淺談對(duì)特征值特征向量的認(rèn)識(shí)福建工程學(xué)院數(shù)理系項(xiàng)景華淺談對(duì)特征值特征向量的認(rèn)識(shí)福建工程學(xué)院數(shù)理系1主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖引言特征值特征向量的概念特征值特征向量的應(yīng)用線(xiàn)性變換與函數(shù)特征值特征向量的直觀意義馬爾科夫過(guò)程中的應(yīng)用在其他問(wèn)題中的應(yīng)用概述在橫梁臨界力的計(jì)算中的應(yīng)用主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖引言特征值特征特征值特征線(xiàn)性變換特征值特征馬爾2引言：

線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課程是大部分在校大學(xué)生的一門(mén)公共基礎(chǔ)課程，然而很多學(xué)生認(rèn)真學(xué)完這門(mén)課程之后，對(duì)該課程的一些重要的概念的認(rèn)識(shí)大多停留在運(yùn)算規(guī)則（教材上的定義）的層面上，如矩陣的乘法，行列式，方程組的解，線(xiàn)性相關(guān)性，矩陣的秩，特征值特征向量等概念。這種對(duì)概念較為單薄的理解（甚至沒(méi)有實(shí)質(zhì)的理解））阻礙了對(duì)整門(mén)課程的更深入理解以及學(xué)習(xí)的興趣;當(dāng)學(xué)生們自我感覺(jué)這門(mén)課程學(xué)得很好（只是計(jì)算和考試很好）的時(shí)候，卻絲毫未覺(jué)察到線(xiàn)性代數(shù)強(qiáng)大的工具性性能和深刻的思想光芒。

引言：線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課程是大部分在校大學(xué)生的一門(mén)公共基礎(chǔ)3注1：本文只作教學(xué)體會(huì)的交流之用，所涉及的內(nèi)容無(wú)個(gè)人創(chuàng)新性。

至于是否存在上述問(wèn)題（有待調(diào)查研究）以及問(wèn)題的根源不是本文要討論的內(nèi)容。本文的目的有二：一是對(duì)該課程中的特征值和特征向量的概念的描述說(shuō)說(shuō)個(gè)人的體會(huì)；二是談?wù)勊麄兊膸讉€(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。注1：本文只作教學(xué)體會(huì)的交流之用，所涉及的內(nèi)容無(wú)個(gè)人創(chuàng)41、特征值特征向量的概念1.1映射.函數(shù).線(xiàn)性變換一元函數(shù)二元函數(shù)設(shè)A是m×n型矩陣，是n維列向量可見(jiàn)矩陣A和函數(shù)f一樣也是一種映射，只是更一般空間之間的映射，經(jīng)常稱(chēng)之為線(xiàn)性變換/線(xiàn)性映射/線(xiàn)性算子等。1、特征值特征向量的概念1.1映射.函數(shù).線(xiàn)性變換5A(.)矩陣A和函數(shù)f都可以看成是空間中元素的變換器：x輸入輸出y而變換特征無(wú)非是反映在如何改變向量的方向和大?。ｉL(zhǎng)），其完全由變換器（矩陣）A的結(jié)構(gòu)決定。A(.)矩陣A和函數(shù)f都可以看成是空間中元素的變換器：6例1在平面直角坐標(biāo)系下，將平面上點(diǎn)作如下變換A:將每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)放大一倍，縱坐標(biāo)不變。(2)對(duì)平面的向量依次作n次變換A,向量的變換特點(diǎn)是什么？(3)是否有這樣的向量，被A作用之后得到的新的向量的方向與原向量同向？若有，其大小有何變化？(1)例1在平面直角坐標(biāo)系下，將(2)對(duì)平面的向量71.2特征值特征向量的意義當(dāng)變換矩陣作用在某非零向量之后所得到的新的向量與原向量同方向，大小縮放為原向量的倍，即則此向量為A的特征向量，此向量的縮放倍數(shù)為A在此向量方向上的特征值。，一、特征值為非負(fù)實(shí)數(shù)1.2特征值特征向量的意義當(dāng)變換矩陣作用在某非零向量8上述特征向量是變換A作用下保持方向不變性的向量，特征值為變換A下的向量的縮放倍數(shù)。注2：注1：當(dāng)特征值為1時(shí)有：該特征向量可以理解為變換A下的不動(dòng)點(diǎn)。

與特征向量共線(xiàn)的所有非零向量都是A的特征向量，且對(duì)應(yīng)同一個(gè)特征值，即上述特征向量是變換A作用下保持方向不變性的向注29二、特征值特征向量的定義常規(guī)定義：A是一n階方陣，若存在一非零向量及一數(shù)，使，則稱(chēng)為A的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征值。輸入輸出變換矩陣A作用于某方向的向量，所得向量與原向量共線(xiàn)（線(xiàn)性相關(guān)），此方向即為特征向量的方向。A(.)二、特征值特征向量的定義常規(guī)定義：A是一n階方陣，若存在一10三、舉例例2.將平面直角坐標(biāo)系上的任一向量繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，此旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣

0XY問(wèn)：此平面上哪個(gè)方向上的向量為此變換的特征向量？結(jié)論：在實(shí)數(shù)域內(nèi)無(wú)特征向量三、舉例例2.將平面直角坐標(biāo)系上的任一向量11例3.現(xiàn)將一圓盤(pán)狀生面餅（有彈性）沿某方向放大(拉伸)2倍，使其變?yōu)闄E圓狀面餅，（如右圖）yx問(wèn)：1）此變換的特征向量是在哪些方向上？對(duì)應(yīng)特征值分別是多少？2）此變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣A=?例3.現(xiàn)將一圓盤(pán)狀生面餅（有彈性）沿某方向放大(拉伸)2倍，12例5.特征值特征向量在二次曲線(xiàn)中的幾何意義例5.特征值特征向量在二次曲線(xiàn)中的幾何意義13x1x2y1y2x1x2y1y214其他例子：1.“地球自轉(zhuǎn)一個(gè)小時(shí)（不考慮公轉(zhuǎn)）”，此變換的特征向量及特征值。2.“把門(mén)推開(kāi)”這一變換的特征向量和特征值。其他例子：1.“地球自轉(zhuǎn)一個(gè)小時(shí)（不考慮公轉(zhuǎn)）”，此變換的215思考：假設(shè)社會(huì)財(cái)富在某一階段內(nèi)在不同階層中的分配的變化看成是一線(xiàn)性變換。若社會(huì)財(cái)富的初始狀態(tài)是“兩頭小中間大”（窮人，中產(chǎn)者，富人）健康穩(wěn)定型的占有狀態(tài)，并假設(shè)變換的特征向量所在的方向分別代表窮人，中產(chǎn)者，富人所在的方向。2.一個(gè)階段之后，由于分配出現(xiàn)問(wèn)題，中產(chǎn)階層消失了，此變換B的特征值如何？現(xiàn)考慮如下變換的特征值：3.中產(chǎn)者消失之后，又經(jīng)歷一個(gè)階段的劫貧濟(jì)富的分配政策，貧富分化進(jìn)一步擴(kuò)大，此階段的變換矩陣C的特征值如何？1.由于社會(huì)實(shí)行理想的分配制度，社會(huì)財(cái)富按原財(cái)富占有比例在各個(gè)階層中分配，此變換A的特征值結(jié)構(gòu)如何？思考：假設(shè)社會(huì)財(cái)富在某一階段內(nèi)在不同階層中的分配的變化看成是162.特征值特征向量的應(yīng)用2.1應(yīng)用（一）（為方便，只考慮二維的情形）2.特征值特征向量的應(yīng)用2.1應(yīng)用（一）（為方便，只考慮二維17例1在Markov過(guò)程中的應(yīng)用在某城鎮(zhèn)里，若每年有30%已婚婦女離婚，20%的單身女士結(jié)婚，假定該鎮(zhèn)總體女士人口數(shù)保持不變，現(xiàn)假設(shè)有8000已婚女士，2000單身女士，試求：n年后此兩類(lèi)女性人數(shù)各為多少?例1在Markov過(guò)程中的應(yīng)用在某城鎮(zhèn)里，若每年有30%18例2斐波那契數(shù)列的求解例2斐波那契數(shù)列的求解192.2應(yīng)用（二）考慮橫梁彎曲的問(wèn)題

將一橫梁左端固定在O點(diǎn)，對(duì)其右端點(diǎn)施加一向左的水平壓力P，當(dāng)壓力增加到一定程度，橫梁遍會(huì)出現(xiàn)彎曲，當(dāng)壓力達(dá)到一新臨界點(diǎn)，橫梁進(jìn)一步彎曲，依次類(lèi)推，設(shè)橫梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，并設(shè)其沿X軸放置，左端點(diǎn)為原點(diǎn)，令為橫梁每一點(diǎn)所在的縱坐標(biāo)，并假設(shè)橫梁彎曲程度不大，為方便起見(jiàn)，設(shè)，則此系統(tǒng)可通過(guò)邊值問(wèn)題：y0xPL來(lái)描述。P是作用在橫梁右端的水平力，R為橫梁的抗撓剛度。2.2應(yīng)用（二）考慮橫梁彎曲的問(wèn)題

將一橫梁左端固定在20于是有因此于是有因此21結(jié)論：通過(guò)求A的所有特征值，可以算得橫梁每次彎曲的臨界力，折斷的臨界力。結(jié)論：通過(guò)求A的所有特征值，222.3應(yīng)用概述

盡管特征值和特征向量的數(shù)學(xué)定義是抽象的，且不管我們認(rèn)識(shí)與否，特征值和特征向量的問(wèn)題在我們運(yùn)動(dòng)變化著的現(xiàn)實(shí)和生活中無(wú)處不在的事實(shí)是客觀的。當(dāng)我們給吉他調(diào)音時(shí)，我們就是在解決特征值問(wèn)題，當(dāng)建筑師在研究建筑的結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率時(shí)，他們?cè)诮鉀Q特征值的問(wèn)題，而這對(duì)地震多發(fā)地帶是至關(guān)重要的，對(duì)這類(lèi)實(shí)際問(wèn)題，我們說(shuō)“哪里有震動(dòng)，哪里就有特征值問(wèn)題”，2.3應(yīng)用概述

盡管特征值和特征向量的數(shù)學(xué)定義是抽象的，且不23此外，邊值問(wèn)題的特征值決定著原子的能量狀態(tài).初值問(wèn)題的特征值決定著運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性及運(yùn)動(dòng)軌跡.在圖像處理中，在幾何造型的細(xì)分法中，矩陣的特征值、特征向量扮演著一個(gè)重要的角色。在各種模式識(shí)別中，特征值特征向量是識(shí)別的依據(jù)?？傊挠芯€(xiàn)性的運(yùn)動(dòng)和變化，哪就有描述運(yùn)動(dòng)特征的特征值、特征向量。此外，邊值問(wèn)題的特征值決定著原子的能量狀態(tài).在圖像處理中，在24謝謝！謝謝！25淺談對(duì)特征值特征向量的認(rèn)識(shí)福建工程學(xué)院數(shù)理系項(xiàng)景華淺談對(duì)特征值特征向量的認(rèn)識(shí)福建工程學(xué)院數(shù)理系26主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖引言特征值特征向量的概念特征值特征向量的應(yīng)用線(xiàn)性變換與函數(shù)特征值特征向量的直觀意義馬爾科夫過(guò)程中的應(yīng)用在其他問(wèn)題中的應(yīng)用概述在橫梁臨界力的計(jì)算中的應(yīng)用主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖引言特征值特征特征值特征線(xiàn)性變換特征值特征馬爾27引言：

線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課程是大部分在校大學(xué)生的一門(mén)公共基礎(chǔ)課程，然而很多學(xué)生認(rèn)真學(xué)完這門(mén)課程之后，對(duì)該課程的一些重要的概念的認(rèn)識(shí)大多停留在運(yùn)算規(guī)則（教材上的定義）的層面上，如矩陣的乘法，行列式，方程組的解，線(xiàn)性相關(guān)性，矩陣的秩，特征值特征向量等概念。這種對(duì)概念較為單薄的理解（甚至沒(méi)有實(shí)質(zhì)的理解））阻礙了對(duì)整門(mén)課程的更深入理解以及學(xué)習(xí)的興趣;當(dāng)學(xué)生們自我感覺(jué)這門(mén)課程學(xué)得很好（只是計(jì)算和考試很好）的時(shí)候，卻絲毫未覺(jué)察到線(xiàn)性代數(shù)強(qiáng)大的工具性性能和深刻的思想光芒。

引言：線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課程是大部分在校大學(xué)生的一門(mén)公共基礎(chǔ)28注1：本文只作教學(xué)體會(huì)的交流之用，所涉及的內(nèi)容無(wú)個(gè)人創(chuàng)新性。

至于是否存在上述問(wèn)題（有待調(diào)查研究）以及問(wèn)題的根源不是本文要討論的內(nèi)容。本文的目的有二：一是對(duì)該課程中的特征值和特征向量的概念的描述說(shuō)說(shuō)個(gè)人的體會(huì)；二是談?wù)勊麄兊膸讉€(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。注1：本文只作教學(xué)體會(huì)的交流之用，所涉及的內(nèi)容無(wú)個(gè)人創(chuàng)291、特征值特征向量的概念1.1映射.函數(shù).線(xiàn)性變換一元函數(shù)二元函數(shù)設(shè)A是m×n型矩陣，是n維列向量可見(jiàn)矩陣A和函數(shù)f一樣也是一種映射，只是更一般空間之間的映射，經(jīng)常稱(chēng)之為線(xiàn)性變換/線(xiàn)性映射/線(xiàn)性算子等。1、特征值特征向量的概念1.1映射.函數(shù).線(xiàn)性變換30A(.)矩陣A和函數(shù)f都可以看成是空間中元素的變換器：x輸入輸出y而變換特征無(wú)非是反映在如何改變向量的方向和大?。ｉL(zhǎng)），其完全由變換器（矩陣）A的結(jié)構(gòu)決定。A(.)矩陣A和函數(shù)f都可以看成是空間中元素的變換器：31例1在平面直角坐標(biāo)系下，將平面上點(diǎn)作如下變換A:將每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)放大一倍，縱坐標(biāo)不變。(2)對(duì)平面的向量依次作n次變換A,向量的變換特點(diǎn)是什么？(3)是否有這樣的向量，被A作用之后得到的新的向量的方向與原向量同向？若有，其大小有何變化？(1)例1在平面直角坐標(biāo)系下，將(2)對(duì)平面的向量321.2特征值特征向量的意義當(dāng)變換矩陣作用在某非零向量之后所得到的新的向量與原向量同方向，大小縮放為原向量的倍，即則此向量為A的特征向量，此向量的縮放倍數(shù)為A在此向量方向上的特征值。，一、特征值為非負(fù)實(shí)數(shù)1.2特征值特征向量的意義當(dāng)變換矩陣作用在某非零向量33上述特征向量是變換A作用下保持方向不變性的向量，特征值為變換A下的向量的縮放倍數(shù)。注2：注1：當(dāng)特征值為1時(shí)有：該特征向量可以理解為變換A下的不動(dòng)點(diǎn)。

與特征向量共線(xiàn)的所有非零向量都是A的特征向量，且對(duì)應(yīng)同一個(gè)特征值，即上述特征向量是變換A作用下保持方向不變性的向注234二、特征值特征向量的定義常規(guī)定義：A是一n階方陣，若存在一非零向量及一數(shù)，使，則稱(chēng)為A的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征值。輸入輸出變換矩陣A作用于某方向的向量，所得向量與原向量共線(xiàn)（線(xiàn)性相關(guān)），此方向即為特征向量的方向。A(.)二、特征值特征向量的定義常規(guī)定義：A是一n階方陣，若存在一35三、舉例例2.將平面直角坐標(biāo)系上的任一向量繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，此旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣

0XY問(wèn)：此平面上哪個(gè)方向上的向量為此變換的特征向量？結(jié)論：在實(shí)數(shù)域內(nèi)無(wú)特征向量三、舉例例2.將平面直角坐標(biāo)系上的任一向量36例3.現(xiàn)將一圓盤(pán)狀生面餅（有彈性）沿某方向放大(拉伸)2倍，使其變?yōu)闄E圓狀面餅，（如右圖）yx問(wèn)：1）此變換的特征向量是在哪些方向上？對(duì)應(yīng)特征值分別是多少？2）此變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣A=?例3.現(xiàn)將一圓盤(pán)狀生面餅（有彈性）沿某方向放大(拉伸)2倍，37例5.特征值特征向量在二次曲線(xiàn)中的幾何意義例5.特征值特征向量在二次曲線(xiàn)中的幾何意義38x1x2y1y2x1x2y1y239其他例子：1.“地球自轉(zhuǎn)一個(gè)小時(shí)（不考慮公轉(zhuǎn)）”，此變換的特征向量及特征值。2.“把門(mén)推開(kāi)”這一變換的特征向量和特征值。其他例子：1.“地球自轉(zhuǎn)一個(gè)小時(shí)（不考慮公轉(zhuǎn)）”，此變換的240思考：假設(shè)社會(huì)財(cái)富在某一階段內(nèi)在不同階層中的分配的變化看成是一線(xiàn)性變換。若社會(huì)財(cái)富的初始狀態(tài)是“兩頭小中間大”（窮人，中產(chǎn)者，富人）健康穩(wěn)定型的占有狀態(tài)，并假設(shè)變換的特征向量所在的方向分別代表窮人，中產(chǎn)者，富人所在的方向。2.一個(gè)階段之后，由于分配出現(xiàn)問(wèn)題，中產(chǎn)階層消失了，此變換B的特征值如何？現(xiàn)考慮如下變換的特征值：3.中產(chǎn)者消失之后，又經(jīng)歷一個(gè)階段的劫貧濟(jì)富的分配政策，貧富分化進(jìn)一步擴(kuò)大，此階段的變換矩陣C的特征值如何？1.由于社會(huì)實(shí)行理想的分配制度，社會(huì)財(cái)富按原財(cái)富占有比例在各個(gè)階層中分配，此變換A的特征值結(jié)構(gòu)如何？思考：假設(shè)社會(huì)財(cái)富在某一階段內(nèi)在不同階層中的分配的變化看成是412.特征值特征向量的應(yīng)用2.1應(yīng)用（一）（為方便，只考慮二維的情形）2.特征值特征向量的應(yīng)用2.1應(yīng)用（一）（為方便，只考慮二維42例1在Markov過(guò)程中的應(yīng)用在某城鎮(zhèn)里，若每年有30%已婚婦女離婚，20%的單身女士結(jié)婚，假定該鎮(zhèn)總體女士人口數(shù)保持不變，現(xiàn)假設(shè)有8000已婚女士，2000單身女士，試求：n年后此兩類(lèi)女性人數(shù)各為多少?例1在Markov過(guò)程中的應(yīng)用在某城鎮(zhèn)里，若每年有30%43例2斐波那契數(shù)列的求解例2斐波那契數(shù)列的求解442.2應(yīng)用（二）考慮橫梁彎曲的問(wèn)題

將一橫梁左端固定在O點(diǎn)，對(duì)其右端點(diǎn)施加一向左的水平壓力P，當(dāng)壓力增加到一定程度，橫梁遍會(huì)出現(xiàn)彎曲，當(dāng)壓力達(dá)到一新臨界點(diǎn)，橫梁進(jìn)一步彎曲，依次類(lèi)推，設(shè)橫梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，并設(shè)其沿X軸放置，左端