特級(jí)教師小學(xué)奧數(shù)匯編教材第四講平面幾何綜合【專題知識(shí)點(diǎn)概述】本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過的有關(guān)平面幾何方面的知識(shí)，包括直線型圖形的五大模型以及圓與扇形方面的知識(shí)，旨在提高學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。重點(diǎn)模型重溫直線型圖形五大模型模型一：同一三角形中，相應(yīng)面積與底的正比關(guān)系：即：兩個(gè)三角形高相等，面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊之比。S:S=a：b;

12模型一的拓展：等分點(diǎn)結(jié)論（“鳥頭定理”）211第四講平面幾何綜合【專題知識(shí)點(diǎn)概述】本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過的有關(guān)平面幾何方面的知識(shí)，包括直線型圖形的五大模型以及圓與扇形方面的知識(shí)，旨在提高學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。重點(diǎn)模型重溫直線型圖形五大模型模型一：同一三角形中，相應(yīng)面積與底的正比關(guān)系：即：兩個(gè)三角形高相等，面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊之比。S:S=a：b;

12模型一的拓展：等分點(diǎn)結(jié)論（“鳥頭定理”）211如圖'三角形AED占三角形ABC面積的-X4=6模型二：任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）①S:S=S:S或者SXS=SXS12431324②②AO：OC=（S+S）:（S+S）1243模型三：梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）①S:S=a2:b213abS:S:S:S=a2：b2：ab：ab;1324S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+b）2模型四：相似三角形性質(zhì)abch①一=—==-ABCH②S:S=a2:A212模型五：燕尾定理SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；SABGA:S^BGC=S^AGF:SAGFC=AF:FC;S^AGC:S^BCG=S^ADG:SADGB=AD:DB;【授課批注】復(fù)習(xí)該部分知識(shí)的時(shí)候可結(jié)合前面所講過的題深入講解。三角形的相似問題四邊形中的蝴蝶定理三角形中燕尾定理的運(yùn)用8=8=11988=8=11981.三角形或四邊形中的部分面積求解2.相似形的相關(guān)性質(zhì)3.多邊形內(nèi)角和4.圓與圓弧的相關(guān)圖形面積和周長(zhǎng)求解【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí)探※※）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，陰影部分是直角三角形且面積為54,0D的長(zhǎng)是16，OB的長(zhǎng)是9.那么四邊形OECD的面積是.分析與解】連結(jié)DE，依題意S=xBOxAO=—x9xAO=54AAOB22得A0=12.于是可推知S=-xDOxAO=-x16x12=96，AAOD22=S=54=x16xOE

ADOE2又因?yàn)镾AAOB所以0E二63.4這樣可得SABOE=-xBOxEO=-x9x6—=303，從而有2248S二S-SAECDABCDABOE=S-SAABDABOE3=(50+49)-30—△△△△【例2】（難度等級(jí)探※※）如下左圖.將三角形ABC的BA邊延長(zhǎng)1倍到D,CB邊延長(zhǎng)2倍到E,AC邊延長(zhǎng)3倍到F.如果三角形ABC的面積等于l,那么三角形DEF的面積是.分析與解】連結(jié)AE、BF、CD（如上右圖）?由于三角形AEB與三角ABC的高相等,而底邊EB=2BC，所以三角形AEB的面積是2.同理，三角形CBF的面積是3,三角形ACD的面積是1.類似地三角形AED的面積=三角形AEB的面積=2.三角形BEF的面積=2X（三角形CBF的面積）=6?三角形CFD的面積=3X（三角形ACD的面積）=3.于是三角形DEF的面積等于三角形ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面積之和，即1+2+3+1+2+6+3=18.那么【例3】（難度等級(jí)※※※探）那么如圖，三角形ABC的面積是1平方厘米，且BE=2EC,F是CD的中點(diǎn).陰影部分的面積是（）平方厘米.分析與解】s二3（平方厘米）,ABE3

SACE二3（平方厘米）?又S=SS=S-,ACFADF,BCFBDF,G1c1所以S+SS△二怎（平方厘米）.ACFBCF2ABC2于是S△=（S+S△）—SBCFACFBCFACE=1—1=1（平方厘米）.236又S=又S=isCEF2BEF111=2x6=D（平方厘米）'故S=S人=S+S=：+=~7（平方厘米）BDFBCFBEFCEF6124因此，S=S+S陰影BDF115=—+—=-BEF4612（平方厘米）.因此，S=S+S陰影BDF115=—+—=-BEF4612（平方厘米）.【例4】（難度等級(jí)※※※海）1如圖，已知AE二AC,CD二BC,54三角形DEF的面積=三角形ABC的面積=【分析與解】連結(jié)輔助線AD?因?yàn)镃D=￡Be,所以SAACDSAABC（等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比）同理S5AACD=—S4AABC從而S=-SACDE5AABC連結(jié)輔助線BE、CF，同理可證S=-SABDF8AABCS=-SAAEF6AABC所以SADEFS1-5-6-8=旦1120AABC【例5】（難度等級(jí)探※※）如圖，BD是梯形ABCD的一條對(duì)角線，線段AE與梯形的一條腰DC平行，AE與BD相交于0點(diǎn).已知三角形BOE的面積2比三角形AOD的面積大4平方米，并且EC=5BC.求梯形ABCD的面積.【分析與解】

三角形ABE的面積比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD與三角形ACD面積相等（同底等高），因此也與三角形ACE面積相等，從而三角形ABE的面積比三角形ACE大4平方米.22但EC二一BC，所以三角形ACE的面積是三角形ABE的，從而三角形ABE的面積是55-2324^（1-3）=12（平方米），梯形ABCD的面積2=12X（1+3X2）=28（平方米）【例6】（難度等級(jí)探※※※）如圖，平行四邊形的花池邊長(zhǎng)分別為60米與30米.小明和小華同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，沿著平行四邊形的邊由A—B—C—DfA…順序走下去.小明每分鐘走50米，小華每分鐘走20米，出發(fā)5分鐘后小明走到E點(diǎn)，小華走到F點(diǎn).連結(jié)AE、AF，則四邊形AECF的面積與平行四邊形ABCD的面積的比是分析與解】小明5分鐘共走了50X5=250（米）,沁AEC沁AEC:弧ABC=20：如：3SA：SA=10：30=1：3.ACFACD1所以SA+￡△=-(SA+SA)，AECACF3ABCACD即四邊形AECF與平行四邊形ABCD的面積之比是1:3.【例7】（難度等級(jí)探※）圖中正方形周長(zhǎng)是20厘米.那么圖形的總面積是平方厘米.

【分析與解】從圖中可以看出，正方形的邊長(zhǎng)也是圓的半徑.由此可知這兩個(gè)圓是等圓.因?yàn)檎叫蔚拿總€(gè)角都是90。所以圖中的兩個(gè)扇形的圓心角都是270。.兩個(gè)扇形的面積是:3.14x52X270X2=117.75（平方厘米）.360正方形的面積是5X5=25（平方厘米）.圖形的總面積是117.75+25=142.75（平方厘米）.【例8】（難度等級(jí)探※）如圖中，陰影部分的面積是5.7平方厘米，三角形ABC的面積是-平方厘米.（兀取3.14）分析與解】根據(jù)對(duì)稱性，可知原圖中陰影部分的面積是兀R2一4-R2一2=[（?！?）十4]R2=0.285R2根據(jù)題意，有0.285R2=5.7X2,所以R2=40,從而SAABC二R2x-=40x-=10（平方厘米）.44A【例9】（難度等級(jí)探※※）A圖中，已知圓心是O,半徑r=9厘米，Z1=Z2=15o，那么陰影部分的面積是平方厘米.兀（心3.14）分析與解】因?yàn)閳A的半徑都相等，于是0A=0B.在等腰三角形A0B中兩個(gè)底角Z1=Z2=15o.又知道三角形內(nèi)角之和是18Oo，所以，三角形A0B的頂角ZAOB=18Oo一(15o+15o)=15Oo.

同理ZA0C=1500.因此，NB0C=36Oo-（15Oo+15Oo）=6Oo這就是說，陰影部分扇形的面積是圓面積的六分之一，即-x兀xY2a1x3.14x92=42.39（平方厘米）.66【例10】（難度等級(jí)探※※）圖中陰影部分的面積是—平方厘米.5~3.14）【分析與解】半圓面積是1x3.14x52=39.25（平方厘米），扇形面積是3.14X102x36O=39.25（平方厘米），△ABC面積是（—x10x10=50平方厘米）.因此陰影面積是39.25+39.25－50=28.5（平方厘米）.【例11】（難度等級(jí)探※）【例11】（難度等級(jí)探※）圖中兩個(gè)陰影部分面積的和是多少平方厘米?「?/20、3.14xG—）2一2=157（平方厘米）,3.14x（儀）2一2=100.48（平方厘米）,3.14x（耳）2一2=56.52（平方厘米），12X16三2=96（平方厘米）,157－96=61（平方厘米），因此，陰影部分面積為

100.48+56.52－61=96(平方厘米)．【例12】（難度等級(jí)探）如右圖，ABCD是正方形.E是BC邊的中點(diǎn)，三角形ECF與三角形ADF面積一樣大，那么三角形AEF（陰影部分）的面積是正方形ABCD面積的百分之____.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）【分析與解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,因?yàn)槿切蜤CF與三角形ADF面積一樣大,12而EC二,AD=1,所以CF=2XDF.從而CF=,TOC\o"1-5"\h\z231DF=31DF=3…111251—x(—x1+—x—x2)==41.67%.222312即是正方形ABCD面積的百分之41.67.例13】（難度等級(jí)※※）1在圖中，已知矩形GHCD的面積是矩形ABCD面積的，矩形MHCF41的面積是矩形ABCD面積的：，矩形BCFE的面積等于3平方米.矩6形AEMG的面積等于平方米.【分析與解】因?yàn)镚M:MH=（---）：-=1:2，所以矩形AEFD的面積等于矩形TOC\o"1-5"\h\z46613BCFE面積的一，即3X—=—（平方米）.2213又因?yàn)锳G:AD=（1-—）:1=3:4，所以矩形AEMG的面積等于矩形AEFD面積的一，即4431一x一=1—（平方米）.248【例14】（難度等級(jí)探※※※※）園林小路，曲徑通幽.如圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成.問：內(nèi)圈三角形石板的總面積大，還是外

圈三角形的總面積大?請(qǐng)說明理由．【分析與解】?jī)蓚€(gè)相接觸的正方形夾著一個(gè)外圈三角形石板和一個(gè)內(nèi)圈三角形石板.如圖所示，ZEAF與NBAC互補(bǔ).將ABAC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900補(bǔ)到三角形EAD的位置.因?yàn)镹DAE+上EAF=18Oo,所以D、A、F在一條直線上.又AD=AC.從而AD=AF.可知，EA為三角形EDF的DF邊上的中線，于是三角形EAF與三角形EAD面積相等.也就是三角形EAF與三角形ABC面積相等.由于兩個(gè)相接觸的正方形石板所夾的外圈三角形面積等于內(nèi)圈三角形面積，所以內(nèi)圈三角形石板總面積等于外圈三角形石板的總面積.【例15】（難度等級(jí)※※探）圖中正六邊形ABCDEF的面積是54,AF=2PF,CQ=2BQ,求陰影四邊形CEPQ的面積.【分析與解】如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個(gè)小正三角形.根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形面積,△PEF面積=3,△CDE面積=9.四邊形ABQP面積=11.上述三塊面積之和為3+9+11=23.因此，陰影四邊形CEPQ面積為54-23=31.【例16】（難度等級(jí)探※※）已知四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為3,BE=1.5,AF=1,求陰影（劃線）部分的面積.CD【分析與解】

CD延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于H,由于E是BC中點(diǎn)所以BH=CD=3.連DF，設(shè)DE與CF相交于G.因?yàn)镃D：FH=3:(2+3)：3：5，所以DG:GH=3:5.△DGF與厶GHF的面積的比二DG:GH=3:5.TOC\o"1-5"\h\z13△ADH的面積一x3X(3+3)=9,AADF的面積=—x3x1=22c31515575所以△DGF的面積=9—=,△GHF的面積=—x=-2223+516975975BEH的面積二—x1.5x3=—，所求面積是——-—=-.416416【例17】（難度等級(jí)探※）圖中ABCD是直角梯形，其中，AD=12厘米,AB=8厘米,BC=15厘米.且三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等.那么三角形EBF的面積是平方厘米.【分析與解】C直角梯形ABCD的面積是C（12+15）X8^2=108（平方厘米）.因?yàn)槿切蜛DE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等，并且這三個(gè)圖形的面積之和等于梯形ABCD的面積.所以它們的面積都等于108一3=36（平方厘米）.在三角形ADE中，AD=12厘米，所以AE=36十12X2=6（厘米）.又知AB=8厘米，所以EB=8-6=2（厘米）.因?yàn)槿切蜟DF的高=AB=8（厘米）.于是FC=36F8X2=9（厘米）.由于BC=15厘米，可知BF=15-9=6（厘米）.24因?yàn)樯螧=900G—）2，所以三角形EBF的面積是厶1-EB?BF=2X6F2=6（平方厘米）.厶AEIJ【例18】（難度等級(jí)探※※）

AEIJ正方形ABCD的面積是160平方厘米，連接這個(gè)正方形4條邊的中點(diǎn)，又得到一個(gè)正方形EFGH.像這樣重復(fù)幾次后得到下圖，圖中涂黑色部分的面積—平方厘米.【分析與解】白色的三角形分為三層：1I層的面積占總面積的—;111第2層的面積占總面積的丁x—=;28111第3層的面積占總面積的可7X三=-16232111—1一共占2+8+3—=32所以黑色部分占總面積的1所以黑色部分占總面積的112=32.涂黑色的面積是160X32=55（平方厘米）.【例19】（難度等級(jí)※※※※）如圖，三個(gè)一樣大小的正方形放在一個(gè)長(zhǎng)方形的盒內(nèi)，A和B是兩廠―個(gè)正方形的重疊部分,c、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形，切p它們的面積比是A：B：C：D：E=l：2：3：4：5,那么這個(gè)長(zhǎng)方形「的長(zhǎng)與寬之比是?【分析與解】為統(tǒng)一起見，對(duì)圖中的矩形，橫向稱為長(zhǎng)，縱向稱為寬.因?yàn)锳與B的寬相等，所以設(shè)A的長(zhǎng)為x,則B的長(zhǎng)為2x（見左上圖）.因?yàn)镃:D:E=3:4:5，C、D、E的寬相等，所以設(shè)C的長(zhǎng)為3y,則D、E的長(zhǎng)分別為4y和5y.因?yàn)閳D中的三個(gè)正方形相同，邊長(zhǎng)相等，于是得到5y+x=2x+4y，*2k化簡(jiǎn)得x=y.由此推知，若A的長(zhǎng)為1，^UB、C、D、E的長(zhǎng)依次Au為2、3、4、5（見右上圖），正方形的邊長(zhǎng)為6,大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為c6X2+3=15.因?yàn)锳與C面積之比與長(zhǎng)之比都是1:3,所以它們的寬應(yīng)相等，同為正方形邊長(zhǎng)的一半，即6^2=3.所以大長(zhǎng)方形的寬為6+3=9，長(zhǎng)與寬之比為15:9=5:3.△△例20】（難度等級(jí)※※※）五環(huán)圖由內(nèi)圓直徑為8,外圓直徑為10的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等，已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是132.5,求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（圓周率兀取3.14）.分析與解】每個(gè)圓環(huán)的面積是兀（52-42）=9兀如果五個(gè)圓環(huán)彼此沒有重合的部分，則它們的總面積是5X9兀=45兀.因?yàn)槲瀛h(huán)蓋住的總面積是132.5．所以每個(gè)小曲邊四邊形的面積是54-27—=26—45^-132.5=空=1.1111188例21】（難度等級(jí)※※※）已知四邊形ABCD是直角梯形，上底AD=8厘米，下底BC=10厘2米，直角腰CD=6厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，BF=3BC，G為DC上的點(diǎn)，三角形DEG的面積與三角形CF