1.1.1等腰三角形第一章三角形的證明知識回顧證明一個命題的一般步驟:(1)弄清題設(shè)和結(jié)論；

(2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形；(3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證；(4)分析證明思路,寫出證明過程。三角形全等判定公理：1.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ＳＳＳ）。2.兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)。3.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)。性質(zhì)公理：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。知識回顧你能用上面的公理證明下面的命題嗎？

兩角及其中一角的對應(yīng)邊相等的兩個三角形全等(AAS)情境引入證明:∵∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形內(nèi)角和定理）在△ABC與△A′B′C′中∵∠A=∠A′（已知）,

AB=A′B′（已知）,∠B=∠B′（已證）,∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.′ABCA′B′C′●●●●●●已知:如圖,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠C=∠C′,AB=A′B′.求證:△ABC≌△A′B′C′.自主預(yù)習(xí)如圖:已知在△ABC和△DEF中AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=100°,則△ABC和△DEF會全等嗎?若能請證明;若不能請說明理由.ABCDEF其它條件不變?nèi)簟螧=∠E=70°議一議：定理:兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.在△ABC與△A′B′C′中∵∠A=∠A′∠C=∠C′

AB=A′B′∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.′ABCA′B′C′證明后的結(jié)論,以后可以直接運用.你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?推論:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線底邊上的高互相重合(三線合一).你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎?定理:等腰三角形的兩個底角相等.新知探究性質(zhì)1(等邊對等角)等腰三角形的兩個底角相等。ABCD已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=C想一想：

如何證明兩個角相等？議一議：如何構(gòu)造兩個全等的三角形？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作底邊的中線AD，則BD=CDAB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠1=∠2AB=AC(已知)∠1=∠2(已作)AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中12已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作底邊的高線AD，則∠BDA=∠CDA=90°AB=AC(已知)AD=AD(公共邊)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).方法三：作底邊的高線在Rt△BAD和Rt△CAD中定理:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).ACB如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).證明后的結(jié)論,以后可以直接運用.思考：由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）綜上可得：如圖,在△ABC中,

（1）如果等腰三角形的一個底角為50°，則其余兩個角為____和____．（2）如果等腰三角形的頂角為80°，則它的一個底角為____．50°80°50°（3）如果等腰三角形的一個角為80°，則其余兩個角為________________________．80°和20°（4）如果等腰三角形的一個角為100°，則其余兩個角為_________．40°和40°或50°和50°隨堂練習(xí)

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),在△ABC中，AB=AC時，(1)∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.(2)∵AD是中線，∴____⊥____，∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____，_____=_____.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD1．（江西）已知等腰三角形的兩條邊長分別是7和3，則下列四個數(shù)中，第三條邊的長是()A．8B．7C．4D．3．2．(寧波)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）個個個個AB3.如圖,在三角形ABD中,C是BD上的一點,且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1)求證:△ABD是等腰三角形(2)求∠ABD的度數(shù)ABCD4.將下面證明中每一步的理由寫在括號內(nèi):已知:如圖,AB=CD,AD=CB.求證:∠A=∠C.證明:連接BD,在△BAD和△DCB中,∵AB=CD()

AD=CB()

BD=DB()∴△BAD≌△DCB()∴:∠A=∠C()ABCD5.已知:如圖,點B,E,C,F在同一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證:∠A=∠DABCDEF等腰三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．

性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（“三線合一”）．即：等腰三角形頂角的角平分線垂直平分底邊．知識梳理等腰三角形第一章三角形的證明3．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個等腰三角形的頂角為（）A．30°B．150°C．30°或150°D．120°1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，則∠B=______2．等腰三角形一底角的外角為105°，那么它的頂角為______度C55°30

知識回顧

在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?情境引入

作圖觀察,我們可以發(fā)現(xiàn)：等腰三角形兩底角的平分線相等；兩腰上的高、中線也分別相等．

我們知道，觀察或度量是不夠的，感覺不可靠．這就需要以公理和已證明的定理為基礎(chǔ)去證明它，讓人們堅定不移地去承認(rèn)它，相信它．下面我們就來證明上面提到的線段中的一種：等腰三角形兩底角的平分線相等．自主預(yù)習(xí)已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．例1.證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.求證：BD=CE．新知探究ABCED12新知探究證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．證法二ABCED34證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB

∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．1.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.求證：BD=CE．EDCBA

分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．我能行已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中線．2.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.求證：BD=CE．EDCBA

分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個三角形的全等．

上面，我們只是發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中比較特殊的線段(角平分線、中線、高)相等，還有其他的結(jié)論嗎?你能從上述證明的過程中得到什么啟示?

把腰二等分的線段相等，把底角二等分的線段相等．如果是三等分、四等分……結(jié)果如何呢?議一議1．在等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE嗎?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一個什么結(jié)論?議一議1．在等腰三角形ABC中，(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結(jié)論?知識梳理1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.

簡述為：

1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.

2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.知識梳理′已知：在△ABC中,AB=AC=BC,求證:∠A=∠B=∠C=60°證明：想一想ABC∵AB=AC∴∠B=∠C(等邊對等角）又∵AC=BC∴∠A=∠B(等邊對等角）∴∠A=∠B=∠C在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°。定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°′等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么特征？已知：在△ABC中,AB=AC=BC,求證:∠A=∠B=∠C=60°證明：想一想結(jié)論:等腰三角形兩底角的平分線相等.結(jié)論:等腰三角形兩腰的高線、中線分別相等.定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°知識梳理1.求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù)。隨堂練習(xí)2.證明:等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角等于頂角的一半.隨堂練習(xí)3.如圖，在△ABC中，D、E是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形，求∠BAC的度數(shù)。ABDEC1.1.3等腰三角形第一章三角形的證明等腰三角形有哪些性質(zhì)？1.等腰三角形的兩底角相等．（簡寫成“等邊對等角”）ABC∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對等角）知識回顧2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．（簡寫成“三線合一”）ABCD∵AB=AC，BD=CD（已知）∴∠BAD=∠CAD，

AD⊥BC（三線合一）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∴BD=CD，AD⊥BC（三線合一）∵AB=AC，AD⊥BC（已知）∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（三線合一）

前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?已知：在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC．

分析：只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了.比如作BC的中線，或作角A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個全等的三角形．情境引入ABC定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(等角對等邊.)等腰三角形的判定定理：自主預(yù)習(xí)例2已知：如圖，AB=DC,BD=CA,求證：△AED是等腰三角形。ABCDE證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS)∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等）∴AE=DE(等角對等邊）∴△AED是等腰三角形。想一想

小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?新知探究在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.ABC

我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC。你能理解他的推理過程嗎?ABC

小明在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法.在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.

再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學(xué)的證法.

假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個直角．這個推理過程怎樣寫呢？例3.用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角。已知：△ABC．求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角。證明：假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90

°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°。這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，因此，“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立。所以，一個三角形中不能有兩個角是直角。知識梳理1.這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？

2.等腰三角形的判定及其在實際生活中的應(yīng)用你有哪些收獲？

1.假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立；2.歸謬:從這個假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果；3.結(jié)論:由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確。用反證法證題的一般步驟：1.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)?108°隨堂練習(xí)36°90°2.如圖,△ABC中分別是上的點,BD與CE交于點O,給出下列四個條件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC(1)上述四個條件中,哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形)(2)選擇的1小題的一種情形,證明△ABC是等腰三角形.BAEDCO①③;①④;②③;②④3.用反證法證明:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°證明:假設(shè)∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角,

且都大于60°,

則∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,∴∠A+∠B+∠C>180°;這與三角形的內(nèi)角和是180定理矛盾∴假設(shè)不成立∴在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.1.1.4等腰三角形第一章三角形的證明1.什么是等腰三角形？

等腰三角形有什么性質(zhì)？知識回顧2.怎樣判斷一個三角形是等腰三角形？

情境引入1.一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形？2.一個等腰三角形滿足什么條件時便成了等邊三角形？3.用兩個含30°角的全等的三角尺，能拼出一個怎樣的三角形？自主預(yù)習(xí)

通過回答上述問題并證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴進(jìn)行交流。總結(jié)：定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形。定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么他所對的直角邊等于斜邊的一半。定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形.證明:∵AB=AC,∠B=600(已知),∴∠C=∠B=600.(等邊對等角)∴∠A=600(三角形內(nèi)角和定理)∴∠A=∠B（等式性質(zhì)）.∴AC=CB（等角對等邊）.∴AB=BC=AC（等式性質(zhì)）.∴△ABC是等邊三角形(等邊三角形意義).已知:如圖,在△ABC中AB=AC,∠B=600.求證:△ABC是等邊三角形.ACB600新知探究定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等邊三角形

(有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形).這又是一個判定等邊三角形的根據(jù)之一。ACB600定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形.證明:∵∠A=∠B(已知),∴BC=AC,(等角對等邊).

又∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC,(等角對等邊).∴AB=BC=AC(等式性質(zhì)).∴△ABC是等邊三角形(等邊三角形意義)已知:如圖,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求證:△ABC是等邊三角形.ACB定理:三個角都相等的三角形是等邊三角形在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).ACB

做一做:用兩個含有300角的三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？能證明你的結(jié)論嗎？300300結(jié)論:在直角三角形中,300角所對的邊等于斜邊的一半.能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由.由此你想到，在直角三角形中,300角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？定理:在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300求證:BC=AB.300ABCD分析：突破如何證明“線段的倍、分”問題轉(zhuǎn)化“線段相等”問題延長BC至D,使CD=BC,連接AD300ABCD∵∠ACB=900,∠BAC=300,

∴∠ACD=90°，∠B=60°，

∵AC=AC∴△ABC≌△ADC（SAS）∴AD=AB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴△ABD是等邊三角形(有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形)

∴BC=BD=AB(等式性質(zhì)).證明:延長BC至D,使CD