2023高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義兩種運算“★”與“◆”，對任意，滿足下列運算性質：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．2．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．3．對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，下列函數(shù)模型中擬合較好的是（）A． B． C． D．4．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．5．設為等差數(shù)列的前項和，若，則A． B．C． D．6．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．7．已知函數(shù)，，若對任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．8．為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶9．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-110．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．11．《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲12．設，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．14．的展開式中，的系數(shù)為____________.15．在中，、的坐標分別為，，且滿足，為坐標原點，若點的坐標為，則的取值范圍為__________.16．已知函數(shù)，在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則使得≥0的概率為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，丄底面.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.18．（12分）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A＝(k≠0)的一個特征向量為α＝，A的逆矩陣A－1對應的變換將點(3，1)變?yōu)辄c(1，1)．求實數(shù)a，k的值．19．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若均為正實數(shù)，且滿足，為的最小值，求證：.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.21．（12分）已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，設點為中點，點為中點，點為上一點，且．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當時，證明：.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項.【題目詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【答案點睛】本題考查定義新運算，關鍵在于理解，運用新定義進行求值，屬于中檔題.2．A【答案解析】

根據(jù)復數(shù)乘除運算法則，即可求解.【題目詳解】.故選：A.【答案點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)運算，屬于基礎題題.3．D【答案解析】

作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠近哪個曲線．【題目詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數(shù)圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側，與其他三個曲線都離得很遠，因此D是正確選項，故選：D．【答案點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多，說明擬合效果好．4．A【答案解析】

進行交集的運算即可．【題目詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【答案點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．5．C【答案解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質可得，即，所以，故選C．6．A【答案解析】

根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算，即可容易求得結果.【題目詳解】由于，故選：A.【答案點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，模長的求解，屬綜合基礎題.7．C【答案解析】

對任意的總有恒成立，因為，對恒成立，可得，令，可得，結合已知，即可求得答案.【題目詳解】對任意的總有恒成立，對恒成立，令，可得令，得當，當，，故令，得當時，當，當時，故選：C.【答案點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數(shù)求函數(shù)單調性的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于難題.8．D【答案解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【題目詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【答案點睛】本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.9．B【答案解析】

由題意，代入解方程即可得解.【題目詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【答案點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎題.10．C【答案解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【題目詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【答案點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，幾何概型，屬于中檔題.11．D【答案解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【題目詳解】對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項錯誤.對于D選項，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.故選：D【答案點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎題.12．C【答案解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

在不等式兩邊同時取對數(shù)，然后構造函數(shù)f（x）＝，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調性即可得到結論．【題目詳解】不等式兩邊同時取對數(shù)得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在（0，m）上為增函數(shù)，函數(shù)的導數(shù)，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數(shù)f（x）的最大增區(qū)間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【答案點睛】本題考查函數(shù)單調性與導數(shù)之間的應用，根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構造新函數(shù)，是解決本題的關鍵14．16【答案解析】

要得到的系數(shù)，只要求出二項式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【題目詳解】的系數(shù)為.故答案為：16【答案點睛】此題考查二項式的系數(shù)，屬于基礎題.15．【答案解析】

由正弦定理可得點在曲線上，設，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質可得范圍.【題目詳解】解：由正弦定理得，則點在曲線上，設，則，，又，，因為，則，即的取值范圍為.故答案為：.【答案點睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查學生計算能力，有一定的綜合性，但難度不大.16．【答案解析】試題分析：可以得出，所以在區(qū)間上使的范圍為，所以使得≥0的概率為考點：本小題主要考查與長度有關的幾何概型的概率計算.點評：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見證明；（2）【答案解析】

（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可證明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如圖的空間坐標系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，由可得到答案．【題目詳解】（1）證明：在等腰梯形，，易得在中，，則有，故，又平面，平面，，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，設，，，，而,即，.以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間坐標系，則，，設平面的法向量為，由得，取，得，，同理可求得平面的法向量為，設二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角，考查了棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力及計算能力，屬于中檔題．18．解：設特征向量為α＝對應的特征值為λ，則＝λ，即因為k≠0，所以a＝2．5分因為，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝2．綜上，a＝2，k＝2．20分【答案解析】試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點：特征向量,逆矩陣點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣．19．（1）或（2）證明見解析【答案解析】

（1）將寫成分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）由（1）求得最小值，由此利用基本不等式，證得不等式成立.【題目詳解】（1）當時，恒成立，解得；當時，由，解得；當時，由解得所以的解集為或（2）由（1）可求得最小值為，即因為均為正實數(shù)，且（當且僅當時，取“”）所以，即.【答案點睛】本小題主要考查絕對值不等式的求法，考查利用基本不等式證明不等式，屬于中檔題.20．（1）（2）.【答案解析】

（1）根據(jù)，由向量，的坐標直接計算即得；（2）先求出，再根據(jù)向量平行的坐標關系解得.【題目詳解】（1）由題，向量，，則.（2），.，，整理得，化簡得，即，，，，即.【答案點睛】本題考查平面向量的坐標運算，以及向量平行，是常考題型.21．(1)證明見解析；(2)【答案解析】

（1）連接交于點，連接，通過證，并說明平面，來證明平面（2）采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，分別表示出對應的點坐標，設平面的一個法向量為，結合直線對應的和法向量，利用向量夾角的余弦公式進行求解即可【題目詳解】證明：如圖，連接交于點，連接，點為的中點，點為的中點，點為的重心，則，，，又平面，平面，平面；，，，，，，可得，又，則以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，．設平面的一個法向量為，由，取，得．設直線與平面所成角為，則．直線與平面所成角的正弦值為．【答案點睛】本題考查線面平行的判定定理的使用，利用建系法來求解線面夾角問題，整體難度不大，本