中考真題精編匯總中考真題精編匯總第頁碼208頁/總NUMPAGES總頁數(shù)208頁中考真題精編匯總【中考數(shù)學(xué)】解答題：精選真題專項打破沖刺提分60題（含答案解析）一、解答題（共60小題）1．（2015?遵義）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D為頂點的三角形面積時，求點D的坐標(biāo)及此時三角形的面積；（3）以AB為直徑作⊙M，直線點E（﹣1，﹣5），并且與⊙M相切，求該直線的解析式．2．（2015?株洲）已知AB是圓O的切線，切點為B，直線AO交圓O于C、D兩點，CD=2，∠DAB=30°，動點P在直線AB上運動，PC交圓O于另一點Q．（1）當(dāng)點P運動到使Q、C兩點重合時（如圖1），求AP的長；（2）點P在運動過程中，有幾個地位（幾種情況）使△CQD的面積為？（直接寫出答案）（3）當(dāng)△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時（如圖2），求AP的長．3．（2015?長沙）在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”．（1）求函數(shù)y=x+2的圖象上一切“中國結(jié)”的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)；（3）若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，試問該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”？4．（2015?岳陽）已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當(dāng)點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：．（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的地位，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式能否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請闡明理由．（3）延伸探求：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA?PB=k?AB．5．（2015?玉林）已知：函數(shù)y=﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象相交于A，B兩點（A在B的右側(cè)）．（1）當(dāng)A（4，2）時，求反比例函數(shù)的解析式及B點的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上能否存在一點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出一切符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．（3）當(dāng)A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時，直線OA與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點C，連接BC交y軸于點D．若=，求△ABC的面積．6．（2015?煙臺）【成績提出】如圖①，已知△ABC是等腰三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF試證明：AB=DB+AF【類比探求】（1）如圖②，如果點E在線段AB的延伸線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請闡明理由（2）如果點E在線段BA的延伸線上，其他條件不變，請在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補充殘缺，并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必闡明理由．7．（2015?湘西州）如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+cA，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設(shè)運動工夫為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當(dāng)t為何值時，△APQ為直角三角形；（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時，求點F的坐標(biāo)；（4）設(shè)拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：能否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O(shè)，B，P為頂點的三角形類似？若存在，請求出t的值；若不存在，請闡明理由．8．（2015?湘潭）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發(fā)，連接PQ，當(dāng)點Q到達(dá)C點時，P、Q同時中止運動，設(shè)運動工夫為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)t＜2時，延伸QP交y軸于點M，在拋物線上能否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點？若存在，求出點N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請闡明理由．9．（2015?咸寧）如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折，得到一個新函數(shù)的圖象（圖中的“V形折線”）．（1）類比研討函數(shù)圖象的方法，請列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；（2）如圖2，雙曲線y=與新函數(shù)的圖象交于點C（1，a），點D是線段AC上一動點（不包括端點），過點D作x軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點E，與雙曲線交于點P．①試求△PAD的面積的值；②探求：在點D運動的過程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時點D的坐標(biāo)；若不能，請闡明理由．10．（2015?通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側(cè)），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形（1）求該拋物線的解析式；（2）求點P的坐標(biāo)；（3）求證：CE=EF；（4）連接PE，在x軸上點Q的右側(cè)能否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．[注：3+2=（+1）2]．11．（2015?天津）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)b=2，c=﹣3時，求二次函數(shù)的最小值；（Ⅱ）當(dāng)c=5時，若在函數(shù)值y=l的怙況下，只要一個自變量x的值與其對應(yīng)，求此時二次函數(shù)的解析式；（Ⅲ）當(dāng)c=b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時二次函數(shù)的解析式．12．（2015?泰州）已知函數(shù)y=2x﹣4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數(shù)的圖象上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2．（1）當(dāng)P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當(dāng)d1+d2=3時點P的坐標(biāo)；（3）若在線段AB上存在有數(shù)個P點，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值．13．（2015?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點O是坐標(biāo)原點，點A在象限，點C在第四象限，點B的坐標(biāo)為（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．點P是線段OB上的一個動點（點P不與點O、B重合），過點P與y軸平行的直線l交邊OA或邊AB于點Q，交邊OC或邊BC于點R，設(shè)點P橫坐標(biāo)為t，線段QR的長度為m．已知t=40時，直線l恰好點C．（1）求點A和點C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜t＜30時，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)m=35時，請直接寫出t的值；（4）直線l上有一點M，當(dāng)∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周長為60時，請直接寫出滿足條件的點M的坐標(biāo)．14．（2015?日照）如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：能否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB類似？若存在，請求出一切符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．（2）設(shè)E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后中止，當(dāng)點E的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動中用時最少？15．（2015?泉州）（1）如圖1是某個多面體的表面展開圖．①請你寫出這個多面體的名稱，并指出圖中哪三個字母表示多面體的同一點；②如果沿BC、GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個矩形，那么△BMC應(yīng)滿足什么條件？（不必說理）（2）如果將一個三棱柱的表面展開圖剪成四塊，恰好拼成一個三角形，如圖2，那么該三棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中一切接縫均忽略不計）16．（2015?潛江）已知拋物線A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三點，其對稱軸交x軸于點H，函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象點C，與拋物線交于另一點D（點D在點C的左邊），與拋物線的對稱軸交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)S△EOC=S△EAB時，求函數(shù)的解析式；（3）如圖2，設(shè)∠CEH=α，∠EAH=β，當(dāng)α＞β時，直接寫出k的取值范圍．17．（2015?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求線段AB的長；（2）求直線CE的解析式；（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)能否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．18．（2015?莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點P是BF的中點，連接PC，PE．發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）．成績探求：把圖1中的△AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，若點E落在邊CA的延伸線上，則上述結(jié)論能否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請闡明理由；（2）如圖3，若點F落在邊AB上，則上述結(jié)論能否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請闡明理由；（3）記=k，當(dāng)k為何值時，△CPE總是等邊三角形？（請直接寫出k的值，不必闡明理由）19．（2015?寧夏）如圖，是一副先生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若將邊A1C1與邊CA重合，其中點A1與點C重合．將三角板A1B1C1繞點C（A1）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的角為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點為M，設(shè)AC=a．（1）計算A1C1的長；（2）當(dāng)α=30°時，證明：B1C1∥AB；（3）若a=，當(dāng)α=45°時，計算兩個三角板堆疊部分圖形的面積；（4）當(dāng)α=60°時，用含a的代數(shù)式表示兩個三角板堆疊部分圖形的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）20．（2015?南通）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點D落在線段PQ上．（1）求證：PQ∥AB；（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長；（3）若△PDE與△ABC堆疊部分圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．21．（2015?南寧）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B是拋物線y=ax2（a＞0）上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在象限，（1）如圖1所示，當(dāng)直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時，求此拋物線的解析式和A、B兩點的橫坐標(biāo)的乘積．（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當(dāng)直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時，A、B兩點的橫坐標(biāo)的乘積能否為常數(shù)？如果是，請給予證明；如果不是，請闡明理由．（3）在（2）的條件下，若直線y=﹣2x﹣2分別交直線AB，y軸于點P、C，直線AB交y軸于點D，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標(biāo)．22．（2015?綿陽）已知拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）與y軸相交于A點，頂點為M，直線y=x﹣a分別與x軸、y軸相交于B，C兩點，并且與直線MA相交于N點．（1）若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示交點M，A的坐標(biāo)；（2）將△NAC沿著y軸翻轉(zhuǎn)，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于點D，連接CD，求a的值及△PCD的面積；（3）在拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上能否存在點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．23．（2015?梅州）如圖，過原點的直線y=k1x和y=k2x與反比例函數(shù)y=的圖象分別交于兩點A，C和B，D，連接AB，BC，CD，DA．（1）四邊形ABCD一定是四邊形；（直接填寫結(jié)果）（2）四邊形ABCD可能是矩形嗎？若可能，試求此時k1，k2之間的關(guān)系式；若不能，闡明理由；（3）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函數(shù)y=圖象上的任意兩點，a=，b=，試判斷a，b的大小關(guān)系，并闡明理由．24．（2015?婁底）如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQ⊥AP交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延伸QC′交BA的延伸線于點M．（1）試探求AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)AB=3，BP=2PC，求QM的長；（3）當(dāng)BP=m，PC=n時，求AM的長．25．（2015?遼陽）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+3與拋物線y=ax2+x+c相交于A，B兩點，其中點A在x軸上，點B在y軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上存在一點M，使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形，求點M的坐標(biāo)；（3）如圖2，點E為線段AB上一點，BE=2，以BE為腰作等腰Rt△BDE，使它與△AOB在直線AB的同側(cè)，∠BED=90°，△BDE沿著BA方向以每秒一個單位的速度運動，當(dāng)點B與A重合時中止運動，設(shè)運動工夫為t秒，△BDE與△AOB堆疊部分的面積為S，直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．26．（2015?錦州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2點A（﹣1，0）和點B（4，0），且與y軸交于點C，點D的坐標(biāo)為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點，連接CA，CD，PD，PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時，求點P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m＞0，n＞0時，過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F，過點F作FG⊥x軸于點G，連接EG，請直接寫出隨著點P的運動，線段EG的最小值．27．（2015?錦州）如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN=α，將∠QPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．（1）如圖①，當(dāng)α=90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α=60°時，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探求在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明．28．（2015?濟(jì)南）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點M為射線AE上任意一點（不與A重合），連接CM，將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線分別交直線CM、射線AE于點F、D．（1）直接寫出∠NDE的度數(shù)；（2）如圖2、圖3，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論能否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請闡明理由；（3）如圖4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=，其他條件不變，求線段AM的長．29．（2015?濟(jì)南）如圖1，點A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥y軸于D．（1）求m的值和直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線OD﹣DB向B點運動，同時動點Q從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線OC向C點運動，當(dāng)動點P運動到D時，點Q也中止運動，設(shè)運動的工夫為t秒．①設(shè)△OPQ的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；②如圖2，當(dāng)?shù)腜在線段OD上運動時，如果作△OPQ關(guān)于直線PQ的對稱圖形△O′PQ，能否存在某時辰t，使得點O′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上？若存在，求O′的坐標(biāo)和t的值；若不存在，請闡明理由．30．（2015?黃石）已知雙曲線y=（x＞0），直線l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點F且與雙曲線交于A，B兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直線l2：y=﹣x+．（1）若k=﹣1，求△OAB的面積S；（2）若AB=，求k的值；（3）設(shè)N（0，2），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值時P的坐標(biāo)．（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）則A，B兩點間的距離為AB=）31．（2015?黃岡）我市某風(fēng)景區(qū)門票價格如圖所示，黃岡赤壁旅游公司有甲、乙兩個旅游團(tuán)隊，計劃在“五一”小黃金周期間到該景點游玩．兩團(tuán)隊游客人數(shù)之和為120人，乙團(tuán)隊人數(shù)不超過50人，設(shè)甲團(tuán)隊人數(shù)為x人．如果甲、乙兩團(tuán)隊分別購買門票，兩團(tuán)隊門票款之和為W元．（1）求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若甲團(tuán)隊人數(shù)不超過100人，請闡明甲、乙兩團(tuán)隊聯(lián)合購票比分別購票最多可可節(jié)約多少錢；（3）“五一”小黃金周之后，該風(fēng)景區(qū)對門票價格作了如下調(diào)整：人數(shù)不超過50人時，門票價格不變；人數(shù)超過50人但不超過100人時，每張門票降價a元；人數(shù)超過100人時，每張門票降價2a元，在（2）的條件下，若甲、乙兩個旅行團(tuán)隊“五一”小黃金周之后去游玩，最多可節(jié)約3400元，求a的值．32．（2015?呼倫貝爾）直線y=x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點E從B點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BO向O點挪動（不考慮點E與B、O兩點重合的情況），過點E作EF∥AB，交x軸于點F，將四邊形ABEF沿直線EF折疊后，與點A對應(yīng)的點記作點C，與點B對應(yīng)的點記作點D，得到四邊形CDEF，設(shè)點E的運動工夫為t秒．（1）畫出當(dāng)t=2時，四邊形ABEF沿直線EF折疊后的四邊形CDEF（不寫畫法）；（2）在點E運動過程中，CD交x軸于點G，交y軸于點H，試探求t為何值時，△CGF的面積為；（3）設(shè)四邊形CDEF落在象限內(nèi)的圖形面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出S的值．33．（2015?黑龍江）如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標(biāo)軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x2﹣6x+8=0的兩個根，且OC＞BC．（1）求直線BD的解析式；（2）求△OFH的面積；（3）點M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)能否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．34．（2015?河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）成績發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α=0°時，=；②當(dāng)α=180°時，=．（2）拓展探求試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）成績處理當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長．35．（2015?貴陽）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當(dāng)AF等于多少時，△MEF的周長最?。浚?）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．（計算結(jié)果保留根號）36．（2015?貴港）已知：△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探求并處理下列成績：（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：①線段PB=，PC=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，若點P在AB的延伸線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；（3）若動點P滿足=，求的值．（提示：請利用備用圖進(jìn)行探求）37．（2015?廣西）在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點M為BC邊上一動點（點M與點B、C不重合），連接AM，過點M作MN⊥AM，垂足為M，MN交CD或CD的延伸線于點N．（1）求證：△CMN∽△BAM；（2）設(shè)BM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．當(dāng)x取何值時，y有值，并求出y的值；（3）當(dāng)點M在BC上運動時，求使得下列兩個條件都成立的b的取值范圍：①點N一直在線段CD上，②點M在某一地位時，點N恰好與點D重合．38．（2015?甘南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c，A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三點，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上能否存在一點P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，并判斷這個菱形能否為正方形？若不存在，請闡明理由．39．（2015?丹東）在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜45°）．①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請闡明理由；②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上挪動（不與點O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．40．（2015?大連）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，且CD＞DA，DA=2，點P，Q同時從點D出發(fā)，以相反的速度分別沿射線DC、射線DA運動，過點Q作AC的垂線段QR，使QR=PQ，連接PR，當(dāng)點Q到達(dá)點A時，點P，Q同時中止運動．設(shè)PQ=x，△PQR與△ABC堆疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤，＜x≤m時，函數(shù)的解析式不同）．（1）填空：n的值為；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．41．（2015?成都）已知AC，EC分別是四邊形ABCD和EFDG的對角線，點E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如圖①，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF．（i）求證：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的長；（2）如圖②，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且==k時，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如圖③，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB=∠GEF=45°時，設(shè)BE=m，AE=n，CE=p，試探求m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）42．（2015?常州）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=x的圖象交于點A、B，點B的橫坐標(biāo)是4．點P是象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動點，且在直線AB的上方．（1）若點P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點M、N，求證：△PMN是等腰三角形；（3）設(shè)點Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動點（與點P、B不重合），連接AQ、BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并闡明理由．43．（2015?北京）在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移△ADP，使點D挪動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH．（1）若點P在線段CD上，如圖1．①依題意補全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與地位關(guān)系并加以證明；（2）若點P在線段CD的延伸線上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思緒．（可以不寫出計算結(jié)果）44．（2015?包頭）已知拋物線y=x2+bx+cA（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，該拋物線的頂點為點D．（1）求該拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；（2）連接AC，CD，BD，BC，設(shè)△AOC，△BOC，△BCD的面積分別為S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之間的數(shù)量關(guān)系，并闡明理由；（3）點M是線段AB上一動點（不包括點A和點B），過點M作MN∥BC交AC于點N，連接MC，能否存在點M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出點M的坐標(biāo)和此時辰直線MN的解析式；若不存在，請闡明理由．45．（2015?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點E．（1）求直線AD的解析式；（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點F，過點F作FG⊥AD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求△FGH周長的值；（3）點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形．若點T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點T的坐標(biāo)．46．（2015?重慶）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+x+3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點W，頂點為C，拋物線的對稱軸與x軸的交點為D．（1）求直線BC的解析式；（2）點E（m，0），F(xiàn)（m+2，0）為x軸上兩點，其中2＜m＜4，EE′，F(xiàn)F′分別垂直于x軸，交拋物線于點E′，F(xiàn)′，交BC于點M，N，當(dāng)ME′+NF′的值時，在y軸上找一點R，使|RF′﹣RE′|的值，請求出R點的坐標(biāo)及|RF′﹣RE′|的值；（3）如圖2，已知x軸上一點P（，0），現(xiàn)以P為頂點，2為邊長在x軸上方作等邊三角形QPG，使GP⊥x軸，現(xiàn)將△QPG沿PA方向以每秒1個單位長度的速度平移，當(dāng)點P到達(dá)點A時中止，記平移后的△QPG為△Q′P′G′．設(shè)△Q′P′G′與△ADC的堆疊部分面積為s．當(dāng)Q′到x軸的距離與點Q′到直線AW的距離相等時，求s的值．47．（2015?漳州）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請?zhí)幚硐铝谐煽儯?）填空：點C的坐標(biāo)為（，），點D的坐標(biāo)為（，）；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)|PD﹣PC|時，求α的值并在圖中標(biāo)出點P的地位；（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設(shè)點C對應(yīng)點C′的橫坐標(biāo)為t（其中0＜t＜6），在運動過程中△B′C′P′與△BCD堆疊部分的面積為S，求S與t之間的關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時S，值為多少？48．（2015?營口）如圖1，一條拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且當(dāng)x=﹣1和x=3時，y的值相等，直線y=x﹣與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標(biāo)是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．（1）求這條拋物線的表達(dá)式．（2）動點P從原點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)一個點到達(dá)起點時，另一個點立即中止運動，設(shè)運動工夫為t秒．①若使△BPQ為直角三角形，請求出一切符合條件的t值；②求t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？（3）如圖2，當(dāng)動點P運動到OB的中點時，過點P作PD⊥x軸，交拋物線于點D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿x軸向左平移m個單位長度（0＜m＜2），將平移后的三角形與△ODM堆疊部分的面積記為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．49．（2015?威海）已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點A，B，（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，其對稱軸為x=1，拋物線l2點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，﹣）．（1）求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當(dāng)PA=PC時，求點P的坐標(biāo)；（3）M為拋物線l2上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的值．50．（2015?泉州）閱讀理解拋物線y=x2上任意一點到點（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，你可以利用這一性質(zhì)處理成績．成績處理如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與y軸交于C點，與函數(shù)y=x2的圖象交于A，B兩點，分別過A，B兩點作直線y=﹣1的垂線，交于E，F(xiàn)兩點．（1）寫出點C的坐標(biāo)，并闡明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M為EF中點，P為動點．①求證：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF，若1＜PD＜2，試求CP的取值范圍．51．（2015?青島）已知，如圖①，在?ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速挪動，速度為1cm/s，當(dāng)△PNM中止平移時，點Q也中止挪動，如圖②，設(shè)挪動工夫為t（s）（0＜t＜4），連接PQ，MQ，MC，解答下列成績：（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥MN？（2）設(shè)△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）能否存在某一時辰t，使S△QMC：S四邊形ABQP=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，請闡明理由．（4）能否存在某一時辰t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請闡明理由．52．（2015?龍巖）如圖，已知點D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，以D為圓心的⊙D與y軸相切于點C（0，4），與x軸交于A，B兩點，拋物線y=ax2+bx+cA，B，C三點，點P是拋物線上的動點，且線段AP與BC所在直線有交點Q．（1）寫出點D的坐標(biāo)并求出拋物線的解析式；（2）證明∠ACO=∠OBC；（3）探求能否存在點P，使點Q為線段AP的四等分點？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．53．（2015?濟(jì)寧）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷直線l與⊙E的地位關(guān)系，并闡明理由；（3）動點P在拋物線上，當(dāng)點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標(biāo)及最小距離．54．（2015?荊門）如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在邊OA上的點E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求OE的長及O，D，C三點拋物線的解析式；（2）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)點P到達(dá)點B時，兩點同時中止運動，設(shè)運動工夫為t秒，當(dāng)t為何值時，DP=DQ；（3）若點N在（1）中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，能否存在這樣的點M與點N，使M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．55．（2015?河南）如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為頂點的拋物線點A，點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD、PE、DE．（1）請直接寫出拋物線的解析式；（2）小明探求點P的地位發(fā)現(xiàn)：當(dāng)P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判斷該猜想能否正確，并闡明理由；（3）小明進(jìn)一步探求得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點”．請直接寫出一切“好點”的個數(shù)，并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標(biāo)．56．（2015?海南）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點C，點G是二次函數(shù)圖象的頂點，直線GC交x軸于點H（3，0），AD平行GC交y軸于點D．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求證：四邊形ACHD是正方形；（3）如圖2，點M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動點，并且點M在第二象限內(nèi)，過點M的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點N．①若四邊形ADCM的面積為S，請求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍；②若△CMN的面積等于，請求出此時①中S的值．57．（2015?廣州）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0），與y軸交于點C，且O，C兩點間的距離為3，x1?x2＜0，|x1|+|x2|=4，點A，C在直線y2=﹣3x+t上．（1）求點C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)y1隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；（3）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點時，求2n2﹣5n的最小值．58．（2015?德州）已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關(guān)于l的對稱點為E，能否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最??？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請闡明理由．（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當(dāng)以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標(biāo)．59．（2015?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的值為，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請闡明理由．60．（2015?酒泉）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上能否存在一點P，使△PAB的周長最??？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，能否存在一點N，使△NAC的面積？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．

2015年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題60例（解答題卷）參考答案與試題解析一、解答題（共60小題）1．（2015?遵義）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當(dāng)以A、C、D為頂點的三角形面積時，求點D的坐標(biāo)及此時三角形的面積；（3）以AB為直徑作⊙M，直線點E（﹣1，﹣5），并且與⊙M相切，求該直線的解析式．考點：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；勾股定理；切線的性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）只需運用待定系數(shù)法就可處理成績；（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，如圖2，可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，從而可以用m的代數(shù)式表示出DG，然后用割補法得到△ADC的面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，運用二次函數(shù)的最值性就可處理成績；（3）設(shè)過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，如圖3，根據(jù)切線的性質(zhì)可得MF⊥EN．易得M的坐標(biāo)、ME、MF、EF的長，易證△MEF∽△NEM，根據(jù)類似三角形的性質(zhì)可求出MN，從而得到點N的坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法就可處理成績．解答：解：（1）如圖1，由題可得：，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，如圖2．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，則有，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+2．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則點G的橫坐標(biāo)也為m，∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2，∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DG?AH+DG?OH=DG?AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣（m2+4m+4﹣4）=﹣[（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2．∴當(dāng)m=﹣2時，S△ADC取到值2．此時yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即點D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；（3）設(shè)過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，如圖3，則有MF⊥EN．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB=6，MF=MB=MA=3，∴點M的坐標(biāo)為（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．∵E（﹣1，﹣5），∴ME=5，∠EMN=90°．在Rt△MFE中，EF===4．∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，∴△MEF∽△NEM，∴=，∴=，∴NM=，∴點N的坐標(biāo)為（﹣1+，0）即（，0）或（﹣1﹣，0）即（﹣，0）．設(shè)直線EN的解析式為y=px+q．①當(dāng)點N的坐標(biāo)為（，0）時，，解得：，∴直線EN的解析式為y=x﹣．②當(dāng)點N的坐標(biāo)為（﹣，0）時，同理可得：直線EN的解析式為y=﹣x﹣．綜上所述：所求直線的解析式為y=x﹣或y=﹣x﹣．點評：本題次要考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及函數(shù)的解析式、運用割補法求面積，二次函數(shù)的最值性、切線的性質(zhì)、類似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，當(dāng)直接求一個圖形面積比較困難時，通?？煽紤]采用割補法，另外，過圓外一點作圓的切線有兩條，不能遺漏．2．（2015?株洲）已知AB是圓O的切線，切點為B，直線AO交圓O于C、D兩點，CD=2，∠DAB=30°，動點P在直線AB上運動，PC交圓O于另一點Q．（1）當(dāng)點P運動到使Q、C兩點重合時（如圖1），求AP的長；（2）點P在運動過程中，有幾個地位（幾種情況）使△CQD的面積為？（直接寫出答案）（3）當(dāng)△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時（如圖2），求AP的長．考點：圓的綜合題；解一元二次方程-公式法；類似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．專題：壓軸題．分析：（1）如圖1，利用切線的性質(zhì)可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中運用三角函數(shù)就可處理成績；（2）易得點Q到CD的距離為，圖形2，即可處理成績；（3）過點Q作QN⊥CD于N，過點P作PM⊥CD于M，連接QD，如圖3，易證△CNQ∽△QND，根據(jù)類似三角形的性質(zhì)可求出CN．易證△PMC∽△QNC，根據(jù)類似三角形的性質(zhì)可得PM與CM之間的關(guān)系，由∠MAP=30°即可得到PM與AM之間的關(guān)系，然后根據(jù)AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．解答：解：（1）∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO=90°．∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．當(dāng)Q、C兩點重合時，CP與⊙O相切于點C，如圖1，則有∠ACP=90°，∴cos∠CAP===，解得AP=；（2）有4個地位使△CQD的面積為．提示：設(shè)點Q到CD的距離為h，∵S△CQD=CD?h=×2×h=，∴h=．由于h=＜1，圖2可得：有4個地位使△CQD的面積為；（3）過點Q作QN⊥CD于N，過點P作PM⊥CD于M，如圖3．∵S△CQD=CD?QN=×2×QN=，∴QN=．∵CD是⊙O的直徑，QN⊥CD，∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，∴△QNC∽△DNQ，∴=，∴QN2=CN?DN，設(shè)CN=x，則有=x（2﹣x），整理得4x2﹣8x+1=0，解得：x1=，x2=．∵CQ＞QD，∴x=，∴=2+．∵QN⊥CD，PM⊥CD，∴∠PMC=∠QNC=90°．∵∠MCP=∠NCQ，∴△PMC∽△QNC，∴==2+，∴MC=（2+）MP．在Rt△AMP中，tan∠MAP==tan30°=，∴AM=MP．∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，∴MP=，∴AP=2MP=．點評：本題次要考查了類似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、角的三角函數(shù)值、切線的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，把求AP的值轉(zhuǎn)化為解△ABC是處理第（3）小題的關(guān)鍵．3．（2015?長沙）在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”．（1）求函數(shù)y=x+2的圖象上一切“中國結(jié)”的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)；（3）若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，試問該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”？考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；新定義．分析：（1）由于x是整數(shù)，x≠0時，x是一個在理數(shù)，所以x≠0時，x+2不是整數(shù)，所以x=0，y=2，據(jù)此求出函數(shù)y=x+2的圖象上一切“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．（2）首先判斷出當(dāng)k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判斷出當(dāng)k≠1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”，據(jù)此求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根據(jù)x1、x2的值是整數(shù)，求出k的值是多少；根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”，判斷出該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”即可．解答：解：（1）∵x是整數(shù)，x≠0時，x是一個在理數(shù)，∴x≠0時，x+2不是整數(shù)，∴x=0，y=2，即函數(shù)y=x+2的圖象上“中國結(jié)”的坐標(biāo)是（0，2）．（2）①當(dāng)k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；②當(dāng)k=﹣1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③當(dāng)k≠1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），這與函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”矛盾，綜上可得，k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；k=﹣1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只要兩個“中國結(jié)”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，∴∴k=，整理，可得x1x2+2x2+1=0，∴x2（x1+2）=﹣1，∵x1、x2都是整數(shù)，∴或∴或①當(dāng)時，∵，∴k=；②當(dāng)時，∵，∴k=k﹣1，無解；綜上，可得k=，x1=﹣3，x2=1，y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=[2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣=﹣x2﹣x①當(dāng)x=﹣2時，y=﹣x2﹣x=×（﹣2）2×（﹣2）+=②當(dāng)x=﹣1時，y=﹣x2﹣x=×（﹣1）2×（﹣1）+=1③當(dāng)x=0時，y=，另外，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國結(jié)”有3個：（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．綜上，可得若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結(jié)”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．點評：（1）此題次要考查了反比例函數(shù)成績，考查了分類討論思想的運用，要純熟掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．（2）此題還考查了對新定義“中國結(jié)”的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”．4．（2015?岳陽）已知直線m∥n，點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂直，點P為線段CD的中點．（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當(dāng)點A與點C重合時（如圖①所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：PA=PB．（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的地位，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式能否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請闡明理由．（3）延伸探求：在圖②的情況下，把直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA?PB=k?AB．考點：幾何變換綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且點P為線段CD的中點，運用直角三角形的性質(zhì)，可得PA=PB，據(jù)此解答即可．（2）首先過C作CE⊥n于點E，連接PE，然后分別判斷出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△PAC∽△PBE，即可判斷出PA=PB仍然成立．（3）首先延伸AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，然后根據(jù)類似三角形判定的方法，判斷出△AEF∽△BPF，即可判斷出AF?BP=AE?BF，再個AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，據(jù)此解答即可．解答：解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵點P為線段CD的中點，∴PA=PB．（2）把直線l向上平移到如圖②的地位，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖②，過C作CE⊥n于點E，連接PE，，∵三角形CED是直角三角形，點P為線段CD的中點，∴PD=PE，又∵點P為線段CD的中點，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直線m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直線l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l(xiāng)∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC≌△PBE，∴PA=PB．（3）如圖③，延伸AP交直線n于點F，作AE⊥BD于點E，，∵直線m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF?BP=AE?BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA?PB=2k．AB，∴PA?PB=k?AB．點評：（1）此題次要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的運用，考查了數(shù)形思想的運用，考查了從圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的成績的能力．（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和運用，要純熟掌握．（3）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運用，以及類似三角形的判定和性質(zhì)的運用，要純熟掌握．5．（2015?玉林）已知：函數(shù)y=﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象相交于A，B兩點（A在B的右側(cè)）．（1）當(dāng)A（4，2）時，求反比例函數(shù)的解析式及B點的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上能否存在一點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出一切符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由．（3）當(dāng)A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時，直線OA與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點C，連接BC交y軸于點D．若=，求△ABC的面積．考點：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與函數(shù)的交點成績；類似三角形的判定與性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）只需把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可求出反比例函數(shù)的解析式；解函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，就可得到點B的坐標(biāo)；（2）△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，可分兩種情況討論：①若∠BAP=90°，過點A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點為M，如圖1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易證△AHM∽△EHA，根據(jù)類似三角形的性質(zhì)可求出MH，從而得到點M的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，再解直線AP與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，就可得到點P的坐標(biāo)；②若∠ABP=90°，同理即可得到點P的坐標(biāo)；（3）過點B作BS⊥y軸于S，過點C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，易證△CTD∽△BSD，根據(jù)類似三角形的性質(zhì)可得==．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到=，即b=a．由A、B都在反比例函數(shù)的圖象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把b=a代入即可求出a的值，從而得到點A、B、C的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，從而得到點D的坐標(biāo)及OD的值，然后運用割補法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB，成績得以處理．解答：解：（1）把A（4，2）代入y=，得k=4×2=8．∴反比例函數(shù)的解析式為y=．解方程組，得或，∴點B的坐標(biāo)為（1，8）；（2）①若∠BAP=90°，過點A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點為M，如圖1，對于y=﹣2x+10，當(dāng)y=0時，﹣2x+10=0，解得x=5，∴點E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴=，∴=，∴MH=4，∴M（0，0），可設(shè)直線AP的解析式為y=mx則有4m=2，解得m=，∴直線AP的解析式為y=x，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）．②若∠ABP=90°，同理可得：點P的坐標(biāo)為（﹣16，﹣）．綜上所述：符合條件的點P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）；（3）過點B作BS⊥y軸于S，過點C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，則有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴=．∵=，∴==．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即b=a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=a（﹣2×a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×a+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．設(shè)直線BC的解析式為y=px+q，則有，解得：，∴直線BC的解析式為y=2x+2．當(dāng)x=0時，y=2，則點D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD?CT+OD?BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．點評：本題次要考查了運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及函數(shù)的解析式、求反比例函數(shù)及函數(shù)圖象的交點、三角形的中線平分三角形的面積、類似三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識，在處理成績的過程中，用到了分類討論、數(shù)形、割補法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)純熟掌握．6．（2015?煙臺）【成績提出】如圖①，已知△ABC是等腰三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF試證明：AB=DB+AF【類比探求】（1）如圖②，如果點E在線段AB的延伸線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請闡明理由（2）如果點E在線段BA的延伸線上，其他條件不變，請在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補充殘缺，并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必闡明理由．考點：幾何變換綜合題．專題：壓軸題．分析：首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．（1）首先判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根據(jù)∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進(jìn)而判斷出AB=BD+AF即可．（2）首先根據(jù)點E在線段BA的延伸線上，在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補充殘缺，然后判斷出△CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判斷出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EDB≌△FEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進(jìn)而判斷出AF=AB+BD即可．解答：證明：ED=EC=CF，∵△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等邊三角形，∴EF=EC，∠CEF=60°，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAF=∠CBA=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，∵∠CAF=∠CEF=60°，∴A、E、C、F四點共圓，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴DB=AE，BE=AF，∵AB=AE+BE，∴AB=DB+AF．（1）AB=BD+AF；延伸EF、CA交于點G，∵△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等邊三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，∴∠D=∠FEA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB，即AB=BD﹣AF．（2）如圖③，，ED=EC=CF，∵△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等邊三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵AB=AC，BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC=180°﹣60°﹣60°=60°∴∠DBE=∠EAF；∵ED=EC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，∴∠BDE=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∵BE=AB+AE，∴AF=AB+BD，即AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系是：AF=AB+BD．點評：（1）此題次要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形方法的運用，要純熟掌握．（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運用，要純熟掌握．7．（2015?湘西州）如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+cA，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設(shè)運動工夫為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當(dāng)t為何值時，△APQ為直角三角形；（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時，求點F的坐標(biāo)；（4）設(shè)拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：能否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O(shè)，B，P為頂點的三角形類似？若存在，請求出t的值；若不存在，請闡明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）先由直線AB的解析式為y=﹣x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標(biāo)，再將A、B兩點的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）由直線與兩坐標(biāo)軸的交點可知：∠QAP=45°，設(shè)運動工夫為t秒，則QA=，PA=3﹣t，然后再圖①、圖②中利用銳角三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程求解即可；（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（t，0），則點E的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標(biāo)為（3﹣t，t），點F的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四邊形為平行線四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知EP=FQ，從而的到關(guān)于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后將t=1代入即可求得點F的坐標(biāo)；（4）設(shè)運動工夫為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t），然后由拋物線的解析式求得點M的坐標(biāo)，從而可求得MB的長度，然后根據(jù)類似類似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于t的方程，然后即可解得t的值．解答：解：（1）∵y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴當(dāng)y=0時，x=3，即A點坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)x=0時，y=3，即B點坐標(biāo)為（0，3），將A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，∴∠QAP=45°．如圖①所示：∠PQA=90°時，設(shè)運動工夫為t秒，則QA=，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；如圖②所示：∠QPA=90°時，設(shè)運動工夫為t秒，則QA=，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．綜上所述，當(dāng)t=1或t=時，△PQA是直角三角形；（3）如圖③所示：設(shè)點P的坐標(biāo)為（t，0），則點E的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標(biāo)為（3﹣t，t），點F的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2．∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．將t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得點F的坐標(biāo)為（2，3）．（4）如圖④所示：設(shè)運動工夫為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t）．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴點M的坐標(biāo)為（1，4）．∴MB==．當(dāng)△BOP∽△QBM時，即：，整理得：t2﹣3t+3=0，△=32﹣4×1×3＜0，無解：當(dāng)△BOP∽△MBQ時，即：，解得t=．∴當(dāng)t=時，以B，Q，M為頂點的三角形與以O(shè)，B，P為頂點的三角形類似．點評：本題次要考查的是二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、平行四邊形、類似三角形的綜合運用，利用含字母t的式子表示出相關(guān)線段的長度，根據(jù)圖形的性質(zhì)建立關(guān)于字母t的方程是解題的關(guān)鍵．8．（2015?湘潭）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發(fā)，連接PQ，當(dāng)點Q到達(dá)C點時，P、Q同時中止運動，設(shè)運動工夫為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)t＜2時，延伸QP交y軸于點M，在拋物線上能否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點？若存在，求出點N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請闡明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，運用待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)的解析式即可．（2）首先根據(jù)待定系數(shù)法，求出BC所在的直線的解析式，再分別求出點P、點Q的坐標(biāo)各是多少；然后分兩種情況：①當(dāng)∠QPB=90°時；②當(dāng)∠PQB=90°時；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出t的值各是多少即可．（3）首先延伸MQ交拋物線于點N，H是PQ的中點，再用待定系數(shù)法，求出PQ所在的直線的解析式，然后PQ的中點恰為MN的中點，判斷出能否存在滿足題意的點N即可．解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，∴，解得．∴二次函數(shù)的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴點C的坐標(biāo)是（0，﹣3），∴BC==3，設(shè)BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，則，解得．∴BC所在的直線的解析式是：y=x﹣3，∵t秒，AP=t，BQ=t，∴點P的坐標(biāo)是（t﹣1，0），設(shè)點Q的坐標(biāo)是（x，x﹣3），∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，則y=×sin45°=×=t，則Q點縱坐標(biāo)為﹣t，∴x=3﹣t，∴點Q的坐標(biāo)是（3﹣t，﹣t），①如圖1，，當(dāng)∠QPB=90°時，點P和點Q的橫坐標(biāo)相反，∵點P的坐標(biāo)是（t﹣1，0），點Q的坐標(biāo)是（3﹣t，﹣t），∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，即當(dāng)t=2時，△BPQ為直角三角形．②如圖2，，當(dāng)∠PQB=90°時，∵∠PBQ=45°，∴BP=，∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=，∴4﹣t=即4﹣t=2t，解得t=，即當(dāng)t=時，△BPQ為直角三角形．綜上，可得當(dāng)△BPQ為直角三角形，t=或2．（3）如圖3，延伸MQ交拋物線于點N，H是PQ的中點，，設(shè)PQ所在的直線的解析式是y=px+q，∵點P的坐標(biāo)是（t﹣1，0），點Q的坐標(biāo)是（3﹣t，﹣t），∴，解得．∴PQ所在的直線的解析式是y=x+，∴點M的坐標(biāo)是（0，）∵，=﹣，∴PQ的中點H的坐標(biāo)是（1，﹣）假設(shè)PQ的中點恰為MN的中點，∵1×2﹣0=2，﹣=，∴點N的坐標(biāo)是（2，），又∵點N在拋物線上，∴=22﹣2×2﹣3=﹣3，解得t=或t=，∵t＜2，∴t=，∴當(dāng)t＜2時，延伸QP交y軸于點M，當(dāng)t=時在拋物線上存在