2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時10.4《曲線與方程》達標(biāo)練習(xí)一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足eq\o(OC,\s\up16(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up16(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up16(→))(O為原點)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，則點C的軌跡是()A.直線B.橢圓C.圓D.雙曲線【答案解析】答案為：A解析：設(shè)C(x，y)，因為eq\o(OC,\s\up16(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up16(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up16(→))，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(y＋3x,10)，,λ2＝\f(3y－x,10)，))又λ1＋λ2＝1，所以eq\f(y＋3x,10)＋eq\f(3y－x,10)＝1，即x＋2y＝5，所以點C的軌跡為直線，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)=1(a＞b＞0)，M為橢圓上一動點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，則線段MF1的中點P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線【答案解析】答案為：B解析：設(shè)橢圓的右焦點是F2，由橢圓定義可得|MF1|＋|MF2|=2a＞2c，所以|PF1|＋|PO|=eq\f(1,2)(|MF1|＋|MF2|)=a＞c，所以點P的軌跡是以F1和O為焦點的橢圓.LISTNUMOutlineDefault\l3已知方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示的曲線為C，給出以下四個判斷：①當(dāng)1<t<4時，曲線C表示橢圓；②當(dāng)t>4或t<1時曲線C表示雙曲線；③若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1<t<eq\f(5,2)；④若曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，則t>4.其中判斷正確的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案為：B解析：由4－t＝t－1，可得t＝eq\f(5,2)，方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示圓，故①不正確；由雙曲線的定義可知：當(dāng)(4－t)(t－1)<0時，即t<1或t>4時，方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示雙曲線，故②正確；由橢圓定義可知：當(dāng)橢圓在x軸上時，滿足4－t>t－1>0，即1<t<eq\f(5,2)時，方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，故③正確；若曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－t>0，,t－1<0，))∴t<1，故④不正確，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,35)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1【答案解析】答案為：D解析：將圓F改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程(x－1)2＋y2＝12，則圓心F的坐標(biāo)為(1,0)，半徑r＝2eq\r(3)，由題意可知|PA|＝|PB|.又點P在圓F的半徑BF上，故|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2eq\r(3)>2＝|AF|，所以動點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點，2eq\r(3)為長軸長的橢圓，則2a＝2eq\r(3)，2c＝2，所以b＝eq\r(2).故動點P的軌跡方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3有一動圓P恒過定點F(a,0)(a＞0)且與y軸相交于點A，B.若△ABP為正三角形，則點P的軌跡為()A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線【答案解析】答案為：D解析：設(shè)P(x，y)，動圓P的半徑為R，∵△ABP為正三角形，∴P到y(tǒng)軸的距離d=eq\f(\r(3),2)R，即|x|=eq\f(\r(3),2)R.而R=|PF|=eq\r(x－a2＋y2)，∴|x|=eq\f(\r(3),2)·eq\r(x－a2＋y2)，整理得(x＋3a)2－3y2=12a2，即eq\f(x＋3a2,12a2)－eq\f(y2,4a2)=1，∴點P的軌跡為雙曲線.故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左，右焦點，P是橢圓Γ上任意一點，過F2作∠F1PF2的外角的平分線的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡為()A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線【答案解析】答案為：B；解析：延長F2Q，與F1P的延長線交于點M，連接OQ.因為PQ是∠F1PF2的外角的平分線，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|=|PM|，且Q為線段F2M的中點.又O為線段F1F2的中點，由三角形的中位線定理，得|OQ|=eq\f(1,2)|F1M|=eq\f(1,2)(|PF1|＋|PF2|).根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|=2a，所以|OQ|=a，所以點Q的軌跡為以原點為圓心，半徑為a的圓，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，B(－eq\r(5)，0)，C(eq\r(5)，0)，AB，AC邊上的中線長之和為9.則△ABC重心G的軌跡方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,4)－y2＝1(y≠0)D.x2－eq\f(y2,4)＝1(y≠0)【答案解析】答案為：B解析：設(shè)AB，AC邊上的中線分別為CD，BE，∵BG＝eq\f(2,3)BE，CG＝eq\f(2,3)CD，∴BG＋CG＝eq\f(2,3)(BE＋CD)＝6(定值).因此，G的軌跡為以B，C為焦點的橢圓，2a＝6，c＝eq\r(5)，∴a＝3，b＝2，可得橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.∵當(dāng)G點在x軸上時，A，B，C三點共線，不能構(gòu)成△ABC.∴G的縱坐標(biāo)不能是0，可得△ABC的重心G的軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(y≠0).故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知過定點C(2，0)的直線l與拋物線y2＝2x相交于A，B兩點，作OE⊥AB于E.則點E的軌跡方程是()A.x2＋y2－2x＝0(x≠0)B.x2＋y2－2x＝0(y≠0)C.x2＋y2－4x＝0D.x2＋y2－4x＝0(y≠0)【答案解析】答案為：A解析：直線l過定點C(2,0)，∵O(0,0)，C(2,0)，OE⊥CE，∴△OEC為直角三角形，∴點E的軌跡是以線段OC為直徑的圓除去點O，故點E的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(x≠0)，即x2＋y2－2x＝0(x≠0).故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)點A為圓(x－1)2＋y2=1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則點P的軌跡方程為()A.y2=2xB.(x－1)2＋y2=4C.y2=－2xD.(x－1)2＋y2=2【答案解析】答案為：D解析：如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)，連接MA，則MA⊥PA，且|MA|=1.又∵|PA|=1，∴|PM|=eq\r(|MA|2＋|PA|2)=eq\r(2)，即|PM|2=2.∴(x－1)2＋y2=2.LISTNUMOutlineDefault\l3已知點F(0,1)，直線l：y=－1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為點Q，且eq\o(QP,\s\up15(→))·eq\o(QF,\s\up15(→))=eq\o(FP,\s\up15(→))·eq\o(FQ,\s\up15(→))，則動點P的軌跡C的方程為()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x【答案解析】答案為：A解析：設(shè)點P(x，y)，則Q(x，－1).∵eq\o(QP,\s\up15(→))·eq\o(QF,\s\up15(→))=eq\o(FP,\s\up15(→))·eq\o(FQ,\s\up15(→))，∴(0，y＋1)·(－x,2)=(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)=x2－2(y－1)，整理得x2=4y，∴動點P的軌跡C的方程為x2=4y.LISTNUMOutlineDefault\l3已知不等式3x2－y2＞0所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點P(x，y)到直線y=eq\r(3)x和直線y=－eq\r(3)x的垂線段分別為PA，PB，若△PAB的面積為eq\f(3\r(3),16)，則點P的軌跡的一個焦點坐標(biāo)可以是()A.(2，0)B.(3，0)C.(0，2)D.(0，3)【答案解析】答案為：A；解析：不等式3x2－y2＞0?(eq\r(3)x－y)(eq\r(3)x＋y)＞0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＞0，,\r(3)x＋y＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＜0，,\r(3)x＋y＜0，))其表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.點P(x，y)到直線y=eq\r(3)x和直線y=－eq\r(3)x的距離分別為|PA|=eq\f(|\r(3)x－y|,\r(3＋1))=eq\f(|\r(3)x－y|,2)，|PB|=eq\f(|\r(3)x＋y|,\r(3＋1))=eq\f(|\r(3)x＋y|,2)，∵∠AOB=120°，∴∠APB=60°，∴S△PAB=eq\f(1,2)×|PA|×|PB|sin60°=eq\f(\r(3),4)×eq\f(3x2－y2,4)，又S△PAB=eq\f(3\r(3),16)，∴eq\f(\r(3),4)×eq\f(3x2－y2,4)=eq\f(3\r(3),16)，∴3x2－y2=3，即x2－eq\f(y2,3)=1，∴P點的軌跡是雙曲線，其焦點為(±2，0)，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M為平面上的兩點且滿足Geq\o(A,\s\up15(→))＋Geq\o(B,\s\up15(→))＋Geq\o(C,\s\up15(→))=0，|Meq\o(A,\s\up15(→))|=|Meq\o(B,\s\up15(→))|=|Meq\o(C,\s\up15(→))|，Geq\o(M,\s\up15(→))∥Aeq\o(B,\s\up15(→))，則頂點C的軌跡為()A.焦點在x軸上的橢圓(長軸端點除外)B.焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外)C.焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外)D.焦點在x軸上的拋物線(頂點除外)【答案解析】答案為：B；解析：設(shè)C(x，y)(y≠0)，由Geq\o(A,\s\up15(→))＋Geq\o(B,\s\up15(→))＋Geq\o(C,\s\up15(→))=0，即G為△ABC的重心，得Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)，\f(y,3))).又|Meq\o(A,\s\up15(→))|=|Meq\o(B,\s\up15(→))|=|Meq\o(C,\s\up15(→))|，即M為△ABC的外心，所以點M在y軸上，又Geq\o(M,\s\up15(→))∥Aeq\o(B,\s\up15(→))，則有Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,3))).所以x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y,3)))2=4＋eq\f(y2,9)，化簡得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)=1，y≠0.所以頂點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(除去短軸端點).二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知圓的方程為x2＋y2=4，若拋物線過點A(－1，0)，B(1，0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點的軌跡方程是________.【答案解析】答案為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)=1(y≠0)解析：設(shè)拋物線焦點為F，過A，B，O作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，OO1，則|AA1|＋|BB1|=2|OO1|=4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|=|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|=4，故F點的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點).所以拋物線焦點的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)=1(y≠0).LISTNUMOutlineDefault\l3已知動點P(x，y)與兩定點M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0)，則動點P的軌跡C的方程為__________.【答案解析】答案為：x2－eq\f(y2,λ)=1(λ≠0，x≠±1).解析：由題意知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN=eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)=λ，整理得x2－eq\f(y2,λ)=1(λ≠0，x≠±1)，即動點P的軌跡C的方程為x2－eq\f(y2,λ)=1(λ≠0，x≠±1).LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，A為動點，B，C為定點，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))(a>0)，且滿足條件：sinC－sinB=eq\f(1,2)sinA，則