(jié)果的有效數(shù)字決定[1]加減：加減運算結(jié)果的不確定度總是大于參與運算分量的不確定度，所以：結(jié)果與末位數(shù)最高者（不確定度最大者）對齊。[2]乘除：乘除運算結(jié)果的相對不確定度總是大于參與運算分量的相對不確定度，所以結(jié)果一般可與有效位數(shù)最少者（相對不確定度最大）相同。[3]冪運算：對數(shù)（指數(shù)）、三角函數(shù)(反三角）不改變有效數(shù)字位數(shù)。以上規(guī)則有例外2.3對間接測量結(jié)果，由參與運算的各直接測量結(jié)果的有效數(shù)字1.列表法五、常用數(shù)據(jù)處理方法

（1）各欄目均應(yīng)標(biāo)注名稱和單位（2）列入表中的主要應(yīng)是原始數(shù)據(jù)，表格中要盡量使人看到數(shù)據(jù)處理的方法和思路，而不能把列表變成簡單的數(shù)據(jù)堆積。（3）欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)的聯(lián)系和計算的程序，力求條理性和簡明化。（4）必要的附加說明，如測量儀器的規(guī)格、測量條件、表格名稱等等。1.列表法五、常用數(shù)據(jù)處理方法（1）各欄目均應(yīng)標(biāo)注名⑴能形象直觀地表示出物理量之間的變化規(guī)律⑵求出實驗的某些結(jié)果，如斜率和截距。⑶內(nèi)插法可從曲線讀取沒有進行測量的量值。⑷用外推法可從曲線延伸部分估讀出原測量數(shù)據(jù)范圍以外的量值。⑸發(fā)現(xiàn)實驗中個別的測量大誤差，同時，作圖連線對數(shù)據(jù)點可起到平均的作用⑹把某些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，通過一定的變換用直線圖表示出來2.作圖法作圖法的功能⑴能形象直觀地表示出物理量之間的變化規(guī)律⑶內(nèi)插法可從曲二測量的不確定度人理論方法環(huán)境儀器人為誤差理論誤差方法誤差課件作圖規(guī)則

⑴選用合適的坐標(biāo)紙：毫米方格紙⑵坐標(biāo)軸的比例與標(biāo)度：①橫軸代表自變量，縱軸代表因變量，并標(biāo)明所代表的物理量及其單位：②適當(dāng)選取橫軸和縱軸的比例和坐標(biāo)起點；③圖上實驗點的坐標(biāo)讀數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)不能少于實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)。⑶曲線的標(biāo)點與連線⑷寫明圖線特征和名稱。作圖規(guī)則⑴選用合適的坐標(biāo)紙：毫米方格紙求直線的斜率和截距,在直線上選相距較遠的兩新點A.B，標(biāo)明位置及坐標(biāo)A(x1

y1),B(x2

y2)由此求得斜率。求直線的斜率和截距,3.逐差法當(dāng)X等間隔變化ΔX，且X的誤差可以不計的條件下對于X：X1XnX2nY：Y1YnY2n分組逐差相鄰項逐差，可檢驗測量可靠性由求算術(shù)平均及標(biāo)準(zhǔn)偏差，相當(dāng)于多次測量求平均。所求得的平均值相當(dāng)于X變化ΔX*n時Y的變化值。3.逐差法當(dāng)X等間隔變化ΔX，且X的誤差可以不計的條件下Y=a+bX用逐差法可求直線方程斜率和截距Y=a+bX用逐差法可求直線方程斜率和截距4.最小二乘法是從統(tǒng)計的角度處理數(shù)據(jù)，并能得到測量結(jié)果不確定度的一種方法。滿足線性關(guān)系Y=a+bX

若可由測量數(shù)據(jù)用統(tǒng)計的方法求斜率和截距以及所擬合的直線方程與測量結(jié)果的相關(guān)性4.最小二乘法是從統(tǒng)計的角度處理數(shù)據(jù)，并能得到測量結(jié)果由于每次測量均有誤差，使在所有誤差平方和為最小的條件下，得到的方程Y=a+bX的方法叫最小二乘法。由于每次測量均有誤差，使在所有誤差平方和使之滿足的條件：得出。應(yīng)由令線性相關(guān)系數(shù)使之滿足的條件：得出。應(yīng)由令線性相關(guān)誤差、不確定度與數(shù)據(jù)處理徐志君xzj@測量永遠伴隨有誤差誤差分析、不確定度計算以及數(shù)據(jù)處理貫穿實驗的過程始終誤差、不確定度與數(shù)據(jù)處理徐志君測量永遠伴隨有誤差誤差分析、一、測量與誤差的基本概念1測量和單位結(jié)果：數(shù)值＋單位

2測量分類何謂測量？比較直接測量

間接測量單次測量多次測量等精度不等精度3測量的誤差測量值真值一、測量與誤差的基本概念1測量和單位結(jié)果：數(shù)值＋單位24.誤差的種類系統(tǒng)誤差:重復(fù)測量，誤差按某一規(guī)律變化，可預(yù)測、可控制隨機誤差：不可預(yù)測、不可控制，但服從一定的統(tǒng)計規(guī)律誤差4.誤差的種類系統(tǒng)誤差:重復(fù)測量，誤差按某一規(guī)律變化，可預(yù)天平不等臂所造成的系統(tǒng)誤差儀器誤差：儀器的結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)不完善或使用不當(dāng)引起的誤差

4.1系統(tǒng)誤差1.系統(tǒng)誤差源天平不等臂所造成的系統(tǒng)誤差儀器誤差：4.1系統(tǒng)誤差1.系統(tǒng)誤

不偏心時，由于，所以可用弧長反映角度的大小。

由于偏心，使之用弧長反映角度時產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。如：這是由偏心造成的。Oab偏心差A(yù)B不偏心時，由于由于偏心，使之用弧長反映角度理論與方法誤差：

實驗理論和實驗方法不完善，所引用的理論與實驗條件不符等產(chǎn)生的誤差

條件：理論：理論與方法誤差：條件：理論：方法：內(nèi)接AVVRVA用V作為VR的近似值時，求:AVIRIV外接方法：內(nèi)接AVVRVA用V作為VR的近似值A(chǔ)VIRI人為：實驗人員的生理或心理特點所造成的誤差

生理因素聽覺嗅覺色覺視覺對音域（20HZ--20KHZ）的辨別。對音色的辨別。人為：生理因素聽覺對音域（20HZ--20KHZ）環(huán)境市電的干擾輸入光點檢流計接近時，靜電干擾，使光斑移動等環(huán)境市電的干擾輸入光點檢流計接近時，靜

小結(jié)表現(xiàn)出恒偏大、恒偏小或周期性的特點（有規(guī)律性）。增加測量次數(shù)不能減少系統(tǒng)誤差,只能從方法、理論、儀器等方面的改進與修正來實現(xiàn)。小結(jié)表現(xiàn)出恒偏大、恒偏小或周期性的特點（有規(guī)律性）。增加測2.系統(tǒng)誤差的處理原則查出系統(tǒng)誤差源通過改進實驗方法和實驗裝置等方法對系統(tǒng)誤差加以補償、抵消或減少在數(shù)據(jù)處理中對測量結(jié)果進行理論上修正，以消除或盡可能減小系統(tǒng)誤差對實驗結(jié)果的影響對殘余系統(tǒng)誤差，根據(jù)具體情況作出估算2.系統(tǒng)誤差的處理原則查出系統(tǒng)誤差源對殘余系統(tǒng)誤差，根據(jù)具體4.2隨機（偶然）誤差1.隨機誤差源：不確定2.統(tǒng)計規(guī)律性：隨機誤差對任一次測量結(jié)果的影響具有隨機性特點。但在多次測量中表現(xiàn)出確定的規(guī)律即統(tǒng)計規(guī)律。可用來對偶然誤差的影響程度作出客觀的評價。4.2隨機（偶然）誤差1.隨機誤差源：不確定2.統(tǒng)計規(guī)律性例如：用秒表測單擺的周期T，將各測量值出現(xiàn)的次數(shù)列表如下。n=30次測量值xi(s)1.011.021.031.041.051.061.071.081.091.10次數(shù)n

1128852210概率P1/301/301/154/154/151/61/151/151/300Pxi(S)再測n=30次n=60次Pxi(S)再測n=60次例如：用秒表測單擺的周期T，將各測量n=30次測量值N→∞單峰性有界性對稱性大部分數(shù)據(jù)存在于確定的范圍內(nèi)，該范圍可評價偶然誤差的大小抵償性Pxi(S)再測N→∞正態(tài)分布函數(shù)高斯分布函數(shù)N→∞單峰性有界性對稱性大部分數(shù)據(jù)存在于確定的范圍內(nèi)，該范圍測量結(jié)果的最佳值：誤差限將概率P用概率密度f（x）來表示，則有測量結(jié)果的最佳值：誤差限將概率P用概率密度f（x）來表示，則標(biāo)準(zhǔn)偏差決定正態(tài)分布，表征測量數(shù)據(jù)的精密度精密度高，但系統(tǒng)誤差大大標(biāo)準(zhǔn)偏差決定正態(tài)分布，表征測量數(shù)據(jù)的精密度精密度高，但系統(tǒng)誤3.隨機誤差的估算--標(biāo)準(zhǔn)差

任何測量都不可能做無限次，只能是有限次。如對x量測量了n次得一測量列:{x1,x2,……,xn}可作為隨機誤差的估算。由測量列決定的標(biāo)準(zhǔn)差為：3.隨機誤差的估算--標(biāo)準(zhǔn)差任何測量都不可能做無限次測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差xi(S)f（x）

是用測量列的平均值作為真值的最佳估計值時，與兩者之間的偏離程度。測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差xi(S)f（x）是用測量列的平不確定度的概念表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，它表征了被測量量的真值所處的量值范圍的評定。2.測量結(jié)果的表示（三要素）

二.測量的不確定度人理論方法環(huán)境

儀器人為誤差理論誤差方法誤差儀器誤差環(huán)境誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差不確定度的概念2.測量結(jié)果的表示（三要素）二.測量的不確單次直接測量值多次直接測量平均值間接測量值物理意義：

待測物理量的真值以一定的置信概率P落在上述范圍內(nèi)（置信區(qū)間）測量結(jié)果不確定度測量誤差可能取值的測度測量真值可能存在的范圍的估計單次直接測量值多次直接測量平均值間接測量值物理意義：置信區(qū)間與置信概率存在單一關(guān)系:置信概率P越大，置信區(qū)間越大，或反之則越小A類（遵從統(tǒng)計分布）B類（不遵從統(tǒng)計分布）總的不確定度3.不確定度分類及計算(P接近100%）4.相對不確定度比較測量結(jié)果精度的高低置信區(qū)間與置信概率存在單一關(guān)系:置信概率P越大，置信區(qū)間越大三、數(shù)據(jù)處理—不確定度的計算將得到的數(shù)據(jù)整理、計算得出有關(guān)結(jié)果,并對結(jié)果的好壞作出客觀地評價。是整個實驗中最后一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。三、數(shù)據(jù)處理—不確定度的計算將得到的數(shù)據(jù)整理、計算得1.1單次測量儀器精度低（誤差大），隨機誤差很小條件限制，不可能進行多次測量對測量結(jié)果精度要求不高測量結(jié)果表示為：儀器誤差（出廠時的允差）根據(jù)測量情況估算兩者取其大1.直接測量量的數(shù)據(jù)處理1.1單次測量儀器精度低（誤差大），隨機誤差很小條件限制，1.2多次測量對測量列：{x1,x2,……,xn}1.2多次測量對測量列：{x1,x2,……,xn}1.3直接測量量數(shù)據(jù)處理舉例1.某長度測5次,分別為29.1829.2729.2529.2629.24(cm)ΔI=0.02cm.求測量結(jié)果。不確定度保留1位,且與平均值的最后一位對齊.解：在統(tǒng)計狀態(tài)下:依此29.18M+29.27M+----由X得：中間可多取一位最后取一位1.3直接測量量數(shù)據(jù)處理舉例1.某長度測5次,分別為29.2.間接測量量的數(shù)據(jù)處理2.1測量式為單元函數(shù)測量式結(jié)果直接測量量最佳值間接測量量不確定度例：2.間接測量量的數(shù)據(jù)處理2.1測量式為單元函數(shù)測量式結(jié)果直2.2測量式為多元函數(shù)各直接測量量的誤差對間接測量量誤差的影響2.2測量式為多元函數(shù)各直接測量量的誤差對間接測量量誤差的方和根合成得間接測量結(jié)果的總誤差：最佳值結(jié)果：方和根合成得間接測量結(jié)果的總誤差：最佳值結(jié)果：例：例：2.3測量式為乘除形式取自然對數(shù)，將乘除化為加減求導(dǎo)：微分改為不確定度，然后進行方和根合成，得2.3測量式為乘除形式取自然對數(shù)，將乘除化為加減求導(dǎo)：微分例：例：2.4間接測量量數(shù)據(jù)處理舉例（中間過程可多取幾位）2.4間接測量量數(shù)據(jù)處理舉例（中間過程可多取幾位）結(jié)果對齊結(jié)果對齊四.有效數(shù)字定義：有效數(shù)字=準(zhǔn)確數(shù)字+欠準(zhǔn)數(shù)位不確定位誤差所在位測量結(jié)果只能寫到開始有誤差、不確定的那一位若將上例的結(jié)果寫為不確定位1.有效數(shù)字的定義四.有效數(shù)字定義：不確定位誤差所在位測量結(jié)果只能寫到開始有誤2.有效數(shù)字的特點（1）位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)。35.76cm=0.3576m=0.0003576km（2）0的地位0.00035763.0053.000都是四位。（3）科學(xué)計數(shù)法（4）有效數(shù)字位數(shù)越多，相對不確定度越小2.有效數(shù)字的特點（1）位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān)。35.76c3.有效數(shù)字的確定2.1由不確定度決定有效數(shù)字不確定度有效數(shù)字只取一位，測量結(jié)果最后一位與不確定度對齊.單次測量結(jié)果有效數(shù)字由儀器誤差或估計的不確定度決定.多次測量結(jié)果或間接測量結(jié)果，先計算不確定度，再由不確定度定有效數(shù)字位數(shù).3.有效數(shù)字的確定2.1由不確定度決定有效數(shù)字不確定度有效2.2沒有給出不確定度時有效數(shù)字的確定對直接測量結(jié)果，由儀器最小分度值+估讀一位決定[1]位置為35.00,不能寫成35cm。[1][2]位置為35.40cm[2][3][3]位置介于35.7--35.8之間,可以估計為635.77，不妨取35.76。

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36(cm)2.2沒有給出不確定度時有效數(shù)字的確定對直接測量結(jié)果，由儀2.3對間接測量結(jié)果，由參與運算的各直接測量結(jié)果的有效數(shù)字決定[1]加減：加減運算結(jié)果的不確定度總是大于參與運算分量的不確定度，所以：結(jié)果與末位數(shù)最高者（不確定度最大者）對齊。[2]乘除：乘除運算結(jié)果的相對不確定度總是大于參與運算分量的相對不確定度，所以結(jié)果一般可與有效位數(shù)最少者（相對不確定度最大）相同。[3]冪運算：對數(shù)（指數(shù)）、三角函數(shù)(反三角）不改變有效數(shù)字位數(shù)。以上規(guī)則有例外2.3對間接測量結(jié)果，由參與運算的各直接測量結(jié)果的有效數(shù)字1.列表法五、常用數(shù)據(jù)處理方法

（1）各欄目均應(yīng)標(biāo)注名稱和單位（2）列入表中的主要應(yīng)是原始數(shù)據(jù)，表格中要盡量使人看到數(shù)據(jù)處理的方法和思路，而不能把列表變成簡單的數(shù)據(jù)堆積。（3）欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)的聯(lián)系和計算的程序，力求條理性和簡明化。（4）必要的附加說明