第18頁(yè)/共18頁(yè)眉山市高中2024屆第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.若全集，，，則集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)題意中給出的條件依次寫(xiě)出、、以及，然后將得出的集合與集合進(jìn)行對(duì)比即可得出結(jié)果．【詳解】由題意可知：，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，主要考查集合的運(yùn)算中的交集、并集以及補(bǔ)集，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡(jiǎn)單題．2.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用周期公式求解【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故選：C.3.若函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)真數(shù)為1時(shí)，對(duì)數(shù)值一定為0，由此性質(zhì)求函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)即可.【詳解】當(dāng)x+3=1時(shí)，即x=-2時(shí)此時(shí)y=0,則函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（-2,0）故選A【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)是1的對(duì)數(shù)等于零，從而求得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題.4.《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于公元前450年的作品，刻畫(huà)的是一名強(qiáng)健的男子在擲出鐵餅過(guò)程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）．現(xiàn)把擲鐵餅者張開(kāi)的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”，經(jīng)測(cè)量此時(shí)兩手掌心之間的弧長(zhǎng)是，“弓”所在圓的半徑為1.25米，估算雕像兩手掌心之間的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2.945米 B.2.043米 C.1.768米 D.1.012米【答案】C【解析】【分析】先利用弧長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件求出弧所對(duì)的圓心角，則兩手掌心之間的距離為其所對(duì)的弦長(zhǎng)【詳解】因?yàn)閮墒终菩闹g的弧長(zhǎng)是，“弓”所在圓的半徑為1.25米，所以其所對(duì)的圓心角，所以兩手掌心之間的距離為（米），故選：C5.設(shè)是第三象限角，且，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】求出的終邊所在的象限，由已知可得，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，，若為奇?shù)，可設(shè)，則，此時(shí)為第四象限角；若為偶數(shù)，可設(shè)，則，此時(shí)為第二象限角.因?yàn)?，則，故為第二象限角.故選：B.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）(注：)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)圖象是連續(xù)的，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以在上遞減，所以在上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，，又，所以，所以函?shù)有唯一零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選：B7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的值域即可判斷；【詳解】解：根據(jù)題意，，其定義域?yàn)?，有，為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除，又由，則，即的值域?yàn)?，，因?yàn)?，所以，排除、，故選：．8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中間量結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及余弦函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所?故選：C.9.若，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】?jī)蛇吰椒降?，，故選B.10.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是Af(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫(huà)出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【詳解】因?yàn)閳D象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．【點(diǎn)睛】利用二級(jí)結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；11.已知函數(shù).若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得出，令，其中，由題意可知，實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域，求出函數(shù)在上的值域即可得解.【詳解】由，可得，令，其中，由于存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)在上的值域.由于函數(shù)、在區(qū)間上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，又，所以，函數(shù)在上的值域?yàn)?因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.12.函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，可得只有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于與圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由可得其周期，當(dāng)時(shí)，最高點(diǎn)所以若恰有一個(gè)交點(diǎn)，只需要，即，解得：，又因?yàn)?，所以，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，且．若角的終邊上有一點(diǎn)，則x的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念即可直接求出x的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.14.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，先求出，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，則，則.故答案為：.15.若偶函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則______．【答案】##0.1【解析】【分析】由得函數(shù)周期為6，結(jié)合周期性和奇偶性計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以周期?，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，所以，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即.故答案為：.16.以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論：①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③在區(qū)間上是減函數(shù)；④若對(duì)任意都有成立，那么最小值為．其中正確的結(jié)論是______（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①③④【解析】【分析】利用整體代入的方法即可直接求出函數(shù)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間，從而可判斷①②③；利用函數(shù)的周期和最值即可判斷④.【詳解】由，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故①正確；由，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；由，得，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故③正確；若對(duì)任意都有成立，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值，又因?yàn)榈闹芷跒椋缘淖钚≈禐椋盛苷_．故答案為：①③④.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)題干條件，得到，進(jìn)而求出的值；（2）結(jié)合第一問(wèn)求出的正切值和，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出正弦和余弦值，進(jìn)而求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵∴，化簡(jiǎn)得：∴【小問(wèn)2詳解】∵，∴為第四象限，故，由得，故18.已知的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）證明：在上為增函數(shù)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得，從而可得出答案；（2）任取，利用作差法證明，即可得證.【小問(wèn)1詳解】解：∵函數(shù)是奇函數(shù)且，∴，即，，所以；【小問(wèn)2詳解】證明：任取，則，∵，∴，即，又，，∴，∴，即，故在上為增函數(shù).19.1986年4月26日，一場(chǎng)地震造成烏克蘭境內(nèi)的切爾諾貝利核電站爆炸并引起大火．這一事故導(dǎo)致約8噸的強(qiáng)輻射物嚴(yán)重泄漏，事故所在地被嚴(yán)重污染．主要輻射物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%，經(jīng)專家模擬估計(jì)，輻射物中鍶90的剩余量低于原有的8.46%時(shí)，事故所在地才能再次成為人類居住的安全區(qū)；要完全消除這次核事故對(duì)自然環(huán)境的影響至少需要800年．設(shè)輻射物中原有的鍶90有噸．（1）設(shè)經(jīng)過(guò)年后輻射物中鍶90的剩余量為噸，試求的表達(dá)式，并計(jì)算經(jīng)過(guò)800年后輻射物中鍶90的剩余量；（2）事故所在地至少經(jīng)過(guò)多少年才能再次成為人類居住的安全區(qū)？（結(jié)果保留為整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1），，經(jīng)過(guò)800年后輻射物中鍶90的剩余量為噸；（2）事故所在地至少經(jīng)過(guò)83年才能再次成為人類居住的安全區(qū)．【解析】【分析】（1）鍶90每年的衰減率為2.47%，即可得到的表達(dá)式，然后令t=800代入求解即可；（2）根據(jù)題意列出表達(dá)式，兩邊取對(duì)數(shù)，結(jié)合題目數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】（1）由題意，得，．化簡(jiǎn)，得，．∴．∴經(jīng)過(guò)800年后輻射物中鍶90的剩余量為噸．（2）由（Ⅰ），知，．由題意，得，不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得．化簡(jiǎn)，得．由參考數(shù)據(jù)，得．∴．又∵，∴事故所在地至少經(jīng)過(guò)83年才能再次成為人類居住的安全區(qū)．20.已知函數(shù)部分圖像如圖所示．（1）求的值；（2）若現(xiàn)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再把圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖可求出函數(shù)的周期，從而可求出，由圖可得，然后將點(diǎn)代入函數(shù)中可求出的值，進(jìn)而可求得函數(shù)解析式，則可求出的值，（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，再由求出，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得的值域【小問(wèn)1詳解】由題意得：，∴，，當(dāng)時(shí)，，，∴，令可得：，又易知，故：，則，【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，由題意得：，∵，∴，∴，故函數(shù)的值域?yàn)?1.設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】小問(wèn)1：討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分析函數(shù)的單調(diào)性即可求解；小問(wèn)2：由，分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域即可求解結(jié)果．小問(wèn)1詳解】解：（1）∵∴函數(shù)的對(duì)稱軸①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減的③當(dāng)時(shí)，故【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)方程在區(qū)間內(nèi)有解方程在區(qū)間內(nèi)有解令在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的值域?yàn)椤唷喙蔭的取值范圍22.已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）已知函數(shù)的定義域是R，對(duì)任意的，都有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分，兩種情況討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而可得出答案；（2）由函數(shù)