第十二章全等三角形總復(fù)習(xí)1上課教育第十二章全等三角形1上課教育全等形全等三角形性質(zhì)應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊（高線、中線）相等全等三角形對(duì)應(yīng)角（對(duì)應(yīng)角的平分線）相等全等三角形的面積相等SSSSASASAAASHL解決問(wèn)題角的平分線的性質(zhì)角平分線上的一點(diǎn)到角的兩邊距離相等

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上判定條件（尺規(guī)作圖）判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等.2上課教育全等形全等三角形性質(zhì)應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊（高線、中線）相等全

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：三角形全等判定方法1全等三角形的判定方法3上課教育三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“邊邊三角形全等判定方法2用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF4上課教育三角形全等判定方法2用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF∠A=∠DAB=DE∠B=∠E在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）

有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）。用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：FEDCBA三角形全等判定方法35上課教育∠A=∠D在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AS三角形全等判定方法4

有兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）。在△ABC和△DEF中∠A=∠D∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF（AAS）6上課教育三角形全等判定方法4有兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊三角形全等判定方法5

有一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL）。在Rt△ABC和Rt△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）

∴△ABC≌△DEF（HL）ABCDEF7上課教育三角形全等判定方法5有一條斜邊和一條直角邊對(duì)1.全等三角形的性質(zhì):

對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等，周長(zhǎng)、面積也相等。

2.全等三角形的判定:

知識(shí)點(diǎn)①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL8上課教育1.全等三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等，周長(zhǎng)、知識(shí)點(diǎn)3.三角形全等的證題思路：①②③9上課教育知識(shí)點(diǎn)3.三角形全等的證題思路：①②③9上課教育到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．（到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上(已知）∴QD＝QE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）二.角的平分線：1.角平分線的性質(zhì)：2.角平分線的判定：10上課教育到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。∵QD⊥OA，QE2.如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,PD⊥AB于D，PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F11上課教育2.如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證：3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）.又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）.∴FG＝FH（等量代換）∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上12上課教育3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于二、全等三角形識(shí)別思路復(fù)習(xí)

如圖，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件-----------------------，使△ABC≌△DCB。思路1：找夾角找第三邊找直角已知兩邊：∠ABC=∠DCB（SAS）AC=DB（SSS）∠A=∠D=90°（HL）ABCD13上課教育二、全等三角形識(shí)別思路復(fù)習(xí)如圖，已知△ABC和

如圖，已知∠C=∠D，要識(shí)別△ABC≌△ABD，需要添加的一個(gè)條件是------------------。思路2：找任一角已知一邊一角（邊與角相對(duì)）（AAS）∠CAB=∠DAB或者∠CBA=∠DBAACBD14上課教育如圖，已知∠C=∠D，要識(shí)別△ABC≌△A

如圖，已知∠1=∠2，要識(shí)別△ABC≌△CDA，需要添加的一個(gè)條件是-----------------思路3：已知一邊一角（邊與角相鄰）：ABCD21找夾這個(gè)角的另一邊找夾這條邊的另一角找邊的對(duì)角AD=CB∠ACD=∠CAB∠D=∠B（SAS）（ASA）（AAS）15上課教育如圖，已知∠1=∠2，要識(shí)別△ABC≌△CD

如圖，已知∠B=∠E，要識(shí)別△ABC≌△AED，需要添加的一個(gè)條件是--------------思路4：已知兩角：找夾邊找一角的對(duì)邊ABCDEAB=AEAC=AD或DE=BC(ASA)(AAS)16上課教育如圖，已知∠B=∠E，要識(shí)別△ABC≌△A例題選析例1：如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么補(bǔ)充下列一具條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB例2：已知：如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點(diǎn)，∠1=∠2，圖中全等的三角形共有()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)D17上課教育例題選析例1：如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求證：BC=AD.例3.ABCD18上課教育已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.例3例4:下面條件中,不能證出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C19上課教育例4:下面條件中,不能證出Rt△ABC≌Rt△A'B'C例5：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：

，使△AEH≌△CEB。BE=EH20上課教育例5：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足例7、如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD、BE相交于點(diǎn)F。如果BF＝AC，那么∠ABC的度數(shù)是（）A、400

B、450

C、500

D、600BFDEBCA21上課教育例7、如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂

例8.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點(diǎn)O，若∠BOC=1200，那么∠A的度數(shù)是

.ABCDEO60022上課教育例8.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE例9、如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠

BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=

。12cABDE23上課教育例9、如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC10.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的長(zhǎng)。ABCDE24上課教育10.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分別垂直于AB及AC交延長(zhǎng)線于E、F，求證：DE＝DF證明：∵∠ABD＝∠ACD（）∴∠EBD＝∠FCD（）又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知）∴∠E＝∠F＝900（）在△DEB和△DFC中∵∴△DEB≌△DFC（）∴DE＝DF（）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等AAS垂直的定義等角的補(bǔ)角相等已知25上課教育1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分別垂直于2.點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求證：AB∥CD。證明：≌∥∥26上課教育2.點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF

3.如圖CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點(diǎn)O，且∠1＝∠2，求證OB＝OC。

證明：∵∠1＝∠2

CD⊥AB，BE⊥AC

∴OD＝OE(角平分線的性質(zhì)定理)

在△OBD與△OCE中

∠BOD＝∠COE(對(duì)頂角相等)

OD＝OE(已證)

∠ODB＝∠OEC(垂直的定義)

∴△OBD≌△OCE(ASA)

∴OB＝OC

27上課教育3.如圖CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、28

4.如圖，CA=CB，AD=BD，M、N分別是CA、CB的中點(diǎn)，證明DM=DN，

ACDBMN28上課教育284.如圖，CA=CB，AD=BD，M、N分別是C5.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

EDCAB證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD29上課教育5.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在

6.如圖A、B、C在一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求證：BF＝BG。

證明：∵△ABD，△BCE是等邊三角形。

∴∠DBA＝△EBC＝60°

∵A、B、C共線∴∠DBE＝60°

∴∠ABE＝∠DBC

在△ABE與△DBC中

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

∴△ABE≌△DBC(SAS)

∴∠2＝∠1

在△BEF與△BCG中

∠EBF＝∠CBG

BE＝BC

∠2＝∠1

∴△BEF≌△BCG(ASA)

∴BF＝BG(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)30上課教育6.如圖A、B、C在一直線上，△ABD7：如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD嗎？為什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD31上課教育7：如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC32

8.已知：ΔABC和ΔBDE是等邊三角形,點(diǎn)D在AE的延長(zhǎng)線上。求證：BD+DC=AD

ABCDE分析：∵AD=AE+ED∴只需證：BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需證DC=AE即可。32上課教育328.已知：ΔABC和ΔBDE是等邊三角形,點(diǎn)D在9.如圖AB//CD,∠B=90o,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC,求證:AE平分∠DABCDBAEF證明:作EF⊥AD,垂足為F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90o∴∠C=90o又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中點(diǎn)∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90o∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC33上課教育9.如圖AB//CD,∠B=90o,E是BC的中點(diǎn),DE平分3410.如圖，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，試說(shuō)明：BF∥CEABCDEF34上課教育3410.如圖，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝11.求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。已知：如圖，AD是△ABC的中線，求證：ABCDE證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE∵AD是△ABC的中線∴

BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中，AE<AB+BE＝AB+AC即2AD<AB+AC∴35上課教育11.求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。已知12.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。ACEBD要證明兩條線段的和與一條線段相等時(shí)常用的兩種方法：1、可在長(zhǎng)線段上截取與兩條線段中一條相等的一段，然后證明剩余的線段與另一條線段相等。（割）2、把一個(gè)三角形移到另一位置，使兩線段補(bǔ)成一條線段，再證明它與長(zhǎng)線段相等。（補(bǔ)）36上課教育12.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠D13.如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EFBCAFED37上課教育13.如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=E14.已知：如圖21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，

求證：EB=FC38上課教育14.已知：如圖21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF15.已知：如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。求證：△ADG為等腰直角三角形。39上課教育15.已知：如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩16.如圖，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延長(zhǎng)線于E， 求證：BC垂直且平分DE.40上課教育16.如圖，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=9014、如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，試說(shuō)明AB＋AC與2AD之間的大小關(guān)系。解：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD在△ABD與△ECD中∵BD＝DC（中線的定義）∠ADB＝∠EDC（對(duì)頂角相等）AD＝DE∴△ABD≌△ECD（SAS）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等∴AB＝EC在△AEC中:AC＋EC＞AE又∵AE＝2AD∴AB＋AC＞2AD小結(jié)：對(duì)于三角形的中線，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)中線的1倍，來(lái)構(gòu)造全等三角形。聯(lián)想：對(duì)于三角形的角平分線，有時(shí)我們也可進(jìn)行翻折構(gòu)造全等三角形。EDBAC41上課教育14、如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，試說(shuō)明AB＋15、已知在△ABC中，AD是角平分線，且AC＝AB＋BD,試說(shuō)明：∠B＝2∠C解：在AC上截取AE＝AB，連結(jié)DE在△AED與△ABD中∵AE＝AB∠EAD＝∠BAD（角平分線的定義）AD＝AD（公共邊）∴△AED≌△ABD(SAS)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等∴ED＝BD，∠AED＝∠B又∵AC=AB+BD∴CE=DE根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等∴∠C＝∠EDC又∵∠AED＝∠C＋∠EDC∴∠AED＝2∠C∴∠B＝2∠CECABD42上課教育15、已知在△ABC中，AD是角平分線，且解：在AC上截取A四、小結(jié)：找夾角（SAS）找第三邊（SSS）找直角（HL）已知兩邊找任一角（AAS）已知一邊一角（邊與角相鄰）找夾這個(gè)角的另一邊（SAS）找夾這條邊的另一角（ASA）找邊的對(duì)角（AAS）已知兩角找夾邊（ASA）找一角的對(duì)邊（AAS）1、全等三角形識(shí)別思路：3、三角形全等是證明線段相等，角相等的重要途徑。（邊與角相對(duì)）2、經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換得到的三角形和原三角形全等。注意：１、“分別對(duì)應(yīng)相等”是關(guān)鍵；２、已知兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。43上課教育四、小結(jié)：找夾角（SAS）找第三邊（SSS）找直角（HL）已第十二章全等三角形總復(fù)習(xí)44上課教育第十二章全等三角形1上課教育全等形全等三角形性質(zhì)應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊（高線、中線）相等全等三角形對(duì)應(yīng)角（對(duì)應(yīng)角的平分線）相等全等三角形的面積相等SSSSASASAAASHL解決問(wèn)題角的平分線的性質(zhì)角平分線上的一點(diǎn)到角的兩邊距離相等

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上判定條件（尺規(guī)作圖）判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等.45上課教育全等形全等三角形性質(zhì)應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊（高線、中線）相等全

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：三角形全等判定方法1全等三角形的判定方法46上課教育三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“邊邊三角形全等判定方法2用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF47上課教育三角形全等判定方法2用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF∠A=∠DAB=DE∠B=∠E在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）

有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）。用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：FEDCBA三角形全等判定方法348上課教育∠A=∠D在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AS三角形全等判定方法4

有兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）。在△ABC和△DEF中∠A=∠D∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF（AAS）49上課教育三角形全等判定方法4有兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊三角形全等判定方法5

有一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL）。在Rt△ABC和Rt△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）

∴△ABC≌△DEF（HL）ABCDEF50上課教育三角形全等判定方法5有一條斜邊和一條直角邊對(duì)1.全等三角形的性質(zhì):

對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等，周長(zhǎng)、面積也相等。

2.全等三角形的判定:

知識(shí)點(diǎn)①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL51上課教育1.全等三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等，周長(zhǎng)、知識(shí)點(diǎn)3.三角形全等的證題思路：①②③52上課教育知識(shí)點(diǎn)3.三角形全等的證題思路：①②③9上課教育到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上?！?/p>

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．（到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上(已知）∴QD＝QE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）二.角的平分線：1.角平分線的性質(zhì)：2.角平分線的判定：53上課教育到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上?！逹D⊥OA，QE2.如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,PD⊥AB于D，PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F54上課教育2.如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,

求證：3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）.又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）.∴FG＝FH（等量代換）∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上55上課教育3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于二、全等三角形識(shí)別思路復(fù)習(xí)

如圖，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件-----------------------，使△ABC≌△DCB。思路1：找夾角找第三邊找直角已知兩邊：∠ABC=∠DCB（SAS）AC=DB（SSS）∠A=∠D=90°（HL）ABCD56上課教育二、全等三角形識(shí)別思路復(fù)習(xí)如圖，已知△ABC和

如圖，已知∠C=∠D，要識(shí)別△ABC≌△ABD，需要添加的一個(gè)條件是------------------。思路2：找任一角已知一邊一角（邊與角相對(duì)）（AAS）∠CAB=∠DAB或者∠CBA=∠DBAACBD57上課教育如圖，已知∠C=∠D，要識(shí)別△ABC≌△A

如圖，已知∠1=∠2，要識(shí)別△ABC≌△CDA，需要添加的一個(gè)條件是-----------------思路3：已知一邊一角（邊與角相鄰）：ABCD21找夾這個(gè)角的另一邊找夾這條邊的另一角找邊的對(duì)角AD=CB∠ACD=∠CAB∠D=∠B（SAS）（ASA）（AAS）58上課教育如圖，已知∠1=∠2，要識(shí)別△ABC≌△CD

如圖，已知∠B=∠E，要識(shí)別△ABC≌△AED，需要添加的一個(gè)條件是--------------思路4：已知兩角：找夾邊找一角的對(duì)邊ABCDEAB=AEAC=AD或DE=BC(ASA)(AAS)59上課教育如圖，已知∠B=∠E，要識(shí)別△ABC≌△A例題選析例1：如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么補(bǔ)充下列一具條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB例2：已知：如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點(diǎn)，∠1=∠2，圖中全等的三角形共有()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)D60上課教育例題選析例1：如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求證：BC=AD.例3.ABCD61上課教育已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.例3例4:下面條件中,不能證出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C62上課教育例4:下面條件中,不能證出Rt△ABC≌Rt△A'B'C例5：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：

，使△AEH≌△CEB。BE=EH63上課教育例5：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足例7、如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD、BE相交于點(diǎn)F。如果BF＝AC，那么∠ABC的度數(shù)是（）A、400

B、450

C、500

D、600BFDEBCA64上課教育例7、如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂

例8.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點(diǎn)O，若∠BOC=1200，那么∠A的度數(shù)是

.ABCDEO60065上課教育例8.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE例9、如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠

BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=

。12cABDE66上課教育例9、如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC10.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的長(zhǎng)。ABCDE67上課教育10.如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分別垂直于AB及AC交延長(zhǎng)線于E、F，求證：DE＝DF證明：∵∠ABD＝∠ACD（）∴∠EBD＝∠FCD（）又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知）∴∠E＝∠F＝900（）在△DEB和△DFC中∵∴△DEB≌△DFC（）∴DE＝DF（）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等AAS垂直的定義等角的補(bǔ)角相等已知68上課教育1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分別垂直于2.點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求證：AB∥CD。證明：≌∥∥69上課教育2.點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF

3.如圖CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點(diǎn)O，且∠1＝∠2，求證OB＝OC。

證明：∵∠1＝∠2

CD⊥AB，BE⊥AC

∴OD＝OE(角平分線的性質(zhì)定理)

在△OBD與△OCE中

∠BOD＝∠COE(對(duì)頂角相等)

OD＝OE(已證)

∠ODB＝∠OEC(垂直的定義)

∴△OBD≌△OCE(ASA)

∴OB＝OC

70上課教育3.如圖CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、71

4.如圖，CA=CB，AD=BD，M、N分別是CA、CB的中點(diǎn)，證明DM=DN，

ACDBMN71上課教育284.如圖，CA=CB，AD=BD，M、N分別是C5.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

EDCAB證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD72上課教育5.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在

6.如圖A、B、C在一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求證：BF＝BG。

證明：∵△ABD，△BCE是等邊三角形。

∴∠DBA＝△EBC＝60°

∵A、B、C共線∴∠DBE＝60°

∴∠ABE＝∠DBC

在△ABE與△DBC中

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

∴△ABE≌△DBC(SAS)

∴∠2＝∠1

在△BEF與△BCG中

∠EBF＝∠CBG

BE＝BC

∠2＝∠1

∴△BEF≌△BCG(ASA)

∴BF＝BG(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)73上課教育6.如圖A、B、C在一直線上，△ABD7：如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD嗎？為什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD74上課教育7：如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC75

8.已知：ΔABC和ΔBDE是等邊三角形,點(diǎn)D在AE的延長(zhǎng)線上。求證：BD+DC=AD

ABCDE分析：∵AD=AE+ED∴只需證：BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需證DC=AE即可。75上課教育328.已知：ΔABC和ΔBDE是等邊三角形,點(diǎn)D在9.如圖AB//CD,∠B=90o,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC,求證:AE平分∠DABCDBAEF證明:作EF⊥AD,垂足為F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90o∴∠C=90o又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中點(diǎn)∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90o∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC76上課教育9.如圖AB//CD,∠B=90o,E是BC的中點(diǎn),DE平分7710.如圖，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，試說(shuō)明：BF∥CEABCDEF77上課教育3410.如圖，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝11.求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。已知：如圖，AD是△ABC的中線，求證：ABCDE證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連結(jié)BE∵AD是△ABC的中線∴

BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中，AE<AB+BE＝AB+AC即2AD<AB+AC∴78上課教育11.求