第六節(jié)二階常系數(shù)線性 微分方程一、定義二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法第六章常微分方程第六節(jié)二階常系數(shù)線性1一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式其中為常數(shù)。一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性2二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上3有兩個不相等的實根得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為特征根為有兩個不相等的實根得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為4有兩個相等的實根得一特解故齊次方程的通解為特征根為有兩個相等的實根得一特解故齊次方程的通解為特征根為5有一對共軛復(fù)根重新組合故齊次方程的通解為特征根為有一對共軛復(fù)根重新組合故齊次方程的通解為特征根為6由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方7解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例28例3解特征方程為解得故所求通解為例3解特征方程為解得故所求通解為9例4解特征方程為解得故所求通解為代入初始條件 得例4解特征方程為解得故所求通解為代入初始條件 得10對上式求導(dǎo)，得代入初始條件 得對上式求導(dǎo)，得代入初始條件 得11例5解特征方程為解得故所求通解為作業(yè)(P103)：28(2)(3)例5解特征方程為解得故所求通解為作業(yè)(P103)：28(2)12n階常系數(shù)齊次線性微分方程解法：其特征方程為在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)它有個根。方程通解分三種情況：（1）有個不同實特征根時，通解為（2）若為重實特征根時，通解中包含（3）若為重共軛復(fù)特征根時，通解中包含n階常系數(shù)齊次線性微分方程解法：其特征方程為在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)它有13例求微分方程的通解解特征方程為解得故所求通解為例求微分方程的通解解特征14二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)的常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)的常見類型難點：15設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型16綜上討論可設(shè)綜上討論可設(shè)17例6解所給方程對應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為由于 不是特征方程的根，所以可設(shè)特解為把它代入所給方程，得例6解所給方程對應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為由于 不是特征18由此求得于是求得一個特解為比較兩端的同次冪的系數(shù)，得由此求得于是求得一個特解為比較兩端的同次冪的系數(shù)，得19解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例7可設(shè)解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例20利用歐拉公式把第二種自由項轉(zhuǎn)化成第一種自由項后，可以證明：第二種自由項對應(yīng)的特解可設(shè)為利用歐拉公式把第二種自由項轉(zhuǎn)化成第一種自由項后，可以證明：第21解對應(yīng)齊次方程通解代入方程，得例8比較兩端同類項的系數(shù)，得可設(shè)特征方程為解對應(yīng)齊次方程通解代入方程，得例8比較兩端同類項的系數(shù)，得可22所求非齊方程特解為原方程通解為所求非齊方程特解為原方程通解為23四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫24二階常系數(shù)齊次線性微分方程課件25求特解的方法：待定系數(shù)法作業(yè)(P103)：29(2)；30；31求特解的方法：待定系數(shù)法作業(yè)(P103)：29(2)；30；26思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題寫出微分方程的待定特解的形式.27思考題解答設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根（重根）思考題解答設(shè)28練習(xí)題練習(xí)題29二階常系數(shù)齊次線性微分方程課件30二階常系數(shù)齊次線性微分方程課件31練習(xí)題答案練習(xí)題答案32二階常系數(shù)齊次線性微分方程課件33二階常系數(shù)齊次線性微分方程課件34第六節(jié)二階常系數(shù)線性 微分方程一、定義二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法第六章常微分方程第六節(jié)二階常系數(shù)線性35一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式其中為常數(shù)。一、定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性36二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上37有兩個不相等的實根得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為特征根為有兩個不相等的實根得兩個線性無關(guān)的特解故齊次方程的通解為38有兩個相等的實根得一特解故齊次方程的通解為特征根為有兩個相等的實根得一特解故齊次方程的通解為特征根為39有一對共軛復(fù)根重新組合故齊次方程的通解為特征根為有一對共軛復(fù)根重新組合故齊次方程的通解為特征根為40由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方41解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例242例3解特征方程為解得故所求通解為例3解特征方程為解得故所求通解為43例4解特征方程為解得故所求通解為代入初始條件 得例4解特征方程為解得故所求通解為代入初始條件 得44對上式求導(dǎo)，得代入初始條件 得對上式求導(dǎo)，得代入初始條件 得45例5解特征方程為解得故所求通解為作業(yè)(P103)：28(2)(3)例5解特征方程為解得故所求通解為作業(yè)(P103)：28(2)46n階常系數(shù)齊次線性微分方程解法：其特征方程為在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)它有個根。方程通解分三種情況：（1）有個不同實特征根時，通解為（2）若為重實特征根時，通解中包含（3）若為重共軛復(fù)特征根時，通解中包含n階常系數(shù)齊次線性微分方程解法：其特征方程為在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)它有47例求微分方程的通解解特征方程為解得故所求通解為例求微分方程的通解解特征48二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)的常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.三、二階常系數(shù)非齊次線性方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)的常見類型難點：49設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型設(shè)非齊方程特解為代入原方程1.型50綜上討論可設(shè)綜上討論可設(shè)51例6解所給方程對應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為由于 不是特征方程的根，所以可設(shè)特解為把它代入所給方程，得例6解所給方程對應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為由于 不是特征52由此求得于是求得一個特解為比較兩端的同次冪的系數(shù)，得由此求得于是求得一個特解為比較兩端的同次冪的系數(shù)，得53解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例7可設(shè)解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例54利用歐拉公式把第二種自由項轉(zhuǎn)化成第一種自由項后，可以證明：第二種自由項對應(yīng)的特解可設(shè)為利用歐拉公式把第二種自由項轉(zhuǎn)化成第一種自由項后，可以證明：第55解對應(yīng)齊次方程通解代入方程，得例8比較兩端同類項的系數(shù)，得可設(shè)特征方程為解對應(yīng)齊次方程通解代入方程，得例8比較兩端同類項的系數(shù)，得可56所求非齊方程特解為原方程通解為所求非齊方程特解為原方程通解為57四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:（1）寫58二階常系數(shù)齊次線性微分方程課件59求特解的方法：待定系數(shù)法作業(yè)(P103)：29(2)；30；31求特解的方法：待定系數(shù)法作業(yè)(P103)：29(2)；30；60思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題寫出微分方程的待定特解的形式.61思考題解答設(shè)