..矩形的性質(zhì)和判定一．填空題1．如圖,矩形ABCD中,∠ABC的平分線交AD邊于點E,點F是CD的中點,連接EF．若AB=8,且EF平分∠BED,則AD的長為．題1題3題42．若矩形的一條對角線與一邊的夾角是40°,則兩條對角線相交所成的銳角是．3．如圖,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中點,AE⊥BD于點F,則CF的長是．4．如圖,在矩形ABCD中,M為BC邊上一點,連接AM,過點D作DE⊥AM,垂足為E．若DE=DC=1,AE=2EM,則BM的長為．5．如圖,在矩形ABCD中,∠ABC的平分線交AD于點E,連接CE．若BC=7,AE=4,則CE=．題5題6題76．如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,點E、F分別是AO、AD的中點,若AB=6cm,BC=8cm,則EF=cm．7．如圖,連接四邊形ABCD各邊中點,得到四邊形EFGH,還要添加條件,才能保證四邊形EFGH是矩形．8．如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,且AO=CO,BO=DO,要使四邊形ABCD為矩形,則需添加的條件為〔填一個即可．題8題11題129．已知四邊形ABCD為平行四邊形,要使得四邊形ABCD為矩形,則可以添加一個條件為．10．木匠做一個矩形木框,長為80cm,寬為60cm,對角線的長為100cm,則這個木框〔填"合格"或"不合格"11．如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請補充一個條件,使四邊形ABCD成為矩形,這個條件是．12．如圖,在平行四邊形ABCD中,延長AD到點E,使DE=AD,連接EB,EC,DB請你添加一個條件,使四邊形DBCE是矩形．二．解答題13．如圖,在?ABCD中,∠BAD的平分線交CD于點E,交BC的延長線于點F,連接BE,∠F=45°．〔1求證：四邊形ABCD是矩形；〔2若AB=14,DE=8,求sin∠AEB的值．14．如圖,AD是等腰△ABC底邊BC上的高．點O是AC中點,延長DO到E,使OE=OD,連接AE,CE．〔1求證：四邊形ADCE的是矩形；〔2若AB=17,BC=16,求四邊形ADCE的面積．15．如圖,四邊形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,F為DC上一點,且FC=AB,E為AD上一點,EC交AF于點G．〔1求證：四邊形ABCF是矩形；〔2若EA=EG,求證：ED=EC．16．如圖,在?ABCD中,AE⊥BC于點E點,延長BC至F點使CF=BE,連接AF,DE,DF．〔1求證：四邊形AEFD是矩形；〔2若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的長．17．平行四邊形ABCD中,過點D作DE⊥AB于點E,點F在CD上,CF=AE,連接BF,AF．〔1求證：四邊形BFDE是矩形；〔2若AF平分∠BAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面積．矩形的性質(zhì)和判定解析一．填空題〔共12小題1．如圖,矩形ABCD中,∠ABC的平分線交AD邊于點E,點F是CD的中點,連接EF．若AB=8,且EF平分∠BED,則AD的長為12．[分析]根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等求出∠AEB=∠EBC,再求出∠ABE=∠EBC,根據(jù)等角對等邊可得AE=AB,然后根據(jù)AD=AE+ED代入數(shù)據(jù)計算即可得解．[解答]解：∵矩形ABCD中,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵∠ABC的平分線交AD邊于點E,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE=8,同理得出ED=DF=DC=4,∴AD=AE+ED=8+4=12,故答案為：12．2．若矩形的一條對角線與一邊的夾角是40°,則兩條對角線相交所成的銳角是80°．[分析]因為兩條對角線相交所成的銳角只有一個,直接應用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．[解答]解：由矩形的對角線相等且互相平分,所構成的三角形為等腰三角形,利用等邊對等角,所以另一底角為40°,兩條對角線相交所成的鈍角為：180°﹣40°×2=100°故它們所成銳角為：180°﹣100°=80°．故答案為80．3．如圖,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中點,AE⊥BD于點F,則CF的長是．[分析]根據(jù)四邊形ABCD是矩形,得到∠ABE=∠BAD=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAE=∠ADB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=1,求得BC=2,根據(jù)勾股定理得到AE==,BD==,根據(jù)三角形的面積公式得到BF==,過F作FG⊥BC于G,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CG=,根據(jù)勾股定理即可得到結論．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABE=∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AFB=90°,∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°,∴∠BAE=∠ADB,∴△ABE∽△ADB,∴,∵E是BC的中點,∴AD=2BE,∴2BE2=AB2=2,∴BE=1,∴BC=2,∴AE==,BD==,∴BF==,過F作FG⊥BC于G,∴FG∥CD,∴△BFG∽△BDC,∴==,∴FG=,BG=,∴CG=,∴CF==．故答案為：．4．如圖,在矩形ABCD中,M為BC邊上一點,連接AM,過點D作DE⊥AM,垂足為E．若DE=DC=1,AE=2EM,則BM的長為．[分析]由AAS證明△ABM≌△DEA,得出AM=AD,證出BC=AD=3EM,連接DM,由HL證明Rt△DEM≌Rt△DCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,設EM=CM=x,則BM=2x,AM=BC=3x,在Rt△ABM中,由勾股定理得出方程,解方程即可．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC=1,∠B=∠C=90°,AD∥BC,AD=BC,∴∠AMB=∠DAE,∵DE=DC,∴AB=DE,∵DE⊥AM,∴∠DEA=∠DEM=90°,在△ABM和△DEA中,,∴△ABM≌△DEA〔AAS,∴AM=AD,∵AE=2EM,∴BC=AD=3EM,連接DM,如圖所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中,,∴Rt△DEM≌Rt△DCM〔HL,∴EM=CM,∴BC=3CM,設EM=CM=x,則BM=2x,AM=BC=3x,在Rt△ABM中,由勾股定理得：12+〔2x2=〔3x2,解得：x=,∴BM=；故答案為：．5．如圖,在矩形ABCD中,∠ABC的平分線交AD于點E,連接CE．若BC=7,AE=4,則CE=5．[分析]首先證明AB=AE=CD=4,在Rt△CED中,根據(jù)CE=計算即可．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB=CD,BC=AD=7,∠D=90°,∴∠AEB=∠EBC,∵∠ABE=∠EBC,∴AB=AE=CD=4,在Rt△EDC中,CE===5．故答案為56．如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,點E、F分別是AO、AD的中點,若AB=6cm,BC=8cm,則EF=2.5cm．[分析]根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD,求出BD、OD,根據(jù)三角形中位線求出即可．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD,∵AB=6cm,BC=8cm,∴由勾股定理得：BD=AC==10〔cm,∴DO=5cm,∵點E、F分別是AO、AD的中點,∴EF=OD=2.5cm,故答案為：2.5．7．如圖,連接四邊形ABCD各邊中點,得到四邊形EFGH,還要添加AC⊥BD條件,才能保證四邊形EFGH是矩形．[分析]根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊,HG∥BD,EH∥AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)∠EHG=∠1,∠1=∠2,根據(jù)矩形的四個角都是直角,∠EFG=90°,所以∠2=90°,因此AC⊥BD．[解答]解：∵G、H、E分別是BC、CD、AD的中點,∴HG∥BD,EH∥AC,∴∠EHG=∠1,∠1=∠2,∴∠2=∠EHG,∵四邊形EFGH是矩形,∴∠EHG=90°,∴∠2=90°,∴AC⊥BD．故還要添加AC⊥BD,才能保證四邊形EFGH是矩形．8．如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,且AO=CO,BO=DO,要使四邊形ABCD為矩形,則需添加的條件為∠DAB=90°〔填一個即可．[分析]根據(jù)對角線互相平分線的四邊形為平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形,添加條件∠DAB=90°可根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行判定．[解答]解：可以添加條件∠DAB=90°,∵AO=CO,BO=DO,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵∠DAB=90°,∴四邊形ABCD是矩形,故答案為：∠DAB=90°．9．已知四邊形ABCD為平行四邊形,要使得四邊形ABCD為矩形,則可以添加一個條件為∠BAD=90°．[分析]根據(jù)矩形的判定方法：已知平行四邊形,再加一個角是直角填空即可．[解答]解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠BAD=90°,∴四邊形ABCD是矩形,故答案為：∠BAD=90°〔答案不唯一．10．木匠做一個矩形木框,長為80cm,寬為60cm,對角線的長為100cm,則這個木框合格〔填"合格"或"不合格"[分析]只要算出桌面的長與寬的平方和是否等于對角線的平方,如果相等可得長、寬、對角線構成的是直角三角形,由此可得到每個角都是直角,根據(jù)矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形,可得此桌面合格．[解答]解：解：∵802+602=10000=1002,即：AD2+DC2=AC2,∴∠D=90°,同理：∠B=∠BCD=90°,∴四邊形ABCD是矩形,故答案為合格．11．如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請補充一個條件,使四邊形ABCD成為矩形,這個條件是∠A=90°．[分析]根據(jù)有一個角是90°的平行四邊形是矩形,即可解決問題．[解答]解：∵AB∥DC,AB=DC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴當∠A=90°時,四邊形ABCD是平行四邊形．故答案為∠A=90°．〔填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以12．如圖,在平行四邊形ABCD中,延長AD到點E,使DE=AD,連接EB,EC,DB請你添加一個條件EB=DC,使四邊形DBCE是矩形．[解答]解：添加EB=DC．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴DE∥BC,又∵DE=AD,∴DE=BC,∴四邊形DBCE為平行四邊形．又∵EB=DC,∴四邊形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答題〔共6小題13．如圖,在?ABCD中,∠BAD的平分線交CD于點E,交BC的延長線于點F,連接BE,∠F=45°．〔1求證：四邊形ABCD是矩形；〔2若AB=14,DE=8,求sin∠AEB的值．[分析]〔1欲證明四邊形ABCD是矩形,只需推知∠DAB是直角；〔2如圖,過點B作BH⊥AE于點H．構建直角△BEH．通過解該直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中,由勾股定理得．在Rt△AHB中,BH=AB?sin45°=7．所以通過解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．[解答]〔1證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°,∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分線,∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是矩形．〔2解：如圖,過點B作BH⊥AE于點H．∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠DCB=∠D=90°．∵AB=14,DE=8,∴CE=6．在Rt△ADE中,∠DAE=45°,∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中,由勾股定理得．在Rt△AHB中,∠HAB=45°,∴BH=AB?sin45°=7．∵在Rt△BHE中,∠BHE=90°,∴sin∠AEB=．14．如圖,AD是等腰△ABC底邊BC上的高．點O是AC中點,延長DO到E,使OE=OD,連接AE,CE．〔1求證：四邊形ADCE的是矩形；〔2若AB=17,BC=16,求四邊形ADCE的面積．[分析]〔1根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形ADCE是平行四邊形,根據(jù)垂直推出∠ADC=90°,根據(jù)矩形的判定得出即可；〔2求出DC,根據(jù)勾股定理求出AD,根據(jù)矩形的面積公式求出即可．[解答]〔1證明：∵點O是AC中點,∴AO=OC,∵OE=OD,∴四邊形ADCE是平行四邊形,∵AD是等腰△ABC底邊BC上的高,∴∠ADC=90°,∴四邊形ADCE是矩形；〔2解：∵AD是等腰△ABC底邊BC上的高,BC=16,AB=17,∴BD=CD=8,AB=AC=17,∠ADC=90°,由勾股定理得：AD===15,∴四邊形ADCE的面積是AD×DC=15×8=120．15．如圖,四邊形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,F為DC上一點,且FC=AB,E為AD上一點,EC交AF于點G．〔1求證：四邊形ABCF是矩形；〔2若EA=EG,求證：ED=EC．[分析]〔1由條件可先證得四邊形ABCF為平行四邊形,再由∠B=90°可證得結論；〔2利用等腰三角形的性質(zhì)可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC,再利用直角三角形的性質(zhì)可求得∠D=∠ECD,可證得ED=EC．[解答]證明：〔1∵AB∥CD,且FC=AB,∴四邊形ABCF為平行四邊形,∵∠B=90°,∴四邊形ABCF是矩形；〔2∵EA=EG,∴∠EAG=∠EGA=∠FGC,∵四邊形ABCF為矩形,∴∠AFC=∠AFD=90°,∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°,∴∠D=∠ECD,∴ED=EC．16．如圖,在?ABCD中,AE⊥BC于點E點,延長BC至F點使CF=BE,連接AF,DE,DF．〔1求證：四邊形AEFD是矩形；〔2若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的長．[分析]〔1先證明四邊形AEFD是平行四邊形,再證明∠AEF=90°即可．〔2證明△ABF是直角三角形,由三角形的面積即可得出AE的長．[解答]〔1證明：∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC．即EF=BC．∵在?ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴AD∥EF且AD=EF．∴四邊形AEFD是平行四邊形．∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°．∴四邊形AEFD是矩形；〔2解：∵四邊形AEFD是矩形,DE=8,∴AF=DE=8．∵AB=6,BF=10,∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF,∴△ABF的